第十五周 思维训练课——用方程解盈亏问题（课件）-2024-2025学年六年级上册数学北师大版

在阅览室看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少，女生减少，剩下的男、女生人数相等。原来一共有多少人在阅览室看书？ 解：设女生有x人，则男生有（x＋10）人。 （1－）×（x＋10） （1－）x ＝ x ＝ x＋ x － x＝ x＝ x＝90 90＋10＝100（人） 答：原来男生有100人，女生有90人。 复习： 思维训练课 用方程解盈亏问题 小学 / 数学 / 北师大版 / 六年级上册 把若干物体平均分给一定数量的对象，并不是每次都能正好分完。如果物体还有剩余，就叫盈;如果物体不够分，少了，叫亏。凡是研究盈和亏这一类算法的应用题就叫盈亏问题。 知识链接： 研究盈亏问题时，要注意平均分给一定的对象是谁。比如，老师把书分给同学们，平均分给的对象就是同学们；同学们去划船，平均分给的对象就是船。 知识链接： （1）一次有余（盈），一次不够（亏）， 可用公式：（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数 （2）两次都有余（盈）， 可用公式：（大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数 （3）两次都不够（亏）， 可用公式：（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数 （4）一次不够（亏），另一次刚好分完， 可用公式：亏÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数 （5）一次有余（盈），另一次刚好分完， 可用公式：盈÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数 思路点拨：这是“一盈一亏”问题，人的数量和梨子的数量是不变的。（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数 例题1： 小明的妈妈买回一篮梨，分给他们的大家庭，如果每人分5个，就多出10个梨；如果每人分6个，就少2个梨，他们这个大家庭有多少人？这篮梨有多少个？   人数：（10+2）÷（6-5）=12（人） 梨子：12×5+10=70（个） 或 12×6-2=70（个） 答：小明全家有12人，这篮梨有70个。 思路点拨：盈亏问题中，人的数量和梨子的数量是不变的。梨子的总量不变，将两次分配的总量用算式表达出来，这两个算式就相等。 例题1： 小明的妈妈买回一篮梨，分给他们的大家庭，如果每人分5个，就多出10个梨；如果每人分6个，就少2个梨，他们这个大家庭有多少人？这篮梨有多少个？   解： 设他们这个大家庭有x人。 5x＋10 答：这个大家庭有12人，这篮梨有70个。 6x－2 ＝ 移项： 10＋2＝6x－5x x＝12 12×5＋10＝70（个） 练一练： 幼儿园买来一些玩具，如果每班分8个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则少12个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？ 班级：（2+12）÷（10-8）＝7（班） 玩具：7×8+2＝58（个）或7×10-12＝58（个） 解：设幼儿园有x个班级。 8x＋2＝10x－12 12＋2＝10x－8x 14＝2x x＝7 7×8+2＝58（个） 答：幼儿园有7个班，这批玩具有58个。 思路点拨：这是盈亏问题中“两盈”题，学生的数量和练习本的数量是不变的。 （大盈-小盈）÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数 例题2： 老师发练习本奖励三好学生，如果每人5本则多24本，若每人8本则多3本，有三好学生多少人？练习本多少本？ 人数： （24-3）÷（8-5）＝7（人） 练习本： 7×5＋24＝59（本） 或：7×8＋3＝59（本） 例题2： 老师发练习本奖励三好学生，如果每人5本则多24本，若每人8本则多3本，有三好学生多少人？练习本多少本？ 解：设三好学生有x人。 ＝ 5x＋24 8x＋3 8x－5x ＝ 24－3 3x ＝ 21 x ＝ 7 7×5＋24＝59（本） 或： 7×8＋3＝59（本） 答：有三好学生7人，练习本,59本。 练一练： 一组学生去搬书，如果每人搬2本，还剩下12本；如果每人搬3本，还剩下6本，这组学生有几人？这批书有几本？ 人数：（12-6）÷（3-2）=6（人） 书本： 6×2+12=24（本） 解：设这组学生有x人。 3x＋6＝2x＋12 3x－2x＝12－6 x＝6 本数： 6×2+12=24（本） 答：这组学生有6人，这批书有24本。 思路点拨：这是“两亏”题，猴子的数量和桃子的数量是不变的。（大亏-小亏）÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数 例题3： 饲养员将一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子则缺14个桃子；如果每只猴子分8个桃子，则缺2个桃子，一共有多少只猴子？多少个桃子？ 猴子：（14－2）÷（10－8） ＝12÷2 ＝ 6（只） 桃子：6×10－14＝46（个） 例题3： 饲养员将一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子则缺14个桃子；如果每只猴子分8个桃子，则缺2个桃子，一共有多少只猴子？多少个桃子？ 解：设一共有x只猴子。 10x－14 8x－2 ＝ 10x－8x ＝ 14－2 2x ＝ 12 x ＝ 6 桃子：6×10－14＝46（个） 答：一共有6只猴子，46个桃子。 练一练： 老师给学生发奖品，如果每人7支铅笔少13支；每人6支铅笔少5支，问学生有几人？铅笔有几支？ 人数：（13-5）÷（7-6）＝8（人） 铅笔： 7×8-13＝43（只） 解：设一共有x人。 7x－13 ＝6x－5 7x－6x ＝ 13－5 x ＝ 8 铅笔： 7×8－13＝43（只） 答：学生有8人，铅笔有43支。 思路点拨：这是“一盈一亏”问题，学生人数和房间的数量是不变的。可以应用”（盈+亏）÷（两次每人分配数的差）=参与分配对象总数“进行计算，但要注意“空出4个房间”与”34人没有位置”是有区别的。 例题4： 学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？ 第一次分配，34人没有位置，说明学生人数与房间可以住下的人数相比，多了34人。 第一次分配，空出4个房间，说明学生人数与房间可以住下的人数相比，少了14×4＝56人。 （34＋14×4）÷（14－12）＝45（间） 例题4： 学校给一批新入学的学生分配宿舍。如果每个房间住12人，则34人没有位置；如果每个房间住14人，则空出4个房间。求学生宿舍有多少间？住宿学生有多少人？ 解：设一共有x间学生宿舍。 14（x－4） 12x＋34 ＝ 14x－56＝ 12x＋34 2x ＝ 90 x ＝ 45 学生数：12×45＋34＝574（人） 答：学生宿舍有45间，住宿学生有574人。 六（1）班学生去公园划船，如果每条船坐4人，则少3条船，如果每条船坐6人，则多出2条船，公园里有多少条船？六（1）班有多少个学生？ 解：设公园里一共有x条船。 4（x＋3） 6（x－2） ＝ 6x－12＝ 4x＋12 2x ＝ 24 x ＝ 12 学生数：6×（12－2）＝60（人） 答：公园里有12条船，六（1）班有60个学生。 练一练： 思路点拨：题中第二组条件很好理解，但第一组条件比较复杂。但玻璃的总数不变，同学们无论怎样分配任务，玻璃的总数是相等的，等量关系比较好理解，适于列方程解答。 例题5： 一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，则正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。 题中是把玻璃分配给人，所以要设人数为x比较好理解。 第一次分配的玻璃总数： 4×2＋5（x－2）＋22 第二次分配的玻璃总数： 7x 例题5： 一次大扫除中，老师分配若干人擦玻璃。如果其中2人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，则正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。 解：设一共有x名同学参加劳动。 7x 4×2＋5（x－2）＋22 ＝ 7x ＝ 8＋5x－10＋22 2x ＝ 20 x ＝ 10 学生数：7×10＝70（块） 答：擦玻璃的有10人，玻璃共有70块。 体育队将一些羽毛球分给若干个人，每人5个还多余10个羽毛球，如果人数增加到3倍，那么每人分2个羽毛球还缺少8个，问有羽毛球多少个？ 解：设原来有x人。 5x＋10 2×3x－8 ＝ 6x －8 ＝ 5x＋10 x ＝ 18 羽毛球数：5×18＋10 ＝100（个） 答：羽毛球有100个。 练一练： 小明从家到学校，如果每分钟走40米，则要迟到2分钟，如果每分钟走50米，则早到4分钟，小明家到学校有多远？ 解：设小明正常到校要用x分钟。 50（x－4） 40（x＋2） ＝ 50x －200＝ 40x＋80 10x ＝ 280 x ＝ 28 学生数：50×（28－4）＝1200（米） 答：小明家到学校有1200米远。 练一练： $$