上海市川沙中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试卷

2026届川沙中学高二第一学期第二次月考数学试卷 一、填空题（3×12=36分） 1. 直线的倾斜角为______. 2. 椭圆的焦点坐标为________. 3. 直线与直线平行，则________. 4. 如图所示，在正方体中，若为的中点，则直线与所成角的余弦值为__. 5. 已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______． 6. 已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为________. 7. 双曲线C：的离心率为，焦点到渐近线的距离为________. 8. 已知是椭圆上一点，则点P到点的距离的取值范围为__________ 9. 若直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围为________. 10. 已知点，，点P为椭圆上的动点，则的最小值为________. 11. 已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：，点B为C在第一象限中的任意一点，过点B作C的切线l，l分别与x轴和y轴的正半轴交于M，N两点，则面积的最小值为______． 12. 高二年级某同学打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点，他在家里做了个探究实验：如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后，在桌面上留下的影子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点，若篮球的半径为1个单位长度，灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为，椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度，则此时椭圆的离心率__． 二、选择题（3×4=12分） 13. 已知l，m，n表示不同的直线，，，表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，，，则 C. 若，且，则 D. 若，，，则 14. 若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） A. B. C. D. 15. 如图，A为平面内一定点，是平面的定长斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使面积为定值，则动点P的轨迹是（ ） A. 直线 B. 圆 C. 椭圆 D. 双曲线 16. 在平面直角坐标系中，对于定点，记点集中距离原点O最近的点为点，此最近距离为．当点P在曲线上运动时，关于下列结论：①点的轨迹是一个圆；②的取值范围是．正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. （1）若，且经过点，求实数，的值； （2）若且，求实数，的值. 18. 已知圆C：，其中； （1）已知圆C与圆：相切，求m的值； （2）如果直线与C相交所得的弦长为，求m的值. 19. 如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，，点E为中点. （1）求证：平面； （2）若与平面所成的角为，求点P到平面的距离. 20. 已知双曲线C：的离心率为，且过点 （1）求双曲线C的方程； （2）过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求线段长； （3）若P，Q是双曲线C上的两点，M是C的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 21. 已知椭圆E：的离心率为，且过点，直线交E于A，B两点. （1）求E的方程； （2）求三角形的面积的最大值； （3）若E上存在点P使得，在上的投影向量相等，且的重心在y轴上，求直线的方程. 2026届川沙中学高二第一学期第二次月考数学试卷 一、填空题（3×12=36分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】1 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】或． 【7题答案】 【答案】1 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】 二、选择题（3×4=12分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（8+8+10+12+14） 【17题答案】 【答案】（1）或； （2） 【18题答案】 【答案】（1）9或 （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明：   取的中点，连接， 由题意可得且， 由四边形为直角梯形且，， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）16 （3）证明: 当直线的斜率存在时，设其方程为，且设， 联立可得，消去并整理可得， ， ， 又，所以， 所以，整理可得， 又代入到上式可得， 整理可得， 代入韦达定理可得， 化简并整理可得，即， 解得或， 当时，直线的方程为，此时过点，不符合题意舍去； 当时，直线的方程为，此时过定点； 当直线的斜率不存在时，设直线方程为， 由解得， 所以， ，解得， 此时定点在直线上， 综上，直线恒过定点. 【21题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $