4.3 等腰三角形的性质与判定-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·贵州数学 　 第 四 章 三 角 形 命题点 3　 等腰三角形的性质与判定(必考) 考向 1　 等腰(边)三角形的性质(2023. 7 独立设题 考查,其他每年必涉及考查) 1. [北师八下 P20 随堂练习 2 改编]如图,为了让电 线杆垂直于地面,工程人员的操作方法通常 是:从电线杆 DE 上一点 A 往地面拉两条长度相 等的固定绳 AB 与 AC,当固定点 B,C 到杆脚 E 的距离相等,且 B,E,C 在同一直线上时,电线杆 第 1 题图 DE 就垂直于 BC. 工程人员这 种操作方法的依据是 (　 　 ) A. 等边对等角 B. 等角对等边 C. 等腰三角形“三线合一” D. 垂线段最短 2. [2024 湖南省卷]若等腰三角形的一个底角的度 数为 40°,则它的顶角的度数为　 　 　 　 °. 变式 2-1 [2024 贵阳乌当区一模]等腰三角形的一 个内角是 50°,则另外两个角的度数分别是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 65°,65° B. 50°,80° C. 65°,65°或 50°,80° D. 50°,50° 3. [2024 云南]已知 AF 是等腰△ABC 底边 BC 上 的高,若点 F 到直线 AB 的距离为 3,则点 F 到 直线 AC 的距离为 (　 　 ) A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 7 2 变式 3-1 名师原创 多解法 ∙∙∙ 如图,在△ABC 中,AB =AC,AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D,DE⊥AB 于点 E, BF ⊥ AC 于点 F, DE = 1. 3 cm, 则 BF= 　 　 　 　 cm. 变式 3-1 题图　 　 　 第 4 题图 4. [2023 贵州 7 题 3 分]5 月 26 日,“2023 中国国 际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动 化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等 腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为 120°,腰长为 12 m,则底边上的高是 (　 　 ) A. 4 m B. 6 m C. 10 m D. 12 m 变式 4-1 如图,△OAB 的顶点 O(0,0),点 A 在 第一象限,点 B 在 x 轴的正半轴上,若 OB = 16,OA=AB= 10,则点 A 的坐标是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. (10,8) B. (6,8) C. (10,6) D. (8,6) 变式 4-1 题图　 　 　 变式 4-2 题图 变式 4-2 [2024 自贡]如图,等边△ABC 钢架的 立柱 CD⊥AB 于点 D,AB 长 12 m. 现将钢架 立柱缩短成 DE,∠BED = 60°. 则新钢架减少 用钢 (　 　 ) A. (24-12 3 )m B. (24-8 3 )m C. (24-6 3 )m D. (24-4 3 )m 5. 如图是跷跷板示意图,支柱 OC 与地面垂直, 点 O 是 AB 的中点,AB 绕着点 O 上下转动. 若 A 端落地时,∠OAC = 25°,则跷跷板上下可转 动的最大角度(即∠A′OA)是 (　 　 ) A. 45° B. 50° C. 60° D. 75° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. [人教八上 P83 第 14 题改编]如图,在△ABC 中, D,E 是边 BC 的三等分点,且△ADE 是等边三 角形,则∠BAC 的度数为 (　 　 ) A. 105° B. 120° C. 130° D. 150° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 25 分层作业本·贵州数学 　 第 四 章 三 角 形 7. [北师八下 P35 第 16 题改编]如图,在△ABC 中, ∠ABC= ∠ACB,AB 的垂直平分线交 AC 于点 第 7 题图 P,若 AB = 5 cm,BC = 3 cm,则 △PBC 的周长等于 (　 　 ) A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm 8. [2024 贵阳清镇市期中]在学习了等腰三角形 后,老师想让同学们对一些特殊等腰三角形 作一下研究. 于是给出了如下问题:如图,在 △ABC 中,∠ABC = 30°, ∠BAC = 120°,求证: BC= 　 3AC. (1)请你选择一位同学的说法,并进行证明; (2) 点 P 是 AC 中点,连接 BP,若 AC = 4,求 △PBC 的面积. 第 8 题图 考向 2　 等腰(边)三角形的判定及相关计算 9. [2023 江西]将含 30°角的直角三角板和直尺按 如图所示的方式放置,已知 α= 60°,点 B,C 表 示的刻度分别为 1 cm,3 cm,则线段 AB 的长 为　 　 　 　 cm. 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 在△AOC 中,射线 OB 交 AC 于点 D,量角器 的摆放如图所示,点 A,C 在同一圆弧上,则 ∠CDO 的度数为 (　 　 ) A. 90° B. 95° C. 100° D. 115° 11. [2024 铜仁模拟改编] 如图,在四边形 ABCD 中,∠A = ∠ABC = 90°,CB = CD,连接对角线 BD,已知∠ABD = 30°,AD = 2,则四边形 AB- CD 的周长为　 　 　 　 . 第 11 题图 　 第 12 题图 12. 如图,△ABC 是等边三角形,BD 是中线,延长 BC 到 E,使 CE =CD,连接 DE. 下面给出的四 个结论:①BD⊥AC; ②BD = DE; ③ ∠BDE = 120°;④CE=AD. 其中正确的个数是 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 数学思维进阶练 13. 转化思维 [北师九上 P19 习题 5 改编]如图, △ABC 中,AB = AC = 2,P 是 BC 上任意一 点,PE⊥AB 于点 E,PF⊥AC 于点 F,若 S△ABC =1,则 PE+PF=　 　 　 　 . 第 13 题图 温馨提示:面积法见《专项培优练》P20 14. 分类讨论 [2024 贵阳云岩区一模]在△ABC 中, ∠C 为钝角, ∠A = 48°, 如果经过 △ABC 其中一个顶点作一条直线能把 △ABC 分成两个等腰三角形,那么∠C 的度数为　 　 　 　 . 【点拨】通过等腰三角形的内外角关系构 造等腰三角形 温馨提示:几何问题中的分类讨论见《专项培优 练》P52 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 35 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 第 13 题解图② 　 第 13 题解图③ 解法 3:∵ DC⊥BC,∴ ∠BCD = 90°,∵ ∠ACB = 120°,∴ ∠ACD= 30°. 如解图③,延长 CD 到 H,使 DH =CD,连接 AH,∵ D 为 AB 的中点,∴ AD = BD,在△ADH 与△BDC 中, DH=DC, ∠ADH= ∠BDC, AD=BD, { ∴ △ADH≌△BDC( SAS),∴ AH = BC= 4,∠H= ∠BCD= 90°,S△ADH = S△BDC,∵ ∠ACH = 30°, ∴ CH= 3AH= 4 3 ,∴ S△ABC =S△ACH = 1 2 ×4×4 3 = 8 3 . 命题点 3　 等腰三角形的性质与判定 1. C　 2. 100　 变式 2-1　 C　 3. C 变式 3-1　 2. 6　 【解析】解法 1:∵ AB = AC,AD 平分∠BAC, ∴ AD⊥BC, AD 为 △ABC 的中线, ∴ S△ABC = 2S△ABD = 2 × 1 2 AB·DE = 1. 3AB,∵ S△ABC = 1 2 AC·BF = 1. 3AB,AC = AB,∴ 1 2 BF= 1. 3,∴ BF= 2. 6 cm; 解法 2:如解图,过点 D 作 DG⊥AC,交 AC 于点 G,∵ AD 平 分∠BAC,DE⊥AB,DG⊥AC,∴ DE =DG. ∵ AB = AC,AD 平 分∠BAC,∴ 点 D 为 BC 的中点,∵ BF⊥AC,DG⊥AC,∴ BF ∥DG,∴ DG 为△BCF 的中位线,BF= 2DG= 2DE= 2. 6 cm. 变式 3-1 解图 4. B　 变式 4-1　 D 变式 4-2　 D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,∴ ∠ABC = 60°,AB=BC=AC= 12,BD= 6,∴ CD= 6 3 ,∵ ∠BED = 60°, ∴ DE= 2 3 ,BE= AE = 4 3 ,∴ 减少用钢为(AB+AC+BC+ CD) -(AE+BE+AB+DE) = AC+BC+CD-AE-BE-DE = 24- 4 3 (cm) . 5. B 6. B　 【解析】∵ D,E 是 BC 的三等分点,且△ADE 是等边三 角形,∴ BD = DE = EC = AD = AE,∠ADE = ∠AED = 60°,又 ∵ ∠ADE = ∠B + ∠BAD, ∠AED = ∠C + ∠EAC, ∴ ∠B = ∠BAD= ∠C = ∠EAC = 30°, ∴ ∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 120°. 7. C 　 【解析】 ∵ ∠ABC = ∠ACB,AB = 5 cm, ∴ AB = AC = 5 cm,∵ AB 的垂直平分线交 AC 于 P 点,∴ BP+PC = AP+ PC=AC,∴ △PBC 的周长为(BP+PC) +BC =AC+BC = 5+3 = 8 (cm) . 8. (1)证明:选小星,证明如下: 如解图①,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, 第 8 题解图① ∵ ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180°, ∠ABC = 30°, ∠BAC = 120°, ∴ ∠ACB= 30° = ∠ABC, ∴ AB=AC, ∵ AD⊥BC, ∴ BD=CD= 1 2 BC, 在 Rt△ACD 中,cos∠ACD= CD AC = cos30° = 3 2 , ∴ CD= 3 2 AC, ∴ BC= 2CD= 3AC; 选小红,证明如下: 如解图②,过点 C 作 CD⊥BA,交 BA 的延长线于点 D, 第 8 题解图② ∵ ∠BAC= 120°, ∴ ∠CAD= 180°-∠BAC= 60°, ∵ CD⊥BA,∴ ∠D= 90°, ∴ sin∠CAD= CD AC = sin60° = 3 2 , ∴ CD= 3 2 AC, 在 Rt△BCD 中,sin∠ABC= CD BC = sin30° = 1 2 , ∴ BC= 2CD= 3AC; (2)解:如解图③,过点 P 作 PM⊥BC 于点 M, 第 8 题解图③ ∵ 点 P 是 AC 中点,AC= 4, ∴ CP= 2, 在 Rt△PCM 中,∠ACB= 30°, ∴ PM= 1 2 CP= 1, 由(1)知,BC= 3AC= 4 3 , ∴ S△PBC = 1 2 BC·PM= 1 2 ×4 3 ×1 = 2 3 . 9. 2　 10. B 11. 2 3 +10　 【解析】∵ ∠A = ∠ABC = 90°,∴ ∠A+∠ABC = 180°,∴ AD∥BC,又∵ ∠ABD = 30°,∴ ∠DBC = ∠BDA = 90°-∠ABD= 60°,∵ CB = CD,∴ △BCD 为等边三角形, ∴ DB=BC= CD,∵ 在 Rt△ABD 中,∠ABD = 30°,AD = 2, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 　 ∴ DB= 4,∴ CD = BC = 4,AB = BD2 -AD2 = 42 -22 = 2 3 ,∴ 四边形 ABCD 的周长为 AB+BC+CD+DA= 2 3 +4 +4+2 = 2 3 +10. 12. D　 【解析】∵ △ABC 是等边三角形,BD 是 AC 上的中 线,∴ BD⊥AC,CD = AD,∠CBD = 30°,∴ ∠ADB = ∠CDB = 90°,∵ ∠ACB = ∠CDE+ ∠DEC = 60°,又∵ CD = CE = AD,∴ ∠CDE = ∠DEC = 30°,∴ ∠CBD = ∠DEC,∴ BD = DE, ∠BDE= ∠CDB+∠CDE = 120°,所以这四项都是正 确的. 13. 1　 【解析】如解图,连接 AP,则 S△ABC = S△ACP + S△ABP, ∵ PE⊥AB,PF⊥AC,∴ S△ACP = 1 2 AC·PF,S△ABP = 1 2 AB· PE.又∵ S△ABC = 1,AB =AC = 2,∴ 1 = 1 2 AC·PF+ 1 2 AB· PE,即 1 = 1 2 ×2PF+ 1 2 ×2PE,∴ PE+PF= 1. 第 13 题解图 14. 99°或 108°或 116°　 【解析】当三角形是直角三角形时, 肯定可以分割成两个等腰三角形,此时最大角为 90°;如 解图①、解图②,一个内角是另一个内角的 3 倍时,三角 形可分割成两个等腰三角形,此时最大角为 99°或 116°; 如解图③,以 48°为底角构造等腰三角形,再向外侧构造 等腰三角形,此时最大角为 108°. 综上所述,最大角为 90°或 99°或 116°或 108°,∵ ∠C 为钝角,∴ ∠C 的度数 为 99°或 108°或 116°. 图① 　 　 图② 图③ 第 14 题解图 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 1. C　 2. B 3. 96　 【解析】解法 1:由题图可得,a2 +b2 = c2 ,将 b-a = 4,c= 20 代入可得 a2 +(a+4) 2 = 400,解得 a = 12 或 a = -16(不 合题意,舍去),∴ b = 16,∴ 每个直角三角形的面积为 1 2 ab= 1 2 ×12×16 = 96. 解法 2:∵ b-a= 4,∴ 小正方形的面积为 4×4 = 16,大正方 形的面积为 c2 = 400,∴ 每个直角三角形的面积为 1 4 × (400-16)= 96. 4. 7 4 　 【解析】如解图,连接 AE,设 CE= x,则 BE= 8-x,由题 意得 AE=BE= 8-x,在 Rt△ACE 中,CE2 +AC2 =AE2 ,即 x2 + 62 = (8-x) 2 ,解得 x= 7 4 . 第 4 题解图 变式 4-1　 73 16 　 【解析】 ∵ 点 B′落在 AC 的中点,∴ CB′ = 1 2 AC= 3,设 BE= x,则 CE= 8-x,由折叠的性质得 B′E=BE = x,在 Rt△CEB′中,CE2 +B′C2 = B′E2 ,即(8-x) 2 + 32 = x2 , 解得 x= 73 16 . 5. B　 【解析】如解图,根据勾股定理 AB2 = 1. 62 + 1. 22 = 4, AC2 =AB2 +BC2 = 4+4 = 8,故 AC= 2 2 ≈2. 8. 第 5 题解图 6. B　 7. C 变式 7- 1 　 B 　 【解析】 ∵ DE⊥AB, ∴ ∠C = ∠AED = 90°, ∵ AD 平分∠CAB, ∴ ∠CAD = ∠EAD,在△ACD 和△AED 中, ∠C= ∠AED ∠CAD= ∠EAD AD=AD { , ∴ △ACD ≌ △AED ( AAS), ∴ AC = AE,CD=DE,∴ BD+DE = BD+CD = BC = AC = AE,BD+DE+ BE=AE+BE=AB= 6,∴ △DEB 的周长为 6 cm. 变式 7-2　 C　 【解析】∵ △ABC 为等腰直角三角形,且∠C= 90°,∴ ∠CAB = 45°,在 Rt△ACD 中,∵ AD = 2CD, ∠C = 90°,∴ ∠CAD= 30°,∴ ∠DAB= ∠CAB-∠CAD= 15°. 变式 7-3　 C　 【解析】∵ AD⊥BC,∠B = 45°,∠ACB = 60°, ∴ ∠BAD= 90°-∠B= 45°,∠CAD= 90°-∠ACB= 30°,∴ AD = BD, ∵ CE 是 ∠ACB 的平分线, ∴ ∠DCE = ∠ACE = 1 2 ∠ACB= 30°,∴ ∠CAD = ∠ACE,∴ AE = CE,在Rt△CDE 中,DE= 3 ,∠DCE = 30°,∴ CE = 2DE = 2 3 ,∴ AE = CE = 2 3 ,∴ AD=AE+DE= 3 3 ,BD = 3 3 ,在 Rt△ABD 中,由勾 股定理,得 AB= AD2 +BD2 = 3 6 . 8. B　 9. 2 2 -2 10. D　 【解析】由勾股定理,得 AC2 = 22 +12 = 5,AB2 = 22 +42 = 20,BC2 = 32 + 42 = 25,∴ AC = 5 ,AB = 2 5 ,BC = 5,AC2 + 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12