内蒙古呼和浩特市回民区2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年内蒙古呼和浩特市回民区八年级（上）期中数学试卷 一、单选题（本大题共8小题，1-6小题，每小题2分，7-8小题，每小题3分，共18分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ） A． B． C． D． 2．一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（ ） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 4．如图，在锐角中，，，的平分线交AC于点D，点P，分别是，上的动点，则的最小值为（ ） A．4 B． C．2 D． 5．如图，在中，，，分别是边，，的中点，且阴影部分的面积为7，则的面积为（ ） A．14 B．21 C．28 D．32 6．如图，在中，平分，，，若，，则的长为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．如图，锐角中，，分别是，边上的点，，，且，，交于点．若，则的大小是（ ） A． B． C． D． 8．如图，为的外角平分线上一点，过作于，交的延长线于，且满足，则下列结论：①；②；③若，则；④．其中正确的结论有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程。） 9．若一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______． 10．如图，在中，，，，则______． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的一个底角的度数为______． 12．如图，在中，，，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标是______． 13．如图，在中，，，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点、，连结，若，则的长为______． 13题图 14．如图，在四边形中，，．将沿翻折得到，若 ，，则______． 14题图 15．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的腰长为______． 16．如图，平分的外角，，于点，若，，求的长______． 16题图 三、解答题（本大题共7小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题7分） 如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出关于轴对称的，并写出、的坐标； （2）直接写出的面积：______； （3）在轴上找到一点，使的值最小，请标出点在坐标轴上的位置． 18．（本小题7分）如图，在中，，，是的角平分线，点是边上一点，且．求：的度数． 19．（本小题7分）如图，如图在中，利用尺规作图 （1）画出的角平分线，线段AB的垂直平分线，保留作图痕迹； （2）在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接AF，若，，则的度数是多少？ 20．（本小题11分）如图，在中，，直线分别交、和的延长线于点、、，过点作交于点． （1）若，，求的度数． （2）求证：． 21．（本小题12分） 如图，在四边形中，，是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在边上，且． （1）求证：； （2）连接，判断与的位置关系，并说明理由． 22．（本小题14分）已知：平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点在第二象限，，与轴正方向的夹角为． （1）试判定的形状； （2）如图1，若，，点为的中点，、交于，求证：； （3）如图2，若点为轴的正半轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点，问： 与之间有何数量关系，试证明你的结论． 2024-2025学年内蒙古呼和浩特市回民区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B D C D B C 一、单选题（本大题共8小题，1-6小题，每小题2分，7-8小题，每小题2分，共18分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．（2分）下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用全等图形的概念可得答案． 【解答】解：A、两个图形不属于全等图形； B、两个图形不属于全等图形； C、两个图形不属于全等图形； D、两个图形属于全等图形； 故选：D． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握能够完全重合的两个图形叫做全等形． 2．（2分）一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长． 【解答】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：5﹣2＜a＜4+2， 即3＜a＜6， ∵a为整数， ∴a的最大值为6， 则三角形的最大周长为6+2+5＝13． 故选：D． 【点评】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 3．（2分）一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形是（　　） A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 【分析】根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解． 【解答】解：设多边形的边数是n，则（n﹣2）•180＝3×360， 解得：n＝3， 故选：B． 【点评】本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，正确理解定理是解题的关键． 4．（2分）如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠ABC的平分线交AC于点D，点P，AB上的动点，则AP+PQ的最小值为（　　） A．4 B．4 C．2 D．2 【分析】作AH⊥BC于点H，交BD于点P′，作P′Q′⊥AB于点Q′，根据BD是∠ABC的平分线，即可P′H＝P′Q′，此时AP′+P′Q′＝AP′+P′H＝AH最小，进而可求AP+PQ的最小值． 【解答】解：作AH⊥BC于点H，交BD于点P， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴PH＝PQ′， 此时AP+PQ′＝AP+PH＝AH最小， 在Rt△ABH中，AB＝4， ∴AH＝AB×sin45°＝4×＝2． ∴AP+PQ的最小值为2． 故选：D． 【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，垂线段最短，锐角三角函数，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 5．（2分）如图，在△ABC中，已知D，E，BD，CE的中点，则△ABC的面积为（　　） A．14 B．21 C．28 D．32 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】解：∵点E是BD的中点， ∴S△ABE＝S△ABD，S△BCE＝S△BDC， ∴S△ABE+S△BCE＝S△ABC， ∴S△ACE＝S△ABC， ∵点F是CE的中点， ∴S△AEF＝S△ACE， ∴S△ABC＝4S△AEF＝6×7＝28， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 6．（2分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，∠CAD＝∠C，若AB＝5，则BC的长为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】延长AD交BC于点E，如图，证明△ABD≌△EBD，得到BE＝BA＝5，AD＝ED＝2，可得AE＝4，由∠CAD＝∠C可得EC＝EA＝4，进而可得答案． 【解答】解：延长AD交BC于点E，如图， ∵BD平分∠ABC，AD⊥BD， ∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°， ∵BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（ASA）， ∴BE＝BA＝5，AD＝ED＝2， ∴AE＝4， ∵∠CAD＝∠C， ∴EC＝EA＝4， ∴BC＝BE+EC＝9； 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定，正确添加辅助线、证明△ABD≌△EBD是解题的关键． 7．（3分）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，则∠BFC的大小是（　　） A．105° B．110° C．100° D．120° 【分析】由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答． 【解答】解：设∠C′＝α，∠B′＝β， ∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′， ∴∠ACD＝∠C′＝α，∠ABE＝∠B′＝β， ∴∠C′DB＝∠BAC′+AC′D＝35°+α，∠CEB′＝35°+β． ∵C′D∥EB′∥BC， ∴∠ABC＝∠C′DB＝35°+α，∠ACB＝∠CEB′＝35°+β， ∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，即105°+α+β＝180°． 则α+β＝75°． ∵∠BFC＝∠BDC+∠DBE， ∴∠BFC＝35°+α+β＝35°+75°＝110°． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的． 8．（3分）如图，D为∠BAC的外角平分线上一点，过D作DE⊥AC于E，且满足∠FDE＝∠BDC，则下列结论：①△CDE≌△BDF；③若∠BAC＝80°，则∠CBD＝40°（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，可以判断出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵AD平分∠FAC，DF⊥AF， ∴∠DFB＝∠DEC＝90°，DF＝DE， 又∵∠FDE＝∠BDC， ∴∠FDB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE， ∴∠FDB＝∠EDC， 在△CDE和△BDF中， ， ∴△CDE≌△BDF（ASA），故①正确； ∴CE＝BF，BD＝CD， 在Rt△DFA和Rt△DEA中， ， ∴Rt△DFA≌Rt△DEA（HL）， ∴AE＝AF， ∵BE＝BA+AF， ∴BE＝BA+AE， ∴CE＝AB+AE，故②正确； ∵∠BAC＝80°， ∴∠FAE＝100°， ∵∠DFA＝∠DEA＝90°， ∴∠FDE＝80°， 又∵∠FDE＝∠BDC， ∴∠BDC＝80°， ∴∠BDC＝∠BAC，故④正确； ∵BD＝CD， ∴∠DBC＝∠DCB＝50°，故③错误； 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质、四边形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程。） 9．（3分）若一个正多边形的一个外角等于18°，则这个正多边形的边数是　20　． 【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数． 【解答】解：正多边形的一个外角等于18°，且外角和为360°， ∴这个正多边形的边数是：360°÷18°＝20． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于360度． 10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝∠1，BE＝2，则BC＝　5　． 【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以推出△BED≌△CDF，可得CD＝BE＝2，可得结论． 【解答】解：∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠1+∠FDC，且∠1＝∠B， ∴∠BED＝∠FDC， 在△BED和△CDF中， ， ∴△BED≌△CDF（ASA）， ∴CD＝BE＝2， ∵BD＝3， ∴BC＝BD+CD＝3+7＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 11．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求底角的度数　65°或25°　． 【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角． 【解答】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1， 可求得其顶角为50°， 则底角为×（180°﹣50°）＝65°， 当该三角形为钝角三角形时，如图2， 可求得顶角的外角为50°，则顶角为130°， 则底角为×（180°﹣130°）＝25°． 综上可知该三角形的底角为65°或25°． 故答案为：65°或25°． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为180°是解题的关键． 12．（3分）如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点A的坐标为（﹣8，3）　（1，6）　． 【分析】过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 【解答】解：过A和B分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ∵， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC＝BE，AD＝CE， ∵点C的坐标为（﹣2，0），8）， ∴OC＝2，AD＝CE＝3， ∴CD＝OD﹣OC＝3，OE＝CE﹣OC＝3﹣2＝4， ∴BE＝6， ∴则B点的坐标是（1，8） 故答案为（1，6） 【点评】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形． 13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，则AD的长为 　2　． 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，进一步可得∠DBA＝30°，∠ABC＝60°，再根据含30°角的直角三角形的性质可得BD，进一步即可求出AD的长． 【解答】解：∵线段AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E， ∴AD＝BD， ∴∠DBA＝∠A， ∵∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠DBA＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝30°， ∵CD＝1， ∴BD＝2CD＝8， ∴AD＝BD＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 14．（3分）如图，四边形ABCD中，∠A＝100°，得△FMN，若MF∥AD，则∠B＝　95　度． 【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵MF∥AD，FN∥DC， ∴∠BMF＝∠A＝100°，∠BNF＝∠C＝70°， ∵△BMN沿MN翻折得△FMN， ∴∠BMN＝∠BMF＝， ∠BNM＝∠BNF＝， 在△BMN中，∠B＝180°﹣（∠BMN+∠BNM）＝180°﹣（50°+35°）＝180°﹣85°＝95°． 故答案为：95． 【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 15．（3分）已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为3：2的两部分，则这个等腰三角形的腰长为　18cm或12cm　． 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【解答】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm． 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27和18两部分， ∴或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm． 故答案为：18cm或12cm． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确3：2两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 16．（3分）如图，BD平分△ABC的外角∠ABP，DA＝DC，若AB＝5，BC＝3　1　． 【分析】过点D作DF⊥AB于F，证明DBE≌△DBF，根据全等三角形的性质得到BE＝BF，DE＝DF，证明Rt△DEC≌Rt△DFA，得到EC＝AF，把已知数据代入计算即可． 【解答】解：∵DE⊥BP，DF⊥AB， ∴∠DEB＝∠DFB＝∠DFA＝90°， 如图，过点D作DF⊥AB于F， ∵BD平分△ABC的外角∠ABP， ∴∠DBE＝∠DBF， 在△DBE和△DBF中， ， ∴△DBE≌△DBF（AAS）， ∴BE＝BF，DE＝DF， 在Rt△DEC和Rt△DFA中， ， ∴Rt△DEC≌Rt△DFA（HL）， ∴EC＝AF， ∴BE+BC＝AB﹣BF， ∴BE+BF＝AB﹣BC＝5﹣3＝4， ∴BE＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 三、解答题（本大题共6小题，共58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）如图，在平面直角坐标系中． （1）请画出△ABC关于y轴对称的△AB1C1，并写出B1、C1的坐标； （2）直接写出△ABC的面积：S△ABC＝　5　； （3）在x轴上找到一点P，使PA+PC的值最小，请标出点P在坐标轴上的位置． 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积； （3）作A点关于x轴的对称点A′，然后连接A′C交x轴于P点． 【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作，B5（﹣2，﹣4），C3（﹣4，﹣1）； （2）S△ABC＝2×4﹣×2×2﹣×4×1＝3； 故答案为5； （3）如图，点P为所作． 【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题． 18．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是△ABC的角平分线，点E是边AC上一点∠B． 求：∠CDE的度数． 【分析】根据三角形的内角和得到∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠BAD＝40°，根据三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝60°， ∴∠B＝180°﹣60°﹣80°＝40°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°， ∵∠ADE＝∠B＝20°， ∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝70°﹣20°＝50°． 【点评】本题考查了三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键． 19．（7分）如图，如图在△ABC中，利用尺规作图 （1）画出∠ABC的角平分线，线段AB的垂直平分线，保留作图痕迹； （2）在（1）中，所画角平分线与垂直平分线相交于点F，连接AF，∠CAF＝24°，则∠BAF的度数是多少？ 【分析】（1）按基本作图﹣作角的平分线、作线段的垂直平分线的要求，作出∠ABC的平分线、线段AB的垂直平分线即可； （2）由BQ平分∠ABC，∠CBF＝∠ABF，由线段的垂直平分线的性质得AF＝BF，则∠ABF＝∠BAF，由∠ACB＝60°，∠CAF＝24°，根据三角形内角和定理得∠CBF+∠ABF+∠BAF+24°+60°＝180°，则3∠BAF+24°+60°＝180°，求得∠BAF＝32°． 【解答】解：（1）如图，射线BQ是∠ABC的平分线． （2）如图，BQ与MN交于点F， ∵BQ平分∠ABC， ∴∠CBF＝∠ABF， ∵点F在线段AB的垂直平分线MN上， ∴AF＝BF， ∴∠ABF＝∠BAF， ∴∠CBF＝∠ABF＝∠BAF， ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°，且∠ACB＝60°， ∴∠CBF+∠ABF+∠BAF+24°+60°＝180°， ∴3∠BAF+24°+60°＝180°， ∴∠BAF＝32°， ∴∠BAF的度数是32°． 【点评】此题重点考查尺规作图、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理等知识，正确地作出∠ABC的平分线及线段AB的垂直平分线是解题的关键． 20．（11分）如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，过点B作BP∥AC交EF于点P． （1）若∠A＝70°，∠F＝25°，求∠BPD的度数． （2）求证：∠F+∠FEC＝2∠ABP． 【分析】（1）由平行线的性质可得∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC，由三角形的外角性质可求解； （2）由三角形内角和定理可得结论． 【解答】解：（1）∵∠A＝∠ABC＝70°，BP∥AC， ∴∠ABP＝∠A＝70°＝∠ABC， ∴∠PBF＝180°﹣2×70°＝40°， ∴∠BPD＝∠F+∠PBF＝25°+40°＝65°； （2）∵∠F+∠FEC＝180°﹣∠C，∠A+∠ABC＝180°﹣∠C， ∴∠F+∠FEC＝2∠A＝7∠ABP． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键． 21．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上 （1）求证：△ADE≌△BFE； （2）连接EG，判断EG与DF的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）由AD∥BC，得出∠ADE＝∠F，因为E是AB的中点，得AE＝BE，即可证明△ADE≌△BFE； （2）通过（1）中全等知DE＝EF，DG＝FG，由等腰三角形三线合一即可证出EG⊥DF． 【解答】（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠ADE＝∠F， ∵E是AB的中点， ∴AE＝BE， 在△ADE和△BFE中， ， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， （2）解：如图，EG⊥DF 由（1）知：△ADE≌△BFE， ∴DE＝EF， ∵DG＝FG， ∴GE是DF的垂直平分线， ∴EG⊥DF． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的三线合一等知识，找出全等所需的条件是解题的关键． 22．（14分）已知：平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第二象限，∠BOX＝150°． （1）如图1，试判定△ABO的形状 （2）如图2，若BC⊥BO，BC＝BO，AC、DB交于E，求证：AE＝BE+CE （3）如图3：若点E为y轴的正半轴上一动点，以BE为边作等边△BEG，延长GA交x轴于点P，试证明你的结论． 【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形进行判断； （2）在AC上截取AM＝CE，先证∠AEB＝60°，方法是根据题意得到三角形ABO为等边三角形，三角形BOC为等腰直角三角形，确定出∠ABD度数，根据AB＝BC，且∠ABC＝120°，得到∠BAE度数，进而确定出∠AEB为60°，再由AM＝CE，得到AE＝CM，再由AB＝CB，且夹角∠BAC＝∠BCA，利用SAS得到三角形BCM与三角形BAE全等，利用全等三角形的对应边相等得到BM＝BE，得到三角形BEM为等边三角形，得到BE＝EM，由AE＝EM+AM，等量代换即可得证； （3）AP＝2AO，理由为：由题意得到BG＝BE，AB＝OB，利用等式的性质得到∠ABG＝∠OBE，利用SAS得到三角形ABG与三角形OBE全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠GAB＝∠BOE＝60°，利用外角的性质得到∠APO＝30°，在直角三角形AOP中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到AP＝2AO． 【解答】解：（1）如图1，△AOB为等边三角形 ∵OB与x轴正半轴夹角为150°， x轴⊥y轴， ∴∠AOB＝150°﹣90°＝60°， ∵AO＝AB ∴△AOB为等边三角形； （2）如图2，在AC上截取AM＝EC，可得AM+EM＝CE+EM， ∵△AOB 为等边三角形， ∴∠OBC＝90°，∠ABO＝60°， ∵D为CO的中点， ∴BD平分∠OBC，即∠CBD＝∠OBD＝45°， ∴∠ABD＝105°，∠ABC＝150°， ∴∠BAC＝∠BCA＝15°， ∴∠AEB＝15°+45°＝60°， 在△ABE和△CBM 中， ∵ ∴△ABE≌△CBM （SAS）， ∴BM＝BE， ∴△BEM为等边三角形， ∴BE＝EM， ∴AE＝AM+EM＝CE+BE； （3）AP＝7AO，理由为： 证明：∵△AOB与△BGE都为等边三角形， ∴BE＝BG，AB＝OB， ∴∠EBG+∠EBA＝∠OBA+∠EBA，即∠ABG＝∠OBE， 在△ABG和△OBE中， ∴△ABG≌△OBE（SAS）， ∴∠BAG＝∠BOE＝60°， ∴∠GAO＝∠GAB+∠BAO＝120°， ∵∠GAO为△AOP的外角，且∠AOP＝90°， ∴∠APO＝30° 在Rt△AOP中，∠APO＝30°， 则AP＝2AO． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$