复习05 弦长、中点弦及面积问题（八大题型）-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（人教B版2019）

复习05 弦长、中点弦及面积问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求曲线的弦长】 【题型2 已知弦长求参数】 【题型3 求曲线弦长的最值范围】 【题型4 求三角形、四边形的面积】 【题型5 点差法求直线或曲线】 【题型6 求弦的中点坐标】 【题型7 求弦中点的轨迹方程】 【题型8 弦中点的存在性问题】 知识点 1 ：弦长公式 若直线的斜率为，且，则 知识点 2 ：点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 难点 1 ：三角形面积问题 直线方程： 难点 2 ：范围问题 首选均值不等式，其次用二次函数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 题型归纳 【题型1 求曲线的弦长】 例1．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：在中，，， 所以，即， 故左焦点为，而， 故直线的方程为， 联立得， ，设，， 由韦达定理得，， 则由弦长公式得． 故选：B． 例2．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 . 【答案】4 【详解】由题设，抛物线焦点为，即， 令，则，故. 故答案为：4 变式1-1．过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，，所以 ＝3. 故选：B.    变式1-2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【答案】6 【详解】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 变式1-3．已知中心在原点的双曲线的两焦点之间的距离为，离心率为，直线经过双曲线在轴上的右焦点，且与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段的长度． 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）因为直线经过双曲线的右焦点，所以该双曲线的焦点在轴上．因为双曲线的两焦点之间的距离为，所以. 又因为离心率为，所以，解得，可得， 故双曲线的标准方程为. （2）由（1）可知，该双曲线的渐近线方程为，所以直线的斜率为，由于双曲线和两条直线都关于轴对称，所以两条直线与双曲线的相交弦相等．又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，所以直线与双曲线交于左、右两支，因此不妨设直线的斜率为，则其方程为， 设， 联立消去得，         则有， . 【题型2 已知弦长求参数】 例3．已知椭圆（）的半焦距为，离心率，直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程． 【答案】 【详解】依题意，， 所以椭圆方程可化为， 由消去并化简得， ，①， 设，则， 所以， ，满足①，所以， 所以椭圆方程为. 例4．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，令，则， 过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点， 如果在同一支上，则有， 如果在两支上，则有， 因为这样的直线有4条， 所以，解得， 故选：B 变式2-1．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； (2)或 【详解】（1） 因点在抛物线方程上，则，所以， 所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：； （2）显然，直线不垂直y轴，设直线方程为：， 由消去x得：， 设，则有， 因为， 则， 解得，即直线AB：， 所以所在的直线方程：或. 变式2-2．已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题意可得，解得， 因此，椭圆的方程为. （2）若直线与轴重合，则，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立可得， 则，所以，， 由韦达定理可得，， 所以， ，解得， 所以，直线的方程为或，即或. 变式2-3．已知直线被曲线截得的弦长为，求实数的值． 【答案】 【详解】解：联立方程组，整理得， 设直线与曲线的交点为， 可得，解得，且， 由弦长公式，可得 因为直线与曲线截得的弦长为，可得， 解得，所以实数的值为. 【题型3 求曲线弦长的最值范围】 例5．已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为，且过点，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由题意焦点在轴上面，，所以， 所以椭圆的标准方程为， 当直线分别与两坐标轴重合时，； 当直线的斜率都存在时，设直线，联立，可得， 所以， 同理可得， 所以 ， 因为，则，令， 令， 因为函数在上为增函数，在上为减函数， 又因为，，则， 此时，则. 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 例6．已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过， 所以，解得， 故双曲线的方程为. （2）解法一：设，直线的方程为， 联立，得， 则，且， 由，即，即， 即， 即，整理得， 所以 ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于， 设，， 由，即， 联立，解得， 则，同理，其中， 故， 而 ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 变式3-1．已知抛物线的弦的中点的横坐标为2，则弦的最大值为 . 【答案】5 【详解】方法一：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入得或，所以； 当直线的斜率存在时，显然不为零，设直线的方程为， 代入消y并整理得， 设，，判别式时有， 因为弦的中点的横坐标为2，所以，所以， ， 所以， 当且仅当即时取到等号， 故弦的最大值为5. 方法二：设抛物线的焦点为F，则， 又， 当弦的中点的横坐标为2时，有，所以， 当直线过焦点F时取到等号，故弦的最大值为5. 故答案为：5 变式3-2．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为3，则的最大值为 . 【答案】10 【详解】由题意知，抛物线的准线方程为.设的中点为，分别过点作准线的垂线，垂足分别为.因为到轴的距离为2，所以. 由抛物线的定义知，所以. 因为，所以. 故答案为：10 变式3-3．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 由题意可得，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，则， 可得，所以； 当直线的斜率存在时，设， 联立方程，消去y得， 则，可得， 则， 令，则， 可得， 因为，所以； 综上所述：的取值范围为.    【点睛】方法点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 【题型4 求三角形、四边形的面积】 例7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】 由双曲线的对称性可知，A，B，O三点共线，连接，，，， 由可得, 因，故四边形为矩形，则，， 由双曲线C：可得，，则， 于是，则①， 又②， 由，解得， 故． 故选：B． 例8．已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是. (1)求动点P的轨迹方程； (2)记动点P的轨迹为C，若过点的直线与C交于M，N两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知. 两边平方得. 展开化简得. 则这就是动点的轨迹方程. （2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意. 当斜率存在时，设直线的方程为， 联立，将代入得. 展开整理得， ， 设，，由韦达定理（），. 根据弦长公式 先求 . 所以.   原点到直线的距离. 已知. 即. 化简得. 两边平方整理得，即. 得，因为，所以，. 也满足. 所以直线的方程为. 变式4-1．已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限，则四边形的面积的最小值为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】B 【详解】依题意，，直线的斜率存在且不为0，设其方程为， 由，得，显然，设， ，，而，同理， 四边形的面积. 当且仅当时，四边形的面积取得最小值32. 故选：B 变式4-2．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得：，令， 则， 又焦点到渐近线的距离为， 所以， 所以， 所以， 所以双曲线的标准方程为； （2）设，， 联立方程组，消去整理得， 则，，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以． 变式4-3．已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，准线的方程为， 由点到直线的距离与其到轴的距离都等于2可知，， 因为点在上，所以， 整理得，，解得， 故的方程为． （2）由（1）可知，，则， 由题意可知，直线的斜率不为0，设其方程为，，， 由，消去x整理得， 则，可得，， 所以， 又因为的面积为3，则， 即，解得， 故直线的斜率为． 【题型5 点差法求直线或曲线】 例9．已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】设，，则， 将A，B的坐标代入椭圆方程得：，， 两式相减，得：， 变形为， 又直线的斜率为，所以，即， 因此椭圆的焦距为， 故选：B. 例10．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【详解】设，，则，， 又，两式相减， 得， 即，整理得， 直线的方程为， 化简得， 故答案为：. 变式5-1．已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点、， 因为点为线段的中点，则，， 若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 由题意可得，将这两个等式作差可得， 即，所以，直线的斜率为. 故选：D. 变式5-2．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 【答案】/ 【详解】设, ，则 ①, ②, ∵是线段的中点, ∴ 故过点作斜率为的直线的方程是， ∴ ①②两式相减可得: ∴. ∴. ∴ ∴ ∴ 故答案为:. 变式5-3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意设椭圆C的方程为， 因为椭圆经过点且长轴长为， 所以， 所以椭圆C的标准方程为. （2）由已知设直线l的方程为，设，. 将直线代入， 得， 所以，， . （3）设，则中点是， 于是，即， 由于在椭圆上，故， 两式相减得到，即， 故，于是， 故直线的方程是， 整理得 【题型6 求弦的中点坐标】 例11．椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，则其中点坐标为， 则，两式相减可得， 即， 因为A，B关于直线对称，则， 又，所以， 即，所以， 且点在直线上，则， 解得，所以. 故选：A 例12．已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 【答案】A 【详解】由题意抛物线标准方程为，，， ∴焦点为，准线方程为， 直线方程为，代入抛物线方程整理得， 设，则， 设中点为，则， ∴到准线的距离为． 故选：A． 变式6-1．（多选）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】当直线的斜率不存在时，设为， 依题知或，此时线段的中点为， 则选项A中点满足题意，则A正确； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立，消去得， 由题知①，， 化简为②， 设，的中点为， 则， 所以， 即， 对于B,可得，不满足条件①，故B错误； 对于C,可得，满足条件①②故C正确； 对于D，可得不满足条件②，故D错误； 故选：AC. 变式6-2．已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意可知：直线：的斜率为， 可知直线的斜率， 设，则线段中点的坐标， 可得，， 因为A，B为双曲线C：上的两点，则， 两式相减整理得，即， 解得，即直线， 联立方程，解得， 可知线段中点的坐标为. 故答案为：. 变式6-3．设椭圆过点. (1)求C的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线l与C交于M，N两点，求线段中点P的坐标. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：. （2）依题意，直线l的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点P的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点P的坐标为. 【题型7 求弦中点的轨迹方程】 例13．斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 【答案】(或). 【详解】设直线为，与双曲线交点为， 联立双曲线可得：，则，即或， 所以，故，则弦中点为， 所以弦的中点的轨迹方程为(或). 故答案为：(或) 例14．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 【答案】 【详解】设，中点， 则. ， 过定点， . 又，（1），（2） 得：， .  于是，即. 又弦中点轨迹在已知抛物线内， 联立 故弦的中点轨迹方程是 变式7-1．已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程. 【答案】（在椭圆内部的部分）. 【详解】设弦的端点为，，其中点是， 则，，由于点，在椭圆上，则有：， 两式做差可得，所以， 化简得（在椭圆内部的部分）． 所以被截得的弦的中点轨迹方程为：（在椭圆内部的部分）. 变式7-2．已知顶点在原点，对称轴为轴的抛物线，焦点在直线上. （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线交抛物线于、两点，求弦的中点的轨迹方程. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）焦点在直线上， 且抛物线的顶点在原点，对称轴是轴， 焦点的坐标为， 设方程为，则， 求得， 则此抛物线方程为. （2）设，， 因为、在抛物线上， 所以 ，① ，② ，， ①-②得， 当直斜率存在时，. 设直线方程：， 代入，， 得， 。 当直线斜率不存在，与重合 ，满足. 。 综上，弦的中点的轨迹方程：. 【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法以及弦中点轨迹问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 变式7-3．已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程； （3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程． 【答案】（1）；（2），；（3）（）． 【详解】（1）由题知，曲线满足椭圆的定义，且，，则， 曲线的方程为， （2）设直线方程为，，， 联立，化简得， 由韦达定理知，， 则弦长， 解得，故直线的方程为，； （3）设，则由（2）知，，， 则的轨迹方程为，且该轨迹应在椭圆内部，即. 【点睛】关键点点睛：根据椭圆定义求得椭圆方程；利用弦长公式求得参数，进而求得直线方程；求轨迹，即找到动点横坐标与纵坐标间的关系，求得满足的条件即可. 【题型8 弦中点的存在性问题】 例15．已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是． (1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线； (2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值； (3)若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1），即， 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆； 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线； （2）设，，， 则，， 两式相减得到：， 即，故， 故的中点为，代入直线得到， 解得或（舍），故. （3）假设存在，直线方程为，双曲线方程为， 设，，中点为，则，， 两式相减得到， 即，，又， 解得，. 此时直线方程为：，即， ，化简得到，方程无解，故不存在. 例16．已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为． 【详解】（1）因为圆与圆相交，且交点在椭圆上，所以，， 设，，的中点， ，①－② ， ， ， 则椭圆E的方程：； （2）假设存在P、Q两点关于l对称，设直线PQ的方程为， ，，PQ中点， ， ， ，，即， 由N在l上，，此时， 故存在P、Q两点关于l对称，直线PQ的方程为． 变式8-1．已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1); (2)不存在，理由见解析. 【详解】（1）因为，，所以， 由题意可知，， 所以，，解得，， 所以， 故双曲线的方程为. （2）因为不在坐标轴上，所以直线的斜率存在且不为零，假设存在直线符合题意， 设直线的方程为，则 ，消去，整理得， 因为直线与双曲线相交于， 所以且，， 所以， 因为点是线段的中点， 所以，即，解得， 所以 所以不存在这样的直线. 变式8-2．已知双曲线：与有相同的焦点，且经过点 (1)求双曲线的方程； (2)是否存在以为中点作双曲线的一条弦，如果存在，求弦所在直线的方程. 【答案】(1) (2)存在，且弦所在直线的方程为 【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为， 又因为在双曲线上，所以 ，所以， 所以双曲线的方程为：； （2）假设存在， 设，所以，两式相减可得， 所以，又因为， 所以，所以弦所在直线的方程为：，即， 由得，所以，所求直线与双曲线有2个交点， 故存在，且弦所在直线的方程为. 变式8-3．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，该直线方程为 【详解】（1）设动圆的半径为， 依题意得，所以为定值，且， 所以动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， ，，，， 所以， 所以椭圆的方程为. （2）假设存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点， 设，， 则，两式相减得， 得，即， 由点斜式得直线方程为，即. 所以存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点，且该直线方程为.      过关检测 一、单选题 1．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】在中，，所以，即，故左焦点为， 而，故直线为， 联立，得， 设，由韦达定理得， 由弦长公式得. 故选：B. 2．已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设， 因为直线与相交于A，B两点，所以， 由题意得， 故选：D 3．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C 4．已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【详解】设，则，且， 所以，整理得到：， 因为是弦的中点， 所以，所以即 所以， 故选：A. 5．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 【答案】D 【详解】设， 联立，消去化简整理得， 所以， 于是 ， 解得， 故直线的方程为， 令，解得，所以直线在轴上的截距为， 故选：D. 6．已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 两式相减并化简得，即， 当时，设直线的倾斜角为， 是以为底边的等腰三角形，所以， 所以， 则. 根据对称性可知，当时，， 综上所述，直线的斜率为. 故选：D 7．已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得. 双曲线的渐近线方程为，， 因为到的渐近线的距离为，所以，解得，所以， 过的直线与圆相切于，则可得， 所以， 过且与圆相切的直线方程为， 联立方程组，消去得.设， 则，所以. 故选：D. 二、多选题 8．已知圆，直线，直线l与抛物线交于A，B两点，（    ）． A．l被圆C截得的弦长的最小值为 B．l被圆C截得的弦长的最小值为 C．若弦AB中点的坐标为，则 D．若弦AB中点的坐标为，则 【答案】AD 【详解】因为直线，，即过定点 ，则在圆C内， 所以当直线l与CP垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短． 因为圆C的半径为2，，所以弦长的最小值为，A正确，B错误 设，，则， 相减得，整理得． 因为弦AB中点的坐标为，所以，得，C正确，D错误 故选：AD． 9．已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】BC 【详解】当直线的斜率存在时，设过点斜率存在的直线方程为：， 由消去y，并整理得，恒成立， 设，则， ， 当直线的斜率不存在时，因此， 所以弦长可能是，. 故选：BC 三、填空题 10．已知椭圆T：的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若，则椭圆T的方程为 ． 【答案】 【详解】∵，则, ∴椭圆T：，左焦点F 设直线：，， 联立方程：消去y得： ∴ 可得： ∴椭圆T： 故答案为：． 11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则的方程为 ；若，则直线的斜率为 ． 【答案】 【详解】令，由题意得：，即得， 设直线与曲线的交点，，联立曲线E与直线的方程，整理得：，， ∴，而，代入整理：， 即有或(舍去），故. 故答案为：； 四、解答题 12．已知双曲线 (1)求双曲线的虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程； (2)过点的直线与双曲线交于，两点且点恰好为线段的中点，求直线的方程 【答案】(1)虚半轴为，焦点坐标为离心率为渐近线方程为 (2) 【详解】（1）将化为标准方程可得， 由方程可得，解得， 故实半轴为，虚半轴为， 所以渐近线方程为， 又，解得， 所以焦点坐标为，离心率. （2）设，， 因为点为线段的中点， 所以有，， 所以 所以， 又 所以在双曲线内部，所以直线一定与双曲线有两个交点， 所以直线的方程为：， 即：. 13．已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q． (1)求C的方程； (2)将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）抛物线的焦点在轴上， 直线，令，得，则焦点， 所以，即， 所以抛物线的方程为； （2）直线向上平移5个单位得到， 由，消得， 设直线与交于两点， 则，且， ， 由，化简整理得， 解得（舍）或， 所以. 14．已知点，动点Q在圆上运动，线段的垂直平分线交于P点. (1)求点P的轨迹方程； (2)设直线 与点P的轨迹交于A，B两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）由题意，圆的圆心为，点， 线段的垂直平分线交于点P，所以， 又由，所以点满足， 由椭圆的定义知，点轨迹是以为焦点的椭圆，其中， 可得，所以， 所以点的轨迹方程为. （2）设， 则由，可得， 此时， 而 ， 到的距离为， 故的面积， 令，设， 则由对勾函数性质知在上为增函数， 故，当时取等号， 即的最大值为3. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习05 弦长、中点弦及面积问题 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 难点强化：难点内容标注与讲解，能力提升 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 求曲线的弦长】 【题型2 已知弦长求参数】 【题型3 求曲线弦长的最值范围】 【题型4 求三角形、四边形的面积】 【题型5 点差法求直线或曲线】 【题型6 求弦的中点坐标】 【题型7 求弦中点的轨迹方程】 【题型8 弦中点的存在性问题】 知识点 1 ：弦长公式 若直线的斜率为，且，则 知识点 2 ：点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 难点 1 ：三角形面积问题 直线方程： 难点 2 ：范围问题 首选均值不等式，其次用二次函数 均值不等式 变式： 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值； 当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值 注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等” 题型归纳 【题型1 求曲线的弦长】 例1．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于，两点，则线段的长为（   ） A． B． C．2 D． 例2．过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 . 变式1-1．过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1-2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 变式1-3．已知中心在原点的双曲线的两焦点之间的距离为，离心率为，直线经过双曲线在轴上的右焦点，且与双曲线相交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)若直线与该双曲线的渐近线垂直，求线段的长度． 【题型2 已知弦长求参数】 例3．已知椭圆（）的半焦距为，离心率，直线交椭圆于，两点，若，求椭圆的方程． 例4．已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2-1．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与该抛物线交于，两点，且． (1)求该抛物线的方程、焦点坐标、准线方程； (2)求所在的直线方程． 变式2-2．已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点、. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 变式2-3．已知直线被曲线截得的弦长为，求实数的值． 【题型3 求曲线弦长的最值范围】 例5．已知中心在坐标原点的椭圆的一个焦点为，且过点，过原点作两条互相垂直的射线交椭圆于、两点，则弦长的取值范围为 ． 例6．已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值． 变式3-1．已知抛物线的弦的中点的横坐标为2，则弦的最大值为 . 变式3-2．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为3，则的最大值为 . 变式3-3．已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，求的取值范围. 【题型4 求三角形、四边形的面积】 例7．已知双曲线C：的左、右焦点分别为、，A，B是双曲线上关于原点对称的两点，并且，则的面积等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 例8．已知动点到定点的距离与它到定直线的距离之比是. (1)求动点P的轨迹方程； (2)记动点P的轨迹为C，若过点的直线与C交于M，N两点，的面积为，求直线的方程. 变式4-1．已知抛物线的焦点为，过点的两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和，其中点在第一象限，则四边形的面积的最小值为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 变式4-2．已知双曲线的离心率为，焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的标准方程； (2)若为坐标原点，直线交双曲线于两点，求的面积． 变式4-3．已知抛物线：的准线为，点在上，且点到直线的距离与其到轴的距离都等于2． (1)求的方程； (2)设为抛物线的焦点，过的直线与交于两点，若的面积为3，求直线的斜率． 【题型5 点差法求直线或曲线】 例9．已知椭圆C：（且），直线与椭圆C相交于A，B两点，若是线段的中点，则椭圆的焦距为（   ） A．2 B．4 C． D． 例10．已知直线与双曲线交于、两点，且弦的中点为，则直线的方程为 . 变式5-1．已知抛物线，过点作弦，弦恰被点平分，则弦所在直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 变式5-2．过点作斜率为的直线与双曲线相交于，若是线段的中点，则双曲线的离心率为 变式5-3．已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长； (3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程. 【题型6 求弦的中点坐标】 例11．椭圆上的两点A，B关于直线对称，则弦的中点坐标为（   ） A． B． C． D． 例12．已知直线与抛物线交于A、B两点，则弦AB的中点到准线的距离为(（   ）. A．4 B． C．8 D． 变式6-1．（多选）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 . 变式6-3．设椭圆过点. (1)求C的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线l与C交于M，N两点，求线段中点P的坐标. 【题型7 求弦中点的轨迹方程】 例13．斜率为2的平行直线截双曲线所得弦的中点的轨迹方程是 ． 例14．直线（是参数）与抛物线的相交弦是，则弦的中点轨迹方程是 . 变式7-1．已知 ，过的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程. 变式7-2．已知顶点在原点，对称轴为轴的抛物线，焦点在直线上. （1）求抛物线的方程； （2）过焦点的直线交抛物线于、两点，求弦的中点的轨迹方程. 变式7-3．已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹． （1）求曲线的方程； （2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程； （3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程． 【题型8 弦中点的存在性问题】 例15．已知曲线C的方程是，其中，，直线l的方程是． (1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线； (2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段中点的横坐标是，求a的值； (3)若，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由． 例16．已知椭圆的焦距为，左右焦点分别为、，圆与圆相交，且交点在椭圆E上，直线与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为． (1)求椭圆E的方程； (2)若，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若不存在，请说明理由． 变式8-1．已知双曲线：的左、右两焦点分别为、，为上一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)是否存在直线，使被所截得的弦的中点坐标是？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 变式8-2．已知双曲线：与有相同的焦点，且经过点 (1)求双曲线的方程； (2)是否存在以为中点作双曲线的一条弦，如果存在，求弦所在直线的方程. 变式8-3．已知圆，圆，动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线 (1)求的方程； (2)是否存在过点的直线交曲线于两点，使得为中点？若存在，求该直线方程，若不存在，请说明理由． 过关检测 一、单选题 1．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为（    ） A． B． C．2 D． 2．已知抛物线，过点的直线与相交于A，B两点，且为弦AB的中点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 3．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 5．已知椭圆的右焦点为，过点的直线与交于两点，若直线的斜率为正数，且，则直线在轴上的截距是（    ） A．1 B．－1 C． D． 6．已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左焦点为，圆.若过的直线分别交的左、右两支于A，B两点，且圆与相切，的离心率为到的渐近线的距离为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知圆，直线，直线l与抛物线交于A，B两点，（    ）． A．l被圆C截得的弦长的最小值为 B．l被圆C截得的弦长的最小值为 C．若弦AB中点的坐标为，则 D．若弦AB中点的坐标为，则 9．已知过点的直线与椭圆交于A、B两点，则弦长可能是（   ） A．1 B． C． D．3 三、填空题 10．已知椭圆T：的长轴长是短轴长的2倍，过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A，B两点，若，则椭圆T的方程为 ． 11．在平面直角坐标系中，动点与两个定点和连线的斜率之积等于，记点的轨迹为曲线，直线：与交于，两点，则的方程为 ；若，则直线的斜率为 ． 四、解答题 12．已知双曲线 (1)求双曲线的虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程； (2)过点的直线与双曲线交于，两点且点恰好为线段的中点，求直线的方程 13．已知直线经过抛物线的焦点，且与C的两个交点为P，Q． (1)求C的方程； (2)将向上平移5个单位得到与C交于两点M，N．若，求值． 14．已知点，动点Q在圆上运动，线段的垂直平分线交于P点. (1)求点P的轨迹方程； (2)设直线 与点P的轨迹交于A，B两点，求面积的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$