期末专题复习讲义03 圆锥曲线的方程-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义03-圆锥曲线的方程 一 椭圆 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 常用结论 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 二、双曲线 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 必备结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. (5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 三、抛物线 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 常用结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 四、直线与圆锥曲线的结合 1．直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. 2．椭圆的弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 3．双曲线的弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 4．抛物线的弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 5．椭圆的“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 6．双曲线的“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 7．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 五、解析几何常用二级结论 1、焦点三角形 （1）椭圆中的焦点三角形公式 设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，椭圆焦点三角形的面积为 证明：设 ． （2）双曲线中焦点三角形的面积：（为焦距对应的张角） 2、焦半径与离心率 （Ⅰ）设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1||PF2|＝；②e＝. （Ⅱ）设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1||PF2|＝；②e＝ 3、椭圆中垂径定理 （1）已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 （2）已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 4、圆锥曲线的第三定义 平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 5、 椭圆与双曲线的焦点弦 （1）设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足. （2）设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，过的直线与双曲线右支于A，B两点，直线的倾斜角为，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于. 6、 抛物线中的焦点弦 设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则    (1) (2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角) (3) 弦长 (α为弦AB的倾斜角)． (4) 焦点弦与圆有关的结论： ①以AB为直径的圆与准线相切 ②以为直径的圆与切于焦点； ③以焦半径为直径的圆与轴相切； ④以焦半径为直径的圆与与轴相切； (5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦． (6) （定值）. (7) 已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦， 存在最小值，且最小值为. （8）已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，则四边形 的面积的最小值为. （9） ①三点共线；②三点共线． 中点弦斜率：若斜率为，为AB的中点，则． 考点一 椭圆及其性质应用 1、（23-24高二上·湖南常德·期末）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的性质得，再由椭圆的定义可得出点的轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的方程可求得动点的轨迹方程. 【详解】由题意，可知圆的标准方程为，圆心为，半径为6． ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴点的轨迹是以，为焦点的椭圆， ∴，，， ∴其轨迹方程为． 故选：A 2、（23-24高二上·云南曲靖期末）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为． 则，， 两式相减得， 又，，， 代入解得． 故选：D． 3、（23-24高二上·河南信阳·期末）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，直线的斜率为，设，则，且， 由两式相减得：，于是， 解得，此时椭圆，显然点在椭圆内，符合要求， 所以椭圆的离心率. 故选：A 4、（23-24高二上·河南周口·期末）（多选题）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为5 B． C．存在点，使 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D. 【详解】解：对于A选项，设，则，即， 所以， 又，所以当时，，故A错误， 对于B选项，由椭圆定义，，故B正确 对于C选项，当为短轴端点时， ，，，故，进而，故C错误， 对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确. 故选：BD 5、（23-24·广东韶关·高二期末）（多选题）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率为，是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（    ） A．椭圆C的标准方程可以为 B．的周长为10 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意求出a、b、c，即可判断A；结合椭圆的定义即可判断B；结合椭圆的定义和基本不等式计算即可判断C；根据余弦定理和基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由题意得，，则， 又，所以. 当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为，故A正确； B：由椭圆的定义知，的周长为，故B错误； C：由椭圆的定义知，， 所以，当且仅当时等号成立，故C正确； D：在中，由余弦定理， 得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 6、（23-24·江苏无锡·高二期中）已知椭圆过点，，且与椭圆有公共的焦点，点在椭圆上，且位于轴上方． (1)求椭圆的标准方程； (2)若△的面积等于3，求点的坐标； (3)若，求△的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设椭圆的方程为，将点代入椭圆方程，即可求得的值，从而得椭圆方程； （2）根据三角形的面积公式，即可求得的纵坐标，代入椭圆方程，即可求得点坐标； （3）利用余弦定理，椭圆的定义，即可求得，再利用三角形的面积公式，即可△的面积． 【详解】（1）与有公共的焦点的椭圆的方程：，， 将，代入椭圆方程，可得，整理得：， 解得或，舍去，所以椭圆方程； （2）由（1）可知，椭圆的焦点坐标分别为，， 设，，，由△的面积，所以， 代入椭圆方程，，则，所以点坐标为； （3）由椭圆的定义可知，， 由余弦定理可知，， 所以， 所以，所以△的面积， 所以△的面积． 7、（23-24·北京密云·高二统考期末）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积； (3)对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)是，定值为8，证明见解析 【分析】（1）由a、b、c关系及点在椭圆上建立方程组即可解得参数； （2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理即可求. （3）判断直线恒过左焦点，由椭圆定义可得周长为定值. 【详解】（1）长轴长是焦距的2倍，则，则， ∴椭圆为，代入点得，解得. ∴椭圆的方程为. （2），则直线为，过椭圆左焦点，右焦点为. 设，由得，∴， ，. ∴. ∴. （3）的周长为定值，理由如下： 直线l恒过椭圆左焦点，由椭圆定义可知的周长为. 考点二 双曲线及其性质应用 1、（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由双曲线的定义即可求解. 【详解】因为为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点， 所以，故， 由于， 所以. 故选：B 2、（23-24高二上·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过的弦的长为5，若，那么的周长是　　 A．16 B．18 C．21 D．26 【分析】根据题意和双曲线的定义直接得出结果． 【解答】解：由双曲线的定义得， 又， 所以， 即， 所以的周长为． 故选：． 3、（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在△中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率． 【解答】解：延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知， 设，则，，可得，即， 所以，则，， 即，可知， 在△中，由勾股定理得，即，解得． 故选：． 4、（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】解：设，，可得，， 两式相减可得， 点是弦的中点，且直线：， 可得，，， 即有，即， 双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故选：B． 5、（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】根据点差法得到，然后结合的坐标和直线的斜率得到，即可得到双曲线的渐近线方程. 【详解】解：设，，可得，， 两式相减可得， 点是弦的中点，且直线：， 可得，，， 即有，即， 双曲线的渐近线方程为．经验证此时直线与双曲线有两个交点. 故选：B． 6、（23-24高二上·江西抚州·期末）（多选）已知双曲线，左、右焦点分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．过点截双曲线所得弦长为的直线有三条 C．若双曲线上一点满足，则的面积是12 D．若双曲线上一点满足，则的周长为 【答案】ABD 【分析】A选项，利用圆心到渐近线距离等于半径，求出得到离心率；B选项，先考虑过点的直线斜率不存在时，满足要求，再考虑过点的直线斜率存在时，设出，与双曲线方程联立，表达出弦长，求出，故B正确；C选项，设出，得到方程组，求出，求出的面积；D选项，由双曲线定义求出，从而求出周长. 【详解】A选项，的渐近线方程为， 的圆心为，半径为， 故，解得， 故，即， 离心率，A正确； B选项，，当过点的直线斜率不存在时， 令中，故，解得， 此时截双曲线所得弦长为， 当过点的直线斜率存在时，设为， 联立，得， 故，解得， 设两交点为， 则， 故，解得， 故所得弦长为的直线有三条，B正确； C选项，，，， 设，则，且， 解得，故的面积是，C错误； D选项，因为，故，即， 故，又， 则的周长为，D正确. 故选：ABD 7、（23-24高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为 ． 【答案】或 【分析】由双曲线的定义和等腰三角形的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设，， 由双曲线的定义可得，， 由的面积是的面积的倍，可得， 又为等腰三角形，可得，或，或， 若，则只能关于轴对称，此时与矛盾，不符题意； 当，即，可得，，，， 在中，， 在中，， 化为，即； 当，即，可得，，，， 在中，， 在中，， 化为，即． 故答案为：或．    8、（23-24高二上·河北沧州·期末）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【知识点】讨论双曲线与直线的位置关系、根据双曲线的渐近线求标准方程、求弦中点所在的直线方程或斜率、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】（1）设曲线的标准方程为，根据已知条件求出、的值，即可得出该双曲线的标准方程； （2）设以为中点的弦的两端点为、，利用点差法求出直线的斜率，进而可得出直线的方程，判断直线与双曲线的位置关系，可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线的焦点在轴上，设该双曲线的标准方程为， 因为该双曲线的实轴长为，一条渐近线斜率为，则，解得， 因此，该双曲线的标准方程为. （2）解：假定直线存在，设以为中点的弦的两端点为、， 则有，．    根据双曲线的对称性知．由点、在双曲线上， 得，， 两式相减得， 所以，所以， 即以为中点的弦所在直线的斜率， 故直线的方程为，即． 联立，消去得， ， 因此直线与双曲线无交点，故满足条件的直线不存在． 9、（23-24高二上·广东揭阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)400． 【分析】（1）利用双曲线的定义与性质即可求解. （2）设出直线与双曲线方程联立，表达出韦达定理，再表示面积，利用函数性质即可求解最值. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的标准方程为 （2）由（1）知，，则直线是线段AF的垂直平分线．    因为以线段MN为直径的圆恰过点，所以以线段MN为直径的圆恰过点． 所以，故． 设直线， 由双曲线的对称性可得B，C必在轴两侧，则，故． 将代入，得， 则①，②， 由B，C必在轴两侧，可得， 因为，所以，所以，所以， ③， 将①②代入③中并整理，得，解得（舍去）或， 所以直线过定点 所以 令，则， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，， 所以，当且仅当，即时取等号，所以面积的最小值为400. 考点三 抛物线及其性质应用 1、（2023春·福建福州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，抛物线的准线方程为， 因为到直线的距离为，则，可得，所以，. 故选：C. 2、（23·24高二上·江苏淮安·期中）设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】因为，则抛物线焦点坐标为，准线方程为， 则，即， 所以，则要使其最小，则需最小， 因为圆的圆心为，半径， 所以. 故选：C. 3、（23-24高二上·云南保山·期末）（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 【答案】ABC 【详解】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则. 故选：ABC. 4、（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线中时可得，且 则，取（如图）    ， ,又对称性可知. 故选；C. 5、（23-24高二上·云南昭通·期末）（多选题）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 【答案】BC 【解析】对于A项，过点分别作准线的垂线，垂足分别为， 过点分别作轴的垂线，垂足分别为，准线与轴的交点为， 设直线的倾斜角为，画图为： 根据抛物线的定义：，从图可知，， ，在中，， 所以，同理， 则 ，故当时， 故最小值为，此时垂直于轴，所以A不正确； 对于B项，由A可知，，故B正确； 对于C项，， 当且仅当直线过焦点时等号成立，所以最大值为5，故C正确； 当直线过焦点时，， 当直线不过焦点时，不是定值， 举例当时，此时，， 即，，，故D错误； 故选：BC. 6、（23-24高二上·江苏南通·期末）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 . 【答案】/ 【解析】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点， 由，得，所以，如图所示 则动点到轴的距离为 所以， 当且仅当三点共线时，有最小值，即(此时为点到直线的距离)， 所以到直线的距离为， 所以， 所以. 所以的最小值为. 故答案为： 7、（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知点P是抛物线上的动点，Q是圆上的动点，则的最大值是 . 【答案】/ 【解析】抛物线的焦点为，准线为， 圆的圆心为，半径， 过点作垂直准线，垂足为，由抛物线的定义可知， 设，则，， 所以， 令，则， 所以， 所以当即时，取到最大值， 所以的最大值为， 因此，，所以的最大值是. 故答案为：. 8、（23-24高二上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点（其中）到定点的距离比它到y轴的距离大1． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若过点的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求的值； 【答案】(1)；(2)-3 【详解】（1）依题意知，动点P到定点的距离等于P到直线的距离， 曲线C是以原点为顶点，为焦点的抛物线 ∵，       ∴ ∴曲线C方程是 （2）当l平行于y轴时，即斜率不存在时，其方程为， 由解得，，则可设， 此时 当l不平行于y轴时，设其斜率为k(k不为0)， 则由得 恒成立. 设，则有，， ∴． 综上，的值为． 9、（23-24高二上·陕西延安·期末）已知抛物线的焦点为F，准线与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线C上，当与y轴垂直时，. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C交于另一点B，证明：直线的斜率与直线的斜率互为相反数. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）抛物线的焦点为， 当AF与y轴垂直时，易得，即， ∴抛物线C的方程为.    （2）证明：由（1）知，，， 设点，， 设直线，代入抛物线C的方程得，， 则，， ∴.    10、（2023春·浙江温州·高二校联考期末）已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为 ①求证：为直角三角形. ②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 【答案】(1)；(2)①证明见解析；②最小值4，此时. 【详解】（1）设直线的方程为，代入抛物线， 可得，设，，则 点为线段的中点，可得，即则抛物线的方程为.    （2）①设，，由，可得，则， 所以，两点处的切线斜率分别为，， 由，得，所以，， 所以，所以，即为直角三角形.    ②由（1）知，即：，同理， 由直线，都过点，即， 则点，的坐标都满足方程， 即直线的方程为：，又由直线过点，∴， 联立得， ∴， 点到直线的距离， ∴ ∴ 当且仅当时，有最小值4，此时 考点四 离心率的综合求解问题 1、（23-24高二上·湖南张家界·期末）.P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，求出，化简方程即得解. 【详解】 如图所示，， 由题得 所以. 故选：C 2、（23-24高二上·山东青岛·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点在椭圆的内部，以及列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围. 【详解】因为点在椭圆的内部，所以①，而②，，由①②得，即.所以. 因为，而，所以，即，由三角形的性质可得，因为是椭圆上的动点，且恒成立，所以，所以，即，所以椭圆离心率的取值范围是. 故选：A 3、（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据双曲线的定义得出，从而求出，在中利用余弦定理以及离心率的定义即可求解. 【详解】点为线段的中点，且，则, 设，则， 又为直角三角形，，即， ，，由双曲线的定义可得，，，， ，又，在中，由余弦定理可得 ，，离心率.故选：A 4、（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】设，，，则， 两式相减得，所以. 因为，，所以. 因为，， 所以，，故.故选：C 5、（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据列式，根据的取值范围求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围. 【详解】依题意可知在第一象限，在第二象限， 到渐近线的距离为， 即，设，则，， 由得， 故，， . 故选:C 6、（23-24高二上·湖南永州·期末）已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围. 【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接. 根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形. 由椭圆的定义有： 由余弦定理有： 即 所以 当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上. 所以等号不能成立,即即，所以故选：A 7、（23-24高二上·甘肃兰州·期末）椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【分析】设椭圆，设，运用椭圆的定义，可得，，即有，取的中点，连接，则，由勾股定理可得a,c的另一关系式，联立解得，，运用离心率公式计算即可得到答案． 【详解】设椭圆， ，，，如图示： 设，则，由椭圆的定义可得， ，即有，即，①取的中点，连接，则 ， 由,则，由勾股定理可得， 即为，②由①②解得，，则离心率，故答案为： 8、（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，且，则 ． 【答案】. 【分析】根据正弦定理和已知条件可得，结合椭圆的定义可得，再根据即可求解. 【详解】由正弦定理得，又，所以，所以， 所以，所以，所以， 因为(不等式两边不能取等号，否则题目中分式的分母为0，无意义)， 所以，即，所以，即解得， 所以.故答案为: . 考点五 直线与圆锥曲线的综合应用 1、（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 【解题思路】（1）借助椭圆上的点的坐标，的面积与计算即可得； （2）设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理与弦长公式计算即可得. 【解答过程】（1）由题意可得，解得， 故椭圆的标准方程为； （2），故可设，，， 联立，消去可得， ，即， ，， 则 ， 则当时，有最大值，且其最大值为. 2、（23-24高二上·广东广州·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 【解题思路】（1）先求出焦点坐标，再根据渐近线方程可求基本量，从而可得双曲线的方程. （2）利用点差法可求直线的斜率，注意检验. 【解答过程】（1）椭圆的焦点为，故， 由双曲线的渐近线为，故，故， 故双曲线方程为：. （2）设，的中点为， 因为在直线，故， 而，，故， 故， 由题设可知的中点不为原点，故，所以， 故直线的斜率为. 此时， 由可得，整理得到：， 当即或， 即当或时，直线存在且斜率为1. 3、（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值． 【解题思路】（1）根据两点间距离最值结合离心率求出，即可得出椭圆方程； （2）结合向量共线求出参数关系得出轨迹方程，再根据点到直线距离求出最小值. 【解答过程】（1）设，， 则． 又因为，所以，即， 又椭圆的离心率，所以，则， 解得，故的方程为． （2）设，，，因为， 所以， 若，则，即与重合，与矛盾， 若，则，即与重合，与矛盾， 故，于是，将点代入， 化简得， 同理可得，， 故，为方程的两根， 于是，即，动点在定直线上． 令直线，当与相切时，记，的距离为，则， 联立可得， 由，解得，又，则， 此时，解得，，即切点为，直线，的距离为， 故的最小值为． 4、（23-24高二上·江西南昌·期末）已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程． 【解题思路】（1）首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出，再由离心率公式求出，即可得解； （2）首先判断直线的倾斜角不为零，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出，由弦长公式求出，即可得解. 【解答过程】（1）由题知双曲线的渐近线方程为， 不妨设，则焦点到渐近线的距离， 的离心率为， 故双曲线的标准方程为． （2）由（1）可得， 当直线的倾斜角为零时，由，得直线的方程为， 代入双曲线方程可得，不妨令，， 则，不符合题意，则直线的倾斜角不为零， 设直线的方程为，，， 联立，消去整理得， ，，， ． ，， ，， ， ， ， 即， ， ， 或． 当时，，不符合题意，． ，， ， 解得，故直线的方程为． 综上，直线的方程为或．   考点六 三定问题（定点、定值、定直线） 1、（23-24高二上·浙江金华·期末）已知点，在椭圆 上. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点. 【解题思路】（1）根据椭圆所经过的点列方程求出其方程；（2）设出方程，结合韦达定理和是中点的条件，找到直线中两个参数的关系，从而求出定点. 【解答过程】（1）由题知，又椭圆经过，代入可得，解得， 故椭圆的方程为： （2） 由题意知，当轴时，不符合题意，故的斜率存在，设的方程为， 联立消去得， 则， 即 设 ，，， 的方程为，令得， 的方程为，令得， 由是中点，得，即， 即， 即， 即，所以 ， 得或， 当，此时由，得，符合题意； 当，此时直线经过点，与题意不符，舍去. 所以的方程为，即， 所以过定点. 2、（23-24高二上·上海浦东·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入得到，由得到，联立即可得解； （2）由在直线上，且为中点，解出值即可； （3）设出直线的方程，联立直线与曲线的方程得到，结合题意解出即可. 【详解】（1）因为是双曲线C上一点，所以， 由，所以， 因为，所以， 即，联立解得：， 所以双曲线的方程为：. （2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为，由图象可知直线的斜率存在并大于1， 不妨设，，由的方程为：， 将代入得：， 同理，由为中点，则， 所以，解得， 所以直线l的方程为. （3）设，点与点关于原点对称，所以， 设直线的方程为， 由，得， 由可知或， 则， 所以 ， 由题意知：， 所以， 所以为定值. 3、（23-24高二上·河北保定·期末）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）由抛物线的对称性知，由四边形的面积求出，又的方程为，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式求出，即可得解； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，设，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线、的方程，联立解得，即可得证. 【详解】（1）当直线的倾斜角等于时，直线的倾斜角等于， 直线的方程为，由抛物线的对称性知， 所以，得． 联立方程组，消去得． 设两点的横坐标分别为，则，． 又，所以，所以的方程为． （2）由（1）知，依题意，可设直线的方程为， 则直线的方程为． 联立方程组消去得，显然， 设，则． 设，同理可得， 所以，同理可得． 直线的方程为， 即． 同理，直线的方程为 ． 两直线方程联立得，解得， 即直线与的交点在定直线上． 4、（2023春·内蒙古赤峰·高二期末）以椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，一个焦点 (1)求椭圆的标准方程 (2)过F的直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在一条定直线：，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由 【答案】(1) (2)存在直线 【分析】（1）由四个顶点所围成的四边形的面积，构建等式，求解椭圆方程; （2）可假设直线存在，然后按照上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列构建参数等式，讨论直线的存在与否. 【详解】（1）椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为， ， ∴  ∴， ∴椭圆方程 （2）假设存在一条定直线，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列， （Ⅰ）当AB斜率k不存在时， ，   ，， ， 故当斜率不存在时成立. （Ⅱ）当AB斜率k存在时，设AB直线方程， ，,    联立， 可得， 由韦达定理可知，, 又, , , , , , , , ∴时，k，t任意值都成立, ∴存在直线成立, 综上，存在一条定直线，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列. 一、单选题 1．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 10．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 11．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 三、填空题 12．（23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程是 . 13．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 16．（23-24高二上·江西九江·期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 17．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值. 18．（23-24高二上·山东青岛·期末）是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）的面积为6.    (1)求动点的轨迹方程； (2)如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列. 19．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 参考答案： 1．D 【分析】根据椭圆的定义分析求解即可. 【详解】由方程可知：， 由椭圆的定义可知． 故选：D． 2．C 【分析】过点作垂直于准线且交准线于H，则的周长转化成即可求解. 【详解】由题意，抛物线的准线，过点作垂直于准线且交准线于H，则， 由题可知，的周长为，又， 如图，，当三点共线时， 的周长最小，且最小值为. 故选：C. 3．D 【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断. 【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得， 且，，则焦距为常数，故①正确； 对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确. 对于③，若，则曲线为，则， 若曲线上存在点，使， 则点在以为直径的圆上，即， 由，解得或， 所以有4个符合条件的点，故③正确, 所以正确的命题有3个. 故选：D 4．D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 5．D 【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到为直角三角形，进而由勾股定理可以求解. 【详解】由双曲线的定义可知得 因为，， 设，则， ， ， 为直角三角形 ， ，即， ， 故选：D 6．C 【分析】根据抛物线方程，结合准线定义即可判断A；当直线斜率不存在时，计算可得此时以为直径的圆不与轴相切，即可判断B；对于CD：分直线斜率存在以及不存在两种情况分别讨论，即可求解． 【详解】对于A：由抛物线的方程可知其焦点为，故准线的方程为：，故A错误. 对于B：当直线的斜率不存在时，即直线方程：，易得， 则以为直径的圆半径为，此时不与轴相切，故B错误. 对于C：当直线的斜率不存在时，易得，，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 由，得， 得，，， ， 易知直线的方程为，由，得， ，， 综上所得，的最小值为，故C正确． 对于D：当直线的斜率不存在时，易得，， 所以； 当直线的斜率存在时，， 故当时，取得最小值，且此时最小值为，故D错误． 故选：C． 7．C 【分析】首先由题意得到，平方后，利用点在椭圆上，变形得到的值，即可求解. 【详解】因为点，在椭圆上， 所以， 因为直线的斜率之积为，所以， 得到，得， . 故选：C 8．B 【分析】根据双曲线的定义可得，根据，得的内切圆的半径为，再根据内切圆的性质可得，结合可求得，利用勾股定理可求得点到焦点的距离． 【详解】由题意知，，，所以，，， 又由双曲线的定义可知， 设的内切圆的半径为， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 设圆与的三边，，分别相切于，，三点，连接，，，如下图所示： 由内切圆的性质可得，，， 因为，所以， 即，由， 所以，，因为，， 所以，即点到焦点的距离是． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据双曲线定义及内切圆的性质求出内切圆圆心横坐标与左顶点横坐标相同，再由勾股定理即可求得结论. 9．ABD 【分析】得出两点的坐标，即可判断A；根据椭圆的定义结合点与椭圆的关系即可判断B；利用点差法即可判断C； 根据椭圆的定义可得，进而可判断D. 【详解】对于A，由，可知直线的斜率不存在，直线的斜率为零， 所以，故A正确； 对于B，因为，所以点在椭圆内， 所以，故B正确； 对于，设点的坐标分别为， 则有，两式作差有， 有，即直线的斜率为，故C错误； 对于D， ， 当且仅当三点共线且点在两点中间时，取等号， 所以的最大值为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法： （1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； （2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 10．AD 【分析】有题意列出方程组，求得的值，得到椭圆的方程，可判定A正确；联立方程组，求得的坐标，结合斜率公式求得，可判定B错误；取点时，求得点，结合，可判定C错误.设，分别结合直线过点，直线过点，直线过过点，直线过点，列出方程，结合斜率公式，求得的值，可判定D正确； 【详解】对于A中，由椭圆过点，且左焦点为， 可得，解得，所以椭圆的方程为，所以A正确； 对于B中，联立方程组，解得或， 即， 设，可得，所以 可得，所以B错误； 对于C中，当点时，此时在椭圆的外部，且 可得轴，根据椭圆的对称性，可得, 由，因为，可得， 所以的方程为又由的方程为， 联立方程组得，此时，此时直线不过原点，所以C错误. 对于D中，设， 由直线过点，可得，① 由直线过点，可得，② ①②得，③ 同理可得，直线过过点，可得，④ 直线过点，可得，⑤ ③④得，⑥ ③⑥得，所以，所以D正确； 故选：AD. 11．BD 【分析】对于A，由题意求得，结合基本不等式即可判断；对于B，由条件确定的范围，结合离心率公式即可判断；对于C，由上定点对两焦点的张角大小即可判断；对于D，设出直线，然后与椭圆联立，再求出相关距离，最后化简计算即可. 【详解】因为的周长为8，所以，即. 因为在C外，代入椭圆方程所以，所以. 对于A：， 当且仅当时，等号成立，所以，故A不正确； 对于B： 椭圆的离心率，即椭圆的离心率的取值范围是，故B正确； 设椭圆的上顶点为，，， 由于， 因为， 当时，此时不存在使得，故C错误； 对于D: 当时,可得：此时椭圆方程为，    设直线为：， 联立，得， 设，，则，， ， ，，， 原点到直线的距离， ， 当的斜率不存在时，仍然满足上述关系， 综上，为定值.故D正确. 故选：BD 12． 【分析】由题意可得出，求出的值即可求出其渐近线方程. 【详解】由可得：且， 所以， 所以，解得：， 所以双曲线，则其渐近线方程为：. 故答案为：. 13．/ 【分析】利用椭圆和双曲线的定义，在焦点三角形利用余弦定理得到，再用基本不等式求解. 【详解】不妨设为第一象限的点，为左焦点， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 则根据椭圆及双曲线的定义可得， ，所以，， ，在△中，， 由余弦定理得， 化简得，即． 所以，从而， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为： 14．2 【分析】设方程为，代入抛物线方程，应用韦达定理得，，由求得，距离公式求得，再求得原点到直线l的距离可得三角形面积，从而得最小值． 【详解】抛物线C的方程为， 由题可知直线l斜率若存在，则斜率不为0，故设l为， 由，得，则，即， ∴，， 则，解得， 直线方程为，恒过定点， ， 到直线的距离为， ∴， ∴时，为最小值， 故答案为： 15．(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 16．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动圆圆心的坐标为，由题意可得，化简整理即可求得动圆圆心的轨迹的方程； （2）由两点的斜率公式，结合已知条件计算，即可得证． 【详解】（1）设动圆圆心的坐标为，则， 整理得，，故所求动圆圆心的轨迹的方程为． （2）证明：设，，则有，，， 直线的斜率为，所以， 于是 . 故直线，的倾斜角互补． 17．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的几何性质即可求解， （2）根据相切可得，进而联立直线与椭圆方程，可得韦达定理，进而根据弦长公式以及三角形面积，结合不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由题意可得 ， 所以，， ，，椭圆的方程为. （2）若圆的切线轴，则,所以, 故，因此，, 当直线有斜率时，设直线的方程为， 直线与圆相切，，， 联立与，消得. 设，，则，. 到直线的距离为1，则 ， 将代入消可得， 令则故， 由于所以，进而， 所以， 综上可得 的最大值为. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将的面积用k表示出来，然后再利用不等式的性质求范围． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设动点，利用题设条件列出方程，化简得到轨迹方程，并考虑自变量范围即得； （2）依题设出直线的方程，将其与双曲线方程联立，写出韦达定理，求得点的坐标，接着将直线的方程与双曲线方程联立求得点的坐标，再证明三点的横坐标成等比数列即得. 【详解】（1）   如图，设动点，因分别与直线垂直， 则四边形是矩形，依题 ，代入得： 两点分别在一､四象限， 点的轨迹方程为： （2）   如图，设直线的方程为：，中点 直线的方程与的方程联立消元得： 则解得：且， 由可得：将其代入得，即. 要证成等比数列，只要证明三点的横坐标成等比数列即可. 因直线的斜率,则直线的方程为 由可得点横坐标满足，因点的横坐标显然是， 则 故成等比数列. 19．(1); (2)证明见解析，. 【分析】（1）利用几何意义转化为坐标运算，即可得抛物线方程； （2）①利用直线过轴上的已知点，与抛物线联立方程组的两个交点纵坐标之积为定值，再假设直线方程，再利用两交点纵坐标之积为定值，得到定点坐标； ②求这两个三角形的面积时，都只需要用到它们的纵坐标，然后都转化到两点的纵坐标上来，再利用韦达定理把面积转化到关于系数的函数上来求解最值即可. 【详解】（1）设动点的坐标为， 由动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小1， 可得：，移项平方得：， 整理得：， 所以动点的轨迹的方程为； （2） ①设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标，则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设过点的直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，再设交点坐标则， 设直线为，与抛物线联立方程组， 消得：，由交点坐标则， 而，即，解得， 所以直线为，即直线过定点； ②与面积之和为 ， 当时，即垂直于轴时，面积之和取到最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度人教版（2019）高二上学期期末专题复习讲义03-圆锥曲线的方程 一 椭圆 1．椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距． 2．椭圆的简单几何性质 常用结论 椭圆的焦点三角形 椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ. (1)当P为短轴端点时，θ最大，最大． (2) ＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|. (3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. (4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2. (5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ. 二、双曲线 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和简单几何性质 必备结论 (1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为. (4)若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则＝，其中θ为∠F1PF2. (5)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． 三、抛物线 1．抛物线的概念 把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程和简单几何性质 常用结论 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p. 四、直线与圆锥曲线的结合 1．直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y (或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交；直线与圆锥曲线相切；直线与圆锥曲线相离. 特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点. ②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点. 2．椭圆的弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 3．双曲线的弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 4．抛物线的弦长问题 设直线与抛物线交于A,B两点，则 |AB|==或 |AB|== (k为直线的斜率，k≠0). 5．椭圆的“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根 与系数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中 点坐标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦 中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标 为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 6．双曲线的“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 7．抛物线的焦点弦问题 抛物线=2px(p>0)上一点A与焦点F(,0)的距离为|AF|=，若MN为抛物线=2px(p>0)的焦点弦，则焦点弦长为|MN|=++p(,分别为M,N的横坐标). 设过抛物线焦点的弦的端点为A,B，则四种标准方程形式下的弦长公式为： 标准方程 弦长公式 y2=2px(p>0) |AB|=x1+x2+p y2=-2px(p>0) |AB|=p-(x1+x2) x2=2py(p>0) |AB|=y1+y2+p x2=-2py(p>0) |AB|=p-(y1+y2) 五、解析几何常用二级结论 1、焦点三角形 （1）椭圆中的焦点三角形公式 设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，椭圆焦点三角形的面积为 证明：设 ． （2）双曲线中焦点三角形的面积：（为焦距对应的张角） 2、焦半径与离心率 （Ⅰ）设P点是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1||PF2|＝；②e＝. （Ⅱ）设P点是双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于实轴端点的任一点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则 ①|PF1||PF2|＝；②e＝ 3、椭圆中垂径定理 （1）已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 （2）已知A,B是椭圆上任意两点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 4、圆锥曲线的第三定义 平面内与两个定点，的斜率乘积等于常数的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时；当常数大于0时为双曲线，此时． 5、 椭圆与双曲线的焦点弦 （1）设椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆相交于两点，直线的倾斜角为，且，则间满足. （2）设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F，过的直线与双曲线右支于A，B两点，直线的倾斜角为，且||＝λ||，则双曲线的离心率等于. 6、 抛物线中的焦点弦 设AB是过抛物线焦点的弦，若，，则    (1) (2)焦半径，(α为弦AB的与x轴夹角) (3) 弦长 (α为弦AB的倾斜角)． (4) 焦点弦与圆有关的结论： ①以AB为直径的圆与准线相切 ②以为直径的圆与切于焦点； ③以焦半径为直径的圆与轴相切； ④以焦半径为直径的圆与与轴相切； (5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦． (6) （定值）. (7) 已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦， 存在最小值，且最小值为. （8）已知是抛物线中过焦点的两条相互垂直的弦，则四边形 的面积的最小值为. （9） ①三点共线；②三点共线． 中点弦斜率：若斜率为，为AB的中点，则． 考点一 椭圆及其性质应用 1、（23-24高二上·湖南常德·期末）已知，是圆上一动点，线段的垂直平分线交于点，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高二上·云南曲靖期末）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高二上·河南信阳·期末）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 4、（23-24高二上·河南周口·期末）（多选题）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为5 B． C．存在点，使 D．的最大值为 5、（23-24·广东韶关·高二期末）（多选题）伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形．已知椭圆C的面积为，离心率为，是椭圆C的两个焦点，P为椭圆C上的动点，则下列选项正确的有（    ） A．椭圆C的标准方程可以为 B．的周长为10 C． D． 6、（23-24·江苏无锡·高二期中）已知椭圆过点，，且与椭圆有公共的焦点，点在椭圆上，且位于轴上方． (1)求椭圆的标准方程； (2)若△的面积等于3，求点的坐标； (3)若，求△的面积． 7、（23-24·北京密云·高二统考期末）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点. (1)求椭圆的方程； (2)当时，求的面积； (3)对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由. 考点二 双曲线及其性质应用 1、（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知点为双曲线左支上的一点，分别为的左､右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2、（23-24高二上·广东深圳·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，在左支上过的弦的长为5，若，那么的周长是　　 A．16 B．18 C．21 D．26 3、（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，已知，是双曲线的左、右焦点，，为双曲线上两点，满足，且，则双曲线的离心率为　　 A． B． C． D． 4、（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 5、（23-24高二上·浙江杭州·期末）已知直线：与双曲线：交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的渐近线方程是（    ） A． B． C． D． 6、（23-24高二上·江西抚州·期末）（多选）已知双曲线，左、右焦点分别为，若圆与双曲线的渐近线相切，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的离心率 B．过点截双曲线所得弦长为的直线有三条 C．若双曲线上一点满足，则的面积是12 D．若双曲线上一点满足，则的周长为 7、（23-24高二上·福建厦门·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若为等腰三角形，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为 ． 8、（23-24高二上·河北沧州·期末）已知焦点在轴上的双曲线实轴长为，其一条渐近线斜率为． (1)求双曲线的标准方程； (2)过点能否作直线，使直线与所给双曲线交于、两点，且点是弦的中点？如果直线存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 9、（23-24高二上·广东揭阳·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为6，左顶点为，点是双曲线的右支上相异的两点，直线AB，AC分别与直线交于点，且以线段为直径的圆恰过双曲线的右焦点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求面积的最小值． 考点三 抛物线及其性质应用 1、（2023春·福建福州·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 2、（23·24高二上·江苏淮安·期中）设抛物线上一点到轴的距离为，点为圆任一点，则的最小值为（    ） A． B．2 C．3 D．4 3、（23-24高二上·云南保山·期末）（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D．的坐标为 4、（2023春·安徽芜湖·高二统考期末）为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则为（    ） A． B． C． D． 5、（23-24高二上·云南昭通·期末）（多选题）已知A，B是抛物线：上两动点，为抛物线的焦点，则（    ） A．直线AB过焦点F时，最小值为4 B．直线AB过焦点F且倾斜角为时， C．若AB中点M的横坐标为2，则最大值为5 D． 6、（23-24高二上·江苏南通·期末）已知点是抛物线上的动点，则的最小值为 . 7、（23-24高二上·上海嘉定·期末）已知点P是抛物线上的动点，Q是圆上的动点，则的最大值是 . 8、（23-24高二上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．已知曲线C上任意一点（其中）到定点的距离比它到y轴的距离大1． (1)求曲线C的轨迹方程； (2)若过点的直线l与曲线C相交于不同的A，B两点，求的值； 9、（23-24高二上·陕西延安·期末）已知抛物线的焦点为F，准线与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线C上，当与y轴垂直时，. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C交于另一点B，证明：直线的斜率与直线的斜率互为相反数. 10、（2023春·浙江温州·高二校联考期末）已知抛物线，斜率为1的直线交于不同于原点的，两点，点为线段的中点. (1)求抛物线的方程； (2)直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，，设切线，的交点为 ①求证：为直角三角形. ②记的面积为，求的最小值，并指出最小时对应的点的坐标. 考点四 离心率的综合求解问题 1、（23-24高二上·湖南张家界·期末）.P是椭圆上的一点，F为椭圆的右焦点，轴，过点P作斜率为的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2、（23-24高二上·山东青岛·期末）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3、（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（    ） A．2 B． C． D． 4、（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（    ） A． B．2 C． D．3 5、（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知双曲线为双曲线的右焦点，过点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6、（23-24高二上·湖南永州·期末）已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7、（23-24高二上·甘肃兰州·期末）椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于，两点，，，则椭圆的离心率为___________. 8、（23-24高二上·山西太原·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，且，则 ． 考点五 直线与圆锥曲线的综合应用 1、（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且的面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)若倾斜角为的直线l与C相交于两个不同的点，求的最大值． 2、（23-24高二上·广东广州·期末）已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，其渐近线方程为. (1)求双曲线的方程； (2)若为双曲线上的两点且不关于原点对称，直线过的中点，求直线的斜率. 3、（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为． (1)求的方程； (2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值． 4、（23-24高二上·江西南昌·期末）已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2． (1)求双曲线的标准方程； (2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程． 考点六 三定问题（定点、定值、定直线） 1、（23-24高二上·浙江金华·期末）已知点，在椭圆 上. (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆交于两个不同的点（异于），过作轴的垂线分别交直线于点，当是中点时，证明．直线过定点. 2、（23-24高二上·上海浦东·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且. (1)求双曲线C的方程； (2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程； (3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值. 3、（23-24高二上·河北保定·期末）已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的直线，分别与交于和两点（A，D在第一象限），当直线的倾斜角等于时，四边形的面积为． (1)求C的方程； (2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点在定直线上． 4、（2023春·内蒙古赤峰·高二期末）以椭圆的四个顶点所围成的四边形的面积为，一个焦点 (1)求椭圆的标准方程 (2)过F的直线与椭圆C交于A，B两点，是否存在一条定直线：，使得上的任何一点P都满足PA，PF，PB的斜率成等差数列？若存在，求出直线的方程，若不存在说明理由 一、单选题 1．（23-24高二上·河南商丘·期末）若点是椭圆上任意一点，分别是的左、右焦点，则（   ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知，抛物线的焦点为是抛物线上任意一点，则周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（    ） ①若曲线为椭圆，则且焦距为常数 ②曲线不可能是焦点在轴的双曲线 ③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于，两点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线于点，则下列结论正确的是（    ） A．准线的方程是 B．以为直径的圆与轴相切 C．的最小值为 D．的面积最小值为 7．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系xOy中，点，在椭圆C：上，且直线OA，OB的斜率之积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（23-24高二上·河南洛阳·期末）已知为双曲线左支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心若，则点到焦点的距离是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·甘肃兰州·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点，点是椭圆上的一个动点，则（    ） A． B． C．直线与椭圆相交于两点，且点为线段的中点，则直线的斜率为 D．的最大值为 10．（23-24高二上·浙江·期末）已知椭圆过点，左焦点为．设直线与椭圆C交于A，B两点，点M为椭圆C外一点，直线AM，BM分别与椭圆C交于点C，D（异于点A，B），直线AD，BC交于点N．下列选项正确的是（    ） A．椭圆C方程为 B． C．M，N，O共线 D．直线MN的斜率为定值 11．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过作直线与C交于A，B两点，的周长为8．若在C外，点Q在C上，记C的离心率为e，则（    ） A．的最小值为5 B． C．存在点Q，使得 D．当时，点R在C上且满足，则有 三、填空题 12．（23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线的离心率为，则其渐近线方程是 . 13．（23-24高二上·河南漯河·期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为 . 14．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是抛物线的焦点，直线与抛物线交于不同的两点，且，则面积的最小值等于 ． 四、解答题 15．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 16．（23-24高二上·江西九江·期末）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦的长为． (1)求动圆圆心的轨迹的方程； (2)过轨迹上一个定点引它的两条弦，，若直线，的斜率存在，且直线的斜率为证明：直线，的倾斜角互补． 17．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知椭圆的右焦点为，点是椭圆与轴正半轴的交点，点是椭圆与轴正半轴的交点，且，直线过圆的圆心，并与椭圆相交于两点，过点作圆的一条切线，与椭圆的另一个交点为. (1)求椭圆的方程； (2)求面积的最大值. 18．（23-24高二上·山东青岛·期末）是坐标平面内一个动点，与直线垂直，垂足位于第一象限，与直线垂直，垂足位于第四象限.若四边形（为坐标原点）的面积为6.    (1)求动点的轨迹方程； (2)如图所示，斜率为且过的直线与曲线交于两点，点为线段的中点，射线与曲线交于点，与直线交于点.证明：成等比数列. 19．（23-24高二上·河南漯河·期末）动点在轴的右侧，到轴的距离比它到点的距离小. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知点，过的直线与交于两点，分别与交于点. ①求证：直线过定点； ②求与面积之和的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$