第4章 三角形(教师专享)-【一战成名新中考】2025云南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册））

教师备课尊享·云南数学 第四章　 三角形 　 第 四 章 三 角 形 一 知识思维导图串讲 93 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 二 云南近 5 年中考考情分析 1. 近 5 年题型、题位、分值的分析与总结 　 　 　 年份 题型　 　 　 2024 年 2023 年 2022 年 2021 年 2020 年 选择题 8 题 2 分 12 题 2 分 3 题 3 分 10 题 3 分 3 题 4 分 5 题 4 分 11 题 4 分 2 题 4 分 4 题 4 分 11 题 4 分 填空题 18 题 2 分 18 题 4 分 12 题 3 分 14 题 3 分 2 题 3 分 解答题 21 题 6 分 18 题 6 分 16 题 6 分 16 题 6 分 题量总计 4 道 3 道 4 道 5 道 3 道 分值总计 12 分 12 分 16 分 20 分 13 分 【考情总结】 (1)近 5 年每年考 3-5 道题,分值范围为 12-20 分; (2)近 4 年选择题每年考 2-3 道; (3)除 2023 年外,近 5 年填空题每年考 1-2 道; (4)除 2022 年外,近 5 年解答题每年必考 1 道. 2. 章内各版块考查频次、特点的分析与总结 　 　 　 年份 版块　 　 　 2024 年 2023 年 2022 年 2021 年 2020 年 几何初步 3 题 3 分 3 题 4 分 2 题 4 分 2 题 3 分 一般三角形 10 题 3 分 等腰三角形 8 题 2 分 18 题 4 分 直角三角形 14 题 3 分 全等三角形 21 题 6 分 18 题 6 分 11 题 4 分 16 题 6 分 16 题 6 分 相似三角形 18 题 2 分 5 题 4 分 12 题 3 分 11 题 4 分 锐角三角函数 12 题 2 分 4 题 4 分 【考情总结】 (1)平行线性质求角度除 2024 年外,每年必考 1 道选择题或填空题; (2)一般三角形或特殊三角形近 4 年每年在选择题或填空题中必考 1 道; 直角三角形每年解题中涉及考查勾股定理; (3)全等三角形近 5 年每年必考 1 道,2024 年在解答题考查; (4)相似三角形除 2023 年外,每年必考 1 道选择题或填空题. 04 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 三 云南近 3 年中考真题分类 版块 1　 几何初步 1. [2023 云南 3 题 3 分]如图,直线 c 与直线 a,b 都相交. 若 a∥b,∠1 = 35°,则∠2 = (　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 145° B. 65° C. 55° D. 35° 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 2. [2022 云南 3 题 4 分]如图,已知直线 c 与直线 a,b 都相交. 若 a∥b,∠1 = 85°,则∠2 = (　 D　 ) A. 110° B. 105° C. 100° D. 95° 版块 2　 一般三角形 3. [2023 云南 10 题 3 分]如图,A,B 两点被池塘隔开,A,B,C 三点不共线. 设 AC,BC 的中点分别为 M, N. 若 MN= 3 米,则 AB= (　 B　 ) A. 4 米 B. 6 米 C. 8 米 D. 10 米 版块 3　 等腰三角形 4. [2024 云南 8 题 2 分]已知 AF 是等腰△ABC 底边 BC 上的高,若点 F 到直线 AB 的距离为 3,则点 F 到直线 AC 的距离为 (　 C　 ) A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 7 2 5. [2022 云南 18 题 4 分] 已知 △ABC 是等腰三角形. 若 ∠A = 40°, 则 △ABC 的顶角度数是 　 40°或 100°　 . 【解析】当∠A 是顶角时,△ABC 的顶角度数是 40°;当∠A 是底角时,则△ABC 的顶角度数为 180°-2×40° = 100°.综上所述,△ABC 的顶角度数是 40°或 100°. 版块 4　 全等三角形 6. 共夹角型 [2024 云南 21 题 6 分]如图,在△ABC 和△AED 中,AB=AE,∠BAE= ∠CAD,AC=AD. 第 6 题图 求证:△ABC≌△AED. 证明:∵∠BAE=∠CAD, ∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC,即∠BAC=∠EAD, 2 分……………………………… 在△ABC 与△AED 中, AB=AE, ∠BAC=∠EAD AC=AD, ì î í ï ï ïï , ∴△ABC≌△AED(SAS) . 6 分…………………………………………………………………………… 14 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 7. 其他型 [2023 云南 18 题 6 分]如图,C 是 BD 的中点,AB=ED,AC=EC. 第 7 题图 求证:△ABC≌△EDC. 证明:∵C 是 BD 的中点, ∴BC=DC. 2 分……………………………………………………………… 在△ABC 和△EDC 中, AB=ED, AC=EC, BC=DC, ì î í ï ï ï ï ∴△ABC≌△EDC(SSS) . 6 分…………………………………………………………………………… 8. 共边型 [2022 云南 11 题 4 分]如图,OB 平分∠AOC,D,E,F 分别是射线 OA,射线 OB,射线 OC 上的 点,D,E,F 与 O 点都不重合,连接 ED,EF. 若添加下列条件中的某一个,就能使△DOE≌△FOE. 你认为要添加的那个条件是 (　 D　 ) 第 8 题图 A. OD=OE B. OE=OF C. ∠ODE= ∠OED D. ∠ODE= ∠OFE 版块 5　 相似三角形 9. 平行线型 [2024 云南 18 题 2 分] 如图,AB 与 CD 交于点 O,且 AC∥BD. 若 OA+OC+AC OB+OD+BD = 1 2 ,则 AC BD = 　 1 2 　 . 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 　 　 　 第 11 题图 10. 平行线型 [2022 云南 5 题 4 分]如图,在△ABC 中,D,E 分别为线段 BC,BA 的中点,设△ABC 的面 积为 S1,△EBD 的面积为 S2,则 S2 S1 = (　 B　 ) A. 1 2 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8 版块 6　 锐角三角函数 11. [2024 云南 12 题 2 分]如图,在△ABC 中,若∠B= 90°,AB= 3,BC= 4,则 tanA= (　 C　 ) A. 4 5 B. 3 5 C. 4 3 D. 3 4 24 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 四 大单元结构化整合练 大单元整合练———三角形的理解与勾连 34 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 综合训练 1. 如图,在△ABC 中,AB=AC,CD 是 AB 边上的中线,延长 CB 至点 E,使得 BE=BD,连接 DE. 若AB= 6,∠A= 60°. 则 DE 的长为　 3 3 　 . 第 1 题图 2. 已知,在△ABC 中,AB= 2. (1)如图①,若∠A= 120°,AC= 5,则 BC 的长为　 39 　 ; 第 2 题图① (2)如图②,若∠BAC= 135°,∠B= 30°,D 为 BC 中点,连接 AD,则∠DAC 的度数为　 30　 °; 第 2 题图② (3)如图③,若∠B= 45°,∠C= 60°,则△ABC 的面积为　 1+ 3 3 　 ; 第 2 题图③ (4)如图④,若∠B= 90°,∠C= 15°,则 tanA 的值为　 3 +2　 ; 第 2 题图④ (5)如图⑤,若∠B= 45°,∠C= 22. 5°,则 BC 的长为　 2+2 2 　 . 第 2 题图⑤ 44 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 大单元整合练———全等三角形与相似三角形 思维构建 总结:证相似,仅两角相等即可; 证全等,必有一组边相等; 三角相等,不能证全等. 对比训练 1. 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别是 AB,AC 上的点,且 DE∥BC. 第 1 题图 求证:△ABC∽△ADE. 证明:∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B, 又∵∠A=∠A, ∴△ABC∽△ADE. 变式 如图,点 D,E 分别是 BA,CA 延长线上的点,且∠D= ∠B,请添加一个条件:　 AD=AB(答案 不唯一) 　 ,使得△ABC≌△ADE,并写出证明过程. 第 1 题变式图 证明如下: 在△ABC 和△ADE 中, ∠BAC=∠DAE, AB=AD, ∠B=∠D, ì î í ï ï ï ï ∴△ABC≌△ADE(ASA) . 2. 如图,已知∠BAC= ∠EAD,AB= 20. 4,AC= 48,AE= 17,AD= 40. 求证:△ABC∽△AED. 第 2 题图 证明:∵AB=20. 4,AC=48,AE=17,AD=40, ∴AB AE =20. 4 17 =1. 2,AC AD =48 40 =1. 2, ∴AB AE =AC AD , ∵∠BAC=∠EAD,∴△ABC∽△AED. 54 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 变式 如图,已知 AB=AD,AC=AE,∠BAD= ∠CAE. 求证:△ABC≌△ADE. 第 2 题变式图 证明:∵∠BAD=∠CAE, ∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 即∠BAC=∠DAE, 在△ABC 和△ADE 中, AB=AD, ∠BAC=∠DAE, AC=AE, ì î í ï ï ï ï ∴△ABC≌△ADE(SAS) . 3. 如图,在边长为 1 的正方形网格中,△ABC 和△DEF 都是格点三角形. 求证:△ABC∽△FDE. 第 3 题图 证明:由题图可知 AB=2,BC= 12+12 = 2 , AC= 32+12 = 10 ,DE=2,DF= 22+22 =2 2 ,EF= 42+22 =2 5 , ∴AB FD = 2 2 2 = 2 2 ,BC DE = 2 2 ,AC EF = 10 2 5 = 2 2 , ∴AB FD =BC DE =AC EF = 2 2 , ∴△ABC∽△FDE. 4. 如图,点 E,F 在 BC 上,BE=FC,AB=DC,AF=DE. 求证:△ABF≌△DCE. 第 4 题图 证明:∵BE=FC, ∴BE+EF=FC+EF,即 BF=CE, 在△ABF 与△DCE 中, AB=DC, BF=CE, AF=DE, ì î í ï ï ï ï ∴△ABF≌△DCE(SSS) . 64 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 五 2022 年版课标内容梳理 命题点 1　 线段、角、相交线与平行线 1. 通过实物和模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念. 2. 会比较线段的长短,理解线段的和、差,以及线段中点的意义. 3. 掌握基本事实:两点确定一条直线. 4. 掌握基本事实:两点之间线段最短. 5. 理解两点间距离的意义,能度量和表达􀪍􀪍􀪍(新增)两点间的距离. 6. 理解角的概念,能比较角的大小;认识度、分、秒等角的度量单位,能进行简单的单位换算,会计算 角的和、差. 7. 理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角相等、同角(或等 角)的补角相等的性质. 8. 理解垂线、垂线段等概念,能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. 9. 掌握基本事实:同一平面内􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增),过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 10. 理解点到直线的距离的意义,能度量点到直线的距离. 11. 识别同位角、内错角、同旁内角. 12. 理解平行线的概念. 13. 掌握平行线基本事实Ⅰ:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 14. 掌握平行线基本事实Ⅱ:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 15. 探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条 直线平行. 16. 掌握平行线的性质定理Ⅰ:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;∗了解定理的证明. 17. 探索并证明平行线的性质定理 Ⅱ:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补). 18. 能用三角板和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线. 19. 了解平行于同一条直线的两条直线平行. 20. 理解角平分线的概念􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍􀪍(新增),探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之, 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 21. 理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 22. 理解 ∙∙ 两条平行线之间距离的概念 ∙∙ (“了解”改为“理解”,“意义”改为“概念”),能度量两条平行线之间的距离. 23. 通过具体实例,了解定义、命题、定理、推论的意义. 24. 结合具体实例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念. 会识别两个互逆的命题,知道原命 题成立其逆命题不一定成立. 25. 知道证明的意义和证明的必要性,知道数学思维要合乎逻辑,知道可以用不同的形式表述证明的过程,会用综 合法的证明格式. 26. 了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的. 27. 通过实例体会反证法的含义. 74 教师备课尊享·云南数学 　 第 四 章 三 角 形 命题点 2　 三角形及其重要线段 1. 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念, 了解三角形的稳定性. 2. 探索并证明三角形的内角和定理. 掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 3. 证明三角形的任意两边之和大于第三边. 4. 了解三角形重心的概念. 5. 探索并证明三角形的中位线定理. 6. 了解 ∙∙ 三角形的内心(“知道”改为“了解”). 命题点 3　 等腰三角形的性质与判定 理解 ∙∙ 等腰三角形的概念(“了解”改为“理解”),探索并证明等腰三角形的性质定理: 等腰三角形的两个底角相等; 底边上的高线、中线及顶角平分线重合. 探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角 形. 探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于 60°. 探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的三 角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是等边三角形. 命题点 4　 直角三角形的性质与判定 1. 理解 ∙∙ 直角三角形的概念(“了解”改为“理解”),探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互 余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 2. 探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题. 命题点 5　 全等三角形的性质与判定 1. 理解全等三角形的概念,能识别全等三角形中的对应边、对应角. 2. 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等. 3. 掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. 4. 掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等. 5. 证明定理:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 6. 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 命题点 6　 相似三角形的性质与判定(含位似) 1. 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割. 2. 通过具体实例认识图形的相似. 了解相似多边形和相似比. 3. 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例. 4. 了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三 边成比例的两个三角形相似. ∗了解相似三角形判定定理的证明. 5. 了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比;面积比等于相似比的平方. 6. 了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小. 7. 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 8. 在平面直角坐标系中,探索并了解将一个多边形的顶点坐标 (有一个顶点为原点)分别扩大或缩小相同倍数时 所对应的图形与原图形是位似的. 命题点 7　 锐角三角函数及实际应用 1. 利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道 30°,45°,60°角的三角函数值. 2. 会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角. 3. 在平面上,运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置. 4. 能用锐角三角函数解直角三角形,能用相关知识解决一些简单的实际问题. 5. 了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算. 84