辽宁省沈阳市翔宇中学2024-2025学年高三上学期第三次测试（12月）数学试题

2024一2025学年度（上)第三次测试试题 高三数学 (试卷满分：150分 考试时间：120分钟) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A={宁≤1，集合B={-1≤x≤0，则AUB=（） A.{xx≤0y B.{x20 C.(0 D.{xx2-1 2.已知i为虚数单位，复数z满足三=，则z=() z+1 B.I+i c.1-i 1 D.+i 22 22 2 3.已知圆锥的侧面积为√2π，轴截面面积为1，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为() A.15° B.30° C.45° D.60° 4.已知单位向量a,五满足a-石=0，则cos<a+i,2a+46>=（) A.30 B.2 D. 10 10 5.由sin108°=3sin36°-4sin336°，可求得cos36°的值为（) A.5-1 B5+1 C.3-1 D.5+ 5 4 6已知函数f(x)=x3-2x,,2∈R,则“x+x2=0”是“f(x)+f(x2)=0”的（) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D,既不充分也不必要条件 7如图，三棱柱ABC-AB,C中，E、F分别是AB、AC的中点，平面EFCB 将三棱柱分成体积为Y,Y2(左为Y,右为”2)，则2：=（） A.5:6 B.3:4C.1:2 D.5:7 高三数学试题第1页（共4页） 1 8在半径为2的圆上任取三个不同的点A,B,P,且4B=22,则PAP丽的最大值为() A.V2+2 B.25+2 C.22+4 D.4v2+4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目的要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知等差数列{an}的前n项和为S.,且4S,-5S,=20,a6=1,则（） A.a=-11 B.S。=-9 C当n=5时，S,取得最小值 D.记bn=an’则数列{b,}的前n项和为2n2-9n 10.已知点M(-l,1),N(2,),且点P在直线1：x+y+2=0上，则() A存在点P,使得PM⊥PN B存在点P,使得2PM=PN CPM+PW的最小值为√29 D.PM-PW的最大值为3 D I1如图，棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，E为棱DD,的中点， B F为正方形CDD,C内一个动点（包括边界），且B,F∥平面ABE, 则下列说法正确的是() A动点F的轨迹的长度为√2 B三校锥A-DF体积的最小值为 C.BF与AB不可能垂直 D,当三棱锥B-D,DF体积最大时，其外接球的表面积为25 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知平面α截半径为R的球0所得的截面圆的周长等于大圆周长的一半，则球心0到平面 a的距离为 13已知圆0：x2+y2=1,过点A(2,0)的直线1与圆0交于B,C两点，且A西=BC,则BC 高三数学试题第2页（共4页） 2 1已奥隔数r-g2+》-2是取上奇品数。者=8*8名+8，++g2特 (neN),则an= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步缧 15.(13分) 已知数列{a。+b}是等比数列，{b}是常数列，且a,=0,a2=2，a,=6. (1)求{a},{b}的通项公式： (2)求数列{an}的前n项和S. 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，PC一AC. (I)求证：平面PAD⊥平面ABCD: (2)求直线PB与平面PCD所成角的正值 17、(15分) 在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b2-2 csin B+c2=4,且a=2 (I)求sinA: (2)求，tanA一的最大值 tan B tan C 3 18.(17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠ADC=60,PA⊥PC,PD=AD=2. (I)证明：BD⊥平面PAC: (2)己知平面PAC与平面DPC的夹角余弦值为店，求PH的长 13 D 19.(17分) 己知函数f(x)=1-ur,gx)=1-lnx, (1)求函数y=g(x)图象上点到直线x+y=0的最短距离： (2)若∫(x)-g(x)≤-x恒成立，求a的取值范围： (3)若函数f(x)与g(x)的图象存在公切线，求正实数a的最小值 又高三数学第三次测试参考答案 1--8: DBCA BADD 9-11: BD BCD ABD 12--14 及R 6 4n+2 15.(1)设bn=k,则{a+}是等比数列，则a+k=k,a,+k=2+k,a,+k=6+k, 所以有：(k+2)'=k(k+6),即4k+4=6k,所以k=2,即bn=2;4分 “数列{a.+2}是以2为首项，2为公比的等比数列， an+2=22-=2, 因此{a},{bn}的通项公式分别为：a=2-2,bn=2: 8分 (2)由(1)可知：a=2”-2, S=(21-2)+(22-2++(2"-2=(2+22++22 2-2）2n=21-2m-2 1-2 13分 16.(15分)解：(1)不妨设正方形ABCD边长为2.则PD=CD=2,AC=PC=2N2, 由PC=PD+CD,得CD+PD.再由CD⊥AD,得CD⊥平面PAD, 因为CDC平面ABCD,所以平面PAD+平面ABCD …6分 (2)取AD中点O,连结PO,则PO+AD,PO⊥平面ABCD, 以O为原点，OD,OP所在直线分别为片，2轴建立空间直角坐标系。如图所示， 8分 则P(0.0.3).B(2.-10).C(2.1.0).D01.0).PB=(2,-1,-V3). 设平面PCD的法向量为n=(x,火，z),则 nDC=0,∫2x=0 PD=0.y-3:=0 取i=(0,3。).12分 记PB与平面PCD所成角为8.则sin8= P8.n23_V6 PH424 15分 高三数学答案第1页（共4页） 17.(1)因为-2inB+2=4,且a=2.则-acxin B+2=a2 巾余弦定理可得a2=+2-2 KCOM A,所以acsin B=2 becos A, 3分 印asin B=2 bcos A,h正弦定理可得sin Asin B=2 sin Bcos A, 其中sinB≠0，则xinA=2cosA, 5分 所以anA=2.inA=25 ….7分 2anA=-m(8+G=-002=2. 8分 化简可得2 tan Btan C-2=anB+anC. 且△ABC为锐角三角形，则tanB>0,tanC>0, 所以2 an Btan C-2=tanB+anC≥2√tan Btan C, 10分 即tan Btan C-√an Btan C-1≥0. 解0 nC≥l生5政Bun C<与，5（会. 2 12分 所以unnC(生5)'=6牛？5当B仅当mB=nC=2时，等号成立. 4 则mC的大值为之 8(6-25) =163-5=3-5. 15分 6+25(6+25)(6-25) 16 18.评分细则】(1)设O为BD中点，因为四边形ABCD为菱形，所以BD.LAC。1分 因为∠ADC=60°，PA⊥PC.PD=AD=2, 所以PO=1,D0=V3, 因为PD=PO+D),所以D)⊥PO. 5分 因为AC∩PO=O,所以BD⊥平面PAC: 7分 (2)如图，以O为原点，分别以OD,(C所在直线为x轴.y轴，过点O且与平面 ABCD垂直的直线为：轴，建立空间直角坐标系，· 9分 设P(0,m…m.则n>0.且+n=1.10分 D(W5,0,0).A(0.-1.0).C(0.1.0). D0=《-/3,1.0).P心=(0.1-m.-m 设平面DPC的法向量为n=(xy,)· n·Dc-0. -3x+y-0. 所以 即 n.PC-0. (1-m)y-#2=0: 所以令y=,则n (1小 …13分 由(1D可知，平面PCA的一个法向量为O心=（√，0,0）， 设平面PAC与平面DPC的夹角为0， 高三数学答案第2页（共4页） OD.n 则co0 V13 联立2+n2=1, 13 解得：m=- 2 2 16分 2,则PA=1.17分 所以P0-)S 19.(1)设与x+y=0平行且与g(x)相切的直线，与g(x)的切点为M(x,1-lnx)）, 由题设，令g(化)=-=-1，知元=1，则M到直线x+y=0的距离最短 所以d=+=5 √2 4分 (2) 由f()-g()=lnx-ar2s-x,从而a≥hx+'恒成立， 5分 设0)=+>0叭.则r)=-2x12h= 6分 xx 设p()=1-2nr-x,则p(x)=-2-1<0,则p()在(0，+o)上递减且p0=0.7分 当x∈(0，)时，p(x)>0,即(x)>0,(x)单调递增： 当x∈(1，+o)时，p(x)<0,即1(x)<0,(x)单调递减： 9分 所以(x)得最大值为()=1，则a的取值范围是[1，+o), 10分 高三数学答案第3页（共4页） (3)设点A(x,1-ax)是公切线在f(x)上的切点，则f'()=-2a=k 侧切线方程为y-(1-ax)=-2ax(x-x),即y=-2ax+a+1,11分 设点B1-n5)是公切线在g(x)上的切点，则g5)=-=k, 鹦切线方程为y-（0-1n)=-(-x）.即y=-x+2-1n5,12分 综上.2-右+1=2-h6,消去无0名=0-n》 .13分 设函数h()=x之(1-lnr),则h(x)=x(1-2lnr(x>0),14分 所以x∈(0，e)时，h(x)>0,h(x)单调递增， xeNe,+∞时，(x)<0,h(x)单调递减， 16分 所以（国最大值为产氵则（分=氵即a 21 17分 高三数学答案第4页（共4页）