3.13 二次函数的实际应用-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·贵州数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 13　 二次函数的实际应用(4 年 3 考) 类型 1　 实际问题建模(2024. 24) 第 1 题图 1. 新能源汽车如今已成为 越来越多人购车的首 选. 某停车场为了解决 充电难的问题,现将长 为 100 m,宽为 80 m 的 矩形停车场进行改造. 如图,将在矩形停车场 沿着边 AB 和 AD 修建宽度为 x m 的充电桩区 域,其余部分仍作为普通车位,改造完成后普 通车位的面积为 y m2,则 y 与 x 之间的函数关 系式为　 　 　 　 　 　 ,若剩余普通车位的面积 为 3 500 m2,则充电桩区域的宽度是　 　 　 m. 2. 学科融合 如图①,质量为 m 的小球从某高度 处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并 压缩弹簧(已知自然状态下,弹簧的初始长度 为 10 cm) . 从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩 至最短的过程中(不计空气阻力,弹簧在整个 过程中始终发生弹性形变),得到小球的速度 v(cm / s)和弹簧被压缩的长度 Δl( cm)之间的 关系图象如图②所示. 根据图象,下列说法正 确的是 (　 　 ) 图① 　 　 图② 第 2 题图 A. 小球从刚接触弹簧就开始减速 B. 当弹簧被压缩至最短时,小球的速度最大 C. 当小球的速度最大时,弹簧的长度为 2 cm D. 当小球下落至最低点时,弹簧的长度为 4 cm 3. [2024 南充]2024 年“五一” 假期期间,阆中古 城景区某特产店销售 A,B 两类特产. A 类特 产进价 50 元 / 件,B 类特产进价 60 元 / 件. 已 知购买 1 件 A 类特产和 1 件 B 类特产需 132 元,购买 3 件 A 类特产和 5 件 B 类特产需 540 元. (1)求 A 类特产和 B 类特产每件的售价各是 多少元? (2)A 类特产供货充足,按原价销售每天可售 出 60 件. 市场调查反映,若每降价 1 元, 每天可多售出 10 件(每件售价不低于进 价) . 设每件 A 类特产降价 x 元,每天的销 售量为 y 件,求 y 与 x 的函数关系式,并写 出自变量 x 的取值范围; (3)在(2)的条件下,由于 B 类特产供货紧张, 每天只能购进 100 件且能按原价售完. 设 该店每天销售这两类特产的总利润为 w 元,求 w 与 x 的函数关系式,并求出每件 A 类特产降价多少元时总利润 w 最大,最 大利润是多少元? (利润=售价-进价) 4. [2022 年版课标 P148 例 71 改编]学校要建一个 矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围 成. 已知墙长 42 米,篱笆长 80 米. 设垂直于墙 的边 AB 长为 x 米,平行于墙的边 BC 为 y 米, 围成的矩形面积为 S 米2 . (1)求 y 与 x,S 与 x 的关系式; (2)围成的矩形花圃面积能否为 750 米2,若 能,求出 x 的值; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 04 分层作业本·贵州数学 　 第 三 章 函 　 数 (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值? 若存在,求出这个最大值,并求出此时 x 的值. 第 4 题图 类型 2　 实物模型建模(2023. 24,2021. 24) 5. [2024 广西·人教九上 P36 例 4 改编]如图,壮壮 同学投掷实心球,出手(点 P 处)的高度 OP 是 7 4 m,出手后实心球沿一段抛物线运行,到达 最高点时,水平距离是 5 m,高度是 4 m. 若实 心球落地点为 M,则 OM 的长为　 　 　 m. 第 5 题图 6. [2024 陕西]一条河上横跨着一座宏伟壮观的 悬索桥. 桥梁的缆索 L1 与缆索 L2 均呈抛物线 型,桥塔 AO 与桥塔 BC 均垂直于桥面,如图所 示,以 O 为原点,以直线 FF′为 x 轴,以桥塔 AO 所在直线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 已知:缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物 线关于 y 轴对称,桥塔 AO 与桥塔 BC 之间的 距离 OC= 100 m,AO=BC= 17 m,缆索 L1 的最 低点 P 到 FF′的距离 PD = 2 m. (桥塔的粗细 忽略不计) (1)求缆索 L1 所在抛物线的函数表达式; (2) 点 E 在缆索 L2 上, EF ⊥ FF′, 且 EF = 2. 6 m,FO<OD,求 FO 的长. 第 6 题图 7. [2024 贵州 24 题 12 分·北师九下 P50 习题 2 改编] 某超市购入一批进价为 10 元 /盒的糖果进行 销售,经市场调查发现:销售单价不低于进价 时,日销售量 y(盒)与销售单价 x(元)是一次 函数关系,下表是 y 与 x 的几组对应值. 销售单 价 x / 元 … 12 14 16 18 20 … 销售量 y / 盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求 y 与 x 的函数表达式; (2)糖果销售单价定为多少元时,所获日销售 利润最大,最大利润是多少? (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利 院赠送一件价值为 m 元的礼品,赠送礼品 后,为确保该种糖果日销售获得的最大利 润为 392 元,求 m 的值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 14 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 (x+2+h) 2 -k-1. 又∵ 平移后抛物线的解析式为 y = ( x+ 3) 2 -4. ∴ 2+h= 3,-k-1 = -4,∴ h= 1,k= 3. 5. y= -x2 -4x+5　 【解析】由抛物线 y = x2 -4x+5 = ( x-2) 2 +1 知,抛物线顶点坐标是(2,1) . 由抛物线 y = x2 -4x+5 知, C(0,5) . ∴ 该抛物线关于点 C 成中心对称的抛物线的顶 点坐标是( -2,9) . ∴ 该抛物线关于点 C 成中心对称的抛 物线的表达式为 y= -(x+2) 2 +9 = -x2 -4x+5. 6. C　 【解析】①当平移后的图象经过原点时,m+2 = 0,∴ m = -2;②当平移后的图象不经过原点时,平移后的表达式 为 y= -x2 +2x+m+2= -(x-1) 2 +m+3,∵ 新的抛物线与坐标 轴有 2 个交点,∴ 新抛物线的顶点在 x 轴上,即 m+3 = 0, ∴ m= -3,综上,m= -2 或 m= -3. 7. 解:①如图①,顶点 A 为原点, 设抛物线的表达式为 y=ax2 , ∵ 点 A 到 BC 的距离为 2,∴ 点 B,C 的纵坐标为-2, ∵ 点 B,C 关于抛物线的对称轴对称,且 BC= 4, ∴ 点 B 的横坐标为-2,点 C 的横坐标为 2, 即 B( -2,-2),C(2,-2), 将点 B( -2,-2)代入函数表达式,解得 a= - 1 2 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 ; ②如图②,顶点 A 在 y 轴上,线段 BC 在 x 轴上, 由题意得 A(0,2),B( -2,0),C(2,0), 设抛物线的表达式为 y=ax2 +2, 将点 B( -2,0)代入函数表达式,解得 a= - 1 2 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 +2; ③如图③,点 B 为原点,线段 BC 在 x 轴上, 由题意得 B(0,0),C(4,0),A(2,2), 设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2 +2, 将点 B(0,0)代入函数表达式,解得 a= - 1 2 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 (x-2) 2 +2, 即 y= - 1 2 x2 +2x. 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用 1. D　 2. B 变式 2-1　 x<-1 或 x>5,0<x<4 变式 2-2　 x= -2 或 x= 1,-1<x<2　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 +c 的图象与一次函数 y=mx+n 的图象交于 A( -2,p), B(1,q)两点,∴ ax2 -mx+c-n = 0 的解是 x = -2 或 x = 1;∵ 函数 y= -mx+n 与函数 y=mx+n 的图象关地 y 轴对称,∴ y =ax2 +c 的图象与 y= -mx+n 的图象交于( -1,q),(2,p)两 点,∴ 当-1<x<2 时,ax2 +c>-mx+n,∴ 关于 x 的不等式 ax2 +c>-mx+n 的解集是-1<x<2. 3. A 4. C　 【解析】∵ 抛物线 y = x2 + 3x+c 与直线 y = x+ 1 交于点 P,Q,∴ 方程 x2 +3x+c= x+1 有两个不相等的实数根,∴ 方 程 x2 +2x+c-1 = 0 中,Δ>0,∴ 22 -4(c-1) >0,∴ c<2,把 x = 1 代入 y= x+1 得,y= 2,∵ P,Q 均在直线 x= 1 的左侧,∴ x = 1 时,y= x2 +3x+c>2,∴ 1+3+c>2,∴ c>-2,∴ 实数 c 的取 值范围是-2<c<2. 5. C　 【解析】∵ 抛物线与线段 AB 有两个交点,∴ 0<h<3. 当 抛物线经过点 A 时,3 = -(3-h) 2 +4,解得 h= 2 或 h= 4(舍 去),当 h= 2 时,根据抛物线的对称性,与 AB 的另一个交 点为(1,3),符合题意;当抛物线经过点 B 时,3 = - ( 0 - h) 2 +4,解得 h= 1 或 h= -1(舍去),当 h = 1 时,根据抛物 线的对称性,与 AB 的另一个交点为(2,3),符合题意;综 上,1≤h≤2 时抛物线与线段 AB 有两个交点. 拓展 5-1　 C　 【解析】有第 5 题解析可知,当抛物线经过点 A 时 h= 2 或 h= 4,∵ 抛物线与线段 AB 只有一个交点,∴ 2 <h≤4;当抛物线经过点 B 时 h = 1 或 h = - 1,∵ 抛物线与 线段 AB 只有一个交点,∴ -1≤h<1;综上,-1≤h<1 或 2< h≤4 时抛物线与线段 AB 只有一个交点. 6. B　 【解析】解法 1:∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象经过 (-3,0)与(1,0)两点,∴ 函数 y=ax2 +bx+c 的对称轴是直 线 x= -3+1 2 = -1,方程 ax2 +bx+c+m= 0 可写为 ax2 +bx+c= -m,∵ 方程有两个根,其中一个根是 3,如解图,可看作二 次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与水平直线 y = -m 的一个交 点横坐标为 3,∴ 方程 ax2 +bx+c+m= 0(m>0)的另一个根 为-5,函数 y=ax2 +bx+c 的图象开口向下. ∵ 0<n<m,∴ -n >-m,∵ 关于 x 的方程 ax2 +bx+c+n= 0 (0<n<m)有两个整 数根,∴ 直线 y= -n 与 y=ax2 +bx+c 的交点的横坐标为分 别介于-5 与-3 及 1 与 3 之间,∴ 关于 x 的方程 ax2 +bx+c +n= 0 (0<n<m)的两个整数根是-4 或 2. 第 6 题解图 解法 2(思路):∵ 方程 ax2 +bx+c+m = 0 其中一个根是 3, 可看作函数 y=ax2 +bx+c 图象向上平移 m 个单位后与 x 轴的一个交点横坐标为 3. 命题点 13　 二次函数的实际应用 1. y= x2 - 180x + 8 000,30 　 【解析】由题意,得 y = ( 100 - x)(80-x)= x2 - 180x+ 8 000,当 y = 3 500 时, x2 - 180x + 8 000 = 3 500,解得 x1 = 30,x2 = 150(不符合题意,舍去), ∴ 充电桩区域的宽度是 30 米. 2. D　 【解析】由图象可知,弹簧压缩 2 cm 后开始减速,故 A 选项错误;由图象可知,当弹簧被压缩至最短,小球的速 度最小为 0,故 B 选项错误;由图象可知小球速度最大时, 弹簧压缩 2 cm,此时弹簧的长度为 10-2 = 8 cm,故 C 选项 错误;由图象可知,当小球下落至最低点时,弹簧被压缩 的长度为 6 cm 时,此时弹簧的长度为 10-6 = 4(cm),故 D 选项正确. 3. 解:(1)设每件 A 类特产的售价为 x 元,则每件 B 类特产 的售价为(132-x)元,根据题意得 3x+5(132-x)= 540, ∴ x= 60, ∴ 每件 B 类特产的售价 132-60 = 72(元) . 答:A 类特产的售价为 60 元 /件,B 类特产的售价为 72 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 　 元 /件; (2)∵ 每件 A 类特产降价 x 元, 且每降价 1 元,每天可多售出 10 件, ∴ y 与 x 的函数关系式为 y= 10x+60(0≤x≤10); (3)由题意得 w= (60-50-x)(10x+60) +100×(72-60) = -10x2 +40x+1 800 = -10(x-2) 2 +1 840. ∵ -10<0, ∴ 当 x= 2 时,w 有最大值 1 840. ∴ A 类特产每件售价降价 2 元时,总利润 w 最大,最大利 润为 1 840 元. 4. 解:(1)由题意,2x+y= 80, ∴ y= -2x+80. 由 0<-2x+80≤42,且 x>0, ∴ 19≤x<40. 由题意,S=AB·BC= x( -2x+80), ∴ S= -2x2 +80x(19≤x<40); (2)由题意,令 S= -2x2 +80x= 750, ∴ x= 15(舍去)或 x= 25. 答:当 x= 25 时,围成的矩形花圃的面积为 750 米2 ; (3)由题意,根据(1)S= -2x2 +80x= -2(x-20) 2 +800, 又∵ -2<0,且 19≤x<40, ∴ 当 x= 20 时,S 取最大值为 800. 答:围成的矩形花圃面积存在最大值,最大值为 800 米2 , 此时 x 的值为 20. 5. 35 3 　 【解析】如解图,以 O 为坐标原点,OM 为 x 轴正半 轴,OP 为 y 轴正半轴,建立直角坐标系,其中 B 点为抛物 线顶点,由题意可知,P( 0, 7 4 ),B( 5,4),设抛物线顶点 式为 y= a( x- 5) 2 + 4,将 P( 0, 7 4 ) 代入上式,解得 a = - 9 100 ,即抛物线的解析式为 y= - 9 100 ( x-5) 2 +4,∵ M 为抛 物线与 x 轴的交点,∴ 令 y= - 9 100 (x-5) 2 +4 = 0,解得 x1 = 35 3 ,x2 = - 5 3 (舍),∴ OM= 35 3 m. 第 5 题解图 6. 解:(1)∵ AO= 17 m, ∴ A(0,17) . 又 OC= 100 m,缆索 L1 的最低点 P 到 FF′的距离 PD = 2 m, ∴ 抛物线的顶点 P 为(50,2) . 故可设抛物线为 y=a(x-50) 2 +2. 又将 A 代入抛物线可得, ∴ 2 500a+2 = 17. ∴ a= 3 500 . ∴ 缆索 L1 所在抛物线为 y= 3 500 (x-50) 2 +2. (2)∵ 缆索 L1 所在抛物线与缆索 L2 所在抛物线关于 y 轴对称, 又缆索 L1 所在抛物线为 y= 3 500 (x-50) 2 +2, ∴ 缆索 L2 所在抛物线为 y= 3 500 (x+50) 2 +2. 又令 y= 2. 6, ∴ 2. 6 = 3 500 (x+50) 2 +2. ∴ x= -40 或 x= -60. 又 FO<OD= 50 m, ∴ x= -40. ∴ FO 的长为 40 m. 7. 解:(1)设 y 与 x 的函数表达式为 y= kx+b(k≠0) . 将点(12,56),(14,52)代入, 得 12k+b= 56, 14k+b= 52,{ 解得 k= -2, b= 80,{ ∴ y 与 x 的函数表达式为 y= -2x+80; (2)设日销售利润为 w 元,根据题意得, w = (x-10)( -2x+80) = -2x2 +100x-800 = -2(x-25) 2 +450. ∵ -2<0, ∴ 当 x= 25 时,w 有最大值 450, ∴ 糖果销售单价定为 25 元时,所获日销售利润最大,最 大利润是 450 元; (3)根据题意得 w= (x- 10-m) ( - 2x+ 80) = - 2x2 +(100+ 2m)x-800-80m. ∵ 最大利润为 392 元, ∴ 当 x= - 100+2m 2×( -2) = 50 +m 2 时, w最大 = 4×( -2)( -800-80m) -(100+2m) 2 4×( -2) = 392, 整理,得 m2 -60m+116 = 0, (m-2)(m-58)= 0, 解得 m1 = 2,m2 = 58. 当 m= 58 时,x= 50+m 2 = 54, ∴ 每盒糖果的利润为 54-10-58 = -14(元) . ∴ m2 = 58 不符合题意,舍去, ∴ 该种糖果日销售获得的最大利润为 392 元时,m 的值 为 2. 大单元进阶练 3　 函数的实际应用 1. 解:(1)设 A 款文创产品每件的进价是 a 元,则 B 款文创 产品每件的进价是(a-15)元,根据题意得, 960 a = 780 a-15 ,解得 a= 80, 经检验,a= 80 是原分式方程的解且符合题意, 80-15 = 65. 答:A 款文创产品每件的进价是 80 元,B 款文创产品每件 的进价是 65 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 51