广东省广州市越秀区广东实验中学越秀学校2024-2025学年高三上学期11月段考数学试卷

2024学年上学期广东实验中学越秀学校高三11月段考 数学试题 高三数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 2. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则实数的值分别为（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 10 4. 已知（），则（ ） A. B. C. D. 5. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图，在鳖臑中，底面，作于于，下面结论正确的是（ ） ①平面 ②平面 ③三棱锥是鳖臑 ④三棱锥是鳖臑 A. ①③ B. ①②④ C. ②③ D. ①③④ 6. 已知椭圆：（）的上顶点为，左、右焦点分别为，，连接并延长交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，…，在，之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则（ ） A. 当时，数列单调递减 B. 当时，数列单调递增 C. 当时，数列单调递减 D. 当时，数列单调递增 8. 已知函数若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若单调递减，则 B. 若的最小值为，则 C. 若仅有两个零点，则 D. 若仅有两个极值点，则 10. 杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合.根据杨辉三角判断下列说法正确的是（ ） A. B. 已知，则 C. 已知的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数和为 D. 11. 已知函数为偶函数，且，当时，，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 的最小正周期为2 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ________． 13. 在中，，点在上，满足，，.则的面积为______. 14. 甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则______，的数学期望______.（用表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求曲线的斜率为1的切线方程； （2）当时，求证：. 16. 已知点到点的距离比点到轴的距离大1， （1）求点的轨迹的方程； （2）若点（）在上，又已知点，延长交于点，证明：以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切. 17. 如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，平面⊥平面ABCD，，点P是棱的中点，点Q在棱BC上． （1）若，证明：平面； （2）若二面角的正弦值为，求BQ的长． 18. 某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24． （1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率． （2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p． （i）试用含m的代数式表示p； （ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值． 19. 在个数码1，2，…，（，）构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，， （1）计算； （2）设数列满足，，求的通项公式； （3）设排列（，）满足（），（），，求， 2024学年上学期广东实验中学越秀学校高三11月段考 数学试题 高三数学备课组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BD 【10题答案】 【答案】AD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】（或，答案不唯一） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）和. （2） 令，. 由，得. 令，得或. 当时，，的变化情况如下表： 0 4 ＋ － ＋ 递增 0 递减 递增 0 所以的最小值为，最大值为0， 故，即. 【16题答案】 【答案】（1）或 （2） 因为点在抛物线：上，所以， 由抛物线的对称性，不妨设 ， 由，可得直线的方程为. 由，得， 解得或，从而. 又，所以，， 所以，从而，则点到直线，的距离相等， 故以为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切. 【17题答案】 【答案】（1） 取的中点M，连接MP，MB． 在四棱台中，四边形是梯形，，， 又点M，P分别是棱，的中点，所以，且． 在正方形ABCD中，，，又，所以． 从而且，所以四边形BMPQ是平行四边形，所以． 又因为平面，平面，所以平面； （2）1． 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii）时，． 【19题答案】 【答案】（1）5 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $