精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市建华区2024-2025学年八年级上学期12月联考数学试题

2024-2025学年上学期齐齐哈尔市五县区联考八年数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 满分120分 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共10小题 30分） 1. 京剧是我国的国粹，下列京剧脸谱构成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，8 C. 5，6，11 D. 5，6，10 3. 将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是高，，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 若是一个完全平方式，则常数a的值为（ ） A. 8 B. C. D. 无法确定 9. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A. B. C. D. 10. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共7小题，21分） 11. 计算：__________ 12. 关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为____________． 13. 如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 14. 如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这个等腰三角形的周长为_______． 15. 化简的结果是________． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 17. 如图，这是一种数值转换机的运算程序，若输入的数为6，则第2025次输出的数是______． 三、解答题 18. 分解因式： （1）． （2）． 19. 计算及化简 （1） （2） （3） （4） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 23. 综合与探究 问题情境： 已知，点，分别在射线，上，连接，是的平分线． 独立思考： （1）如图1，若所在的直线交的平分线于点． ①当时，______；当时，______； ②当点，分别在射线，上运动时（不与点重合），试问：随着点，的运动，的大小会发生变化吗？如果不会，请求出的度数；如果会，请求出度数的变化范围． 拓展延伸： （2）如图2，当所在的直线交的平分线于点，点，分别在，上时，将沿折叠，使点落在内的点处，求的度数． 24. 荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元； （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年上学期齐齐哈尔市五县区联考八年数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 满分120分 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共10小题 30分） 1. 京剧是我国的国粹，下列京剧脸谱构成轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形． 故选：C． 2. 下列长度的线段，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 3，4，8 C. 5，6，11 D. 5，6，10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边的数量关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，对每个选项进行分析得出答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，不符合题意； D、，能构成三角形，符合题意； 故选：D． 3. 将一副直角三角尺按如图所示摆放，则图中锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，以及角的计算，关键是掌握三角形内角和为，正确计算出的度数． 根据直角三角板，，，再根据角的和差关系可得的度数，再利用三角形内角和为计算出的度数． 【详解】解：根据直角三角板，，， ， ， ， 故选：D． 4. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定方法，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 已知，是公共角，根据选项逐一进行分析即可得． 【详解】解：，， 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加可利用证明，不符合题意； 选项，添加不能证明，符合题意． 故选：． 5. 如图，在中，分别是线段的垂直平分线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性质得出，，由三角形内角和定理得出，等量代换可得出，再利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵分别是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，在中，是高，，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含30度直角三角形的性质，掌握此性质是解题的关键；由可求得，则得，，则，由三角形面积即可求解． 【详解】解：∵是高，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 7. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂乘法，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方和同底数幂乘法法则求解判断即可． 【详解】A、，故选项不符合题意； B、，故选项符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 8. 若是一个完全平方式，则常数a的值为（ ） A. 8 B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，再求出即可．本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有和两个． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 9. 下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查分解因式的概念：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式），逐一判定即可． 【详解】解：A. 是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B. ，等式的右边不是整式，故该选项不正确，不符合题意； C. ，等式的右边不是乘积的形式，故该选项不正确，不符合题意； D. 是因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 10. 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及其解法，掌握分式方程的解法是解题的关键，理解分式有意义的条件是正确解答的前提． 先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及分式有意义的条件确定m的取值范围． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得，， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以，即， 又∵，， 解得：， ∴ ∴ ∴m的取值范围为且， 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共7小题，21分） 11. 计算：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，先计算积的乘方，然后再根据幂的运算进行计算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 12. 关于x的方程的解为非负数，则a的取值范围为____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数．先将分式方程化为整式方程，用含a的式子表示出x，根据解为非负数，分式的分母不能为0，列不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 去分母，得， 解得， 关于的方程的解为非负数， ， 解得； ， ， 解得， 的取值范围为且． 故答案为：且． 13. 如图是用尺规作已知角的平分线的示意图，则的依据是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据尺规作图痕迹可得，两个三角形对应边相等，进而可得答案． 【详解】解：由图可知， 故答案为：． 14. 如果等腰三角形的一边长是，另一边长是，那么这个等腰三角形的周长为_______． 【答案】##25厘米 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分腰长为和腰长为两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当腰长为时：，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，，能构成三角形， 此时三角形的周长为：； 故答案为：． 15. 化简的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的减法，解题的关键是掌握分式的性质，根据题意，先通分，然后做减法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称求最短距离，能够利用轴对称将线段和的最小值转化为线段长求解是关键．在上截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可知点和点关于对称，再根据轴对称的性质及最短路径结合面积法即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取，连接，，     是的平分线， 在与中 点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时， 是动点， 也是动点，当与垂直时，最小，即最小． 此时，由面积法得． 故答案为：． 17. 如图，这是一种数值转换机的运算程序，若输入的数为6，则第2025次输出的数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查程序流程图，数字类规律探索，解题的关键是根据程序图得到数字的一般规律．分别计算出前几次的结果，总结出规律为每3次为一个循环，再根据，得出第2025次输出的结果与第3次输出的结果相同，即可得解． 【详解】解：由运算程序可知：第1次输出的结果为：； 第2次输出的结果为：； 第3次输出的结果为：； 第4次输出的结果为：； ……， 所以每3次为一个循环． 因为， 所以第2025次输出的结果与第3次输出的结果相同，即为6． 故答案为：6． 三、解答题 18. 分解因式： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先提公因式，再利用十字相乘法因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式． 19. 计算及化简 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3）27 （4） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算、整式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）根据有理数的乘除法法则计算即可得； （2）先计算乘除法，再计算加法即可得； （3）先计算乘方，再计算除法、括号内的减法，然后计算乘法，最后计算加法即可得； （4）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减法即可得． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 【小问3详解】 解：原式 ． 【小问4详解】 解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解； （2）两边同乘以去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，检验即可求解． 【小问1详解】 解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：， 方程两边同时乘以，得：， 解得：， 检验：把代入，则是增根， ∴原分式方程无解． 21. 如图，点，，，在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键； （1）由平行线的性质可得，根据证明，即可得证； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的外角性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， ． 22. 【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0； （2）42； （3）2，理由如下： 设：，则， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3） 略 23. 综合与探究 问题情境： 已知，点，分别在射线，上，连接，是的平分线． 独立思考： （1）如图1，若所在的直线交的平分线于点． ①当时，______；当时，______； ②当点，分别在射线，上运动时（不与点重合），试问：随着点，的运动，的大小会发生变化吗？如果不会，请求出的度数；如果会，请求出度数的变化范围． 拓展延伸： （2）如图2，当所在的直线交的平分线于点，点，分别在，上时，将沿折叠，使点落在内的点处，求的度数． 【答案】（1）①45，45，②不会发生变化， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，折叠的性质， 对于（1），根据角平分线定义和三角形内角和定理分别求出，再根据三角形内角和定理得出答案，②根据三角形外角的性质解答； 对于（2），根据三角形内角和定理及平角定义求出，进而求出，再根据折叠的性质得，即可得出答案． 【详解】解：（1）①∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：45，45； ②随着点A，B的运动，的大小不会发生变化． 设，则． ， ． 平分，平分， ，． ． （2）， ． ． 平分，平分， ． ． 由折叠的性质，得，． ． ． 24. 荣庆公司计划从商店购买同一品牌的台灯和手电筒，已知购买一个台灯比购买一个手电筒多用20元，若用400元购买台灯和用160元购买手电筒，则购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半． （1）求购买该品牌一个台灯、一个手电筒各需要多少元； （2）经商谈，商店给予荣庆公司购买一个该品牌台灯赠送一个该品牌手电筒的优惠，如果荣庆公司需要手电筒的个数是台灯个数的2倍还多8个，且该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元，那么荣庆公司最多可购买多少个该品牌台灯． 【答案】（1）购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元 （2）21个 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元．则根据等量关系：购买台灯的个数是购买手电筒个数的一半，列出方程求解即可； （2）设公司购买台灯的个数为a个，则还需要购买手电筒的个数是个，则根据“该公司购买台灯和手电筒的总费用不超过670元”列出不等式求解即可． 【小问1详解】 购买该品牌一个手电筒需要x元，则购买一个台灯需要元． 根据题意 得 解得 ， 经检验，是原方程的解． 所以． 答：购买一个台灯需要25元，购买一个手电筒需要5元； 【小问2详解】 设公司购买a个该品牌台灯，则还需要购买个手电筒，由题意得 解得， 答：荣庆公司最多可购买21个该品牌的台灯． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $