4.1 线段、角、相交线与平行线-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·贵州数学 第四章　 三角形 　 第 四 章 三 角 形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线(必考) 考向 1　 线段与直线 第 1 题图 1. 名师原创 高速公路的建设带 动贵州经济的快速发展. 在 高速公路的建设中,通常要 从大山中开挖隧道穿过. 如 图,在开挖隧道前,使用卫星定位技术在山体 两侧确定 A,B 两点,使机器沿着 AB 方向挖 掘,其中蕴含的数学道理是　 　 　 　 　 　 　 ; 隧道通车后,缩短了路程,其中蕴含的数学道 理是　 　 　 　 　 　 　 　 . 2. 如图,点 C,D 在线段 AB 上,若 AD=CB,则 (　 　 ) 第 2 题图 A. AC=CD　 　 　 　 　 B. AC=DB C. AD= 2DB D. CD=CB 3. 已知线段 AB= 10 cm,点 D 是线段 AB 的中点, 直线 AB 上有一点 C,并且 BC = 2 cm,则线段 DC= 　 　 　 　 cm. 考向 2　 角、角平分线与相交线(必考,角平分线必 在几何题中涉及考查) 4. 如图,要把小河里的水引到田地 A 处,则作 AB ⊥l,垂足为 B,沿 AB 挖水沟,水沟最短. 理由 是　 　 　 　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　第 5 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　5. [2020 贵阳 4 题 3 分]如图,直线 a,b 相交于点 O, 如果∠1+∠2=60°, 那么∠3 是 (　 　 ) A. 150° B. 120° C. 60° D. 30° 6. [2024 北京]如图,直线 AB 和 CD 相交于点 O, OE⊥OC. 若∠AOC= 58°,则∠EOB 的大小为 (　 　 ) A. 29° B. 32° C. 45° D. 58° 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. [人教七上 P136 第 2 题改编]如图,把一个蛋糕 等分,如果每份中的角是 α,则 α 的值不可能 是 (　 　 ) A. 60° B. 45° C. 32° D. 24° 8. [北师七下 P127 第 2 题改编]把两个同样大小的 含 30°角的三角尺如图放置,其中 M 是 AD 与 BC 的交点,若 CM = 4 cm,则点 M 到 AB 的距 离为　 　 　 　 cm. 第 8 题图 　 　 变式 8-1 题图 变式 8-1 [2022 株洲]如图所示,点 O 在一块直角 三角板 ABC 上(其中∠ABC = 30°),OM⊥AB 于点 M, ON ⊥ BC 于点 N, 若 OM = ON, 则 ∠ABO= 　 　 　 　 度. 第 9 题图 9. 多解法 ∙∙∙ [北师八下 P24 例 2 改 编]如图,线段 AB,BC 的垂 直平分线相交于点 O,连接 OA,OC. 若∠AOC = 80°,则 ∠B 的度数为　 　 　 　 . 考向 3　 平行线的性质与判定(必考, 2023、 2022 独 立设题考查) 10. [2023 贵州 4 题 3 分]如图,AB∥CD,AC 与 BD 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 84 分层作业本·贵州数学 　 第 四 章 三 角 形 相交于点 E. 若∠C= 40°,则∠A 的度数是 (　 　 ) A. 39° B. 40° C. 41° D. 42° 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 11. 学科融合 [2024 遵义二模]如图,一束平行于 主光轴的光线经凸透镜折射后,与经过主光 轴的光线交于焦点 F,若∠1 = 30°, 则∠ABF 的度数为 (　 　 ) A. 30° B. 120° C. 150° D. 170° 12. [人教八下 P47 练习 3 改编]如图,已知∠1 = 90°,为保证两条铁轨平行,添加的下列条件 中,正确的是 (　 　 ) A. ∠2 = 90° B. ∠3 = 90° C. ∠4 = 90° D. ∠5 = 90° 第 12 题图 　 　 　 第 13 题图 13. [北师七下 P54 第 6 题改编]如图,折线 A-B-C- D 是一条灌溉水渠,水渠从 A 村沿北偏东 65° 方向到 B 村,从 B 村沿北偏西 35°方向到 C 村,若从 C 村修建的水渠 CD 与 AB 方向一 致,则∠DCB 的大小为 (　 　 ) A. 30° B. 65° C. 80° D. 100° 考向 4　 定义、命题与定理 14. 下列命题的逆命题成立的是 (　 　 ) A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 B. 正方形的对角线相等 C. 对顶角相等 D. 若 a= b,则 a2 = b2 15. [2022 年版课标 P154 例 79 改编]探究命题“两 条边与一个角分别对应相等的两个三角形 全等”的真假. 操作:如图,已知△ABC,求作一个△DEF,使 EF=BC,∠F = ∠C,DE = AB. 请用尺规作图 的方法完成下面的作图过程 (保 留 作 图 痕迹): ①作 EF = BC;②在线段 EF 的上方作∠F = ∠C;③作 DE=AB. 观察:观察所画的图形,发现满足条件的三 角形有　 　 　 　 个; 结论:经历以上探究过程,可得原命题是 　 　 　 　 (填“真”或“假”)命题,理由为: 　 . 第 15 题图 16. 分类讨论 [北师七上 P120 随堂练习 2 改编]已知 OC 是∠AOB 的平分线,∠BOD = 1 3 ∠COD, 若∠BOD= 15°,则∠AOB= 　 　 　 　 . 17. 名师原创·真实情境 如图①,小红和小星在 学习完“预防近视”的知识后有如下对话,图 ②为标准坐姿示范,已知桌面和水平面平 行,根据他们的对话,判断视线 BC 和书本所 在平面夹角∠BCD 的角度不可能为 (　 　 ) 图① 图② 第 17 题图 A. 66° B. 75° C. 78° D. 84° 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 数学思维进阶练 18. 归纳思维 [2021 贵阳 12 题改编]小星在“趣 味数学”社团活动中探究了直线交点个 数的问题. 平面上现有 5 条直线,其中有 2 条相互平行,另外 3 条交于 1 点,他又 在平面上添加 2 条直线,探究这 7 条直线 的交点个数最多是 (　 　 ) A. 17 个　 B. 18 个　 C. 19 个　 D. 21 个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 94 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 ∴ xM = 30 2 ,xN = 50 2 , 则 GH=MN= 2 (xN-xM)= 2 ×(50 2 -30 2 )= 40, 答:需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是 40 米. 9. 解:任务 1:根据题意知安排 70 名工人加工一批夏季 服装, ∵ 安排 x 名工人加工“雅”服装,y 名工人加工“风”服装, ∴ 加工“正”服装的有(70-x-y)人, ∵ “正”服装总件数和“风”服装相等, ∴ (70-x-y) ×1 = 2y, 整理得 y= - 1 3 x+ 70 3 ; 任务 2:根据题意得,“雅”服装每天获利为 x[100- 2( x- 10)], ∴ w= 2y×24+(70-x-y) ×48+x[100-2(x-10)], 整理得 w = ( - 16x + 1 120) + ( - 32x + 2 240) + ( - 2x2 + 120x), ∴ w= -2x2 +72x+3 360(x≥10); 任务 3:由任务 2 得 w = - 2x2 + 72x+ 3 360 = - 2( x- 18) 2 + 4 008, ∵ -2<0,∴ 当 x= 18 时,获得最大总利润, 此时 y= - 1 3 ×18+ 70 3 = 52 3 , ∵ y 为整数,∴ x≠18, ∵ w 关于 x 的函数图象开口向下, ∴ 取 x= 17 或 x= 19, 当 x= 17 时,y= 53 3 ,不符合题意; 当 x= 19 时,y= 51 3 = 17,符合题意, ∴ 70-x-y= 34, 综上,安排 19 名工人加工“雅”服装,17 名工人加工“风” 服装,34 名工人加工“正”服装,即可获得最大总利润. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第四章　 三角形 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 1. 两点确定一条直线;两点之间,线段最短 2. B　 3. 7 或 3　 4. 垂线段最短　 5. A　 6. B　 7. C 8. 4 变式 8-1　 15　 【解析】∵ OM⊥AB,ON⊥BC,OM=ON,∴ BO 平 分 ∠ABC, ∴ ∠OBM = ∠OBN, ∵ ∠ABC = 30°, ∴ ∠ABO= 15°. 9. 40°　 【解析】解法 1:如解图①,连接 OB,∵ ∠AOC = 80°, ∴ ∠AOB+∠BOC= 280°,∵ 线段 AB,BC 的垂直平分线相 交于点 O,∴ OA = OB,OB = OC,∴ ∠ABO = ∠A,∠CBO = ∠C,∵ ∠ABO+∠A+∠AOB+∠CBO+∠C+∠BOC = 360°, ∴ ∠ABO+ ∠A + ∠CBO + ∠C = 80°, ∴ ∠ABO + ∠CBO = 40°,∴ ∠ABC= 40°. 解法 2:如解图②,连接 OB,∵ 线段 AB,BC 的垂直平分线 相交于点 O,∴ OA =OB =OC,∴ 点 A,B,C 在以 O 为圆心 OA 为半径的圆上,∴ ∠ABC= 1 2 ∠AOC= 40°. 图① 　 　 图② 第 9 题解图 10. B　 11. C　 12. C 13. C　 【解析】如解图,由题意可知 AB∥CD,AE∥BF, ∴ ∠EAB+∠ABF= 180°,∠DCB= ∠ABC,∴ ∠DCB = ∠ABC = 180°-65°-35° = 80°. 第 13 题解图 14. A 15. 解:操作:作图如解图; 图① 　 图② 第 15 题解图 观察:2; 结论:假,△D′EF 与△ABC 不全等. 16. 60°或 120°　 【解析】如解图①,当 OD 在∠AOB 外部时, ∵ ∠BOD = 15°, ∴ ∠COD = 45°, ∴ ∠BOC = 30°, ∴ ∠AOB= 2∠BOC= 60°;如解图②,当 OD 在∠AOB 内 部时,∵ ∠BOD= 15°,∴ ∠COD= 45°,∴ ∠BOC = 60°,∴ ∠AOB= 2∠BOC= 120°. 图① 　 　 图② 第 16 题解图 17. D　 【解析】如解图,由题意得 AB∥ED,∠ABC= 40°,25°< 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 81 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 　 ∠EDC< 40°,过 C 作 CF∥AB, ∴ CF∥ED, ∴ ∠BCF = ∠ABC= 40°,∴ ∠DCF = ∠EDC,∴ 25°<∠DCF< 40°,∴ 25°+40°<∠DCF+∠BCF<40°+40°,∴ 65°<∠BCD<80°. 第 17 题解图 18. B　 【解析】∵ 现有的 5 条直线中有 2 条相互平行,另外 3 条交于 1 点,∴ 这 5 条直线最多有交点 2×3+1 = 7 个, 第 6 条线与前 5 条线最多有 5 个交点,第 7 条线与前 6 条线最多有 6 个交点,∴ 交点个数最多为 7+5+6 = 18. 命题点 2　 三角形及其重要线段 1. D　 2. C　 3. C　 4. 60　 5. B 变式 5-1　 (1)6;(2)16　 6. A　 7. 高线 变式 7-1　 80 或 40　 【解析】∵ AD 边 BC 上的高,∴ ∠ADB = 90°,如解图①,当△ABC 为锐角三角形时,∠BAD = 180° -∠B- ∠ADB = 180° - 30° - 90° = 60°,∴ ∠BAC = ∠BAD+ ∠CAD= 60°+20° = 80°;如解图②,当△ABC 为钝角三角形 时,∠BAD= 180° -∠B-∠ADB = 180° - 30° - 90° = 60°,∴ ∠BAC= ∠BAD-∠CAD= 60°-20° = 40°. 综上所述,∠BAC = 80°或 40°. 图① 　 　 图② 变式 7-1 题解图 8. B 变式 8-1　 8 3 　 【解析】解法 1:∵ D、E 分别为 AC、BC 的中 点,即 DE 是△ABC 的中位线,∴ DE∥AB,DE= 1 2 AB,∴ AB = 2DE= 4,DF∥AB,又∵ BF∥AC,∴ 四边形 ABFD 是平行 四边形,∵ AB⊥BE,∴ S▱ABFD = AB·BE,在 Rt△ABC 中,∵ ∠C= 30°, ∴ AC = 2AB = 2 × 4 = 8, ∴ BC = AC2 -AB2 = 82 -42 = 4 3 ,∴ BE = 1 2 BC = 2 3 ,∴ S▱ABFD = 4 × 2 3 = 8 3 ; 解法 2:易证△CDE≌△BFE,∴ S△CDE = S△BFE,∴ S▱ABFD = S△ABC,∵ DE 为 △ABC 的中位线, ∴ AB = 2DE = 4,BC = 3AB= 4 3 ,∴ S▱ABFD =S△ABC = 1 2 AB·BC= 8 3 . 9. 9 10. C　 【解析】∵ BD 平分∠ABC,∴ ∠EBD = ∠CBD,∵ EF∥ BC,∴ ∠EDB= ∠DBC,∴ ∠EDB= ∠EBD,∴ ED =EB,同 理得 FD=FC,∴ BE+CF=DE+DF =EF,∵ △AEF 的周长 为 AE+AF+FE = AE+AF+BE+CF = AB+AC = 14,∴ △ABC 的周长为 AC+AB+BC= 14+7 = 21. 变式 10- 1　 A　 【解析】由勾股定理知 AB = AC2 +BC2 = 10,∵ D,E 分别为 CA,CB 的中点,∴ DE 是△ABC 的中位 线,∴ DE= 1 2 AB = 5,DE∥AB,∴ ∠AFD = ∠FAB,∵ AF 平 分∠BAC,∴ ∠FAD= ∠FAB,∴ ∠AFD = ∠FAD,∴ FD = AD = 1 2 AC= 3,∴ EF=DE-FD= 5-3 = 2. 变式 10- 2　 2　 【解析】由题可知∠BCF = ∠DCF = ∠DFC, ∠ABG= ∠CBG= ∠BGE,∴ DF = CD = 4,EG = BE = 3,∵ DE = 5,∴ EF=DE-DF= 1,∴ FG=EG-EF= 2. 11. C　 【解析】∵ 平面内,将长分别为 1,5,1,1,d 的线段,顺 次首尾相接组成凸五边形,∴ 1+d+1+1>5 且 1+5+1+1> d,∴ d 的取值范围为 2<d<8,∴ d 可能是 7. 12. C　 【解析】解法 1:如解图①,延长 DC 交 AB 于点 F,则 ∠CFB= ∠D+∠A = 30° + 90° = 120°,∴ ∠BCD = ∠CFB+ ∠B= 120°+20° = 140°; 解法 2:如解图 ②,连接 BD, ∵ ∠A = 90°, ∴ ∠ADB + ∠ABD = 90°, ∴ ∠CDB + ∠CBD = ( ∠ADB - ∠ADC) + (∠ABD-∠ABC)= ∠ADB+∠ABD-∠ADC-∠ABC = 90° -30° - 20° = 40°,∴ ∠BCD = 180° - ( ∠CDB+ ∠CBD) = 180°-40° = 140°; 解法 3:如解图③,连接 AC 并延长到点 E,∴ ∠DCE = ∠D+ ∠DAE, ∠BCE = ∠B + ∠BAE, ∴ ∠BCD = ∠D + ∠DAE+∠B+ ∠BAE = ∠B+ ∠D+ ( ∠DAE+ ∠BAE),∵ ∠B= 20°,∠D = 30°, ∠DAE + ∠BAE = ∠BAD = 90°, ∴ ∠BCD= 20°+30°+90° = 140°. 图① 图② 图③ 第 12 题解图 13. 8 3 　 【解析】解法 1:如解图①,取 AC 的中点 E,连接 ED,∵ D 为 AB 的中点,∴ DE∥BC,DE = 1 2 BC = 1 2 × 4 = 2,∴ ∠CDE = ∠BCD. ∵ DC⊥BC, ∴ ∠CDE = ∠BCD = 90°. ∵ ∠ACB= 120°,∴ ∠DCE = 30°,∴ ∠CED = 60°. 在 Rt△EDC 中,CD=ED·tan∠CED = 2 3 ,∴ S△BCD = 1 2 BC ·DC= 1 2 × 4× 2 3 = 4 3 . ∵ D 为 AB 的中点,∴ S△ABC = 2S△BCD = 8 3 ; 第 13 题解图① 解法 2:如解图②,过点 A 作 AF⊥BC 交 BC 的延长线于 点 F,则∠ACF = 60°,∵ DC⊥BC,∴ DC∥AF,又∵ D 为 AB 的中点,∴ DC 为△ABF 的中位线,∴ CF = BC = 4,在 Rt△ACF 中,AF = CF·tan∠ACF = 4 3 ,∴ S△ABC = 1 2 BC ·AF= 1 2 ×4×4 3 = 8 3 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91