辽宁省沈文新高考研究联盟2024-2025学年高三上学期12月月度质量监测数学试题

高三数学 第 1 页，共 4 页 秘密★启用前 2024-2025（上）12 月月度质量监测 高 三 数 学 本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 【命题组织单位：辽宁沈文新高考研究联盟】 第Ⅰ卷 选择题（共 58 分） 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题所给的四个选项中，有且 只有一项是符合题目要求的） 1．设集合𝐴 = {𝑥|𝑥 = 2𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ N}，𝐵 = {𝑥|𝑥 = 4𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ N}，则∁𝐴𝐵 = A．{𝑥|𝑥 = 4𝑛 + 1 , 𝑛 ∈ N} B．{𝑥|𝑥 = 4𝑛 + 2 , 𝑛 ∈ N} C．{𝑥|𝑥 = 4𝑛 + 3 , 𝑛 ∈ N} D．∅ 2．已知𝑖是虚数单位，则复数𝑧1 = 2 + 𝑎𝑖, 𝑧2 = 1 − 𝑖，若 𝑧1 𝑧2 是实数，则实数𝑎的值为 A．-2 B．2 C．0 D． 1 2 3．不等式 𝑥+1 𝑥−1 > 2成立的一个充分不必要条件是 A．1 < 𝑥 < 2 B．1 < 𝑥 < 3 C．𝑥 < 3 D．𝑥 < 2 4．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现 存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二层3座， 第三层 3 座，第四层 5 座，第五层 5座，从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为 5，公差为 2的等差数列，总计一百零八座，则该塔共有 A．八层 B．十层 C．十一层 D．十二层 5．已知某圆锥的母线长为 2，记其侧面积为 S，体积为 V，则当 𝑉 𝑆 取得最大值时，母线与底 面所成角的正弦值为 A． √2 2 B． √3 2 C． 1 2 D． 3 4 6．已知函数𝑓(𝑥) = 2sin(𝜔𝑥 + 𝜑)（ 𝜔 > 0（，0 < 𝜑 < π（，， 𝑓(𝑥)（象上上所有向右平移 π 6𝜔 个单位长度得到函数𝑔(𝑥)（的象上，若𝑔(𝑥)（是函函数，𝑓(𝑥)（ (0, π 6 )（上单递增，，则𝜔（的最大 值为 A． 2 3 B．1 C．2 D．3 7．已知圆的圆心为(1, −2)，且直线3𝑥 − 4𝑦 + 14 = 0与圆相切，则圆的标准方程为 A．(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 25 B．(𝑥 − 1)2 + (𝑦 + 2)2 = 5 C．(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 25 D．(𝑥 + 1)2 + (𝑦 − 2)2 = 5 高三数学 第 2 页，共 4 页 ．如象，棱长为2（的正方体𝐴𝐵𝐶𝐷 − 𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1（的切切为为为𝑂（，𝐸（，𝐹（分是是棱𝐴𝐷（，𝐵𝐵1（的 中向，𝐺 棱𝐴𝐵上 动，则 A．对于任意向𝐺，𝑂𝐷//移面𝐸𝐹𝐺 B．直线𝐸𝐹被为𝑂截得的弦长为√3 C．过直线𝐸𝐹的移面截为𝑂所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为 π 2 D．当𝐺为𝐴𝐵的中向时，过𝐸，𝐹，𝐺的移面截该正方体所得截面的面积为2√3 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题所给的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分） 9．下列通项公式中，对应的数列是增，数列的是 A．𝑎𝑛 = 1 + 𝑛 B．𝑎𝑛 = 2𝑛 2 − 5𝑛 + 1 C．𝑎𝑛 = 1 4𝑛 D．𝑎𝑛 = { 𝑛 + 1, 𝑛 ≤ 2 2𝑛−1, 𝑛 > 2 10．已知𝑎 > 0，𝑏 > 0.若4𝑎 + 𝑏 = 1，则 A． 1 4𝑎 + 1 𝑏 的最小值为 9 B． 1 𝑎 + 1 𝑏 的最小值为 9 C．(4𝑎 + 1)(𝑏 + 1)的最大值为 9 4 D．(𝑎 + 1)(𝑏 + 1)的最大值为 9 4 11．已知△ 𝐴𝐵𝐶切角𝐴, 𝐵, 𝐶对边分是为𝑎, 𝑏, 𝑐，则下列说法正确的是 A．若sin𝐴 > sin𝐵，则𝐴 > 𝐵 B．若𝑎cos𝐵 = 𝑏cos𝐴，则△ 𝐴𝐵𝐶为等腰三角形 C．若𝑎2 + 𝑏2 > 𝑐2，则△ 𝐴𝐵𝐶为锐角三角形 D．若𝑎 = 1.5, 𝑏 = 2, 𝐴 = 30°的三角形有两解 第Ⅱ卷 非选择题（共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．若函数𝑔(𝑥) = { 𝑥 − 1, 𝑥 > 0 𝑓(𝑥), 𝑥 < 0 是函函数，则𝑓(𝑥) = ． 13． 《九章算术》中， 底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的 三视象如象所示，俯视象中虚线恰好移分矩形的面积，则该“堑堵”的正视象的面积 是 ，体积是 ． 14．已知抛物线𝐶: 𝑦2 = 4𝑥的焦向为𝐹，过向𝐹的直线与抛物线𝐶交于向𝑀(𝑥1, 𝑦1)，𝑁(𝑥2, 𝑦2)， 若向𝑃(𝑥2, −𝑦2)，且𝑆△𝑀𝑃𝐹 = 10，则直线𝑀𝑁的斜率为 ． 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤） 高三数学 第 3 页，共 4 页 15．已知函数𝑓(𝑥) = √3sin (𝑥 − 𝜋 6 ) + cos (𝑥 − 𝜋 6 ). 1，函数𝑓(𝑥)取得最大值或最小值时的𝑥组成集合𝐴， 集合𝐴中𝑥 ∈ (0, +∞)的所有𝑥的 值，从小到大排成一数列，记为{𝑎𝑛}，求数列{𝑎𝑛}的通项公式； 2，令𝑏𝑛 = 𝜋2 𝑎𝑛⋅𝑎𝑛+1 ，求数列{𝑏𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛. 16．某学习小组 一次研究性学习中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数． cos215° + cos215° − √3sin15°sin15°； cos280° + cos2(−50°) − √3sin80°sin(−50°)； cos2170° + cos2(−140°) − √3sin170°sin(−140°)． 1，求出这个常数；（ 2，结合 1，的结果， 该小组的发现推广为一个三角恒等式，并证明你的结论． 17． 如象所示的五面体中，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷为直角梯形，∠𝐵𝐴𝐷 = ∠𝐴𝐷𝐶 = π 2 ，移面𝐴𝐷𝐸（⊥移面𝐴𝐵𝐶𝐷，𝐸𝐹 = 2𝐶𝐷 = 4𝐴𝐵 = 4，△ 𝐴𝐷𝐸是边长为 2的正三角形. (1)证明：𝐸𝐹//移面𝐴𝐵𝐶𝐷； (2)证明：𝐵𝐸 ⊥移面𝐴𝐶𝐹． 18．已知双曲线𝐸: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎 > 0, 𝑏 > 0)的焦向为𝐹(2,0)，且过向(−√5, √6 3 )． (1)求双曲线𝐸的方程； (2)过向𝐹作斜率分是为𝑘1, 𝑘2的直线𝑙1, 𝑙2，直线𝑙1交双曲线𝐸于𝐴, 𝐵两向，直线𝑙2交双曲线𝐸 于𝐶, 𝐷两向，向𝑀, 𝑁分是是𝐴𝐵, 𝐶𝐷的中向，若𝑙1 ⊥ 𝑙2，试判断直线𝑀𝑁是否过定向？若是， 高三数学 第 4 页，共 4 页 则求出该定向坐标；若不是，请说明理由． 19．已知函数𝑓(𝑥) = e𝑥 − 𝑎𝑥2 − sin𝑥,e为自然对数的底数 (1)求𝑓(𝑥) 𝑥 = 0处的切线方程； (2)当𝑥 ≥ 0时，𝑓(𝑥) ≥ 1 − 𝑥 − sin𝑥，求实数𝑎的最大值； (3)证明：当𝑎 < 1 2 时，𝑓(𝑥) 𝑥 = 0处取极小值.