2.3 一元二次方程及其解法&2.4 一元二次方程的实际应用-【一战成名新中考】2025贵州中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

分层作业本·贵州数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 3　 一元二次方程及其解法(近 3 年连续考查) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 考向 1　 一元二次方程的解法(4 年 2 考) 1. [2024 贵州 5 题改编]一元二次方程(x-2) x = 0 的解是 (　 　 ) A. x1 = 3,x2 = 1 B. x1 = 2,x2 = 0 C. x1 = 3,x2 = -2 D. x1 = -2,x2 = -1 2. 易错 ∙∙ 方程(x-4) 2 = 4-x 的解是　 　 　 　 　 　 . 3. [2022 贵阳 17(2)题改编]请从下列一元二次方 程中任选两个,并解这两个方程. ①x2 +2x-1 = 0;②x2 -3x= 0;③x2 -4x = 4;④x2 - 4 = 0. 4. [2024 黔东南州一模]下面是小明用配方法 ∙∙∙ 解一 元二次方程 2x2 +4x-8 = 0 的过程: 解:移项,得 2x2 +4x= 8 第一步……………… 二次项系数化为 1,得 x2 +2x= 4 第二步……… 配方,得(x+2) 2 = 8 第三步…………………… 由此可得 x+2 = ±2 2 第四步………………… 所以,x1 = -2+2 2 ,x2 = -2-2 2 第五步……… 小明同学从第 　 　 　 　 步开始出现错误,请 写出你认为正确的解答过程. 考向 2　 根的判别式(2023. 15) 5. [2024 贵州省模拟]关于 x 的一元二次方程 x2 + 2x+a= 0(a<0)根的情况是 (　 　 ) A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 不能确定 6. [2023 贵州 15 题 4 分]若一元二次方程 kx2 -3x+1= 0 有两个相等的实数根,则 k 的值是　 　 　 　 . 变式 6-1 [2024 广安]若关于 x 的一元二次方程 (m+1)x2 -2x+1 = 0 有两个不相等的实数根, 则 m 的取值范围是 (　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. m<0 且 m≠-1 B. m≥0 C. m≤0 且 m≠-1 D. m<0 变式 6-2 易错 ∙∙ 若关于 x 的方程(m+1) x2 -2x+ 1 = 0 有实数根,则 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m<1 B. m≤0 C. m≤0 且 m≠-1 D. m<0 7. [2024 黔东南从江县模拟]已知关于 x 的一元二 次方程 x2 +2x+c = 0 有两个不相等的实数根. 请选择一个你喜欢的 c 值代入,并求此时方程 的解. 考向 3　 根与系数的关系 8. 若关于 x 的方程 x2 -kx+3 = 0 有一个根为-1, 则 k 的值为 (　 　 ) A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 拓展 8-1 此方程的另一个根是　 　 　 　 . 9. [2024 铜仁沿河县模拟]已知关于 x 的方程 x2 + (m-1) x-2 = 0 的两实数根为 x1,x2,若 x1x2 - x1 -x2 = 2,则 m 的值为 (　 　 ) A. 1 B. -5 C. 3 D. 5 10. 转化思维 [2024 遵义二模]已知,实数 m,n 是方 程 x2+2x-3 = 0 的两根,则代数式 m2 +3m+n 的 值为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 分层作业本·贵州数学 　 第 二 章 方 程 ︵ 组 ︶ 与 不 等 式 ︵ 组 ︶ 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 1. [2024 重庆 A 卷]随着经济复苏,某公司近两年 的总收入逐年递增. 该公司 2021 年缴税 40 万 元,2023 年缴税 48. 4 万元. 该公司这两年缴 税的年平均增长率是　 　 　 　 . 2. 《增删算法统宗》中记载:“今有门厅一座,不 知门广高低,长竿横进使归室,争奈门狭四 尺,随即竖竿过去,亦长二尺无疑,两隅斜去 恰方齐,请问三色各几?”,其大意是今有一房 门,不知宽与高,长竿横着进门,门的宽度比 竿小 4 尺进不了;将竿竖着进门,竿比门长 2 尺;将竿斜着穿过门的对角,恰好进门. 试问 门的宽、高和竿长各是多少? 如图,若设竿长 AC 为 x 尺,依题意可得方程是 (　 　 ) 第 2 题图 A. (x-4) 2 +(x-2) 2 = x2 　 B. 42 +(x-2) 2 = x2 C. (x-4) 2 +(x-2) 2 = 2x2 D. (x-4) 2 +22 = x2 3. 某校八年级组织一次篮球赛,各班均组队参 赛,赛制为单循环形式( 每两班之间都赛一 场),共需安排 15 场比赛,则八年级班级的个 数为 (　 　 ) A. 5　 　 　 B. 6　 　 　 C. 7　 　 　 D. 8 4. 为了促进销售、扩大市场占有率,某品牌销售 部在某小区开展中央空调团购活动,请根据 以下素材完成“问题解决”中的三个问题. 素材 1 某款中央空调每台进价为 20 000 元. 素材 2 团购方案:团购 2 台时,则享受团购价 30 000 元 /台,若团购数量每增加 1 台, 则每台再降 500 元. 规定:一个团的团购数量不超过 11 台. 问题 解决 问题 1:当团购 3 台时,求出每台空调的 团购价. 问题 2:设团购数量 x 台,请用含 x 的代 数式表示每台空调的团购价. 问题 3:已知某个团购订单完成后,销售 部的利润为 58 500 元,则团购订单的数 量为多少台. 5. 社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场, 其布局如图所示,已知空地长 AD = 52 m,宽 AB= 28 m,阴影部分设计为停车位,要铺花砖, 其余部分均为宽度为 x 米的道路,已知铺花砖 的面积为 640 m2 . (1)求道路的宽是多少米? (2)该停车场共有车位 50 个,据调查分析,当 每个车位的月租金为 200 元时,可全部租 出. 若每个车位的月租金每上涨 5 元,就 会少租出 1 个车位. 当每个车位的月租金 上涨多少元时,停车场的月租金收入为 10 000 元? 第 5 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 31 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 　 第二章　 方程(组)与不等式(组) 命题点 1　 一次方程(组)及其解法 1. B 2. C　 【解析】设“▲”的质量为 z. 根据甲天平,得 x+y= y+2z ①;根据乙天平,得 x+ z = x+ 2y②. 根据等式的基本性质 1,①可化为 x = 2z③,②可化为 z = 2y④;根据等式的基本 性质 2,将④的两边同时乘以 2,得 2z= 4y,∴ x= 4y. 3. D 4. 解:令 x+2y= 3①, x-2y= 1②,{ ①+②得,2x= 4,解得 x= 2, 将 x= 2 代入①得 y= 1 2 , ∴ 方程组的解是 x= 2, y= 1 2 .{ 5. 解:选①,②构建方程为 2(x-1)= x+5 2 , 4(x-1)= x+5, 4x-4 = x+5, 4x-x= 5+4, 3x= 9, x= 3. 若选①,③,解为 x= 3; 若选②,③,解为 x= 3. 6. 解:(1)①,②; (2)选小红的思路: 由②得,y= 2x-1③, 将③代入①, 得 x+3(2x-1)= 11,解得 x= 2, 把 x= 2 代入③得,y= 3, ∴ 方程组的解为 x= 2, y= 3;{ 选小星的思路:由②得,6x-3y= 3③, ①+③得,7x= 14, 解得 x= 2, 把 x= 2 代入①得 y= 3, ∴ 方程组的解为 x= 2, y= 3.{ 7. B　 8. C 9. -1　 【解析】令 6x+7y= 1+8a①, 7x+6y= 1-6a②,{ ①+②,得 13x+13y = 2+ 2a,∴ x+y= 2+2a 13 ,∵ x+y= 0,∴ 2+2a 13 = 0,解得 a= -1. 命题点 2　 一次方程(组)的实际应用 1. x+2y= 32　 2. B　 3. C　 4. 20　 变式 4-1　 A 5. 解:(1)设书架上数学书 x 本,则语文书(90-x)本, 根据题意,得 0. 8x+1. 2(90-x)= 84, 解得 x= 60, ∴ 90-x= 30(本), 答:书架上数学书 60 本,语文书 30 本; (2)可以,假设摆 m 本数学书可以将书架摆满, 则 10×1. 2+0. 8m= 84, 解得 m= 90, ∴ 再摆 90 本数学书可以将书架摆满. 6. D 命题点 3　 一元二次方程及其解法 1. B　 2. x1 = 3,x2 = 4 3. 解:选方程①②(选法不唯一) . ①(公式法)x2 +2x-1 = 0. ∵ a= 1,b= 2,c= -1, ∴ b2 -4ac= 22 -4×1×( -1)= 8>0, ∴ x= -2± 8 2 = -1± 2 , ∴ x1 = -1+ 2 ,x2 = -1- 2 ; ②(因式分解法)x2 -3x= 0. 原方程可变形为 x(x-3)= 0, 即 x= 0 或 x-3 = 0,∴ x1 = 0,x2 = 3. 其他方程解法: ③(配方法)x2 -4x= 4, x2 -4x+4 = 8; (x-2) 2 = 8, ∴ x-2 = 2 2或 x-2 = -2 2 , ∴ x1 = 2+2 2 ,x2 = 2-2 2 ; ④(直接开平方)x2 -4 = 0 x2 = 4 ∴ x1 = 2,x2 = -2. 4. 解:三,正确的解答过程如下: 2x2 +4x-8 = 0, 2x2 +4x= 8, x2 +2x= 4, x2 +2x+1 = 4+1, (x+1) 2 = 5, x+1 = ± 5 , x1 = -1+ 5 ,x2 = -1- 5 . 5. C　 6. 9 4 变式 6-1　 A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程(m+1) x2 - 2x+1 = 0 有两个不相等的实数根,∴ 4- 4(m+ 1) > 0,解得 m<0,且 m+1≠0,即 m≠- 1. ∴ m 的取值范围是 m< 0 且 m≠-1. 变式 6-2　 B　 【解析】当 m+1 = 0 时,即 m= -1 时,此时方程 为-2x+1 = 0,该方程有解;当 m+1≠0 时,则方程(m+1) x2 -2x+1 = 0 为一元二次方程,其判别式为 Δ = ( -2) 2 -4(m+ 1) ×1 = -4m,∵ 方程(m+1) x2 -2x+1 = 0 有实数根,∴ -4m ≤0,解得 m≤0;此时 m 的取值范围是 m≤0 且 m≠-1. 综 上可知 m 的取值范围是 m≤0. 7. 解:因为关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+c = 0 有两个不相 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 一战成名·贵州数学 分 层 作 业 本 等的实数根, 所以 Δ= 22 -4c>0,解得 c<1. 将 c= 0 代入原方程得,x2 +2x= 0, 解得 x1 = 0,x2 = -2(答案不唯一) . 8. A　 拓展 8-1　 -3 9. D　 【解析】∵ 关于 x 的方程 x2 +(m-1) x-2 = 0 的两实数 根为 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = 1-m,x1 ·x2 = -2,∵ x1x2 -x1 -x2 = 2, ∴ x1x2 -(x1 +x2 )= 2,∴ -2+m-1 = 2,∴ m= 5. 10. 1　 【解析】∵ m 是方程 x2 +2x-3 = 0 的根,∴ m2 +2m = 3, ∵ m,n 是方程 x2 +2x-3 = 0 的两根,∴ m+n = - 2,∴ m2 + 3m+n=m2 +2m+m+n= 3-2 = 1. 命题点 4　 一元二次方程的实际应用 1. 10%　 2. A　 3. B 4. 解:问题 1:当团购 3 台时,每台空调的团购价为 30 000- 500 = 29 500(元); 问题 2:设团购数量 x 台,表示每台空调的团购价为 30 000-500(x-2)= -500x+31 000(元); 问题 3:根据题意,得( -500x+31 000-20 000)x= 58 500, 整理得 x2 -22x+117 = 0, 解得 x1 = 13>11(舍去),x2 = 9, 答:当一个团的团购数量为 9 台时,销售部的利润为 58 500 元. 5. 解:(1)道路的宽为 x 米,根据题意得, (52-2x)(28-2x)= 640, 整理,得 x2 -40x+204 = 0, 解得 x1 = 34(舍去),x2 = 6, 答:道路的宽为 6 米; (2)设月租金上涨 a 元,停车场月租金收入为 10 000 元, 根据题意得(200+a)(50- a 5 )= 10 000, 整理,得 a2 -50a= 0, 解得 a= 50(负值已舍去), 答:每个车位的月租金上涨 50 元时,停车场的月租金收 入为 10 000 元. 命题点 5　 分式方程及其解法 1. A　 2. 3　 3. D 4. 解:x = 3(2x-5) x = 6x-15 -5x= -15 x = 3 经检验,x= 3 是原方程的根. 5. 解: 3 x+2 +1 = x x-2 , 方程两边同乘(x+2)(x-2),得 3( x-2) +( x+2) ( x-2) = x(x+2) . 去括号得 3x-6+x2 -4 = x2 +2x, 解得 x= 10. 经检验,x= 10 是原方程的根. 6. 解:(1)等式性质 2[或给等式两边同时乘相同的数或式 子(0 除外),等式依然成立]; (2)检验(或验根); (3)检验:当 x= 5 时,(x+5)(x-5)= 0, ∴ x= 5 是分式方程的增根,原分式方程无解. 7. B　 变式 7-1　 x= 1,-2 变式 7-2　 B　 【解析】去分母,得 2 = x-1-m,解得 x =m+3, 由方程的解为正数,得到 m+3>0,且 m+3≠1,则 m 的范围 为 m>-3 且 m≠-2. 8. -1 或 2　 【解析】 3 x-2 -kx -1 x-2 = 1,去分母得 3-kx+1 = x-2, 解得 x= 6 k+1 ,∵ 关于 x 的方程 3 x-2 -kx -1 x-2 = 1 无解,∴ 当 k+ 1 = 0 或 6 k+1 = 2 时,分式方程无解,解得 k = -1 或 k = 2(经 检验是原方程的解),即 k = -1 或 k = 2 时, 3 x-2 -kx -1 x-2 = 1 无解. 命题点 6　 分式方程的实际应用 1. B　 2. 200 3. 解:设每辆小货车的货运量是 x 吨,则每辆大货车的货运 量是(x+4)吨, 根据题意,得 80 x+4 = 60 x ,解得 x= 12, 经检验,x= 12 是原分式方程的解,且符合题意, ∴ x+4 = 12+4 = 16. 答:每辆大货车的货运量是 16 吨,每辆小货车的货运量 是 12 吨. 4. 解:(1)1. 25x; (2)由题意知 5 000 x -2 = 6 000 1. 25x , 去分母,得 6 250-2. 5x= 6 000, 解得 x= 100, 经检验,x= 100 是所列分式方程的解,且符合题意, 1. 25×100 = 125(件) . 答:更新设备后每天生产 125 件产品. 5. 解:(1)原计划平均每月的绿化面积;实际完成这项任务 需要的月数; (2)按甲同学的作法解答, 60 x - 60 1. 5x = 2, 解得 x= 10, 经检验,x= 10 是原分式方程的解,且符合题意, 答:原计划平均每月的绿化面积是 10 km2 . 按乙同学的作法解答, 60 y = 1. 5× 60 y+2 , 解得 y= 4, 经检验,y= 4 是原分式方程的解,且符合题意, ∴ 原计划完成这项工程需要的月数为 4+2 = 6, ∴ 60÷6 = 10. 答:原计划平均每月的绿化面积是 10 km2 . 命题点 7　 一元一次不等式(组)的解法及应用 1. D　 2. A　 3. C　 变式 3-1　 x≥3　 变式 3-2　 A 变式 3-3　 B　 4. -1(答案不唯一) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4