3.11 二次函数表达式的确定及图象的变换&3.12 二次函数图象与性质的应用-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 　 2. 观察表达式,画草图 写性质 (1)y= x2 +2x+1 ①开口向上;②对称轴为 直线 x= -1;③与 y 轴交于 点(0,1);④当 x = -1 时,y 有最小值 0; ⑤ 当 x < - 1 时,y 随 x 的增大而减小; ⑥当 x>-1 时,y 随 x 的增 大而增大;⑦Δ = 0,抛物线 与 x 轴只有一个交点 (2)y= - 1 2 (x+2) 2 -1 ①开口向下;②顶点坐标 为( - 2,- 1);③对称轴为 直线 x= -2;④与 y 轴交于 点(0,-3);⑤当 x= -2 时, y 有最大值-1;⑥当 x<-2 时,y 随 x 的增大而增大; ⑦当 x>-2 时,y 随 x 的增 大而减小;⑧Δ< 0,抛物线 与 x 轴没有交点 (3)y= (x+1)(x+3) ①开口向上,②顶点坐标 为( - 2,- 1);③与 x 轴交 于点( - 1,0),( - 3,0);④ 与 y 轴交于点(0,3);⑤对 称轴为直线 x = -2;⑥当 x = -2 时,y 有最小值-1;⑦ 当 x<-2 时,y 随 x 的增大 而减小;⑧当 x> - 2 时, y 随 x 的增大而增大;⑨Δ>0 3. C　 4. (1)2;(2)(0,0)和( -2,0);(3)3;(4)4 或-4 5. (1)下;(2)x= -1;(3)( -3,0),(1,0) 变式 5-1　 4　 变式 5-2　 B　 6. y≥1 拓展 6-1　 y≥2;1≤y<5　 拓展 6-2　 x>0 或 x<-4 拓展 6-3　 x≥-2 7. A　 【解析】∵ 二次函数 y = x2 ,∴ 该二次函数的图象开口 向上,且对称轴为 y 轴,∴ 当 x≥0 时,y 随 x 的增大而增 大,∵ 0<1<2,∴ y1 <y2 <y3 . 变式 7-1　 C　 【解析】∵ y = x2 - 2x+m,∴ 抛物线的开口向 上,对称轴为直线 x= - -2 2 = 1,∴ 抛物线上的点离对称轴越 远,函数值越大,∵ | -1-1 | = | 3-1 | > | 2-1 | ,∴ y2 <y1 = y3 . 变式 7-2　 D　 【解析】抛物线的对称轴为直线 x = - m-1 2 ,∵ 当 x> 1 时, y 的值随 x 值的增大而增大, 由解图可知 -m -1 2 ≤1,解得 m≥-1. 变式 7-2 题解图 8. D　 【解析】由题意可得 6 = m2 -m,解得 m1 = 3,m2 = -2, ∵ 二次函数 y= x2 +mx+m2 -m 的对称轴在 y 轴左侧,∴ m> 0,∴ m= 3,∴ y= x2 +3x+6,∴ 二次函数有最小值为 4ac-b2 4a = 15 4 . 9. 1 2 　 【解析】∵ a>0,∴ 该二次函数的图象开口向上,对称 轴为直线 x= - -4a 2a = 2,当-1≤x<4 时,y 的最大值是 4,∴ 当 x= -1 时,y 取到在-1≤x<4 上的最大值为 4,∴ a+4a+ 3a= 4,解得 a= 1 2 . 10. k>- 4 3 且 k≠0　 【解析】由题意可知 Δ = ( - 4) 2 - 4×k× ( -3) >0 且 k≠0,解得 k>- 4 3 且 k≠0. 11. A　 变式 11-1　 C　 变式 11-2 　 B 12. A　 【解析】解法 1:二次函数 y = x2 +2x+c 的图象开口向 上,对称轴为直线 x = - 1,距离对称轴越远的点,y 值越 大. ∵ x1 >x2 ,x1 +x2 = 0,∴ x1 = -x2 >0,即点 A,B 到 y 轴的 距离相等,则点 A 到直线 x= -1 的距离大于点 B 到直线 x= -1 的距离,∴ y1 >y2 . 解法 2:∵ x1 >x2 ,x1 +x2 = 0,∴ x1 = -x2 >0,∴ y1 = x21 +2x1 + c,y2 = x22 +2x2 +c= x21 -2x1 +c,∴ y1 -y2 = 4x1 >0,∴ y1 >y2 . 13. B　 【解析】二次函数的对称轴是直线 x = - 4a 2a = -2. ①当 a>0 时,∵ 二次函数 y = ax2 + 4ax- 1+a 的图象经过四个 象限,∴ 当 x= 0 时,y= -1+a<0,解得 a<1,∴ 0<a<1;② 当 a<0 时,∵ 二次函数 y = ax2 +4ax-1+a 的图象经过四 个象限,∴ 当 x = 0 时,y = - 1+a> 0,∴ a> 1,此时 a 不存 在. 综上所述,a 的取值范围是 0<a<1. 命题点 11　 二次函数表达式的确定 及图象的变换 1. 解:把 A(1,-2)和 B(0,-5)代入 y= x2 +bx+c, 得 1+b+c= -2, c= -5,{ 解得 b= 2, c= -5,{ ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +2x-5, ∵ y= x2 +2x-5 = (x+1) 2 -6,∴ 顶点坐标为( -1,-6) . 2. 解:由二次函数 y= (x-1)(x-a)(a 为常数)知, 该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标是(1,0)和(a,0). ∵ 对称轴为直线 x= 2,∴ 1+a 2 = 2,解得 a= 3, ∴ 该二次函数的表达式为 y=(x-1)(x-3)= x2 -4x+3. 3. 解:设二次函数的表达式为 y=ax2 +bx+c(a≠0), ∵ 二次函数的图象经过点( -1,0),(0,3),(1,4), ∴ a-b+c= 0, c= 3, a+b+c= 4, { 解得 a= -1, b= 2, c= 3, { ∴ 二次函数的表达式为 y= -x2 +2x+3. 4. A　 【解析】∵ 抛物线 y = ( x+ 2) 2 - 1 的顶点坐标是( - 2, -1),则向左平移 h 个单位,再向下平移 k 个单位后的顶 点坐标为( -2-h,-1-k),∴ 平移后抛物线的解析式为 y = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 (x+2+h) 2 -k-1. 又∵ 平移后抛物线的解析式为 y = ( x+ 3) 2 -4. ∴ 2+h= 3,-k-1 = -4,∴ h= 1,k= 3. 5. y= -x2 -4x+5　 【解析】由抛物线 y = x2 -4x+5 = ( x-2) 2 +1 知,抛物线顶点坐标是(2,1) . 由抛物线 y = x2 -4x+5 知, C(0,5) . ∴ 该抛物线关于点 C 成中心对称的抛物线的顶 点坐标是( -2,9) . ∴ 该抛物线关于点 C 成中心对称的抛 物线的表达式为 y= -(x+2) 2 +9 = -x2 -4x+5. 6. C　 【解析】①当平移后的图象经过原点时,m+2 = 0,∴ m = -2;②当平移后的图象不经过原点时,平移后的表达式 为 y= -x2 +2x+m+2= -(x-1) 2 +m+3,∵ 新的抛物线与坐标 轴有 2 个交点,∴ 新抛物线的顶点在 x 轴上,即 m+3 = 0, ∴ m= -3,综上,m= -2 或 m= -3. 7. 解:①如图①,顶点 A 为原点, 设抛物线的表达式为 y=ax2 , ∵ 点 A 到 BC 的距离为 2,∴ 点 B,C 的纵坐标为-2, ∵ 点 B,C 关于抛物线的对称轴对称,且 BC= 4, ∴ 点 B 的横坐标为-2,点 C 的横坐标为 2, 即 B( -2,-2),C(2,-2), 将点 B( -2,-2)代入函数表达式,解得 a= - 1 2 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 ; ②如图②,顶点 A 在 y 轴上,线段 BC 在 x 轴上, 由题意得 A(0,2),B( -2,0),C(2,0), 设抛物线的表达式为 y=ax2 +2, 将点 B( -2,0)代入函数表达式,解得 a= - 1 2 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 x2 +2; ③如图③,点 B 为原点,线段 BC 在 x 轴上, 由题意得 B(0,0),C(4,0),A(2,2), 设抛物线的表达式为 y=a(x-2) 2 +2, 将点 B(0,0)代入函数表达式,解得 a= - 1 2 , ∴ 抛物线的表达式为 y= - 1 2 (x-2) 2 +2, 即 y= - 1 2 x2 +2x. 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用 1. D　 2. B 变式 2-1　 x<-1 或 x>5,0<x<4 变式 2-2　 x= -2 或 x= 1,-1<x<2　 【解析】∵ 二次函数 y = ax2 +c 的图象与一次函数 y=mx+n 的图象交于 A( -2,p), B(1,q)两点,∴ ax2 -mx+c-n = 0 的解是 x = -2 或 x = 1;∵ 函数 y= -mx+n 与函数 y=mx+n 的图象关地 y 轴对称,∴ y =ax2 +c 的图象与 y= -mx+n 的图象交于( -1,q),(2,p)两 点,∴ 当-1<x<2 时,ax2 +c>-mx+n,∴ 关于 x 的不等式 ax2 +c>-mx+n 的解集是-1<x<2. 3. A 4. C　 【解析】∵ 抛物线 y = x2 + 3x+c 与直线 y = x+ 1 交于点 P,Q,∴ 方程 x2 +3x+c= x+1 有两个不相等的实数根,∴ 方 程 x2 +2x+c-1 = 0 中,Δ>0,∴ 22 -4(c-1) >0,∴ c<2,把 x = 1 代入 y= x+1 得,y= 2,∵ P,Q 均在直线 x= 1 的左侧,∴ x = 1 时,y= x2 +3x+c>2,∴ 1+3+c>2,∴ c>-2,∴ 实数 c 的取 值范围是-2<c<2. 5. C　 【解析】∵ 抛物线与线段 AB 有两个交点,∴ 0<h<3. 当 抛物线经过点 A 时,3 = -(3-h) 2 +4,解得 h= 2 或 h= 4(舍 去),当 h= 2 时,根据抛物线的对称性,与 AB 的另一个交 点为(1,3),符合题意;当抛物线经过点 B 时,3 = - ( 0 - h) 2 +4,解得 h= 1 或 h= -1(舍去),当 h = 1 时,根据抛物 线的对称性,与 AB 的另一个交点为(2,3),符合题意;综 上,1≤h≤2 时抛物线与线段 AB 有两个交点. 拓展 5-1　 C　 【解析】有第 5 题解析可知,当抛物线经过点 A 时 h= 2 或 h= 4,∵ 抛物线与线段 AB 只有一个交点,∴ 2 <h≤4;当抛物线经过点 B 时 h = 1 或 h = - 1,∵ 抛物线与 线段 AB 只有一个交点,∴ -1≤h<1;综上,-1≤h<1 或 2< h≤4 时抛物线与线段 AB 只有一个交点. 6. B　 【解析】解法 1:∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象经过 (-3,0)与(1,0)两点,∴ 函数 y=ax2 +bx+c 的对称轴是直 线 x= -3+1 2 = -1,方程 ax2 +bx+c+m= 0 可写为 ax2 +bx+c= -m,∵ 方程有两个根,其中一个根是 3,如解图,可看作二 次函数 y=ax2 +bx+c 的图象与水平直线 y = -m 的一个交 点横坐标为 3,∴ 方程 ax2 +bx+c+m= 0(m>0)的另一个根 为-5,函数 y=ax2 +bx+c 的图象开口向下. ∵ 0<n<m,∴ -n >-m,∵ 关于 x 的方程 ax2 +bx+c+n= 0 (0<n<m)有两个整 数根,∴ 直线 y= -n 与 y=ax2 +bx+c 的交点的横坐标为分 别介于-5 与-3 及 1 与 3 之间,∴ 关于 x 的方程 ax2 +bx+c +n= 0 (0<n<m)的两个整数根是-4 或 2. 第 6 题解图 解法 2(思路):∵ 方程 ax2 +bx+c+m = 0 其中一个根是 3, 可看作函数 y=ax2 +bx+c 图象向上平移 m 个单位后与 x 轴的一个交点横坐标为 3. 命题点 13　 二次函数的实际应用 1. y= x2 - 180x + 8 000,30 　 【解析】由题意,得 y = ( 100 - x)(80-x)= x2 - 180x+ 8 000,当 y = 3 500 时, x2 - 180x + 8 000 = 3 500,解得 x1 = 30,x2 = 150(不符合题意,舍去), ∴ 充电桩区域的宽度是 30 米. 2. D　 【解析】由图象可知,弹簧压缩 2 cm 后开始减速,故 A 选项错误;由图象可知,当弹簧被压缩至最短,小球的速 度最小为 0,故 B 选项错误;由图象可知小球速度最大时, 弹簧压缩 2 cm,此时弹簧的长度为 10-2 = 8 cm,故 C 选项 错误;由图象可知,当小球下落至最低点时,弹簧被压缩 的长度为 6 cm 时,此时弹簧的长度为 10-6 = 4(cm),故 D 选项正确. 3. 解:(1)设每件 A 类特产的售价为 x 元,则每件 B 类特产 的售价为(132-x)元,根据题意得 3x+5(132-x)= 540, ∴ x= 60, ∴ 每件 B 类特产的售价 132-60 = 72(元) . 答:A 类特产的售价为 60 元 /件,B 类特产的售价为 72 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 41 分层作业本·贵州数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 11　 二次函数表达式的确定及图象的变换(4 年 3 考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 考向 1　 待定系数法确定表达式(4 年 3 考) 1. [2023 宁波节选]已知二次函数 y= x2 +bx+c 图象 经过点 A(1,-2)和 B(0,-5) . 求该二次函数 的表达式及图象的顶点坐标. 2. 已知二次函数 y = (x-1) (x-a) (a 为常数)的 图象的对称轴为直线 x = 2,求该二次函数的 表达式. 3. 已知某二次函数图象上部分点的横坐标 x、纵 坐标 y 的对应值如下表. 求此二次函数的表 达式. x … -1 0 1 4 … y … 0 3 4 -5 … 考向 2　 二次函数图象的变换 4. 已知二次函数 y = (x+2) 2 -1 向左平移 h 个单 位,再向下平移 k 个单位,得到二次函数 y = (x+3) 2 -4,则 h 和 k 的值分别为 (　 　 ) A. 1,3 B. 3,-4 C. 1,-3 D. 3,-3 5. [2024 贵阳花溪区期中]在平面直角坐标系中, 抛物线 y= x2 -4x+5 与 y 轴交于点 C,则该抛物 线关于点 C 成中心对称的抛物线的表达 式为　 　 　 　 　 　 　 . 6. 易错 ∙∙ 已知抛物线 y= -x2 +2x+m,沿着 y 轴向上 平移 2 个单位长度得到新的抛物线与坐标轴 有两个交点,则 m 的值为 (　 　 ) A. m= -3 B. m= -1 C. m= -2 或 m= -3 D. m= -3 或 m= -1 7. 名师原创 如图,以点 A 为顶点的抛物线上有 B,C 两点,且点 B,C 关于抛物线的对称轴对 称,连接 BC. 已知 BC = 4,点 A 到 BC 的距离 为 2,分别按图①,图②,图③三种方式建立平 面直角坐标系,请在每种建系方式下求出抛 物线的表达式. 第 7 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 83 分层作业本·贵州数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 考向 1　 与方程、不等式的关系 1. 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠0)的位置如图所示, 则关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 0(a≠0) 第 1 题图 根的情况是 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个实数根 D. 没有实数根 2. 二次函数 y = ax2 - 2ax+c(a≠0) 的图象过点 (3,0),方程 ax2 -2ax+c= 0 的解为 (　 　 ) A. x1 = -3,x2 = -1 B. x1 = -1,x2 = 3 C. x1 = 1,x2 = 3 D. x1 = -3,x2 = 1 变式 2-1 求不等式解集 [2024 铜仁石阡县模拟]如 图是二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象,由图象 可知不等式 ax2+bx+c<0 的解集是　 　 　 　 　 ; 不等式 ax2 +bx+c>2 的解集是　 　 　 　 . 变式 2-1 题图 　 　 变式 2-2 题图 变式 2-2 易错 ∙∙ 与一次函数结合 如图,二次函数 y=ax2 +c 的图象与一次函数 y =mx+n 的图象 交于 A( -2,p),B(1,q)两点,则关于 x 的方 程 ax2 -mx+c-n = 0 的解是　 　 　 　 　 　 ,不 等式 ax2 +c>-mx+n 的解集是　 　 　 　 . 考向 2　 二次函数图象的交点问题 3. 抛物线 y = x2 -(a+1) x+a 与直线 y = 1 公共点 的个数是 (　 　 ) A. 2 B. 1 C. 0 D. 无法确定 4. 已知抛物线 y= x2 +3x+c 与直线 y= x+1 交于点 P,Q. 若 P,Q 均在直线 x = 1 的左侧. 则实数 c 的取值范围是 (　 　 ) A. c<2 B. c>-3 C. -2<c<2 D. -3<c< 9 4 5. 名师原创 已知 A(3,3),B(0,3) . 抛物线 y = -(x-h) 2 +4 与线段 AB 有两个交点,则 h 的取 值范围是 (　 　 ) A. -1<h≤4 B. -1≤h≤2 C. 1≤h≤2 D. 1≤h<4 拓展 5-1 抛物线 y= -(x-h) 2 +4 与线段 AB 只有 一个交点,则 h 的取值范围是 (　 　 ) A. -1<h≤4 B. 1≤h≤2 C. -1≤h<1 或 2<h≤4 D. -1<h≤1 或 2≤h<4 6. 多解法 ∙∙∙ 数形结合 [2020 贵阳 10 题 3 分]已知二次 函数 y =ax2 +bx+c 的图象经过( -3,0)与(1, 0)两点,关于 x 的方程 ax2 +bx+c+m= 0(m>0) 有两个根,其中一个根是 3. 则关于 x 的方程 ax2+bx+c+n= 0(0<n<m)有两个整数根,这两个 整数根是 (　 　 ) A. -2 或 0　 　 　 　 　 B. -4 或 2 C. -5 或 3 D. -6 或 4 【点拨】根据函数图象与水平直线交点横坐标 与方程解的关系画出草图. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋画图区 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 温馨提示:含参二次函数中的分类讨论与数形结 合见《专项培优练》P36 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 93