3.10 二次函数图象与a，b，c的关系&3.11 二次函数解析式的确定及图象的变换-【一战成名新中考】2025云南中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

参考答案及解析·云南数学 分 层 作 业 本 　 = 60×6 = 360,∴ 反比例函数解析式为 v= 360 m ,当 m= 90 kg 时,v= 360 90 = 4 m / s. 6. A　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 x2 +2x+1-k= 0 无实 数根,∴ Δ= 4-4(1-k) <0,解得 k<0,则函数 y = kx 的图象 经过第二、四象限,且过原点,函数 y= 2 x 的图象分布在第 一、三象限,两个函数图象没有交点. 7. C　 【解析】由题意得,y= 500 x ;A. 若 x= 5,则 y= 500 5 = 100, 正确,故此选项不符合题意;B. 若 y= 125,则 125 = 500 x ,解 得 x= 4,正确,故此选项不符合题意;C. 若 x 减小,则 y 增 大,原说法错误,故此选项符合题意;D. 若 x 减小一半,即 y= 500 1 2 x = 1000 x ,所以 y 增大一倍,正确,故此选项不符合 题意. 8. 解:(1)设底面积 S 与深度 d 的反比例函数解析式为S= V d ,把点(20,500)代入解析式得 500 = V 20 ,∴ V= 10000; (2)由(1)得 S= 10000 d , ∵ S 随 d 的增大而减小, ∴ 当 16≤d≤25 时,400≤S≤625. 命题点 9　 二次函数的图象与性质 1. C　 2. A　 变式 (1)1;(2)2 3. (1)直线 x= -2;(2)直线 x= -1;(3)直线 x= -3;(4)直线 x= 1;(5)直线 x= 2;(6)直线 x= 3 2 变式 3-1 8　 变式 3-2 1 4 4. A　 【解析】∵ y= x2 - 2x- 3 = ( x- 1) 2 - 4,∴ 抛物线的开口 向上,对称轴为直线 x = 1,∵ 二次函数 y = x2 - 2x- 3 的图 象上有两点( -1,y1 ),(3,y2 ),∴ 点( -1,y1 ),(3,y2 )关于 直线 x= 1 对称,∴ y1 = y2 . 变式 4-1 C　 【解析】∵ 二次函数 y= -(x+1) 2 -2,∴ a = -1< 0,抛物线开口向下,对称轴为直线 x= -1,∴ 当 x<-1 时, y 随 x 的增大而增大,当 x>-1 时,y 随 x 的增大而减小, ∵ -1-( -2)= 1,-2+2 = 0,∴ C( -2,y3 )与 C′(0,y3 )关于 对称轴对称,∵ 0<1<2,∴ y3 >y1 >y2 . 变式 4-2 B　 【解析】∵ 二次函数 y=a( x-2) 2 的顶点为(2, 0),对称轴为直线 x = 2,而当 x<2 时,y 随 x 的增大而减 小,∴ 此抛物线开口向上,只经过第一、二象限,四个选项 仅 B 符合. 5. B　 【解析】由数据可得:当 x = -1 和 3 时,对应 y 的值相 等,∴ 函数图象的对称轴为直线 x= -1+3 2 = 1,∴ 顶点坐标 为(1,-4),∵ 从 x= -2 到 1 对应的 y 值不断减小,∴ 抛物 线开口向上,当 x<1 时,y 随 x 的增大而减小,当 x = 1 时, 函数有最小值-4,x = 4 与 x = -2 关于直线 x = 1 对称,对 应的 y 值均为 5,故选项 A, C, D 都错误,只有选项 B 正确. 6. D　 【解析】A. ∵ 顶点坐标为( -1,4),∴ 对称轴为直线 x = -1,故选项 A 错误;B. 由对称性可知,( -3,0)关于直线 x= -1 对称的点为(1,0),故选项 B 错误;C. 开口向下,当 x<-1 时,y 随 x 的增大而增大,故选项 C 错误;D. 设二次 函数解析式为 y=a(x+1) 2 +4,将( -3,0)代入得 a= -1,∴ y= -(x+1) 2 +4,令 x = 0,得 y = 3,∴ 二次函数图象与 y 轴 的交点的纵坐标是 3,故选项 D 正确. 命题点 10　 二次函数图象与 a,b,c 的关系 1. A　 【解析】∵ 一次函数 y= ax+b(a≠0,a,b 是常数)的图 象经过点 P( -2,0),且与 y 轴正半轴相交,∴ a>0,-2a+b = 0,∴ - b 2a = - 1,∴ 抛物线开口向上,对称轴为直线 x = -1. 2. B　 【解析】分两种情况讨论:①当 k>0 时,反比例函数 y= k x (k≠0)的图象在第一、三象限,而二次函数 y = kx2 -k 的图象开口向上,与 y 轴交点在原点下方,都不符. ②当 k <0 时,反比例函数 y = k x ( k≠0)的图象在第二、四象限, 而二次函数 y = kx2 -k 的图象开口向下,与 y 轴交点在原 点上方,B 符合. 故在同一平面直角坐标系中的图象大致 是 B. 3. C　 【解析】由题意,抛物线顶点为( -1,-2),可设抛物线 为 y=a(x+1) 2 -2,∴ y = a( x2 +2x+1) -2 = ax2 +2ax+a-2, 又∵ 抛物线为 y=ax2 +bx+c,∴ b = 2a,c= a-2. ∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方,∴ c=a-2>0,∴ a>2>0,故 A,B 均 不正确;∵ 抛物线的顶点为( -1,-2),∴ 当 x= -1 时,y = a -b+c= -2,故 C 正确;由 b= 2a,c=a-2,∴ b2 -4ac= 4a2 -4a (a-2)= 8a>0,故 D 错误. 4. C　 【解析】∵ 抛物线开口向下,∴ a< 0,∵ 抛物线的对称 轴是直线 x= 1,∴ - b 2a = 1,∴ b = -2a>0,∵ 抛物线交 y 轴 于正半轴,∴ c>0,∴ abc<0,故 A 错误;∵ 抛物线与 x 轴有 两个交点,∴ b2 -4ac>0,故 B 错误;∵ b = -2a,∴ b+2a = 0, 故 C 正确;当 x = 1 时,函数有最大值为 a+b+c,当 x = m 时,y=am2 +bm+c,∴ am2 +bm+c≤a+b+c,∴ am2 +bm≤a+ b,故 D 错误. 5. C　 【解析】∵ 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象开口向上,与 y 轴交于负半轴,∴ a>0,c<0,∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的 图象对称轴为直线 x = - b 2a > 0,∴ b< 0,∴ abc> 0,故①错 误;∵ 二次函数 y=ax2 +bx+c 的图象对称轴为直线 x= - b 2a <1,∴ 2a+b>0,故②正确;∵ 二次函数 y = ax2 +bx+c 的图 象过点( -1,2)和(1,0),∴ a+b+c = 0,a-b+c = 2,∴ a+c = 1,故③正确;∵ c<0,∴ a = 1-c>1,故④正确,∴ 正确的个 数是 3. 6. ①②④　 【解析】本题利用描点法画出草图判断结论更简 洁. 由表格数据得,该二次函数图象过点( -3,5),(1,5), 抛物线的对称轴为直线 x= -3+1 2 = -1,∴ 抛物线的顶点坐 标为( -1,9),画出草图如解图,∴ a<0,b<0,c>0,∴ abc> 0,故①正确;关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 9 的解即 为抛物线 y=ax2 +bx+c 与直线 y= 9 的交点横坐标,如解图 可得,关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+c= 9 有两个相等的 实数根,故②正确;当- 4<x< 1 时,由解图可得,y 的取值 范围为 0<y≤9,故③错误;∵ m+( -m-2) 2 = - 1,∴ 点(m, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 参考答案及解析·云南数学 分 层 作 业 本 y1 ),( -m-2,y2 )关于对称轴直线 x = - 1 对称,∴ y1 = y2 , 故④正确;综上,正确的结论为①②④. 第 6 题解图 7. B　 【解析】由题意,∵ ax2 +bx+c= 0 有两实根 x1 = -1,x2 = 3,∴ a-b+c= 0,① 9a+3b+c= 0,②{ ∴ ②-①,得 8a+4b = 0,∴ 2a+b = 0, 故①正确;∴ b = -2a,∴ 抛物线 y = ax2 +bx+c 的对称轴是 直线 x= - b 2a = - -2a 2a = 1,∴ 抛物线 y = ax2 +bx+c 的顶点为 (1,a+b+c) . 又 b= -2a,a-b+c= 0,∴ 3a+c = 0,即 a = - c 3 , ∴ b= -2a= 2 3 c,∴ a+b+c = 4 3 c,∴ 顶点坐标为(1, 4 3 c), 故②正确;∵ 3a+c= 0,∴ c = -3a. 又 b = -2a,abc>0,∴ abc =a·( -2a)·( -3a)= 6a3 >0,∴ a>0,故③错误;∵ m(am +b) <4a+2b,∴ am2 +bm+c<4a+2b+c,∴ 对于函数 y = ax2 + bx+c,当 x=m 时的函数值小于当 x = 2 时的函数值. ∵ a> 0,抛物线的对称轴是直线 x = 1,又此时抛物线上的点离 对称轴越近函数值越小,∴ |m- 1 | < 2- 1,∴ - 1<m- 1< 1, ∴ 0<m<2,故④错误. 综上,正确的有①②,共 2 个. 命题点 11　 二次函数解析式的确定 及图象的变换 1. (1)y= - 1 3 x2 + 4 3 x+ 5 3 ;(2)y= -x2 +1(答案不唯一); (3)y= - 3 16 x2 + 9 8 x+3;(4)y= x2 -2x-3;(5)y= -x2 -2x+3; (6)y= x2 -9 2. A　 变式 A 3. <　 【解析】∵ y= x2 -2x+1 = (x-1) 2 ,∴ 二次函数 y = x2 -2x +1 的图象向左平移两个单位得到抛物线 C 的函数关系 式为:y = (x-1+2) 2 ,即 y = (x+1) 2 ,∴ 抛物线 C 开口向 上,对称轴为直线 x= -1,∵ 点 P(2,y1 ),Q(3,y2 )在抛物 线 C 上,且-1<2<3,∴ y1 <y2 . 4. 解:∵ 抛物线 y= (2a-3) x2 +(4a+2) x+a-5(实数 a 为常 数)的对称轴为直线 x= 3, ∴ - 4a+2 2(2a-3) = 3, ∴ -(4a+2)= 6(2a-3), 解得 a= 1, ∴ 抛物线的解析式为 y= -x2 +6x-4. 5. 解:∵ 二次函数 y=ax2 -2ax-3a(a 为常数且 a≠0)图象的 顶点在 x 轴上方,且到 x 轴的距离为 4, ∴ 4a·( -3a) -( -2a) 2 4a = 4, 解得 a= -1, ∴ 二次函数的解析式为 y= -x2 +2x+3. 命题点 12　 二次函数图象与性质的应用 1. B　 变式 1-1 B　 【解析】根据题意得 Δ= b2 -4ac= ( -4) 2 -4m≥0,解得 m≤4. 变式 1-2 < 2. D　 【解析】联立抛物线与直线解析式消掉 y 得,x2 +4m = 2(m+ 1) x,整理得,x2 - 2(m+ 1) x+ 4m = 0,Δ = b2 - 4ac = 4(m+1) 2 -4×1×4m= 4(m-1) 2 ,∵ 4(m-1) 2 ≥0,∴ Δ≥0, ∴ 抛物线与直线至少有一个交点. 3. (1,-1)　 【解析】y= x2 -(m+2)x+m = x2 -2x-( x-1)m,令 x-1 = 0,即 x= 1,解得 y = -1,即二次函数图象过定点(1, -1) . 4. D　 【解析】解法一:∵ 抛物线的对称轴为直线 x= -1,与 x 轴的一个交点为(1,0),∴ 抛物线与 x 轴的另外一个交点 为( -3,0),∴ 一元二次方程-x2 +bx+3 = 0 的根为 x1 = 1,x2 = -3. 解法二:由图象可设一元二次方程-x2 +bx+3 = 0 的根为 x1 = 1,x2 ,则 x1x2 = -3,解得 x2 = -3,∴ 一元二次方程-x2 +bx +3 = 0 的根为 x1 = 1,x2 = -3. 解法三:将(1,0)代入抛物线解析式中得-1+b+3 = 0,∴ b = -2,∴ y= -x2 -2x+3,令 y= 0,则-x2 -2x+3 = 0,解得 x1 = 1,x2 = -3,∴ 一元二次方程-x2 +bx+3 = 0 的根为 x1 = 1,x2 = -3. 变式 -2(答案不唯一)　 【解析】∵ 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx=m 有实数根,∴ 抛物线 y=ax2 +bx 与直线 y=m 有 交点,∵ m≥-3 时,抛物线 y = ax2 +bx 与直线 y = m 有交 点,∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx =m 有实数根,则 m 的值可以为-2. 5. x<-2 或 x>8　 【解析】∵ 抛物线与直线交点坐标为A( -2, 4),B(8,2),∴ x<-2 或 x>8 时,抛物线在直线上方,∴ 使 y1 >y2 成立的 x 的取值范围是 x<-2 或 x>8. 6. B　 【解析】∵ 4a-b = 0,∴ b = 4a,对称轴是直线 x = - b 2a = - 4a 2a = -2,∴ 抛物线与 x 轴的两交点关于直线 x = - 2 对 称,又∵ 抛物线与 x 轴的两交点之间的距离小于 2,∴ 一 个根在-2 和-1 之间,另一个较小的根在-3 和-2 之间. 7. D　 【解析】当 a= 1 时,y = -x+ 1,此时一次函数 y = -x+ 1 的图象与 x 轴只有一个公共点;当 a≠1 时,令 y = 0,则(a -1)x2 -x+1 = 0,∵ 二次函数的图象与 x 轴只有一个交点, ∴ Δ= ( -1) 2 -4(a-1) ×1 = 0,解得 a = 5 4 . 综上所述,a = 1 或 5 4 . 8. D　 【解析】令 x= 0,则 y= 3,∴ 二次函数图象与 y 轴的交 点坐标为(0,3),∵ 其对称轴是直线 x= - -2a 2a = 1,当 a>0, Δ<0 时,满足当 0<x<3 时对应的函数值 y 均为正数,∴ Δ = ( -2a) 2 -4·a×3<0,解得 a<3,∴ 0<a<3;当 a<0 时,令 x= 3,则 y= 9a-6a+3>0,解得 a>- 1,∴ - 1<a< 0. 综上,a 的取值范围为-1<a<0 或 0<a<3. 9. 证明:由 y=ax2 +(1-4a)x+3a-1 = (x-1)(ax-3a+1),令 y = 0, ∴ x= 1 或 x= 3a-1 a . ∵ a> 1 2 , ∴ 1 a <2, ∴ 3- 1 a >1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21 命题点10二次函数图象与a,b,c的关系 A基础达标练 B.b2-4ac<0 考向1多函教图象判断 C.2a+b=0 1.在平面直角坐标系中，已知一次函数y=ax+b D.am2+bm>a+b(m为任意实数) (a≠0，a,b是常数)的图象经过点P(-2,0) 5.[2023昆明呈贡区期未改编]如图，二次函数y= 且与y轴正半轴相交，则二次函数y=ax2+bx+ ax2+br+c的图象开口向上，图象经过点(-1， 1的图象可能是 2)和(1,0)且与y轴交于负半轴，下列给出四 个结论：①abc<0:②2a+b>0:③a+c=1:④a> 1.其中正确的个数是 2.[2022昆明西山区一模]在同一平面直角坐标系 中，函数y=x2-k(k≠0)与y=(k≠0)的图 第5题图 象大致是 A.1 B.2 C.3 D.4 6.[2024烟台节选]已知二次函数y=ax2+bx+c的 y与x的部分对应值如下表： 第三章 -3 5 0 9 5 21 函 考向2图象与a,b,c的关系 下列结论： 数 3.[2024湖北省卷]已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b, ①abc>0:②关于x的一元二次方程aa2+bx+ c为常数，a≠0)的顶点坐标为(-1，-2)，与y c=9有两个相等的实数根：③当-4<x<1时，y 轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是 的取值范围为0<y<5:④若点(m,片)，(-m- 2,y2)均在二次函数图象上，则y,=y2·其中正 A.a<0 B.c<0 确结论的序号为 C.a-b+c=-2 D.b2-4ac=0 B强化提升练 @ 4.[2024曲靖市期末]如图，抛物线y=ax2+bx+ 7.[2024雅安]已知一元二次方程ax2+bx+c=0有 c(a≠0)的对称轴是直线x=1,下列说法正确 两实根x,=-1,x2=3,且abc>0,则下列结论中 的是 正确的有 ( ①2a+b=0:②抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标 01234 为15：③a<0:④若m(am+b)<a+2,则 第4题图 0<m<1. A.1个 B.2个C.3个D.4个 A.abe>0 分层作业本·云南数学 39 命题点11二次函数解析式的确定及图象的变换(8年7) Q基础达标练 变式[2024昆明九县区期术]将抛物线y=x2平移 考向1待定系数法确定解析式(8年7考，在二次 后得到抛物线y=(x+1)2-2,则下列平移正确 函数解答题沙及考查) 的是 1.求下列二次函数的解析式： A.向左平移1个单位长度，再向下平移2个 (1)【已知顶点】[形师九下P43第1题改编]已 单位长度 知抛物线的顶点坐标是(2,3)，与x轴的一个 B.向左平移1个单位长度，再向上平移2个 交点是(5,0)： 单位长度 (2)【已知顶点】[2023上海]一个二次函数y= C.向右平移1个单位长度，再向上平移2个 ax2+bx+c图象的顶点在y轴正半轴上，且其对 单位长度 称轴左侧的部分是上升的.那么这个二次函 D.向右平移1个单位长度，再向下平移2个 数的解析式可以是 单位长度 3.[2024内江]已知二次函数y=x2-2x+1的图象 (3)【已知两点】[2018云南20(1)题节选]已知 向左平移两个单位得到抛物线C,点P(2, 3 二次函数y=- 2+bx+c的图象经过A(0,3), 16 y),Q(3,y2)在抛物线C上，则y1 y,(填 第三章 “>”或“<”) B(-4,?)两点： B强化提升练 @ (4)【已知与x轴两交点】已知二次函数y= 4.[2024昆明西山区一模节选]已知抛物线y=(2a- ax2+bx+c的图象过点A(-1,0),B(3,0),且与 3)x2+(4a+2)x+a-5(实数a为常数)的对称 函 轴为直线x=3,求抛物线的解析式。 数 y轴交于点C(0,-3): (5)【已知对称轴】在直角坐标系中，二次函数 y=-x+bx+c的图象与y轴交于点C(0,3),对 称轴为直线x=-1: (6)【已知对称轴】[2019云南21(1)题节选1已 知k是常数，抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3h的 对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点： 5.[2024昆明官渡区一模节选]已知二次函数y= 考向2抛物线的平移问题 ax2-2ar-3a(a为常数且a≠0)图象的顶点在 2.[2024保山隆阳区期末]将抛物线C,:y=(x-3) x轴上方，且到x轴的距离为4，求二次函数的 向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到 解析式 抛物线C2,则抛物线C2的函数表达式为 ( A.y=(x-4)2+3 B.y=(x+4)2+3 C.y=(x-2)2-3 D.y=(x+2)2-3 40 分层作业本·云南数学