精品解析：山东省济南市齐鲁私立学校2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷

齐鲁私立学校2024年12月月考高一数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 4. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. （ B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A. B. C. 或 D. 或 二、多项选择题 9. 已知，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 在上单调递增 11. 已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（ ） 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 A. 若，均为增函数，则也为增函数 B. 若，均为减函数，则也为减函数 C. 若，均存在零点，则也存在零点 D. 若，均存在零点，则也存在零点 三、填空题 12. 函数的定义域为___________. 13. 已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为______． 四、双空题 14. 若，则__________，__________. 五、解答题 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. （1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； （2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 18. （1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 19. 已知函数. （1）求的值; （2）计算和，猜想的值并加以证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 齐鲁私立学校2024年12月月考高一数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1. 已知，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】若，，满足，但不成立； 若，则，则成立. “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别利用对数函数、指数函数的单调性判定的范围即可比较大小. 【详解】， ， ，． 故选：D． 3. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对数型复合函数的定义域与单调性，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】对于， 有，解得或， 则函数的定义域为； 令，则恒成立， 又的图象开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以的单调递增区间为. 故选：C. 4. 已知在上是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】函数上是增函数，则应用对数函数及一次函数的单调性在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足，从而得到答案. 【详解】因为在上是增函数， 所以， 即，解得：． 故选：D． 5. 专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间（单位：天）与病情爆发系数之间，满足函数模型：，当时，标志着疫情将要局部爆发，则此时约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即， 所以，由于，故， 所以，所以，解得. 故选：A. 6. 若函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. （ B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据对勾函数的单调性求的取值范围，再利用二次函数对称轴和单调区间的关系确定的取值范围. 【详解】设，. 若，则在上递增，不满足条件； 若，则，所以不在上递减，不满足条件； 若，由知在上递减，不满足条件； 若，则由，及对有可知，在上递减. 由可知，在上递增，满足条件. 综上，实数的取值范围是. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 8. 已知，若关于的方程恰好有三个互不相等的实根，则实数的取值范围为（） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分方程的两根是否相等，结合的函数图象讨论即可. 【详解】记方程的两根为， 当时，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与和共有三个不同的交点， 由图可知，此时有， 即，得； 当时，，恰好有三个互不相等的实根， 等价于与有三个不同的交点， 由图可知，此时，即，得. 综上，实数的取值范围为或. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般地，判断形如的嵌套函数的零点个数或根据函数的零点求参数的取值范围时，可采用换元法，先令，求解当时的值，然后根据函数的图象及性质确定当时，x的值的个数即为的零点个数．解答时注意数形结合，侧重对函数与图象性质的分析. 二、多项选择题 9. 已知，且，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由条件可得，，由不等式的性质可知A、B、D正确，对C，当时，不等式不成立． 【详解】对于A，因为，且，所以，所以，因此A正确； 对于B，因为，所以，所以，因此B正确； 对于C，当时，，因此C错误； 对于D，因为，所以0，因为，所以，因此D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数，下列关于函数的结论正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. D. 在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由指数函数的性质结合分段函数解析式代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，函数，函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，单调递增，则， 当时，，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，又，所以，故C错误； 对于D，当时，，故在上单调递增，则D正确. 故选：BD. 11. 已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（ ） 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 A. 若，均为增函数，则也为增函数 B. 若，均为减函数，则也为减函数 C. 若，均存在零点，则也存在零点 D. 若，均存在零点，则也存在零点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据函数单调性的性质判断A，取特例可判断B，根据零点概念判断C，取特例判断D. 【详解】对A，，均为增函数，则也为增函数，故A正确； 对B，，均为减函数，则不一定是减函数，例如，不是减函数，故B错误； 对C，因为定义域为，且有解，则有解，故C正确； 对D，，均存在零点，则不一定有零点，例如都有零点，但无零点，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数解析式列出不等式组，求得答案. 【详解】由可知： ，故， 即函数的定义域为， 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，若对于任意的x，，都有，当时，都有，．则函数在区间上的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数单调性定义确定在上单调性，再利用单调性求出最大值. 【详解】任取，则，由当时，都有，得， 任意的，都有， 则，因此函数在上单调递增， 当时，. 故答案为：5 四、双空题 14. 若，则__________，__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用三角函数倍角公式与和差公式即可得解. 【详解】因为， 所以，，且，解得， 故，则， 所以. 故答案为：；. 五、解答题 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）18. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算法则计算即得. （2）根据给定条件，结合指数幂的化简求出，再借助因式分解法求值即得. 【详解】（1）原式. （2）由，得， 所以． 16. 已知函数. （1）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）在上单调递减，证明如下： 任取，且，. 则， ，且， ，， ，即， 所以函数在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）判断函数的单调性，利用函数单调性定义即可证明； （2）利用函数的单调性，求出函数在给定区间上的最大值，即可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由对任意恒成立得， 由（1）知在上单调递减， 函数在上的最大值为，， 即所求实数的取值范围为. 17. 已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. （1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； （2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形性质可计算各线段长度，再根据速度可得时间； （2）根据时间相等可列方程，再结合基本不等式可得最值. 【小问1详解】 如下图所示： 由题意可得，，，，， 由勾股定理可得， 因此，此人从海岛到达地的时间为； 【小问2详解】 如下图所示：，，，， 由勾股定理可得， 由题意可得，即， 可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，快递员的速度的最大值为. 18. （1）已知，求的最小值. （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1），再利用基本不等式即可求解. （2），再利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）， ， ， 当且仅当，即时取等号. 当时，的最小值为. （2）， ， ， ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，的最大值为. 19. 已知函数. （1）求的值; （2）计算和，猜想的值并加以证明. 【答案】（1） （2）因为， 所以， ， 猜想 证明： 【解析】 【分析】（1）先求，再求即可； （2）先计算和，再猜想的值，并代入计算的值即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $