精品解析：2024-2025学年人教版数学九年级上册 期末综合测试卷(一)

期末综合测试卷(一) 时间∶120分钟 满分∶120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 6. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( ) A B. C. D. 无法确定 7. 某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ） A. 8% B. 9% C. 10% D. 11% 8. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是 （　　） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A B. C. D. 10. 已知抛物线与y轴交于点A，与直线（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（ ） A. 存在实数k，使得为等腰三角形 B. 存在实数k，使得的内角中有两角分别为30°和60° C. 任意实数k，使得都直角三角形 D. 存在实数k，使得为等边三角形 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 12. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个． 13. 将抛物线向左平移_______个单位后经过点． 14. 在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为和；乙看错了常数项，得出的两根为8和2．则这个方程为：__________________． 15. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 16. 如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________． 17. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若，，．则＝_______． 18. 如图，是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是___． 三、解答题(共66分) 19. 解下列方程： （1）； （2） 20. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． (1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； (2)请画出△ABC关于原点对称△A2B2C2； (3)P为x轴上一动点，当AP+CP有最小值时，求这个最小值． 21. “一方有难，八方支援”，自新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，全国各地的医疗支援队不断集结，陆续前往湖北支援，全国人民众志成城，纷纷慷慨解囊通过捐款支援武汉．小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“ 支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同． （1）求小亮选择“微信支付”捐款的概率． （2）请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的概率． 22. 如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接． （1）连接，若，求证：是半圆的切线； （2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和数量关系，并证明你的结论． 23. 如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点. ①求∠AQB的度数； ②若OA=18，求弧AmB的长. 24. 如图1，菱形的顶点，在直线上，，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形，交对角线于点，交直线于点，连接． （1）当时，求的大小． （2）如图2，对角线交于点，交直线与点，延长交于点，连接．当的周长为2时，求菱形的周长． 25. 2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示． 月份x … 3 4 5 6 … 售价y1/元 … 12 14 16 18 … （1）求y1与x之间的函数关系式． （2）求y2与x之间的函数关系式． （3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？ 26. 已知函数（为常数） （1）当， ①点在此函数图象上，求的值； ②求此函数的最大值． （2）已知线段的两个端点坐标分别为，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末综合测试卷(一) 时间∶120分钟 满分∶120分 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，判断出系数的符号，再利用数形结合的思想解答．根据二次函数的图象可以得到a、b的正负情况，从而可以得到一次函数的图象，本题得以解决． 【详解】解：由二次函数的图象可得，，， ∴∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 故选：C． 2. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B，由旋转90°可知，△OPA≌△OP′B，则P′B=PA=3，BO=OA=2，由此确定点P′的坐标． 【详解】如图，过P、P′两点分别作x轴，y轴的垂线，垂足为A、B， ∵线段OP绕点O顺时针旋转90°， ∴∠POP′=∠AOB=90°， ∴∠AOP=∠P′OB，且OP=OP′，∠PAO=∠P′BO=90°， ∴△OAP≌△OBP′， ∴P′B=PA=3，BO=OA=2， ∴P′(3，-2)， 故选D． 【点睛】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的条件，确定全等三角形． 3. 已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA、OD，过点A作  AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），则，DE=OF=2，，因为B、D关于原点对称，所以. 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点， 易证， ，， ， 关于原点对称， ， 故选． 【点睛】本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题的关键． 4. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC=1，∠ABC=30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OA，由圆周角定理可求出∠AOC=60°，再根据∠AOC的正切即可求出PA的值． 【详解】解：连接OA， ∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°， ∵PA是圆的切线， ∴∠PAO=90°， ∵tan∠AOC = ∴PA= tan60°×1= 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出∠AOC=60°是解答本题的关键． 5. 关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为12，则的值为（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】设，是的两个实数根，由根与系数的关系得，，再由代入即可. 【详解】设，是的两个实数根， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴或， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；牢记韦达定理，灵活运用完全平方公式是解题的关键． 6. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( ) A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六方形性质可得，阴影面积=空白部分面积,根据面积比求概率.. 【详解】 如图，根据正六方形的性质可得，△AOC≅△ABC（SSS）,同理△EOC≅△EDC, △AFE≅△AOE, 所以，阴影面积=空白部分面积 所以，飞镖落在白色区域的概率为 故选B 【点睛】考核知识点：几何概率.算出面积比是关键. 7. 某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均增长率相同，则每月盈利的平均增长率是（ ） A 8% B. 9% C. 10% D. 11% 【答案】C 【解析】 【分析】设月平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． 【详解】设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得： 240000（1+x）2=290400， 解得：x1=0.1=10%，x2=-0.21（舍去）， 故选C. 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2=后来的量，其中增长用+，减少用-． 8. 如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB=AC，∠A=40°，BD∥AC，若⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接BC、OD、OB，先证△BOD是等边三角形，再根据阴影部分的面积是计算可得． 【详解】解：如图所示，连接BC、OD、OB， ∵∠A=40°，AB=AC， ∴∠ACB=70°， ∵BD∥AC， ∴∠ABD=∠A=40°， ∴∠ACD=∠ABD=40°， ∴∠BCD=30°， 则∠BOD=2∠BCD=60°， 又OD=OB， ∴△BOD是等边三角形， 则图中阴影部分的面积是 故选：B． 【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，解题的关键是掌握等腰三角形和等边三角形的判定与性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识点． 9. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值． 【详解】解：连结BP， ∵抛物线与轴交于A、两点， 当y=0时，， 解得， ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4， 在直角△COB中， BC=， ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点， ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP， 又∵P在圆C上，且半径为2， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大， 此时BP=BC+CP=5+2=7， OQ=BP=． 故选择C． 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况． 10. 已知抛物线与y轴交于点A，与直线（k为任意实数）相交于B，C两点，则下列结论不正确的是（ ） A. 存在实数k，使得为等腰三角形 B. 存在实数k，使得的内角中有两角分别为30°和60° C. 任意实数k，使得都为直角三角形 D. 存在实数k，使得为等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】通过二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定可解答． 【详解】解：A、如图1，可以得C为等腰三角形，正确； B、如图3，，，可以得的内角中有两角分别为30°和60°，正确； C、如图2和3，，可以得为直角三角形，正确； D、不存在实数k，使得为等边三角形，不正确； 本题选择结论不正确的， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数和正比例函数图象，等边三角形和直角三角形的判定，正确画图是关键． 二、填空题(每小题3分，共24分) 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____． 【答案】且 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案，当∆>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当∆=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当∆<0时，一元二次方程没有实数根. 【详解】解：由题意可知：， ， ， 且， 故答案为且 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 12. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个． 【答案】7． 【解析】 【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】设袋中红球有x个， 根据题意，得：， 解得：x＝7， 经检验：x＝7是分式方程的解， 所以袋中红球有7个， 故答案为7． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用红球在总数中所占比例进行求解. 13. 将抛物线向左平移_______个单位后经过点． 【答案】3 【解析】 【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案． 【详解】解：∵将抛物线向左平移后经过点， ∴设平移后解析式为：， 则， 解得：或（不合题意舍去）， 故将抛物线向左平移3个单位后经过点． 故答案为3． 【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 14. 在解某个二次项系数为1的方程时，甲看错了一次项系数，得出的两个根为和；乙看错了常数项，得出的两根为8和2．则这个方程为：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】先分别确定甲乙看错的方程，然后即可得出原方程． 【详解】解：甲看错的方程为：， ∵看错了一次项系数， ∴常数项为9； 乙看错的方程为：， ∵看错了常数项， ∴一次项系数； 所以原方程为， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查一元二次方程的解及确定一元二次方程，熟练掌握因式分解法的逆用是解题关键． 15. 市民广场有一个直径16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头（喷水头高度忽略不计），各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m的他站立时必须在离水池中心O______m以内． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意可得第一象限内抛物线的最高点为，且经过，用待定系数法可求出，当时，即可求解；能从实际意义中找出顶点坐标，会用待定系数法求出解析式，理解不被淋湿的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得 第一象限内抛物线的最高点为，且经过， 可设， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：，（舍去）， 当时， ， 第二象限的抛物线同理可求， 不被淋湿， 他站立时必须在离水池中心O以内； 故答案：． 16. 如图，用等分圆的方法，在半径为OA的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA＝2，则四叶幸运草的周长是________． 【答案】π． 【解析】 【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果． 【详解】由题意得： 四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长＝2π×2＝π； 故答案为π． 【点睛】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键． 17. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连结AP、BP、CP，若，，．则＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，根据旋转的性质可得，，可得△BPP′为等边三角形，可得，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′， 根据旋转的性质可知， 旋转角，， ∴△BPP′为等边三角形， ∴； 由旋转的性质可知，， 在△BPP′中，，， 由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形， ∴ 故答案为 【点睛】本题考查了旋转性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点． 18. 如图，是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是___． 【答案】． 【解析】 【分析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离的最大，且点P到AC距离的最大值=PM，解直角三角形即可得到结论． 【详解】过O作于M，延长MO交⊙O于P，则此时，点P到AC距离最大，且点P到AC距离的最大值， ∵，，⊙O的半径为6， ∴， ∴， ∴， ∴则点P到AC距离的最大值是， 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 三、解答题(共66分) 19. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用公式法即可求解； 【小问1详解】 解∶ ； 【小问2详解】 解： 20. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)． (1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1； (2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2； (3)P为x轴上一动点，当AP+CP有最小值时，求这个最小值． 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用关于原点对称点性质得出对应点位置进而得出答案； （3）直接利用轴对称求最短路线得出P点位置，再利用勾股定理得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）如图所示：△A2B2C2，即为所求； （3）如图所示：P点即为所求， 当AP+CP有最小值时，这个最小值为： ＝． 【点睛】本题考查图形的平移、对称以及最值的问题，难度不大．解题的关键是掌握：点的左右平移实际上就横坐标在改变；点的上下平移就是点的纵坐标在改变；对于轴对称-最短路线问题，解题的关键是找出一点关于对称轴的对称点，连接另一点和对称点，确定出最短路线． 21. “一方有难，八方支援”，自新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，全国各地的医疗支援队不断集结，陆续前往湖北支援，全国人民众志成城，纷纷慷慨解囊通过捐款支援武汉．小亮和小华想通过网络捐款平台进行资助，以表达自己的爱心，经了解相关捐款信息得知，现网络捐款平台提供四种捐助方式，即“微信支付”、“支付宝”、“ 支付”、“银联支付”．假设小亮和小华通过这四种捐助方式进行捐款的可能性相同． （1）求小亮选择“微信支付”捐款的概率． （2）请用列表或画树状图法，求小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率、概率公式等知识点，通过列表法或树状图法确定所有结果数和满足题意的结果数是解答本题的关键． （1）直接根据概率公式即可解答； （2）画出树状图，确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答． 【小问1详解】 解∶P(小亮选择“微信支付”捐款) 【小问2详解】 解：记“微信支付”为A， “支付宝”为B， “支付”为C， “银联支付”为 D．根据题意，画树状图如图： 由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”的结果有2 种， ∴P(小亮和小华恰好都选择“支付宝”或“银联支付”) 22. 如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接． （1）连接，若，求证：是半圆的切线； （2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论； （2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接， 为半圆的切线，为半圆的直径， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 是半圆的切线； （2）解：， 理由：如图2，连接， 为半圆的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点. ①求∠AQB的度数； ②若OA=18，求弧AmB的长. 【答案】（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π. 【解析】 【分析】(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据∠PAO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证； (2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案； ②根据弧长公式进行计算即可得. 【详解】(1)连接OB， ∵CP=CB， ∴∠CPB=∠CBP， ∵OA⊥OC， ∴∠AOC=90°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠PAO+∠APO=90°， ∴∠ABO+∠CBP=90°， ∴∠OBC=90°， ∴BC是⊙O的切线； (2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB， ∴∠OBA=∠BAO=25°， ∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°， ∴∠AQB=∠AOB=65°； ②∵∠AOB=130°，OB=18， ∴l弧AmB==23π. 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 24. 如图1，菱形顶点，在直线上，，以点为旋转中心将菱形顺时针旋转，得到菱形，交对角线于点，交直线于点，连接． （1）当时，求的大小． （2）如图2，对角线交于点，交直线与点，延长交于点，连接．当的周长为2时，求菱形的周长． 【答案】（1）；（2）菱形的周长为8． 【解析】 【分析】(1)证明，推出，即可解决问题． (2)证明，推出，，再证明，推出，推出，即可解决问题． 【详解】(1)∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴. (2)∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形四点共圆， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵的周长为2， ∴， ∴， ∴菱形的周长为8． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25. 2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示． 月份x … 3 4 5 6 … 售价y1/元 … 12 14 16 18 … （1）求y1与x之间的函数关系式． （2）求y2与x之间的函数关系式． （3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）y1＝2x+6；（2）y2＝x2﹣x+；（3）w＝﹣x2+x﹣，7月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大，最大利润是77元7． 【解析】 【分析】（1）设与x之间的函数关系式为，将（3，12）（4，14）代入解方程组即可得到结论； （2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9），设与x之间的函数关系式为：＝，将（5，10）代入＝得＝10，解方程即可得到结论； （3）由题意得到w＝−＝2x＋6−＋x−＝−＋x−，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b， 将（3，12）（4，14）代入y1得，， 解得：， ∴y1与x之间的函数关系式为：y1＝2x+6； （2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9）， ∴设y2与x之间的函数关系式为：y2＝a（x﹣3）2+9， 将（5，10）代入y2＝a（x﹣3）2+9得a（5﹣3）2+9＝10， 解得：a＝， ∴y2＝（x﹣3）2+9＝x2﹣x+； （3）由题意得，w＝y1﹣y2＝2x+6﹣x2+x﹣＝﹣x2+x﹣， ∵﹣＜0， ∴w由最大值， ∴当x＝﹣＝﹣＝7时，w最大＝﹣×72+×7﹣＝7． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键． 26. 已知函数（为常数） （1）当， ①点在此函数图象上，求的值； ②求此函数的最大值． （2）已知线段的两个端点坐标分别为，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围． （3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）当或时，图象与线段只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，n≤-8或n=或n=4或n≥8． 【解析】 【分析】（1）①将代入； ②当时，当时有最大值为5；当时，当时有最大值为； （2）根据题意，对n的取值范围分类讨论，分别画出对应的图形，列出不等式组即可得出结论； （3）根据题意，分别画出满足题意的图形，然后根据图形列出不等式组即可得出结论． 【详解】解：（1）当时， ， ①将代入， ∴； ②当时，当时有最大值为5； 当时，当时有最大值为； ∴函数的最大值为； （2）当n＜0时，如下图所示，显然此时不符合题意； 当0≤n＜2时，如下图所示，显然此时不符合题意； 当n≥2时，如下图所示， 此时应满足 解得：； 当n≥时，如下图所示， 此时应满足 解得：； 当n≥4时，如下图所示，显然此时不符合题意 综上：当或时，图象与线段只有一个交点； （3）如下图所示，当时，符合题意 解得：n≤-8； 如下图所示：当时，符合题意 解得：n=； 如下图所示：当时，符合题意 解得：n=4； 如下图所示，当时，符合题意 解得：n≥8； 综上：函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，n≤-8或n=或n=4或n≥8． 【点睛】此题考查的是二次函数综合大题，此题难度较大，掌握数形结合分析问题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$