3.10 二次函数的图象与性质-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·贵州数学 　 第 三 章 函 　 数 命题点 10　 二次函数的图象与性质(必考) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 能力点 1　 看图象,写性质 1. [2024 贵州 12 题改编]如图,是二次函数 y=ax2 + bx+c 的部分图象,顶点坐标为( -1,4),请写出 关于它的一些结论,如 a,b,c 的值与 0 的大小 关系、对称轴、增减性、最值等,你还能想到哪 些,请尽可能多的写出(不少于 5 条) . 看图象 写性质 能力点 2　 画草图,写性质 2. 先根据下列抛物线的表达式写出一些结论,再 在坐标系中画出草图,根据草图检验并补充你 的结论(每个抛物线不少于 5 条) . 观察表达式,画草图 写性质 (1)y= x2 +2x+1 (2)y= - 1 2 (x+2) 2 -1 (3)y=(x+1)(x+3) 考向 1　 基本性质的理解与计算(必考,仅 2024. 12 独立设题考查) 3. 名师原创 下列二次函数图象的顶点在第二象 限的是 (　 　 ) A. y= x2 -4x-3 　 　 B. y= x2 +3x C. y= -2(x+3)(x-1)　 　 D. y= -3(x-3) 2 +2 4. 已知抛物线 L:y= x2 +mx(m≠0) . (1)L 与 x 轴有　 　 　 　 个交点; (2)若 m = 2,则抛物线 L 与 x 轴的交点坐标 为　 　 　 　 ; (3)若 L 与 x 轴的一个交点坐标为( -3,0),则 m= 　 　 　 　 ; (4)若 L 与 x 轴的交点之间的距离为 4,则 m 的值为　 　 　 　 . 考向 2　 对称轴的应用(必考,在解答题中涉及考查) ◆与对称点有关的计算 5. [2024 贵州 12 题改编]抛物线 y = ax2 +bx+c 上部 分点的横坐标 x,纵坐标 y 的对应值如下表: x -3 -2 -1 0 y 0 3 4 3 根据表中信息回答下列问题: (1)抛物线的开口向　 　 　 　 (填“上”或“下”); (2)抛物线的对称轴为直线　 　 　 　 ; (3)抛物线与 x 轴的交点坐标为 　 . 变式 5-2 题图 变式 5-1 已知与水平直线交点 已知抛物线 y = a(x-2)(x+m)的对称轴是直线 x = -1,则 m 的值是　 　 　 　 . 变式 5-2 已知交点式 名师原创 如图,已知点 A 为抛物线 y = x2 +bx+c 与 y 轴的交点,过点 A 作 AB∥x 轴交抛物线于点 B,点 B 的横坐标 为 m,若 4<m<5,则抛物线的对称轴可能为 (　 　 ) A. 直线 x= 2 B. 直线 x= 7 3 C. 直线 x= 5 2 D. 直线 x= 7 2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 63 分层作业本·贵州数学 　 第 三 章 函 　 数 ◆通过增减性比较大小或确定范围 6. 二次函数 y=x2+4x+5 中,y 的取值范围是 　 . 拓展 6-1 限定 x 当 x≥-1 时,y 取值范围是　 　 ; 当-4<x<-1 时,y 取值范围是 　 . 拓展 6-2 限定 y 当 y>5 时,x 取值范围是　 　 . 拓展 6-3 由增减性确定 x 取值范围 当 y 随 x 值的 增大而增大时,x 的取值范围是　 　 　 　 . 7. [2024 广东省卷]若点(0,y1),(1,y2),(2,y3)都 在二次函数 y= x2 的图象上,则 (　 　 ) A. y3 >y2 >y1 B. y2 >y1 >y3 C. y1 >y3 >y2 D. y3 >y1 >y2 变式 7-1 表达式未知 [2024 铜仁石阡县模拟]若二 次函数 y = x2 -2x+m 的图象经过 A( -1,y1 ), B(2,y2),C(3,y3 ) 三点,则关于 y1,y2,y3 的 大小关系正确的是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y2 <y1 <y3 B. y1 <y2 <y3 C. y2 <y1 = y3 D. y1 = y3 <y2 变式 7-2 已知增减性求参数 [2024 贵阳开阳县模 拟]已知二次函数 y = x2 +(m-1) x+1,当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m<-1　 B. m>-1　 C. m≤-1　 D. m≥-1 考向 3　 区间最值问题(2021-2023 在第 24 题考查) 8. [2023 陕西]在平面直角坐标系中,二次函数y= x2+mx+m2-m(m 为常数)的图象经过点(0,6),其 对称轴在 y 轴左侧,则该二次函数有 (　 　 ) A. 最大值 5 　 B. 最大值 15 4 C. 最小值 5 　 D. 最小值 15 4 9. 已知二次函数 y=ax2-4ax+3a(a>0),当-1≤x<4 时,y 的最大值是 4,则 a 的值为　 　 　 　 . 考向 4　 二次函数图象与 a,b,c 的关系(2023. 10) 10. 已知函数 y= kx2 -4x-3 的图象与坐标轴有三 个公共点,则 k 的取值范围是　 　 　 　 . 11. [2024 贵阳云岩区一模]已知二次函数 y = ax2 + bx+c(a,b,c 为常数,a≠0)的图象如图所示, 则 a,b,c 的值可能是 (　 　 ) A. a= -1,b= 2,c= 3　 B. a= -1,b= 2,c= -3 C. a= -1,b= -2,c= 3　 D. a= 1,b= -2,c= -3 第 11 题图 　 　 变式 11-1 题图 变式 11-1 [2023 贵州 10 题改编]已知,二次函数 y=ax2 +bx+b2 -9 的图象如图所示,则 b 的值 是 (　 　 ) A. 9　 　 B. 3　 　 C. -3　 　 D. 3 或-3 变式 11-2 [2024 安顺关岭县期末]在同一平面直 角坐标系中,函数 y=ax+c 与 y = ax2 +c 的大 致图象为 (　 　 ) 12. 多解法 ∙∙∙ 已知点 A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数 y=x2+2x+c 的图象上,其中 x1 >x2,x1+x2 = 0,则 y1 与 y2 的大小关系是 (　 　 ) A. y1 >y2 B. y1 = y2 C. y1 <y2 D. 无法确定 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂 数学思维进阶练 13. 分类讨论 在平面直角坐标系中,二次函数 y=ax2 +4ax-1+a 的图象经过四个象限, 则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a<1　 　 　 　 B. 0<a<1 C. a≥1 D. -1<a<0 【点拨】二次项系数不确定,需要对抛物 线开口方向进行讨论. 温馨提示:含参二次函数中的分类讨论与数 形结见《专项培优练》P36 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 73 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 ∴ 点 B 的坐标为(2,2) . 第 3 题解图 (2)将点 B 坐标代入 y= k x ,得 k= 2×2 = 4, ∴ 双曲线的解析式为 y= 4 x (x>0) . ∵ AC⊥x 轴,∴ xC = xA = 4. 将 x= 4 代入 y= 4 x ,得 y= 1, ∴ 点 C 的坐标为(4,1) . 令 BC 所在直线的解析式为 y=mx+n, 将点 B 和点 C 的坐标代入解析式得, 2m+n= 2, 4m+n= 1,{ 解得 m= - 1 2 , n= 3, { ∴ BC 所在直线的解析式为 y= - 1 2 x+3. 4. 解:(1)设点 A 的坐标为(a,0), ∵ 一次函数 y= kx-2k 的图象与 x 轴交于点 A, ∴ ka-2k= 0,∵ k≠0, 解得 a= 2,∴ 点 A 的坐标为(2,0), 如解图,连接 CO, ∵ CB⊥y 轴,∴ CB∥x 轴,∴ S△OBC =S△ABC, ∵ S△ABC = 3,∴ S△OBC = 3, ∵ 点 C 在反比例函数 y= m-1 x 的图象上, ∴ |m-1 | = | x·y | = 2S△OBC = 6, ∵ 反比例函数 y= m-1 x 的图象在第二、四象限, ∴ m-1 = -6,解得 m= -5, ∴ 点 A 的坐标为(2,0),m= -5; 第 4 题解图 (2)∵ 点 A 的坐标为(2,0),∴ OA= 2, 又∵ AB= 2 2 , ∴ 在 Rt△AOB 中,由勾股定理,得 OB= 2, ∵ 点 B 在 y 轴正半轴上,∴ 点 B 的坐标为(0,2), ∵ CB⊥y 轴,∴ 设点 C 的坐标为(b,2), ∵ 反比例函数表达式为 y= - 6 x ,点 C 在反比例函数的图 象上, ∴ 2 = - 6 b ,解得 b= -3,∴ 点 C 的坐标为( -3,2), 又∵ 点 C 在一次函数 y= kx-2k 的图象上, ∴ 2 = -3k-2k,解得 k= - 2 5 , ∴ 一次函数的表达式为 y= - 2 5 x+ 4 5 . 5. 解:(1)∵ 点 D(1,4)是反比例函数 y1 = k x (x>0) 的图象 与直线 DE 的交点, ∴ k= 1×4 = 4,n= 4+2×1 = 6, ∴ 反比例函数的表达式为 y1 = 4 x (x>0),直线 DE 的表达 式为 y2 = -2x+6, (2)如解图,作点 D 关于 y 轴的对称点 D′,连接 D′E,交 y 轴于点 P,连接 PD,此时 PD = PD′, 且 △PDE 的周长 最小. ∵ 反比例函数 y1 = 4 x (x>0) 的图象与直线 y2 = -2x+6 交 于 D、E 两点, 第 5 题解图 ∴ 联立方程组 y= 4 x , y= -2x+6, { 解得 x1 = 2, y1 = 2, { x2 = 1, y2 = 4, { ∴ E 的坐标为(2,2), ∵ 点 D 的坐标为(1,4), ∴ 点 D′的坐标为( -1,4) . 设直线 D′E 的表达式为 y=ax+b(a≠0) ∵ 直线 y=ax+b(a≠0)经过 D′( -1,4),E(2,2), 代入得 -a+b= 4, 2a+b= 2,{ 解得 a= - 2 3 , b= 10 3 , ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 D′E 的表达式为 y= - 2 3 x+ 10 3 , 令 x= 0,得 y= 10 3 , ∴ 点 P 的坐标为 (0, 10 3 ), ∴ △PDE 的周长的最小值为 PD+PE+DE = D′E+DE = 32 +22 + 22 +12 = 13 + 5 . 命题点 10　 二次函数的图象与性质 1. 看图象 写性质 ①a<0;②b<0;③c>0;④对称轴是 直线 x= -1;⑤当 x= -1 时,y 有最 大值 4;⑥b2 - 4ac> 0;⑦函数图象 与 x 轴的另一个交点的横坐标是 1;⑧当 x<-1 时,y 随 x 的增大而 增大;⑨当 x>-1 时,y 随 x 的增大 而减小;⑩函数图象与 y 轴交于 (0,3)点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 　 2. 观察表达式,画草图 写性质 (1)y= x2 +2x+1 ①开口向上;②对称轴为 直线 x= -1;③与 y 轴交于 点(0,1);④当 x = -1 时,y 有最小值 0; ⑤ 当 x < - 1 时,y 随 x 的增大而减小; ⑥当 x>-1 时,y 随 x 的增 大而增大;⑦Δ = 0,抛物线 与 x 轴只有一个交点 (2)y= - 1 2 (x+2) 2 -1 ①开口向下;②顶点坐标 为( - 2,- 1);③对称轴为 直线 x= -2;④与 y 轴交于 点(0,-3);⑤当 x= -2 时, y 有最大值-1;⑥当 x<-2 时,y 随 x 的增大而增大; ⑦当 x>-2 时,y 随 x 的增 大而减小;⑧Δ< 0,抛物线 与 x 轴没有交点 (3)y= (x+1)(x+3) ①开口向上,②顶点坐标 为( - 2,- 1);③与 x 轴交 于点( - 1,0),( - 3,0);④ 与 y 轴交于点(0,3);⑤对 称轴为直线 x = -2;⑥当 x = -2 时,y 有最小值-1;⑦ 当 x<-2 时,y 随 x 的增大 而减小;⑧当 x> - 2 时, y 随 x 的增大而增大;⑨Δ>0 3. C　 4. (1)2;(2)(0,0)和( -2,0);(3)3;(4)4 或-4 5. (1)下;(2)x= -1;(3)( -3,0),(1,0) 变式 5-1　 4　 变式 5-2　 B　 6. y≥1 拓展 6-1　 y≥2;1≤y<5　 拓展 6-2　 x>0 或 x<-4 拓展 6-3　 x≥-2 7. A　 【解析】∵ 二次函数 y = x2 ,∴ 该二次函数的图象开口 向上,且对称轴为 y 轴,∴ 当 x≥0 时,y 随 x 的增大而增 大,∵ 0<1<2,∴ y1 <y2 <y3 . 变式 7-1　 C　 【解析】∵ y = x2 - 2x+m,∴ 抛物线的开口向 上,对称轴为直线 x= - -2 2 = 1,∴ 抛物线上的点离对称轴越 远,函数值越大,∵ | -1-1 | = | 3-1 | > | 2-1 | ,∴ y2 <y1 = y3 . 变式 7-2　 D　 【解析】抛物线的对称轴为直线 x = - m-1 2 ,∵ 当 x> 1 时, y 的值随 x 值的增大而增大, 由解图可知 -m -1 2 ≤1,解得 m≥-1. 变式 7-2 题解图 8. D　 【解析】由题意可得 6 = m2 -m,解得 m1 = 3,m2 = -2, ∵ 二次函数 y= x2 +mx+m2 -m 的对称轴在 y 轴左侧,∴ m> 0,∴ m= 3,∴ y= x2 +3x+6,∴ 二次函数有最小值为 4ac-b2 4a = 15 4 . 9. 1 2 　 【解析】∵ a>0,∴ 该二次函数的图象开口向上,对称 轴为直线 x= - -4a 2a = 2,当-1≤x<4 时,y 的最大值是 4,∴ 当 x= -1 时,y 取到在-1≤x<4 上的最大值为 4,∴ a+4a+ 3a= 4,解得 a= 1 2 . 10. k>- 4 3 且 k≠0　 【解析】由题意可知 Δ = ( - 4) 2 - 4×k× ( -3) >0 且 k≠0,解得 k>- 4 3 且 k≠0. 11. A　 变式 11-1　 C　 变式 11-2 　 B 12. A　 【解析】解法 1:二次函数 y = x2 +2x+c 的图象开口向 上,对称轴为直线 x = - 1,距离对称轴越远的点,y 值越 大. ∵ x1 >x2 ,x1 +x2 = 0,∴ x1 = -x2 >0,即点 A,B 到 y 轴的 距离相等,则点 A 到直线 x= -1 的距离大于点 B 到直线 x= -1 的距离,∴ y1 >y2 . 解法 2:∵ x1 >x2 ,x1 +x2 = 0,∴ x1 = -x2 >0,∴ y1 = x21 +2x1 + c,y2 = x22 +2x2 +c= x21 -2x1 +c,∴ y1 -y2 = 4x1 >0,∴ y1 >y2 . 13. B　 【解析】二次函数的对称轴是直线 x = - 4a 2a = -2. ①当 a>0 时,∵ 二次函数 y = ax2 + 4ax- 1+a 的图象经过四个 象限,∴ 当 x= 0 时,y= -1+a<0,解得 a<1,∴ 0<a<1;② 当 a<0 时,∵ 二次函数 y = ax2 +4ax-1+a 的图象经过四 个象限,∴ 当 x = 0 时,y = - 1+a> 0,∴ a> 1,此时 a 不存 在. 综上所述,a 的取值范围是 0<a<1. 命题点 11　 二次函数表达式的确定 及图象的变换 1. 解:把 A(1,-2)和 B(0,-5)代入 y= x2 +bx+c, 得 1+b+c= -2, c= -5,{ 解得 b= 2, c= -5,{ ∴ 二次函数的表达式为 y= x2 +2x-5, ∵ y= x2 +2x-5 = (x+1) 2 -6,∴ 顶点坐标为( -1,-6) . 2. 解:由二次函数 y= (x-1)(x-a)(a 为常数)知, 该二次函数的图象与 x 轴的交点坐标是(1,0)和(a,0). ∵ 对称轴为直线 x= 2,∴ 1+a 2 = 2,解得 a= 3, ∴ 该二次函数的表达式为 y=(x-1)(x-3)= x2 -4x+3. 3. 解:设二次函数的表达式为 y=ax2 +bx+c(a≠0), ∵ 二次函数的图象经过点( -1,0),(0,3),(1,4), ∴ a-b+c= 0, c= 3, a+b+c= 4, { 解得 a= -1, b= 2, c= 3, { ∴ 二次函数的表达式为 y= -x2 +2x+3. 4. A　 【解析】∵ 抛物线 y = ( x+ 2) 2 - 1 的顶点坐标是( - 2, -1),则向左平移 h 个单位,再向下平移 k 个单位后的顶 点坐标为( -2-h,-1-k),∴ 平移后抛物线的解析式为 y = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31