湖北省潜江市2024-2025学年九年级上学期12月十三校联考数学试题

( ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ 班　级 　　 考　号 　　　　　　　 姓 名 　 ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ……………………………………………… 　密　 …… 　封　 …… 　线　 …… 　内　 …… 　请　 …… 　不　 …… 　要　 …… 　答　 …… 　题　 ……………………………………………… 　 · 封 )2024年九年级数学12月联考 九年级数学答题卡 ( 贴 条 形 码 区 ) 姓名：姓名、班级填左侧，此处不写姓名 准 考 证 号 ( 缺考标记，考生禁填！由监考老师填涂。 ) ( 1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定的位置贴好条形码。 2 .选择题必须使用 2B铅 笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔作答，字体工整、笔迹清楚。 3 .请按照题号顺序在各题目的答题区域内答题，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4 .保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。 注 意 事 项 ) ( 正确填涂 填 涂 错误填涂 样 例 ) ( 一、选择题 （请用 2B铅笔将 选择 题 的答案填 涂 在以下填 涂 区域内 ） （ 30 分） 二、填空 题 （请用 0.5 毫米黑色签字笔 将答案写在相应的答题区域 内）（ 15 分） 三、解答题 （请用 0.5 毫米黑色签字笔 将答案写在相应的答题区域 内）（ 75 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 1 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 6 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 2 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 7 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 3 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 8 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 4 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 9 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 5 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] 1 0 . [ A ][ B ] [ C ][ D ] ) ( 11 ． 12 ． 13 ． 14 ． 15 ． ) ( 16 ．（ 6 分）解方程： ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 17 ． （ 7 分） ) ( 18 ． （6分） ) ( 19 ． （ 7 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 20 ． （8分） ) ( 21 ． （ 9 分） ) ( ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ※※※※※ ……………………………………………… 　密　 …… 　封　 …… 　线　 …… 　内　 …… 　请　 …… 　不　 …… 　要　 …… 　答　 …… 　题　 ……………………………………………… 　 · 封 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 22 ． （ 8 分） 23 ． （12分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 ) ( 24 ． （12分） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年度九年级数学月考试卷答案 参考答案: 3 8 5 6 7 9 10 答案 D C D D A A A A C 11. -3 12. (-2.0) 13. 九/9 14. 8cm 15. ①②④ 16. 解:x2-9=4(x-3). (x+3)(x-3)-4(x-3)=0 ..........................................2分 :.(x-3)(x+3-4)=0. .(x-3)(x-1)=0. ..............分. .x-3=0或x-1=0. ................................分 解得x=3.x= .....................................6分 17. (1).DCE是。ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的,此时B、C,E在同一直线上 .乙ACE-90”. 即旋转角为90; ......................................分 (2)在Rt△ABC中..AB=5.AC=4. 'BC-5-4-3. ..........................................5分 :。ABC绕着点C旋转得到。DCE。 :.CE-CA-4. '.BE=BC+CE=3+4=7. ......................................7分. 18. (1)解:与BC长度相等的弦ED如图所示: .............................. (2)解:直径EM如图所示 ...........................................分 答案第1页,共7页 $$9. 解:'乙ADC= FDE ACD=FED=90*$ 'ACDFFD. .................................分 .ACEr CDDE' 即4C04 150.5 解得AC=12. ..................................4分 .AB 1 BG. DG1 BG. DC 1 AB $ ABG= BGD= DCB=90$$$ .四边形BGDC是矩形 :BC-DG-2. AB=AC+BC=12+2=14(米). .....................................6分 答:旗杆的高度为14米 ....................................7分 20. (1)证明:·A-{-(k+1)]*-4k .................分. '.△=k2+2k+1-4. △--2k+1. △-(-1)2=0. .................................分 ·该方程总有两个实数根 .....................................4分 (2)解:.x2-(k+1)x+k=0 .(x-)(x-1)-0. '.x-k=0或x-1=0 .×=k,x.=1. ..........................................6分 .-3<x<0.即-3<k<0. 又·k为整数 答案第2页,共7页 :k可取-2.-1. ................................分 21. (1)证明:如图,连接OC。 ......................................4分 。 # OA=OC. .2=3. C是pD的中点. .CD=BC. ..乙2-乙1. .乙3=乙1. . AE/OC. · CE1AD. :.CE1OC. OC是半径 .CE是⊙O的切线 (2)解:如图。连接CD,设BD,OC交点为F. ........................9分 , B ·AB是直径. .乙ACB=90* * BC-6.AC-8. .AB-AC^}+BC^}=10 答案第3页,共7页 .CD=BC. '.CD=BC-6. 四边形ABCD是O的内接四边形 .ABC+ ADC=180* :CDE+ ADC=180*. . CDE=乙ABC *CE1AD '. ACB= E=90*$$$$$$ .△CDE△ABC. 即 _ AB BC 10=6 解得:DF-18. 5' .CE=VCD-DE-24 5. .C是BD的中点. .OC 1 BD.DF=BF .CFD=90* E= EDC= CFD=90*$ .四边形CEDE是矩形 .BD=2DF-48 5. 22. 解:任务1.由题意可知.A(0.0.9)。B(6,0.9),E(1.1.4). 把B(6.0.9). E(1,1.4)代入y=ax}+bx+0.9.得, [36a+6b+0.9=0.9 la+b+0.9-1.4 [a=-0.1 解得: ...........................................4分 =0.6' 任务2,不能,理由如下: 由任务1知,该抛物线的解析式为y=-0.1x②+0.6x+0.9 答案第4页,共7页 'v=-0.1r+0.6x+0.9=-0.1x-3+1.8 .抛物线的顶点坐标为(3.1.8).即绳子用到最高处时最高点的高度为1.8米 .1.85>1.8. .他站立时绳子不能顺利从他头顶越过 .................................分 23操作发现 ......................................................分 解:连接CO并延长交OO于点M,连接AM. 图① 图② ,MC是O直径. .乙MAC-90. .乙AMC+乙ACM=90*. 由旋转的性质得乙B=乙ACE。 .乙B=乙AMC .乙ACE=乙AMC ' OCE= ACM+/ACE= ACM+/AMC=90 OC是⊙O的半径 :CF与⊙O相切; 问题解决1 ...................................................................6分 解: 由旋转的性质得:乙BAD=乙CAE,AD=AE '. BAD+ CAD= CAE+ CAD即 BAC= DAE AB-AC. .4BAC ADAE' :△ABC△ADE. 问题解决2 . B=乙ADE=乙ACB : ADC= ADE+ CDF= B+ BAD 答案第5页,共7页 :.乙CDF=乙BAD. .ABDDCF. 实践探究: .......................................................2分 解:.ABDDCF. 设BD=x.则CD=6-x. :30 30#(6--10# 61r-310 30 10; <0. 当x-3时,CF有最大值为30 10: 24. (1)解:把点A(-3,0)和点B(0.3的坐标代入v=ax^}-2x+c [9a+6+c=0 得到: lc-3 fa--1 解得: ................................................ lc=3. 3分 .抛物线的解析式为v=-x-2x+3; ...................... (2)解:如下图所示,过点P作PHlIy轴,交AB于点H, 设直线AB的解析式为y=x+b. 把点A(-3.0)和点B(0.3的坐标代入y=x+b [-3t+b=0 可得: b=3 答案第6页,共7页 k=1 解得: lb=3' .直线AB的解析式为v=x+3. ..........................分 设点P的横坐标为x,则点P的纵坐标为-x2}-2x+3 .点H的横坐标为×,点H的纵坐标为x+3. .PH=--2x+3-(x+3)=--3x 整理得:----(×#> x)-(3)#2# 2 --3--3)#--=)3-15 此时点P的坐标为(-315). ....................分 (3)证明:设直线MN的解析式为y=hx. 1--2-2x+3 解方程组{ ly= . 可得:-x2-2x+3-hx. 整理得:x2+(2+h)x-3-0 .................................0分 一元二次方程x^}+(2+h)x-3=0中 =b-4ac=(2+h){}+12>0 .一元二次方程x+(2+h)x-3=0有两个不相等的实数根 这两个不相等的实数根分别为n、”. a1 .mn是一个定值 ...............................................12分 答案第7页,共7页 2024-2025学年度九年级数学月考试卷答案 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D A A A D A A C 11． 12． 13．九/9 14． cm 15．①②④ 16．解：， ， ……………………………………2分 ∴， ∴， ……………………………………4分 ∴或， ……………………………………5分 解得， ……………………………………6分 17． ∵是绕着点顺时针方向旋转得到的，此时、、在同一直线上， ∴， 即旋转角为； ……………………………………3分 在中，∵，， ∴， ……………………………………5分 ∵绕着点旋转得到， ∴， ∴． ……………………………………7分 18．（1）解：与长度相等的弦如图所示：………………………………3分 （2）解：直径如图所示： …………………………………………3分 19． 解：，， ， ……………………………………2分 ， 即， 解得， ……………………………………4分 ，，， ， 四边形是矩形， ， （米）． ……………………………………6分 答：旗杆的高度为14米． ……………………………………7分 20． （1）证明：，……………………………………1分 ∴， ， ， ……………………………………3分 该方程总有两个实数根． ……………………………………4分 （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ……………………………………6分 ，即， 又为整数， 可取，． ……………………………………8分 21． （1）证明：如图，连接，…………………………………………4分 ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交点为F，……………………9分 ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 22． 解：任务，由题意可知，，，． 把，代入，得， ， 解得：， …………………………………………4分 任务，不能．理由如下： 由任务知，该抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为米， ∵， ∴他站立时绳子不能顺利从他头顶越过． ……………………………………8分 23操作发现： ……………………………………………………………3分 解：连接并延长交⊙O于点M，连接， ∵MC是⊙O直径， ， ， 由旋转的性质得， ∵， ， ， ∵OC是⊙O的半径， 与⊙O相切； 问题解决1： ……………………………………………………………6分 解： 由旋转的性质得：， 即， ∵AB=AC， ， ， 问题解决2： ……………………………………………………………9分 ， ， ， ， 实践探究：……………………………………………………………12分 解： ， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为； 24．（1）解：把点和点的坐标代入， 得到：， 解得：， ………………………………………… 3分 抛物线的解析式为； ……………………………… 4分 （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， ……………………………6分 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的纵坐标为， ， ， 整理得：， 可知当时，的面积有最大值，最大值是，当时，， 此时点的坐标为， ………………………………8分 （3）证明：设直线的解析式为， 解方程组， 可得：， 整理得：， ………………………………10分 一元二次方程中， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 这两个不相等的实数根分别为、， 则有， 是一个定值． …………………………………………12分 答案第2页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度十二月九年级数学试卷 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在⊙O中，，则等于（    ） A． B． C． D． （第2题图） （第7题图） （第8题图） 3．把抛物线向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 4．若是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A． B． C． D． 5．关于二次函数的性质，下列说法不正确的是（    ） A．顶点是 B．图象开口向上 C．函数有最小值 D．当时，y随x的增大而增大 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在半径为5的⊙O中，是直径，是弦，D是弧的中点，与交于点E．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，中，，，，以点A为圆心、为半径画弧，交于点E，以点B为圆心、为半径画弧，交于点F，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 9．如图1，，在矩形中，是边上的一个动点，交于点，设，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，矩形的边，的长是关于m的一元二次方程 的两个根，且．将矩形沿对角线折叠，点B的对应点为点，与交于点E，连接，则下列结论正确的个数有（    ） ①    ②    ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （第9题图） （第10题图） （第13题图） 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） ( 第 15 题图 第 14 题图 )11．关于的一元二次方程有一个根是，则 ． 12．在平面直角坐标系中，点的坐标为，将绕原点按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ． 13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为 14．如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于点E，OE:OC＝1:3，则AB的长为____. 15．如图，已知正方形ABCD的边长是12，BE=EC,将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④．在以上结论中，正确的有______（填写所有正确结论的序号）. 三、解答题（共9题，共75分） 16．（6分）解方程：． 17．（7分）如图，在中，，△DCE是绕着点顺时针方向旋转得到的，此时、、在同一直线上．求： 旋转角的大小； 若，，求的长． 18．（6分）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图，为⊙O的弦，画一条与长度相等的弦； (2)如图，正五边形内接于圆，请作出一条直径； ( 第 1 8 题 ) ( 第 1 9 题 ) 19．（7分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知米，米，测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，求旗杆的高度． 20．（8分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若为方程的一个根，且满足，求整数的值． 21．（9分）如图，四边形是⊙O的内接四边形，是直径，是弧BD的中点，过点作 交的延长线于点． (1)求证：是⊙O的切线； (2)连接，已知，求的长． 22．（8分）根据以下素材，探索完成任务． 问题背景 如图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动． 素材 如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米． 素材 如图，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系． 问题解决 任务 设此抛物线的解析式为，求的值． 任务 身高为米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由． 23．（12分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了⊙O的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点， 重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与⊙O的位置关系是__________，请说明理由： 【问题解决】1: 连接，与相交于点．如图②，求证∆ABC∽∆ADE 【问题解决】2：连接，与相交于点．如图②，求证∆ABD∽∆DCF 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当∆ABC确定时，线段的长存在最大值．请求出当．时，长的最大值； 24．（12分）综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，动点在抛物线上，且在直线上方，求△ABP面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图，过原点作直线交抛物线于、两点，点的横坐标为，点的横坐标为．求证：是一个定值． 第2页，共3页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页，共 2 页 第 15 题图 第 14 题图 2024-2025 学年度十二月九年级数学试卷 一、单选题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分） 1．剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产 代表作名录．下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在⊙O 中， 60ABC∠ = °，则 AOC∠ 等于（ ） A．30° B． 60° C．120° D．150° （第 2 题图） （第 7 题图） （第 8 题图） 3．把抛物线 22y x= 向右平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． ( )22 3 5y x= − + B． ( )22 3 5y x= + + C． ( )22 3 5y x= + − D． ( )22 3 5y x= − − 4．若 2( 3) 5 0m x mx− + − = 是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为（ ） A． 3m ≠ B． 3m = C． 3m ≥ D． 0m ≠ 5．关于二次函数 ( )21 3y x= + − 的性质，下列说法不正确的是（ ） A．顶点是 ( )1, 3− B．图象开口向上 C．函数有最小值 3− D．当 -1x > 时，y 随 x 的增大而增大 6．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问 甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3．乙一 直向东走，甲先向南走 10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多少 步？若设甲、乙二人从出发到相遇的时间为 x，根据题意，可列方程为（ ） A． 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x− = + B． 2 2 2(10) (7 10) (3 )x x= − + C． 2 2 2(3 ) (7 10) (10)x x= − + D． 2 2 2(7 10) 10 (3 )x x+ = + 7．如图，在半径为 5 的⊙O 中，𝐴𝐴𝐴𝐴是直径， AC 是弦，D 是弧 AC 的中点， AC 与𝐴𝐴𝐵𝐵交于点 E．若 1 2 BE DE = ， 则 AC 的长为（ ） A． 4 2 B． 4 3 C． 4 5 D． 4 6 8．如图，Rt ABC△ 中， 90C∠ = °， 4BC = ， 30A∠ = °，以点 A 为圆心、 AC 为半径画弧，交 AB 于点 E，以 点 B 为圆心、 BC 为半径画弧，交 AB 于点 F，则阴影部分的面积为（ ） A． 20π 8 3 3 − B． 4π8 3 3 − C． 20π 16 3 3 − D．8 3 3π− 9．如图 1，，在矩形 ABCD中， 4,BC E= 是 BC 边上的一个动点， ,AE EF EF⊥ 交CD于点 F ，设 ,BE x CF y= = ， 图 2 是点 E 从点 B 运动到点C 的过程中， y 关于 x的函数图象，则 AB 的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，矩形 ABCD的边 AB ， BC 的长是关于 m 的一元二次方程 22 30 100 0m m− + = 的两个根，且 AB BC> ．将矩形 ABCD沿对角线 AC 折叠，点 B 的对应点为点 B′， AB′与CD交于点 E，连接 B D′ ，则下 列结论正确的个数有（ ） ① 2AE B E′= ② ADE CB E′△ ≌△ ③ 3 5B D′ = ④ ACE B DE′△ ∽△ A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 （第 9 题图） （第 10 题图） （第 13 题图） 二、填空题（共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11．关于 x的一元二次方程 2 2 0x x m− + = 有一个根是 3x = ，则 m = ． 12．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为 ( )0,2 ，将OA绕原点O按 逆时针方向旋转90°得到OA′，则点 A′的坐标 是 ． 13．如图，A、B、C、D 为一个正多边形的顶点，O 为正多边形的中心，若 20ADB∠ = °，则这个正多边形的 边数为 14．如图，⊙O 的直径 CD＝12cm，AB是⊙O 的弦，AB⊥CD 于点 E，OE:OC＝1:3，则 AB 的长为____. 15．如图，已知正方形 ABCD 的边长是 12，BE=EC,将正方形边 CD 沿 DE 折叠到 DF，延长 EF 交 AB 于 G，连接 DG，现在有如下 4 个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④ 5 72 =BEFS△ ．在以上结 论中，正确的有______（填写所有正确结论的序号）. 三、解答题（共 9 题，共 75 分） 16．（6 分）解方程： ( )2 9 4 3− = −x x ． 17．（7 分）如图，在Rt ABC△ 中， ACB 90∠ = ，△DCE 是Rt ABC△ 绕着点C 顺 时针方向旋转得到的，此时B、C 、E在同一直线上．求： ( )1 旋转角的大小； 第 2 页，共 2 页 ( )2 若AB 5= ，AC 4= ，求BE的长． 18．（6 分）仅用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)如图， BC 为⊙O 的弦，画一条与 BC 长度相等的弦； (2)如图，正五边形 ABCDE 内接于圆，请作出一条直径； 19．（7 分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆 AB 的高度，他们通 过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶点 A 在同一直线上，已知 0.5DE = 米， 0.4EF = 米，测点 D 到地面的距离 2DG = 米，到旗杆的水平距离 15=DC 米，求旗杆的高度． 20．（8 分）已知关于 x的一元二次方程． ( )2 1 0x k x k− + + = (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若 1x 为方程的一个根，且满足 13 0x− < < ，求整数 k 的值． 21．（9 分）如图，四边形 ABCD是⊙O 的内接四边形， AB 是直径，C 是弧 BD 的中点， 过点C 作CE AD⊥ 交 AD的延长线于点 E ． (1)求证：CE是⊙O 的切线； (2)连接 BC ，已知 6, 8BC AC= = ，求𝐵𝐵𝐴𝐴的长． 22．（8 分）根据以下素材，探索完成任务． 问题背 景 如图1是某校利用大课间开展阳光体育 跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最 高处时的形状可以看作抛物线，为了了 解学生的身高与跳绳时所站位置之间的 关系，九年级数学实践活动小组开展了 一次探究活动． 素材1 如图 2，小组成员测得甲、乙两名同学 拿绳的手间距 AB 为6 米，到地面的距离 AO和 BD均为0.9米． 素材 2 如图 2，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点 F 处，绳子甩到 最高处时刚好通过她的头顶点 E ．以点 O为原点建立如图所示的平面直角坐标 系． 问题解决 任务1 设此抛物线的解析式为 2 0.9y ax bx= + + ，求 a b、 的值． 任务 2 身高为1.85米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：他站立时绳子能否顺利 从他头顶越过？请说明理由． 23．（12 分）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了⊙O 的内接等腰三角形 ABC ，AB AC= ．并在 BC 边上任取一点 D（不与点 B ，C 重合），连 接 AD，然后将 ABD△ 绕点A 逆时针旋转得到 ACE△ ．如图① 小明发现：CE与⊙O 的位置关系是__________，请说明理由： 【问题解决】1: 连接 DE ，与 AC 相交于点 F ．如图②，求证∆ABC∽∆ADE 【问题解决】2：连接 DE ，与 AC 相交于点 F ．如图②，求证∆ABD∽∆DCF 【实践探究】 连接 DE ，与 AC 相交于点 F ．如图②，小明又发现：当∆ABC 确定时，线段CF 的长存在最大值．请求出 当 3 10AB = ． 6BC = 时，CF 长的最大值； 24．（12 分）综合与探究： 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 2 2y ax x c= − + 与 x 轴交于点 ( )3,0A − 和点C ，与 y 轴交于点𝐴𝐴(0,3)， 点 P 是抛物线上点 A 与点C 之间的动点（不包括点A ，点C ）． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，动点 P 在抛物线上，且在直线 AB 上方，求△ABP 面积的最大值及此时点 P 的坐标； (3)如图 2，过原点O作直线 l交抛物线于 M 、 N 两点，点 M 的横坐标为 m ，点 N 的横坐标为 n．求证： mn 是一个定值． 第 19 题 第 18 题