5.3.1 一元一次方程的应用 课件2024-2025学年北师大版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 第三节 一元一次方程的应用 第一课时 几何图形中的等量关系 情景导入 如图，用一块橡皮泥先捏出一个“瘦高”的圆柱，然后再让这个“瘦高”的圆柱“变矮”，变成一个“矮胖”的圆柱， 请思考下列几个问题： (1)在你操作的过程中，圆柱由“高”变“矮”，圆柱的底面直径是否变化了? 还有哪些量改变了? (2)在这个变化过程中，什么量没有变化呢? 探究一：图形的等体积变形 某饮料公司有一种底面直径和高分别为 6.6cm，12cm 的圆柱形易拉罐饮料. 经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为 6cm. 那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米? (1)这个问题中包含哪些量? 它们之间有怎样的等量关系? 包含的量：圆柱形易拉罐改造前后的底面直径、高、容积 “容积不变” 等量关系：改造前易拉罐容积=改造后易拉罐容积 容积不变，但直径(半径)和高有变 直径(半径)减少，高如何变化？ 探究一：图形的等体积变形 (2)设新包装的高度为 x cm，借助下面的表格梳理问题中的信息 有关量 旧包装 新包装 底面半径/cm 高/cm 容积/cm3 12 探究一：图形的等体积变形 (3)根据等量关系，你能列出怎样的方程? 设新包装的高度为 x cm 根据等量关系列出方程 解这个方程得： x = 14.52 答：易拉罐的高度变为14.52cm 列方程时，关键是找出问题中的等量关系. 探究一：图形的等体积变形 归纳小结 通常利用体积相等列方程. 注意： 等积变形中，类似的问题还有相同体积的水 注入不同形状的容器中. 容器的形状不同，但水的体积没有改变. 一、图形的等体积变形（形状变了，体积没变） 探究二：图形的等周长变形 例1 用一根长为 10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (2)如果该长方形的长比宽多0.8m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? (2)如图，题中围长方形的过程中有什么没有发生变化? 长方形的周长不变 分析：(1)本题涉及哪些量? 它们之间有怎样的等量关系？ 铁丝的长，长方形的长、宽、周长、面积. 探究二：图形的等周长变形 归纳小结 等量关系： (长＋宽)×2＝长方形周长(周长就是铁丝的长度) (3)题中有怎样的等量关系? (4)如图，结合(1)(2)问题意，若设长方形的宽为 x m，则长方形的长可怎么表示? 试用含 x 的代数式在下面图中表示出来. (x+1.4)m (x+0.8)m (1) (2) 例1 用一根长为 10m 的铁丝围成一个长方形. (1)如果该长方形的长比宽多1.4m，那么此时长方形的长、宽各为多少米? (x+1.4)m 解：(1)设此时长方形的宽为 x m，则它的长为 (x+1.4) m. 根据题意，得: 2(x+1.4) +2x＝10 解得: x = 1.8 1.8+1.4 = 3.2 m 答：此时长方形的长为 3.2 m，宽为 1.8 m. 探究二：图形的等周长变形 解：设此时长方形的宽为 x m，则它的长为(x+0.8)m. 根据题意，得： 2(x+0.8)＋2x＝10 解得： x＝2.1 2.1+0.8 = 2.9 m 答：此时长方形的长为2.9m，宽为2.1m，面积为 2.9×2.1＝6.09(m2) (1)中长方形的面积为：3.2×1.8＝5.76(m2) 6.09 - 5.76＝0.33(m2) (2)如果该长方形的长比宽多 0.8m ，那么此时长方形的长、宽各为多少米? 此时的长方形与(1)中的长方形相比，面积有什么变化? (x+0.8)m 答：此时长方形的长、宽各为2.9m、2.1m，此时长方形的面积比(1)中的面积增大0.33m2 (3)设正方形的边长为 x m. 根据题意，得： 4x =10 解得： x = 2.5 正方形的边长为 2.5m，面积为2.5×2.5＝6.25(m2). 6.25 - 6.09＝0.16(m2) 答：正方形的边长为 2.5m，正方形面积比(2)中长方形的面积增大 0.16m2. (3)如果该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，那么此时正方形的边长是多少米? 正方形的面积与(2)中长方形的面积相比又有什么变化? 探究二：图形的等周长变形 2.1 2.9 2.5 2.5 5.76 m2 6.09 m2 6.25 m2 1.8 3.2 2. 周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时(即为正方形时)，长方形(正方形)的面积最大. 1. 通常利用周长相等列方程. 二、图形的等周长变形（形状变了，周长没变） 归纳小结 基础练习 1. 一个梯形的下底比上底多6cm，高是8cm，面积为88cm2，求这个梯形的上底和下底的长度. 解：设梯形的上底为x cm，则下底为(x+6)cm x cm (x+6)cm 8cm 解得: x = 8 x + 6 = 14 cm 答：梯形的上底为 8 cm，下底为 14 cm. 基础练习 2. 直径为 30cm、高为 50cm 的圆柱形瓶里装满了饮料，现将饮料倒入底面直径为 10cm 的圆柱形水杯，刚好倒满 30 杯，则水杯的高度是多少? 解：设水杯的高度为 x cm 解得： x = 15 答：水杯的高度为 15 cm 基础练习 分析：等量关系是水面增高体积=长方体的体积. 解：设水面将增高 x 厘米. 3. 如图，把一块长、宽、高分别为5 cm、3 cm、3 cm的长方体铁块浸没在半径为4 cm的圆柱形玻璃杯中(盛有水)，水面将增高多少厘米？(水不会溢出，结果保留 ) 归纳总结 通常利用体积相等列方程. 一、图形的等体积变形（形状变了，体积没变） (或面积) (或面积) 2. 周长一定的长方形，长和宽的差值越小，长方形的面积越大；当长和宽相等时(即为正方形时)，长方形(正方形)的面积最大. 1. 通常利用周长相等列方程. 二、图形的等周长变形（形状变了，周长没变） 归纳总结 三、列一元一次方程解决实际问题的一般步骤： 1.审——审题 7.答——写出答案（包括单位）. 6.验——检验所得的解是否符合题意. 5.解——解方程. 4.列——依据找到的等量关系，列出方程. 3.设——设未知数，并用未知数表示其他未知量. 2.找——找出等量关系 $$