广西南宁高新技术产业开发区桂鼎学校2024-2025学年高三上学期8月热身考数学试题

参考答案： 1．C 【分析】根据复数模的定义即可得到答案. 【详解】， 故选：C. 2．D 【分析】由题意，根据平方运算，合数与素数的定义，以及反证法，可得答案. 【详解】对于①，当时，，故①正确； 对于②，由是整数，且它既不是合数，也不是素数，故②正确； 对于③，假设x是无理数}，是有理数，则可设，则，， 故为有理数，而与题设矛盾，故③正确， 故选：D. 3．D 【分析】根据向量垂直得到方程，求出，进而得到. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 解得， . 故选：D 4．D 【分析】利用众数的定义可判断A选项；利用极差的定义可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，甲种水稻产量的众数为，A对； 对于B选项，乙种水稻产的极差为，B对； 对于C选项，甲种水稻产量的平均数为， 乙种水稻产量的平均数为，C对； 对于D选项，甲种水稻产量的方差为， 乙种水稻产量的方差为，D错. 故选：D. 5．A 【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程； 【详解】设，,，则,． 为线段的中点， ，即，． 又点在圆上， ，即． 故点的轨迹方程为． 故选：A 6．D 【分析】由可得，然后可得的最大值为，即可得到答案. 【详解】由可得， 所以当时，由与有两个交点可得的最大值为 所以则的最大值为 故选：D 7．B 【分析】根据平面，即可找到为直线与平面所成角，计算即可. 【详解】 因为平面，所以为直线与平面所成角. 在中，，， . 故选 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，根据直线垂直平面找到直线与平面所成角为解题的关键，属于简单题. 8．C 【分析】方法一：利用已知条件转化利用分类讨论和基本不等式求解即可； 方法二：利用已知条件转化为二次函数求解即可. 【详解】方法一：由，， 消去得到， 令，， 则，即， ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． 当时， ，不成立， 当时，， 故的最大值为. 综上所述：的最大值为． 方法二：由，， 可消去得到， 则，令， ， 当时，， 故的最大值为． 故选：C． 9．AC 【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误. 【详解】解:由题知, , 故选项A正确; 令, 解得: , 令, 令, 故选项B错误; 因为, 所以, 故选项C正确; 因为对称中心纵坐标为1, 故选项D错误. 故选:AC 10．ACD 【分析】根据已知及抛物线定义可判定AB，求出点坐标，进而得圆心坐标及半径可判定C，求出直线方程，利用直线与圆相交求出弦长可判定D. 【详解】选项A：因C上一点到和到轴的距离分别为12和10， 由抛物线定义可知，，故A正确； 选项B：准线方程为，故B错误； 选项C：设，由到轴的距离分别为10，所以， 则，即，又，所以圆心， 半径， 所以圆的标准方程为，故C正确； 选项D：因为直线为坐标原点）平行的直线，所以， 所以直线的方程为， 又圆心到直线的距离为， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11．CD 【分析】利用导数研究函数的单调性、极值点、极值以及零点判断A、B，根据函数关于点对称的充要条件判断C，再根据导数的几何意义求函数的切线方程判断D. 【详解】，， 令，解得：或， 时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 的极小值为：， 的极大值为：， 有两个零点，的极小值为0，故A错误、B错误； 对C，若点是曲线的对称中心，则有， 将函数代入上式验证得： ，故C正确； 对于D，，解得：， 当时，， 切线方程为：，即，故D正确. 故选：. 12． 【分析】利用等差数列的通项公式列式求得，再利用等差数列的求和公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， 则有,解得：， 所以. 故答案为： 13． 1680 672 【分析】利用排列公式结合条件进行求解即得. 【详解】不同的坐法有种； 若其他两个人在同一排，则不同的坐法有种； 若其他两个人不在同一排，则不同的坐法有种， 故所有不同的坐法有种. 故答案为：1680；672. 14．/ 【分析】由题可知，利用诱导公式化简，再代值计算即可． 【详解】因为是角α终边上一点，所以， 原式， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式化简可得，即可求得结果. （2）由正弦定理结合辅助角公式得，再由角的范围结合三角函数的性质求得的范围，即可求得周长的范围. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得 且 所以，且 则 所以 （2）由正弦定理得， 则 ， 又是锐角三角形，则，， 可得， 又周长为，且 故周长的取值范围为. 16．(1) (2) (3)． 【分析】（1）首先求导得，根据即可解出值； （2）代入得，求出其导数，计算出切点纵坐标和切线斜率即可得到切线方程； （3）由题意代入，解出，再证明时，取得极值. 【详解】（1）因为，定义域为， 所以． 因为，所以．所以． （2）当时，． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为． （3）因为在时取得极值， 所以，即，所以． 当时，． 令，即，得； 令，即，得． 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 所以在时取得极大值，符合题意． 所以． 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）取的中点，证明平面即得； （2）由（1）的结论，建系，分别求出相关点的坐标和相关向量得坐标，计算两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式即可求得. 【详解】（1）    如图，取的中点，连接， 因为是边长为2的正三角形，所以， 在菱形中，，则为等边三角形，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以； （2）    由（1）得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，如图，以点为原点，分别以为轴正方向建立空间直角坐标系. 因，则， 因为轴平面，所以可取平面的法向量为， 因， 设平面的法向量为，则有， 令，则，所以， 则 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18．(1)； (2)分布列见解析，期望值为. 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得. （2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望. 【详解】（1）令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件， 因此， 所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为. （2）依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为， 的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然， 因此，，， ，， 所以的概率分布为： 0 1 2 3 4 P 数学期望. 19．(1)，； (2)证明见解析. 【分析】（1）由已知有，根据等差数列定义写出通项公式和前n项和公式； （2）由题设，，作差整理得，即可证结论. 【详解】（1）由点在上，则. 数列是以2为首项，1为公差的等差数列. 所以，. （2）证明：点在直线上，①，②， 两式相减，得，则. 由①式，令得，故， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$弟 1页/（共 4页） 弟 2页/（共 4页） 姓 名 ： 班 级 ： 考 号 ： 考 场 ： 座 号 ： 密 封 线 内 不 要 答 题 南宁桂鼎学校 2025 届高三年级市摸底考热身练 数学 一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的， 请把正确的选项填图在答题卡相应的位置上） 1．已知复数 z满足 1 iz   ，则 z （ ） A． 1 B．1 C． 2 D．2 2．下列命题中真命题的个数是（ ） ① 2R, 0x x   ； ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数； ③∃xϵ{x|x是无理数}， x是无理数． A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知向量a  ，b  满足 2 2a b    ，且 ( )b b a     ，则 b a    （ ） A．1 B．2 C． 2 D． 3 4．某实验田种植甲、乙两种水稻，面积相等的两块稻田（种植环境相同）连续5次的产量如下： 甲 /kg 260 250 210 250 280 乙 /kg 220 260 230 250 290 则下列结论错误的是（ ） A．甲种水稻产量的众数为250 B．乙种水稻产的极差为70 C．甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数 D．甲种水稻产量的方差大于乙种水稻产量的方差 5．如图，在圆 2 2 4x y  上任取一点 P，过点 P作 x轴的垂线段 PD，D为垂足，当点 P在圆上运动时，线段 PD的中点 M的轨迹方程为（ ） A． 2 2 1 4 x y  B． 2 2 1 4 2 x y   C． 2 2 1 4 3 x y   D． 2 2 1 2 x y  6．已知函数   2cos 1f x x  ， , 2 6 x       的图象与直线 y t 有两个交点，则 t的最大值为（ ） A．1 B．2 C． 3 1 2  D． 3 1 7．在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，已知 AB⊥AC，AA1＝BC＝5．M是 BC中点，则直线 A1M与平面 ABC所成 角的正切值为（ ） A． 1 2 B．2 C． 1 3 D．3 8．若 4a b c   ，3 2 0a b c   ，则 ab的最大值为（ ） A． 1 6 B． 3 6 C． 1 3 D． 3 3 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0 分） 9．已知函数   π3sin 2 1 4 f x x       ,下列结论中正确的是（ ） A．函数  f x 的周期是 π B．函数  f x 的图象关于直线 π 8 x  对称 C．函数  f x 的最小值是 2 D．函数  f x 的图象关于点 7π ,08      对称 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F，C上一点 P到 F 和到 y轴的距离分别为 12和 10，且点 P位于 第一象限，以线段 PF为直径的圆记为，则下列说法正确的是（ ） A． 4p  B．C的准线方程为 = 2y  C．圆的标准方程为 2 2( 6) ( 2 5) 36x y    D．若过点 (0,2 5)，且与直线 (OP O为坐标原点）平行的直线 l与圆相交于 A，B两点，则 | | 4 5AB  11．已知函数   3 23 4f x x x   ，则（ ） A．  f x 的极小值为 2 B．  f x 有三个零点 C．点  1,2 是曲线  y f x 的对称中心 D．直线 3 5y x   是曲线  y f x 的切线 第 3页/共 4页 第 4页/共 4页 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知等差数列 na 的前 n项和为 nS ，若 5 9 14a a  ， 2 3a   ，则 8S  ． 13．某商场在过道上设有两排座位（每排 4座）供顾客休息，小明、小红等四位同学去商场购物后坐在座位上 休息，已知该时段座位上空无一人，则不同的坐法有 种；若小明和小红坐在同一排，且每排都要有人坐， 则不同的坐法有 种.（用数字作答） 14．已知角α终边上一点  4 3P , ，求 sin(π )cos(3π ) tancos( )sin( π )          的值 ． 四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤） 15（13分）．已知 , ,a b c分别为锐角∆ABC三个内角 , ,A B C 的对边，且 2 2 cosb c a C  . (1)求A； (2)若 3a  ，求∆ABC周长取值范围. 16．（15分）已知函数   ex x af x  ， Ra ． (1)若  0 4f   ，求 a的值； (2)当 0a  时，求曲线  y f x 在点   0, 0f 处的切线方程； (3)若  f x 在 2x  时取得极值，求 a的值. 17．（15分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为菱形， PCD△ 是边长为 2的正三角形， 60BCD  ． (1)求证： PB CD ； (2)若平面 PCD 平面 ABCD，求平面 APD与平面 PCD夹角的余弦值． 18．（17分）某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有 A、B两类关键元素含量指标需要检 测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若 A元素指标达标的概率为 3 4 ，B元素指标达标的概率为 8 9 ，按质 量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品． (1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率； (2)任意依次抽取该种食品 4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及 ( )E  ． 19．（17分）已知在正项数列 na 中， 1 2a  ，点  1,n n nA a a  在双曲线 2 2 1y x  上.在数列 nb 中，点  , nnb T 在直线 1 1 2 y x   上，其中 nT 是数列 nb 的前 n项和. (1)求数列 na 的通项公式并求出其前 n项和 nS ； (2)求证：数列 nb 是等比数列.