专题08 统计和概率（知识梳理+10考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（广东小高考专用）

专题08 统计和概率 目录 考情回顾 1 考情解读 1 考点精讲 6 考点一：简单随机抽样 6 考点二：分层抽样 8 考点三：统计图表 11 考点四：频率分布直方图 16 考点五：总体百分位数的估计 20 考点六：众数、中位数、平均数、方差的计算 23 考点七：频率分布直方图的数字特征 26 考点八：事件的关系判断 31 考点九：古典概型 34 考点十：事件的相互独立性 41 实战训练 45 考情回顾 考点 考频 考查内容 统计 5年5考 分层抽样、频率分布直方图、百分位数 概率 5年3考 事件关系的判断、古典概型 考情解读 1.随机抽样 (1)理解随机抽样的必要性和重要性. (2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样方法 2.用样本估计总体 (1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. (2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. (3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释 (4)会用祥本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. (5)会用随机抽样的基本方法和祥木估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 3.事件与概率 (1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. (2)了解两个互斥事件的概率加法公式. 4.古典概型 (1)理解古典概型及其概率计算公式. (2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 知识梳理 1、简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样. (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 2、总体平均数与样本平均数 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为,,,，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的个变量值中，不同的值共有（）个，不妨记为,,,，其中出现的频率（）则总体均值还可以写成加权平均数的形式 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体平均数； （2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）； （3）一般情况下，样本量越大，估计越准确. 3、分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. （2）分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位，则.我们可以采用样本平均数估计总体平均数 4、统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 （3）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 5、总体百分位数的估计 （1）第百分位数的定义 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.  （2）计算一组个数据的第百分位数的步骤： 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 6、样本的数字特征 （1）众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. （2）中位数 一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数. （3）平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据，，，的平均数为 （4）标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 7、在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值 (1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 8、概率与频率 一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.  9、古典概型 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 10、古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 11、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 12、互斥事件的概率加法公式（性质3） 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 13、对立事件的概率（性质4） 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 14、相互独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 考点精讲 考点一：简单随机抽样 【典型例题】 解题策略 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取． (2)简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)． 例1．对总数为的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则为（    ） A．150 B．120 C．100 D．40 【答案】C 【分析】由题意可得：，求解即可. 【详解】解：由题意可得：，解得. 故选：C. 例2．某班有55人，要抽出3人，班长给全班同学编号：01，02，03，…，55.用随机数表法确定人选，依次得到4个随机数为03，25，98，47，其中，不能作为编号的随机数是（  ） A．03 B．25 C．98 D．47 【答案】C 【分析】根据随机数表法的知识确定正确选项. 【详解】由于，所以不能作为编号. 故选：C 例3．中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为 . 49  54  43  54  82  17  37  93  23  78  87  35  20  96  43  84  26  34  91  64 84  42  17  53  31  57  24  55  06  88  77  04  74  47  67  21  76  33  50  25 【答案】16 【分析】由随机数表中随机数的产生规则确定：依次两位两位读数，不大于33的保留即可． 【详解】依次选出来的号码依次为21，32，09，16，第四个是16. 故答案为：16. 【即时演练】 1．下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由简单随机抽样的定义对各个抽取方式进行判断即可得到结论. 【详解】①不是逐个抽取，③不是等可能抽取，故不是简单随机抽样，②④是简单随机抽样. 故选：B. 2．某校广播室为研究学生对广播节目的喜好情况，从该校名同学中用随机数法抽取人参加这一项调查．将这名同学编号为，在以下随机数表中从任意一个随机数开始读出三位数组，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为 ． 16227794 39495443 54821737 93237887 35209643 84263491 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 98105071 75128673 58074439 【答案】 【分析】根据随机数表法记录前三个被抽到的同学的编号，即可得解. 【详解】由随机数表法可知，前三个被抽到的同学的编号为：、、. 故第个被抽到的同学的编号为. 故答案为：. 3．总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 【答案】31 【分析】根据题意，结合随机数表选取的规则，结合题意，即可求解. 【详解】根据随机数表的选取的规则是选出的样本编号为1~100范围内的整数， 且与前面重复的数据不再出现，所以前5个个体编号为：8  44  2  17  31， 所以选出来的第5个个体的编号为31. 故答案为：31. 考点二：分层抽样 【典型例题】 解题策略 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体数量或反之求解： 根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为. 例1．（2024高二上·广东·学业考试）某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（ ） A．1 B．3 C．16 D．20 【答案】D 【分析】要抽取的人数除以总人数等于抽到高级管理人员数除以高级管理人员总数求解. 【详解】解：由题意可得=， 所以m=20， 故选：D. 例2．（2023高三·广东·学业考试）现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（    ） A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样 C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法， ②随机数法 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合抽签法和分层随机抽样的定义，即可求解 【详解】①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样． 故选：A． 例3．（2024高三上·广东·学业考试）三个人过关，甲带元，乙带元，丙带元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元.(结果保留整数) 【答案】32 【分析】根据比例求得正确答案. 【详解】依题意，乙应交元. 故答案为： 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为 . 【答案】9 【分析】由分层抽样的定义按比例计算. 【详解】由题意高二抽取的人数为． 故答案为：9. 【即时演练】 1．某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（    ） A．10人 B．12人 C．13人 D．15人 【答案】D 【分析】由分层抽样知识求解． 【详解】由分层抽样知，应抽取该单位女职工人数为：， 故选：D 2．（2022高二上·广东·学业考试）某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】设高二应抽取的人数为人，则，解得人. 故选：C 3．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（    ） A．60 B．45 C．35 D．25 【答案】B 【分析】由分层抽样中各层样本数的确定方法求解即可； 【详解】由题意男生有1200人，调查研究中男生被抽到20人， 所以分层抽样的比例为， 所以， 故选：B. 4．某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是．为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法从中抽取容量为的样本，那么初中生应抽取的人数是（    ） A．5 B．10 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据分层抽样计算规则计算可得. 【详解】依题意初中生应抽取人. 故选：C 5．某企业有三个分厂生产同一种电子产品，第一分厂、第二分厂和第三分厂的产量依次占总产量的50%，30%，20%，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取200件做使用寿命的测试，则第三分厂应抽取的件数为（    ） A．20 B．40 C．60 D．100 【答案】B 【分析】根据题意，结合分层抽样的概念及计算方法，即可求解. 【详解】由第一分厂、第二分厂和第三分厂的产量依次占总产量的50%，30%，20%， 则抽取200件中，则第三分厂应抽取的件数为件. 故选：B. 6．已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 【答案】 【分析】根据分层比可求男生人数. 【详解】男生的分层比为，故人中男生的人数为， 故答案为：. 考点三：统计图表 【典型例题】 解题策略 (1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系． (2)由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数量． 例1．下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（    ） A．该同学数学学科成绩一定下降 B．该同学政治学科成绩一定下降 C．该同学化学学科成绩可能下降 D．该同学语文学科成绩一定提升 【答案】D 【分析】根据扇形统计图一一分析即可. 【详解】对于A：第一次月考数学成绩占，第二次月考数学成绩占， 且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考数学成绩比第一次数学成绩要高，故A错误； 对于B：第一次月考政治成绩占，第二次月考政治成绩占， 由于只知道第一次月考总分低于第二次月考总分，故无法判断这两次月考政治学科成绩的变化，故B错误； 对于C：第一次月考化学成绩占，第二次月考化学成绩占， 且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考化学成绩比第一次化学成绩要高，故C错误； 对于D：第一次月考语文成绩占，第二次月考语文成绩占， 且第一次月考总分低于第二次月考总分，所以第二次月考语文成绩比第一次语文成绩要高，故D正确. 故选：D 例2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的小学生近视人数分别为（    ） A．100，30 B．100，21 C．200，30 D．200，7 【答案】D 【分析】由抽取的学生求出样本容量，再计算出小学生抽取的人数，结合近视率计算出抽取的小学生近视人数. 【详解】依题意，样本容量为， 其中小学生抽取人， 因为样本中小学生的近视率为，所以抽取的小学生近视人数为人. 故选：D 例3．新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示.下列结论不正确的是（    ） A．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量 B．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增 C．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿 D．第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数 【答案】C 【分析】对于A，计算出第五次总人数增长量和第四次总人数增长量即可判断； 对于B，由题意可得我国城镇人口数量逐次递增即可判断； 对于C，计算出第三次全国人口普查城镇人口数即可判断； 对于D,计算出第七次全国人口普查城镇人口数即可判断. 【详解】解：对于A,与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量为万，第四次总人数增长量为万，故A正确.； 对于B，对比这7次全国人口普查结果，人口总数以及城镇人口比重都在增长，所以我国城镇人口数量逐次递增，故B正确； 对于C，第三次全国人口普查城镇人口数约为万，故C不正确； 对于D,第七次全国人口普查城镇人口数约为万，D正确. 故选：C. 例4．已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为（    ） A．3150 B．3600 C．5250 D．6000 【答案】C 【分析】根据给定的扇形图确定初中生人数，再由条形图确定近视率即可计算作答. 【详解】依题意，该地区初中生有人，而该地区初中生的近视率为70%， 所以该地区初中生近视的人数为人. 故选：C. 【即时演练】 1．在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如下，以下结论中正确的是（    ） A．图中m的数值为26 B．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人 C．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数 D．样本数据的第90百分位数为5 【答案】C 【分析】由频率和为1求，根据条形统计图计算观看比赛不低于3场的人数、中位数、平均数，百分位数判断各选项． 【详解】由题意，，A错； 不低于3场的人数约为，B错； 由已知得中位数是3， 平均数是，C正确； 由条形图，观看场数不大于5的百分比为90%，因此第90百分位数是5.5，D错． 故选：C． 2．年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤､工业､扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施.2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果.2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著. 上图是2000年至2018年可吸入颗粒物､细颗粒物､二氧化氮､二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图.根据图中信息，下列结论中正确的是（    ） A．2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降 B．2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降 C．2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米 D．2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年 【答案】B 【解析】观察折线图，确定数据的变化规律，判断各选项． 【详解】2014年空气中可吸入颗粒物年日均值比2013年多，A错； 2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降，B正确； 2007年（含2007年）之前空气中二氧化氮的年日均值都高于40微克/立方米，C错； 2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2018年，D错． 故选：B． 考点四：频率分布直方图 【典型例题】 解题策略 (1)谨记频率分布直方图的相关公式 ①直方图中各小长方形的面积之和为1. ②直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． ③直方图中每组样本的频数为频率×总数． (2)频率分布直方图中数字特征的计算 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． ③平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 例1．（2023高三·广东·学业考试）某工厂抽取件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为、、、，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用频率分布直方图可计算得出重量在内的产品件数. 【详解】由图可知，重量在内的产品件数为. 故选：B. 例2．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 【答案】C 【分析】由频率之和为1得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得 故选：C 例3．为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（    ） A．300 B．360 C．400 D．480 【答案】A 【分析】由频率分布直方图的面积为1即可求解. 【详解】依题意知的频率为， 故， 故选：A. 【即时演练】 1．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人. 【答案】68 【分析】计算出参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率，进而得到出参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数. 【详解】今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的频率为 ， 故参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为. 故答案为：68 2．为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分为5组，即，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示．若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取n人做采访，其中年龄在中被抽取的人数为7，则 ． 【答案】20 【分析】利用频率和为1可构造方程求得a的值，根据分层抽样原则可构造方程求得n的值. 【详解】由频率分布直方图可知，解得， 年龄在对应的频率为，所以. 故答案为：20. 3．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，则（    ）．    A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】先由频率之和为解得值，再分别计算各段学生人数，根据抽样比得. 【详解】由题得，所以． 在之间的学生：人， 在之间的学生：人， 在之间的学生：人， 又用分层抽样的方法在之间的学生50人中抽取5人，即抽取比为：， 所以成绩在之间的学生中抽取的人数应为，即. 故选：D． 考点五：总体百分位数的估计 【典例讲解】 解题策略 (1)计算一组n个数据第p百分位数的步骤 (2)频率分布直方图中第p百分位数的计算 ①确定要求的p%分位数所在分组[A，B)． ②由频率分布表或频率分布直方图计算样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，则p%分位数＝A＋组距×. 例1．高二年级某班甲同学自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101 计算出学生甲的第25，50百分位数（    ） A．86，98 B．85，98.5 C．85，97.5 D．86，99 【答案】A 【分析】首先将数据从小到大排列好，利用求百分位的规则求解即可. 【详解】首先将数据从小到大排列好， ， 由，所以第25百分位数为第四个数； 由，所以第50百分位数为第七个数. 故选：A. 例2．（2024高三·广东·学业考试）某篮球队有篮球运动员15人，进行投篮训练，每人投篮100个，命中球数如下表：   命中球数 90 95 97 98 100 频数 1 2 3 7 2 则这组数据的众数，第75百分数分别为（　　） A．97，2 B．98，2 C．97，98 D．98，98 【答案】D 【分析】根据众数和百分位数的定义分析求解. 【详解】这组数据共有15个，众数是数据中出现次数最多的数，即98； 因为，所以第75百分数为数据的第12位数，即98. 故选：D. 例3．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（    ） A．7.5 B．8 C．8.5 D．9 【答案】C 【分析】计算得，然后由第8个数据和第9个数据求平均数可得. 【详解】因为， 所以第80百分位数是. 故选：C 【即时演练】 1．数据12，14，15，17，19，23，27，30，则 ， 【答案】 【分析】利用百分位数的定义求解即可. 【详解】因为数据12，14，15，17，19，23，27，30，共有8个数， 又，， 所以，. 故答案为：；. 2．有20种不同的绿色食品，每100克包含的能量（单位：）如下： 110   120   120   120   123   123   140   146   150   162 164   174   190   210   235   249   280   318   428   432 根据以上数据，估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是（    ） A．165 B．164 C．163 D．162 【答案】C 【分析】由百分位数的求法求第50百分位数. 【详解】由已知数据知：，则这些食品每100克包含能量的第50百分位数是. 故选：C 3．二十大报告明确指出，人民健康是民族昌盛和国家强盛的重要标志．青少年处于健康生长的关键时期，其身高和体重是反映他们生长发育和营养状况的基本指标．某校从高一年级随机抽取了20名女生，得到她们的身高数据如下（单位：）：．则这组数据的第一四分位数（    ） A．155 B．155.5 C．156 D．156.5 【答案】B 【分析】根据求百分位数的步骤：排序，求，计算百分位数. 【详解】因为，所以第一四分位数. 故选：B 4．某数学兴趣小组20名成员在规定时间内独立解答6个数学问题，最终结果如下：有1人解出1个问题，有1人解出2个问题，有4人解出3个问题，有4人解出4个问题，有5人解出5个问题，有5人解出6个问题，则解出问题个数的第三四分位数为（    ） A．3 B．4.5 C．5 D．5.5 【答案】D 【分析】根据百分位数计算规则，以及第三四分数的定义，就可求解. 【详解】根据第三四分数定义，等价于是求75%分位数， 首先从小到大排序，1，2，3，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6，6，6， 因为，所以第三四分位数为第15位和第16位两个数的平均数， 即， 故选：C. 考点六：众数、中位数、平均数、方差的计算 【典例讲解】 解题策略 1.众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数． (2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数． (3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 2.方差的简化公式 方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 . 【答案】45、46 【分析】由茎叶图写出所有的数据从小到大排起,找出中间的数即为中位数. 【详解】甲组数据有28，31，39，42，45，55，57，58，66，可知甲组数据的中位数是45， 乙组数据有29，34，35，42，46，48，53，55，67，可知乙组数据的中位数是46． 故答案为：45、46 例2．某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（    ） A．162cm B．164cm C．166cm D．168cm 【答案】C 【分析】由分层抽样与平均数的概念求解， 【详解】由题意得在抽取的10人中，男生6人，女生4人， 故样本平均数为，估计该校学生的平均身高是166cm 故选：C 例3．设一组样本数据的平均数是3，则数据，，…，的平均数为 . 【答案】7 【分析】根据平均数的性质求解即可 【详解】∵样本数据的平均数是3， ∴， ∴数据的平均数 故答案为：7 例4．若一组数据的方差是5，则数据的方差是 ． 【答案】45 【分析】利用方差的性质求解即可. 【详解】若数据的方差为， 则数据的方差为， 所以当数据的方差是5时， 可得数据的方差是， 故答案为：. 【即时演练】 1．样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（    ） A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5 【答案】B 【分析】根据众数、中位数的概念求解. 【详解】由小到大排列：1，2，4，5，6，6，8，15， 所以中位数为，众数为， 故选：B 2．某学校高一年级女生定制校服规格的数据如图所示，则这组数据的众数为（    ）    A．55 B．160 C．165 D．170 【答案】C 【分析】根据众数定义判断. 【详解】根据条形图165频数最大，可得众数为165. 故选：C. 3．某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 【答案】B 【分析】计算位置指数，代入数据可得位置，根据已知可求得. 【详解】由题意知，下四分位数为第二个数与第三个数的平均数，即， 解之得， 所以该名考生面试的平均得分为. 故选：B. 4．惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平均数，中位数，众数计算出来即可得. 【详解】平均数， 中位数， 众数， 故. 故选：D. 5．甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则本次测试中成绩比较稳定的是 ．（填甲或乙） 【答案】乙 【分析】算出两者的成绩的方差，方差越小越稳定来判断． 【详解】按照公式先求出两者的平均值后算方差即可． ， . 由于，则本次测试中成绩比较稳定的是乙. 故答案为：乙. 考点七：频率分布直方图的数字特征 【典例讲解】 解题策略 频率分布直方图的数字特征 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和． 例1．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是（    ）    A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】B 【分析】先根据频率之和为1得到方程，求出，求出第80百分位数落在第四组数据内，设第80百分位数为，得到方程，求出答案. 【详解】，解得， 前三组数据的频率之和为， 前四组数据的频率之和为， 故该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数落在第四组数据内， 设第80百分位数为， 则，解得， 该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是88. 故选：B 例2．某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）    A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 【答案】D 【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数、众数以及利用频率估计总体的求法判断正误. 【详解】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、， A：平均天数为天，故A错误； B：由上述频率知，则众数位于之间，则众数取中间值17.5，故B错误； C：人，故C错误； D：由、、频率和为，若中位数为x， 则，可得，故D正确； 故选：D. 例3．为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是 分钟.    【答案】45 【分析】由频率分布直方图数据求解， 【详解】由图可知人数最多的组别在组， 故众数的估计值为45， 故答案为：45 【即时演练】 1．统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.    (1)求频率分布直方图中，的值； (2)估计该班学生数学成绩的平均分和中位数. 【答案】(1) (2)平均分、中位数分别为， 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可. （2）利用平均数和中位数的定义和公式求解即可. 【详解】（1）由已知得， 则，所以. （2）该班学生数学成绩的平均分的估计值为： ， 因为， ， 所以中位数在内. 故中位数为. 2．某市司法部门为了宣传《中华人民共和国宪法》举办法律知识问答活动，从该市岁的人群中随机抽取一个容量为的样本，并将样本按年龄分成五组：、、、、，再将其按从左到右的顺序分别编号为第组，第组，，第组，绘制了样本的频率分布直方图．对回答问题的情况进行统计后，结果如下表所示． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第组 第组 第组 第组 第组 (1)分别求出、的值； (2)从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则第、、组各应抽取多少人？ (3)根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数． 【答案】(1)； (2)第、、组各应抽取人、人、人 (3) 【分析】（1）利用每组的频数、频率与总人数之间的关系可求得、的值； （2）计算出第、、组回答正确的人数之比，结合分层抽样可求得第、、组各应抽取的人数； （3）利用中位数左边的矩形面积之和为可求得中位数的值. 【详解】（1）解：第组人数为，所以． 第组频率为，人数为，所以． 第组人数为，所以． （2）解：第、、组回答正确的人数的比为， 从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则从第、、组各应抽取人、人、人． （3）解：设中位数为，前两组的频率之和为， 前三组的频率之和为，所以，中位数在内， 由，可得． 所以抽取的样本数据的中位数约为． 考点八：事件的关系判断 【典例讲解】 解题策略 判断事件间关系的方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．对立事件一定是互斥事件 (2)利用集合观点 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B. ①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω. 注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的． (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． 例1．（2023高三·广东·学业考试）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据互斥事件的定义即可得到结果. 【详解】在10件产品中有3件次品，从中选3件，∵所取3件中至多2件次品与所取3件中至少2件为次品，两个事件中都包含2件次品，∴①中的两个事件不是互斥事件． ∵所取3件中有一件为次品与所取3件中有二件为次品是互斥事件，∴②中的两个事件是互斥事件． ∵所取3件中全是正品与所取3件中至少有一件为次品是不能同时发生的，∴③中的两个事件是互斥事件， ∵所取3件中至多有2件次品与所取3件中至少有一件是正品都包含2件次品一件正品，以及1件次品两件正品，以及三件正品，所以④不是互斥事件， 故选：B． 例2．一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（   ） A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶 【答案】A 【分析】根据对立事件的定义即可得解. 【详解】由题意，事件“至少有两次中靶”的对立事件为“至多有一次中靶”. 故选：A. 例3．从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．“恰有1名男生”与“全是男生” B．“至少有1名男生”与“全是女生” C．“至少有1名男生”与“全是男生” D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 【答案】A 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念结合选项进行判断. 【详解】对于A，“恰有1名男生”与“全是男生”不能同时发生，但不一定必有其一发生，所以是互斥而不对立事件； 对于B，“至少有1名男生”与“全是女生”是对立事件； 对于C，“至少有1名男生”与“全是男生”能同时发生，所以不是互斥事件； 对于D，“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 能同时发生，所以不是互斥事件； 故选：A. 【即时演练】 1．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答. 【详解】对于A，恰好有一个黑球的事件与恰好有两个黑球的事件不能同时发生，可以同时不发生， 因此“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”是互斥而不对立的两个事件，A是； 对于B，至少有一个黑球的事件与都是红球的事件是对立事件，B不是； 对于C，至少有一个黑球的事件与至少有一个红球的事件可以同时发生，不互斥，C不是； 对于D，至少有一个黑球的事件与都是黑球的事件可以同时发生，不互斥，D不是. 故选：A 2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 【答案】D 【分析】根据事件之间的关系，可得答案. 【详解】点数为奇数与点数为偶数不可能同时发生，且必有一个发生，所以E，F是对立事件，选项A正确； 点数大于2与点数小于2不可能同时发生，且不是必有一个发生，G，H为互斥且不对立事件，选项B正确； 点数为奇数与点数大于2可能同时发生，E，G不互斥，选项C正确； 点数大于2与点数为3可能同时发生，G，R为不互斥事件，选项D不正确. 故选：D. 考点九：古典概型 【典例讲解】 解题策略 古典概型概率问题的应用技巧 (1)一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等可能性． (2)计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m. (3)计算基本事件总数常用计数原理与排列组合计算，分清是排列还是组合问题，另外还有列举法、列表法、树状图法等． 例1．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】由题意，从7门中选一门，选到田径的概率为. 故选：C. 例2．（2023高三·广东·学业考试）若，则三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用列举法写出所有基本事件，得出的逆反应概率事件的基本事件，计数后计算即得． 【详解】从3，4，12，13中任取两个的基本事件有，，，，，共6个，其中能和5组成勾股数的有两个基本事件， 所以所求概率为． 故选：B． 例3．（2023高三·广东·学业考试）从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本，则取出的两本书中有语文书的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把四本书编号，用列举法写出所有基本事件，并得出有语文书的基本事件，计数后计算概率． 【详解】记3本数学书为a，b，c，1本语文书为d，从中任取两本，共有取法：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种情况，其中有语文书有3种情况，故所求概率为． 故选：A． 例4．从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】B 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得. 【详解】从长度为的5条线段中任取3条， 则可能结果有，，，，，，，，，共种情况， 其中满足这三条线段为边能构成一个三角形的有，，共种情况， 所以以这三条线段为边能构成一个三角形的概率. 故选：B 例5．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可. 【详解】记2名男生为，2名女生为， 任意选出两人的样本空间，共6个样本点， 恰好一男一女生的事件，共4个样本点， 所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是. 故选：A 例6．在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概型求解. 【详解】因为某同学参加“10合1”混采，他在10人组中的位置是等可能的， 有10个位置可排，成为第一个人的可能性为， 所以他拿到采集管的概率为. 故选：D 例7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：    ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：，，共个， 所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率. 故选：A. 例8．如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用概率公式计算即可得. 【详解】共有8个数，其中偶数的个数为4个，故. 故选：A. 例9．（2023高二·广东·学业考试）2020年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的商品中抽取6件，再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为（　　） 棉服 甲款 乙款 进货数量 20 10 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得抽取的6件新进产品中，乙款有2件，甲款有4件，然后利用列举法及古典概型概率公式即得. 【详解】根据题意得抽取的6件新进产品中，乙款有2件，记为A，B，甲款有4件，记为a，b，c，d, 从这6件中任意选取2件，所有可能的情况有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB，共15种, 其中抽到的2件均为甲款的有ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种， 故所求概率. 故选：B. 【即时演练】 1．用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】利用列举法和古典概率模型公式即可求解. 【详解】用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，共有6种情况： ， 其中组成的三位数为偶数的只有两种， 故组成的三位数为偶数的概率是. 故答案为：. 2．（2022高二上·广东·学业考试）从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为 ． 【答案】 【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共种情况， 其中“甲、乙两人中恰有一人被选中”所包含的基本事件为：甲丙、乙丙，共种情况， 故所求事件的概率为. 故答案为：. 3．某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中.    (1)求a，b的值； (2)求这100名员工月销售额的第70百分位数； (3)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解； （2）根据百分位数的概念求解； （3）根据古典概型列出基本事件计算得解. 【详解】（1）由已知得， 所以，又因为， 所以，. （2）由于样本在的频率为，在的频率为， 所以这100名员工月销售额的第70百分位数为. （3）月销售额在这一组的人数为. 其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b， 从中随机抽取2 人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个， 其中，事件“至少有一名女职工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个， 所以，所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为. 4．（2024高二上·广东·学业考试）某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，求：    (1)分数在的学生人数； (2)这50名学生成绩的中位数（精确到）； (3)若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）设分数在的频率为，根据频率之和为1得到方程，求出分数在的学生人数； （2）先得到中位数落在第四组，设中位数为，根据面积为0.5得到方程，求出答案； （3）求出分数在的人数，再利用列举法求出概率. 【详解】（1）设分数在的频率为， 由所有的矩形面积和为1可得：， 解得， 故分数在的频率为， 故分数在的人数是人， （2）， ，故中位数落在第四组， 设中位数为，则，解得， 则中位数为. （3）分数在的人数为，记为， 在共有3人，记为， 从分数在的5名学生任选2人的方法有：，共10种， 两人来自不同组的有共6种， 故两人来自不同组的概率 5．（2024高三·广东·学业考试）某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题： (1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人； (2)这部分学生体重的中位数落在第______组； (3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率． 【答案】(1)100；25 (2)四 (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解； （2）根据中位数的概念求解； （3）按古典概型求解. 【详解】解：(1)抽取的学生人数共有人，则=0.05，求得=100， 体重不低于58千克的学生有人数为：100（1-0.05-0.1-0.25-0.25）=25人； (2)前四组的人数分别为5，100×0.1=10，100×0.25=25，100×0.35=35， 抽查的100个学生的体重从小到大进行排序，排在第50位和51位的学生都落在第四组，∴这部分学生体重的中位数落在第四组； （3）解：根据题意知从这组学生中随机抽取2人有（40,40），（40,41），（40,42），（40,43），（40,41），（40,42），（40,43），（41,42），（41,43），（42,43）共10种情况， 被抽到的2人体重都不低于41千克有 （41,42）,（41,43）,（42,43）共3种情况，∴所求事件的概率为. 考点十：事件的相互独立性 【典例讲解】 解题策略 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) 注：①(A)＋(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生． ②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B. 例1．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别是与．甲、乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据独立事件的乘法公式即可. 【详解】根据独立事件的乘法公式得甲、乙两人投球都命中的概率为. 故选：A. 例2．甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为，则密码不被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.49 D．0.51 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算可得. 【详解】因为每人成功破译密码的概率均为，且甲、乙两人独立破译某个密码， 则密码不被破译的概率. 故选：C 例3．甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 【答案】(1)0.56 (2)0.94 【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式进行求解； （2）先求出甲､乙两人均未命中的概率，从而利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲､乙两人都命中的概率为； （2）甲､乙两人均未命中的概率为， 故甲､乙两人至少有一人命中的概率为. 【即时演练】 1．甲、乙两人独立地破译一份密码.已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则甲、乙两人都成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙两人独立地破译一份密码，且甲能破译的概率为，乙能破译的概率为， 因此，甲、乙两人都成功破译的概率为. 故选：B. 2．某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 【答案】(1)8环 (2) (3) 【分析】（1）根据众数定义并结合频数分布图即可得到答案； （2）根据频率估计概率即可得到答案； （3）根据频率估计概率并结合独立事件的乘法公式即可得到答案. 【详解】（1）根据频数分布图得该名运动员100次射靶中，射中8环的频数最多， 则这名运动员射击成绩的众数为8环. （2）由题意，该运动员在100次训练中，射中9环的频数为25， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中9环的概率为. （3）由题意，该运动员在100次训练中，射中大于8环的频数为， 由频率估计概率得名运动员射击一次命中大于8环的概率为， 则根据独立事件的乘法公式得他两次命中环数都大于8环的概率为. 3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲成功破译的概率为，乙成功破译的概率为． (1)求两人都成功破译的概率； (2)求至少有一人成功破译的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法运算求解即可； （2）根据事件的运算直接求解即可. 【详解】（1）记甲、乙成功破译分别为事件，则， 由题意可知：事件为独立事件，则， 所以两人都成功破译的概率为. （2）由题意可知：至少有一人成功破译的概率. 4．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得. （2）根据相互独立事件的概率公式、互斥事件的概率公式和对立事件的概率公式计算可得. 【详解】（1）记“该选手正确回答第轮问题”为事件，则 事件，，相互独立，且，，. 因为该选手进入第三轮才被淘汰指：前两轮均通过，第三轮淘汰， 所以该选手进入第三轮才被淘汰的概率为 . （2）因为选手至多进入第二轮考核意味着第一轮淘汰或者第一轮通过第二轮淘汰,且事件和互斥. 所以该选手至多进入第二轮考核的概率为 . 实战训练 一、单选题 1．在一次随机试验中，事件A，B发生的概率分别为，，则下列表述中一定正确的是（    ） A． B． C．若与是互斥的，则 D．若与互为对立事件，则 【答案】D 【分析】根据概率的基本性质逐项判断. 【详解】当事件A，B相互独立时，才有，故A错误； 一般的，，故B错误； 若与是互斥的，则，C错误； 若与互为对立事件，则，D正确. 故选：D 2．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用列举法，结合古典概型求解即可. 【详解】2个红球，设为；2个白球，设为．从中不放回地依次随机摸出2个球， 有共12种． 两次都摸到红球的情况为共2种．则概率. 故选：B. 3．某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由古典概率公式求解． 【详解】若摸出的球是红球，则参加社区植树， 则该同学参加社区植树的概率为：， 故选：A 4．今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如表： 月份性别 一 二 三 总计 男婴 22 19 23 64 女婴 18 20 21 59 总计 40 39 44 123 则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件得到第一季度的男婴数和婴儿总数，计算比值即得出生频率. 【详解】解：根据题意：第一季度的男婴数为64，婴儿总数为123， 故该医院生男婴的出生频率为. 故选：D. 【点睛】本题考查了频率的计算方法，属于基础题. 二、填空题 5．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】利用古典概型的概率求解. 【详解】解：从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数基本事件为：12，13，14，23，24，34，共6个， 其中两个数都是偶数的有：24，共1个， 所以两个数都是偶数的概率是， 故答案为： 6．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.35，乙获胜的概率为0.45，则甲不输的概率为 【答案】0.55/ 【分析】应用间接法求甲不输（乙没有获胜）的概率即可. 【详解】由题意，甲不输，即乙没有获胜，故其概率为. 故答案为：0.55 7．有4所自主招生的大学，甲､乙两位同学各自选择其中一所学校参加考试，若每位同学选择每所大学的可能性相同，则这两位同学选择同一所大学的概率为 . 【答案】/ 【分析】根据题意，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【详解】有4所自主招生的大学，甲､乙两位同学各自选择其中一所学校参加考试， 若每位同学选择每所大学的可能性相同，共有种不同的选法， 其中这两位同学选择同一所大学，有种不同的选法， 所以概率为. 故答案为：. 三、解答题 8．甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件概率的乘法公式求解； （2）所求事件可分为甲猜对2个乙猜对1个，甲猜对1个乙猜对2个两互斥事件的和求解. 【详解】（1）一轮活动乙猜对且甲没有猜对的概率为； （2）两轮活动甲都猜对的概率为，甲仅猜对一个的概率为， 乙都猜对的概率为，乙仅猜对一个的概率为， 则两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率为． 9．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量（单位：个），产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名进行培训，则这2名工人不在同一组的概率是多少？ 【答案】 【分析】根据频率分布直方图得到分布在和的人数，然后利用古典概型求概率的公式计算. 【详解】由频率分布直方图得产品数量分布在的人数为为， 分布在的人数为， 设生产数量分布在的两人为，分布在的4人为， 则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名员工的样本点有，， ，，，，，，，，， ，，，，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的， 2名工人不在同一组的样本点有，，，，，，，，共8个， 则2名工人不在同一组的概率为. 10．梅雨季节，杨梅上市，现有8筐杨梅，其中3筐是A种杨梅，5筐是B种杨梅，两种筐子完全相同. (1)从中抽取1筐，直接写出所抽为A种杨梅的概率； (2)从中无放回地抽取2筐，求所抽筐都是A种杨梅的概率； (3)从中无放回地抽取2筐，求所抽筐中至少有1筐是B种杨梅的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用古典概型的概率计算公式求解即可； （2）利用概率的独立性计算求解即可； （3）利用对立事件的概率公式计算求解即可． 【详解】（1）记事件A：所抽1筐为A种杨梅为A，则； （2）记事件B：抽第2筐杨梅为A种；事件C：所抽2筐都是A种杨梅； 则； （3）记事件D：至少有1筐是B种杨梅； 则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 统计和概率 目录 考情回顾 1 考情解读 1 考点精讲 6 考点一：简单随机抽样 6 考点二：分层抽样 7 考点三：统计图表 9 考点四：频率分布直方图 12 考点五：总体百分位数的估计 14 考点六：众数、中位数、平均数、方差的计算 16 考点七：频率分布直方图的数字特征 18 考点八：事件的关系判断 20 考点九：古典概型 22 考点十：事件的相互独立性 25 实战训练 27 考情回顾 考点 考频 考查内容 统计 5年5考 分层抽样、频率分布直方图、百分位数 概率 5年3考 事件关系的判断、古典概型 考情解读 1.随机抽样 (1)理解随机抽样的必要性和重要性. (2)会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样方法 2.用样本估计总体 (1)了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. (2)理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. (3)能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释 (4)会用祥本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. (5)会用随机抽样的基本方法和祥木估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 3.事件与概率 (1)了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. (2)了解两个互斥事件的概率加法公式. 4.古典概型 (1)理解古典概型及其概率计算公式. (2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 知识梳理 1、简单随机抽样 (1)简单随机抽样 分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样.除非特殊声明，本章简单随机抽样指不放回简单随机抽样. (2)简单随机样本 通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (3)简单随机抽样的常用方法 实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法. 2、总体平均数与样本平均数 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为,,,，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的个变量值中，不同的值共有（）个，不妨记为,,,，其中出现的频率（）则总体均值还可以写成加权平均数的形式 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，，，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：（1）在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体平均数； （2）总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（应为样本具有随机性）； （3）一般情况下，样本量越大，估计越准确. 3、分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. （2）分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，以层数是2为例，如果第1层和第2层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别为和，第1层和第2层的样本平均数分别为，，样本平均数位，则.我们可以采用样本平均数估计总体平均数 4、统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义 （3）绘制频率分布直方图的步骤及频率分布直方图的性质 ①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差． ②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”． ③将数据分组． ④列频率分布表．计算各小组的频率，第组的频率是. ⑤画频率分布直方图．其中横轴表示分组，纵轴表示.实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度． 5、总体百分位数的估计 （1）第百分位数的定义 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.  （2）计算一组个数据的第百分位数的步骤： 第1步,按从小到大排列原始数据. 第2步,计算. 第3步,若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据;若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 6、样本的数字特征 （1）众数 一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. （2）中位数 一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排成一列,处于最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的平均数(当数据个数是偶数时)称为这组数据的中位数. （3）平均数 一组数据的和与这组数据的个数的商称为这组数据的平均数.数据，，，的平均数为 （4）标准差与方差 如果有个数据，，，那么平均数，标准差为：，方差： 7、在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值 (1)最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的; (3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和. 8、概率与频率 一般地,随着试验次数的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率来估计概率.  9、古典概型 试验具有如下共同特征： (1)有限性：样本空间的样本点只有有限个； (2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型． 10、古典概型的概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率. 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 11、概率的基本性质（性质1、性质2、性质5） 性质1：对任意的事件，都有； 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即，； 性质5：如果，那么，由该性质可得，对于任意事件，因为，所以. 12、互斥事件的概率加法公式（性质3） 性质3：如果事件与事件互斥，那么； 注意：只有事件与事件互斥，才可以使用性质3，否则不能使用该加法公式. 13、对立事件的概率（性质4） 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么，； 14、相互独立事件 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 性质1：必然事件、不可能事件与任意事件相互独立 性质2：如果事件与相互独立，则与，与，与也相互独立 则：，， 考点精讲 考点一：简单随机抽样 【典型例题】 解题策略 (1)简单随机抽样需满足：①被抽取的样本总体的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取． (2)简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况)． 例1．对总数为的一批零件抽取一容量为20的样本，若每个零件被抽取的可能性为20%，则为（    ） A．150 B．120 C．100 D．40 例2．某班有55人，要抽出3人，班长给全班同学编号：01，02，03，…，55.用随机数表法确定人选，依次得到4个随机数为03，25，98，47，其中，不能作为编号的随机数是（  ） A．03 B．25 C．98 D．47 例3．中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01，02，…，33.一位彩民用随机数法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码.选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第4个号码为 . 49  54  43  54  82  17  37  93  23  78  87  35  20  96  43  84  26  34  91  64 84  42  17  53  31  57  24  55  06  88  77  04  74  47  67  21  76  33  50  25 【即时演练】 1．下列抽样的方式属于简单随机抽样的个数为（　　） ①从500个个体中一次性抽取50个作为样本； ②将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本； ③某班有55个同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛； ④福利彩票用摇奖机摇奖. A．1 B．2 C．3 D．4 2．某校广播室为研究学生对广播节目的喜好情况，从该校名同学中用随机数法抽取人参加这一项调查．将这名同学编号为，在以下随机数表中从任意一个随机数开始读出三位数组，假设从第行第列的数字开始，则第个被抽到的同学的编号为 ． 16227794 39495443 54821737 93237887 35209643 84263491 64844217 55721754 55068331 04744767 21763350 25839212 06766301 63785916 95556719 98105071 75128673 58074439 3．总体由编号为1，2，⋯，99，100的100个个体组成，现用随机数法选取60个个体，利用电子表格软件产生的若干个1~100范围内的整数随机数的开始部分数据，如下表，则选出来的第5个个体的编号为 8  44  2  17  8  31  57  4  55  6 88  8  31  47  7  21  76  33  50  63 考点二：分层抽样 【典型例题】 解题策略 (1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算． (2)已知某层个体数量，求总体数量或反之求解： 根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算． (3)在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m，平均值为x；第二层的样本量为n，平均值为y，则样本的平均值为. 例1．（2024高二上·广东·学业考试）某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取m个人进行身体健康检查，如果采用分层抽样的方法，其中高级管理人员仅抽到1人，那么m的值为（ ） A．1 B．3 C．16 D．20 例2．（2023高三·广东·学业考试）现要完成下列2项抽样调查： ①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查； ②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本． 较为合理的抽样方法是（    ） A．①抽签法，②分层随机抽样 B．①随机数法，②分层随机抽样 C．①随机数法，②抽签法 D．①抽签法， ②随机数法 例3．（2024高三上·广东·学业考试）三个人过关，甲带元，乙带元，丙带元，共要交100元关税，若按照比例缴纳，乙应交 元.(结果保留整数) 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知某校高一高二高三的人数分别为400、450、500，选派该校学生参加志愿者活动，采用分层抽样的方法选取27人，则高二抽取的人数为 . 【即时演练】 1．某单位有职工500人，其中女职工300人，男职工200人.现按男女比例，采用分层随机抽样的方法，从该单位职工中抽取25人进行相关调查研究，则应抽取该单位女职工（    ） A．10人 B．12人 C．13人 D．15人 2．（2022高二上·广东·学业考试）某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 3．某学校共有学生2700人，其中男生1200人，女生1500人.现按男生、女生进行分层，用分层随机抽样的方法，从该校全体学生中抽取人进行调查研究.若抽到男生20人，则（    ） A．60 B．45 C．35 D．25 4．某校有小学生、初中生和高中生，其人数比是．为了解该校学生的视力情况，采用按比例分层抽样的方法从中抽取容量为的样本，那么初中生应抽取的人数是（    ） A．5 B．10 C．20 D．25 5．某企业有三个分厂生产同一种电子产品，第一分厂、第二分厂和第三分厂的产量依次占总产量的50%，30%，20%，现在用分层随机抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取200件做使用寿命的测试，则第三分厂应抽取的件数为（    ） A．20 B．40 C．60 D．100 6．已知男女生共有100人，其中男生45人，现从100人中抽20人，则抽出的20人中男生有 人. 考点三：统计图表 【典型例题】 解题策略 (1)通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系． (2)由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数量． 例1．下图为某同学两次月考成绩占总成绩百分数的扇形统计图，已知该同学第一次月考总分低于第二次月考总分，则（    ） A．该同学数学学科成绩一定下降 B．该同学政治学科成绩一定下降 C．该同学化学学科成绩可能下降 D．该同学语文学科成绩一定提升 例2．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的小学生近视人数分别为（    ） A．100，30 B．100，21 C．200，30 D．200，7 例3．新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示.下列结论不正确的是（    ） A．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量 B．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增 C．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿 D．第七次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数 例4．已知某地区中小学共有学生20000人，各学段学生所占比例如图甲所示，近视情况如图乙所示，则该地区初中生近视的人数为（    ） A．3150 B．3600 C．5250 D．6000 【即时演练】 1．在“冬奥会”闭幕后，某中学社团对本校3000名学生收看比赛情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为50，将所有数据分组整理后，绘图如下，以下结论中正确的是（    ） A．图中m的数值为26 B．估计该校观看比赛不低于3场的学生约为1380人 C．估计该校学生观看比赛场数的中位数小于平均数 D．样本数据的第90百分位数为5 2．年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤､工业､扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施.2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果.2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著. 上图是2000年至2018年可吸入颗粒物､细颗粒物､二氧化氮､二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图.根据图中信息，下列结论中正确的是（    ） A．2013年到2018年，空气中可吸入颗粒物的年日均值逐年下降 B．2013年到2018年，空气中细颗粒物的年日均值逐年下降 C．2000年到2018年，空气中二氧化氮的年日均值都低于40微克/立方米 D．2000年到2018年，空气中二氧化硫的年日均值最低的年份是2008年 考点四：频率分布直方图 【典型例题】 解题策略 (1)谨记频率分布直方图的相关公式 ①直方图中各小长方形的面积之和为1. ②直方图中纵轴表示，故每组样本的频率为组距×，即矩形的面积． ③直方图中每组样本的频数为频率×总数． (2)频率分布直方图中数字特征的计算 ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． ③平均数等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 例1．（2023高三·广东·学业考试）某工厂抽取件产品测其重量（单位：）．其中每件产品的重量范围是．数据的分组依次为、、、，据此绘制出如图所示的频率分布直方图，则重量在内的产品件数为（    ） A． B． C． D． 例2．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，频率分布直方图中a的值是（    ） A．0.017 B．0.018 C．0.020 D．0.023 例3．为了解学生某月课外阅读的情况，抽取了名学生进行调查并根据调查结果得到如图所示的频率分布直方图，若阅读时间（单位：小时）在的学生有210人，则（    ） A．300 B．360 C．400 D．480 【即时演练】 1．某校为了解今年春季学期开学第一周，高二年级学生参加学校社团活动的时长，有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学，统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长，并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长（单位：小时）范围是，数据分组为.这100名同学中，今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为 人. 2．为了研究网民的上网习惯，某机构随机抽取了年龄在10岁到60岁的网民进行问卷调查，按年龄分为5组，即，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示．若按分层抽样的方法，从上述网民中抽取n人做采访，其中年龄在中被抽取的人数为7，则 ． 3．要调查某地区高中学生身体素质，从高中生中抽取人进行跳远测试，根据测试成绩制作频率分布直方图如图，现从成绩在之间的学生中用分层抽样的方法抽取人，应从间抽取人数为，则（    ）．    A．， B．， C．， D．， 考点五：总体百分位数的估计 【典例讲解】 解题策略 (1)计算一组n个数据第p百分位数的步骤 (2)频率分布直方图中第p百分位数的计算 ①确定要求的p%分位数所在分组[A，B)． ②由频率分布表或频率分布直方图计算样本中小于A的频率为a，小于B的频率为b，则p%分位数＝A＋组距×. 例1．高二年级某班甲同学自进入高中以来，每次数学考试成绩情况如下： 83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101 计算出学生甲的第25，50百分位数（    ） A．86，98 B．85，98.5 C．85，97.5 D．86，99 例2．（2024高三·广东·学业考试）某篮球队有篮球运动员15人，进行投篮训练，每人投篮100个，命中球数如下表：   命中球数 90 95 97 98 100 频数 1 2 3 7 2 则这组数据的众数，第75百分数分别为（　　） A．97，2 B．98，2 C．97，98 D．98，98 例3．“幸福感指数”是指人们主观地评价自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取10位某小区居民，他们的幸福感指数分别为3，4，5，5，6，6，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（    ） A．7.5 B．8 C．8.5 D．9 【即时演练】 1．数据12，14，15，17，19，23，27，30，则 ， 2．有20种不同的绿色食品，每100克包含的能量（单位：）如下： 110   120   120   120   123   123   140   146   150   162 164   174   190   210   235   249   280   318   428   432 根据以上数据，估计这些食品每100克包含能量的第50百分位数是（    ） A．165 B．164 C．163 D．162 3．二十大报告明确指出，人民健康是民族昌盛和国家强盛的重要标志．青少年处于健康生长的关键时期，其身高和体重是反映他们生长发育和营养状况的基本指标．某校从高一年级随机抽取了20名女生，得到她们的身高数据如下（单位：）：．则这组数据的第一四分位数（    ） A．155 B．155.5 C．156 D．156.5 4．某数学兴趣小组20名成员在规定时间内独立解答6个数学问题，最终结果如下：有1人解出1个问题，有1人解出2个问题，有4人解出3个问题，有4人解出4个问题，有5人解出5个问题，有5人解出6个问题，则解出问题个数的第三四分位数为（    ） A．3 B．4.5 C．5 D．5.5 考点六：众数、中位数、平均数、方差的计算 【典例讲解】 解题策略 1.众数、中位数、平均数定义 (1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数． (2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数． (3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么＝(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数． 2.方差的简化公式 方差的简化计算公式：s2＝[(x＋x＋…＋x)－]，或写成s2＝(x＋x＋…＋x)－，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． 例1．（2024高三上·广东·学业考试）在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是 . 例2．某中学有男生600人，女生400人.为了调查学生身高情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法抽取一个容量为10的样本，样本按比例分配，得到男生、女生的平均身高分别为170cm和160cm.用样本估计总体，则该校学生的平均身高是（    ） A．162cm B．164cm C．166cm D．168cm 例3．设一组样本数据的平均数是3，则数据，，…，的平均数为 . 例4．若一组数据的方差是5，则数据的方差是 ． 【即时演练】 1．样本数据2，1，4，5，6，6，15，8的中位数和众数分别是（    ） A．5，6 B．5.5，6 C．6，6 D．5.5，5 2．某学校高一年级女生定制校服规格的数据如图所示，则这组数据的众数为（    ）    A．55 B．160 C．165 D．170 3．某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，b，80，80，81，84，85，若这组数据的下四分位数为77，则该名考生的面试平均得分为（    ） A．79 B．80 C．81 D．82 4．惠州市某工厂10名工人某天生产同一类型零件，生产的件数分别是10、12、14、14、15、15、16、17、17、17，记这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则（    ） A． B． C． D． 5．甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 则本次测试中成绩比较稳定的是 ．（填甲或乙） 考点七：频率分布直方图的数字特征 【典例讲解】 解题策略 频率分布直方图的数字特征 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一组的组中值来表示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高小长方形的底边中点的横坐标． (2)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等． (3)平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积的和． 例1．某校为了解高一年级学生的体育健康标准测试（简称“体测”）成绩的分布情况，从该年级学生的体测成绩（规定满分为100分）中，随机抽取了80名学生的成绩，并进行分组：，，，，，绘制成如下频率分布直方图，该校高一年级学生体测成绩的第80百分位数的估计值是（    ）    A．87 B．88 C．89 D．90 例2．某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）    A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 例3．为了解中学生的体育锻炼情况，现从某学校随机抽取了部分学生，对他们每天的体育锻炼时间进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图，估计该校学生每天的体育锻炼时间的众数是 分钟.    【即时演练】 1．统计某班同学一次考试的数学成绩，得到如下频率分布直方图，已知该班学生数学成绩不低于80分的频率为0.60.    (1)求频率分布直方图中，的值； (2)估计该班学生数学成绩的平均分和中位数. 2．某市司法部门为了宣传《中华人民共和国宪法》举办法律知识问答活动，从该市岁的人群中随机抽取一个容量为的样本，并将样本按年龄分成五组：、、、、，再将其按从左到右的顺序分别编号为第组，第组，，第组，绘制了样本的频率分布直方图．对回答问题的情况进行统计后，结果如下表所示． 组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的比例 第组 第组 第组 第组 第组 (1)分别求出、的值； (2)从第、、组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，则第、、组各应抽取多少人？ (3)根据频率分布直方图估算出样本数据的中位数． 考点八：事件的关系判断 【典例讲解】 解题策略 判断事件间关系的方法 (1)利用基本概念 ①互斥事件不可能同时发生； ②对立事件首先是互斥事件，且一次试验中必有一个要发生．对立事件一定是互斥事件 (2)利用集合观点 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是A，B. ①若事件A与B互斥，则集合A∩B＝∅； ②若事件A与B对立，则集合A∩B＝∅且A∪B＝Ω. 注：(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的． (2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． 例1．（2023高三·广东·学业考试）在10件产品中有3件次品，从中选3件．下列各种情况是互斥事件的有（    ） ①A：“所取3件中至多2件次品”， B ： “所取3件中至少2件为次品”； ②A：“所取3件中有一件为次品”，B： “所取3件中有二件为次品”； ③A：“所取3件中全是正品”，B：“所取3件中至少有一件为次品”； ④A：“所取3件中至多有2件次品”，B：“所取3件中至少有一件是正品”； A．①③ B．②③ C．②④ D．③④ 例2．一个人打靶时连续射击3次，则事件“至少有两次中靶”的对立事件为（   ） A．至多有一次中靶 B．至多有两次中靶 C．恰好有一次中靶 D．三次都中靶 例3．从2名男生和2名女生中任选2人参加社区活动，那么互斥而不对立的两个事件是（　　） A．“恰有1名男生”与“全是男生” B．“至少有1名男生”与“全是女生” C．“至少有1名男生”与“全是男生” D．“至少有1名男生”与“至少有1名女生” 【即时演练】 1．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ） A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“都是红球” C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” D．“至少有一个黑球”与“都是黑球” 2．抛掷一枚质地均匀的骰子，记随机事件：“点数为奇数”，“点数为偶数”，“点数大于2”，“点数小于2”，“点数为3”．则下列结论不正确的是（    ） A．为对立事件 B．为互斥不对立事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件 考点九：古典概型 【典例讲解】 解题策略 古典概型概率问题的应用技巧 (1)一定要针对具体问题认真分析事件特点，准确判断事件类型，古典概型中事件特点是结果有限且等可能性． (2)计算古典概型中事件A的概率的关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m. (3)计算基本事件总数常用计数原理与排列组合计算，分清是排列还是组合问题，另外还有列举法、列表法、树状图法等． 例1．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（2023高三·广东·学业考试）若，则三个数称之为勾股数，从3，4，12，13中任取两个，能和5组成勾股数的概率是（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高三·广东·学业考试）从3本不同的数学书和1本语文书中任取两本，则取出的两本书中有语文书的概率为（　　） A． B． C． D． 例4．从长度为的5条线段中任取3条，则以这三条线段为边能构成一个三角形的概率是（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 例5．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（    ） A． B． C． D． 例6．在核酸检测中，“10合1”混采检测是指将10个人的样本混合在一个采集管中进行检测．采集时，将采集管发放给10人中的第一个人．某同学参加“10合1”混采，他拿到采集管的概率为（    ） A． B． C． D． 例7．已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：    ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（    ） A． B． C． D． 例8．如图，一只转盘，均匀标有8个数，现转动转盘，则转盘停止转动时，指针指向偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 例9．（2023高二·广东·学业考试）2020年双十二这一天，某实体店新进两款棉服，统计如表所示，现用分层随机抽样的方法从新进的商品中抽取6件，再从这6件中任抽2件检测，则抽到的2件均为甲款的概率为（　　） 棉服 甲款 乙款 进货数量 20 10 A． B． C． D． 【即时演练】 1．用这三个数字任意组成一个没有重复数字的三位数，则组成的三位数为偶数的概率是 ． 2．（2022高二上·广东·学业考试）从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为 ． 3．某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中.    (1)求a，b的值； (2)求这100名员工月销售额的第70百分位数； (3)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率. 4．（2024高二上·广东·学业考试）某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，求：    (1)分数在的学生人数； (2)这50名学生成绩的中位数（精确到）； (3)若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率． 5．（2024高三·广东·学业考试）某校随机抽取部分学生的体重为样本绘制如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值），已知从左至右前四组的频率依次为0.05，0.10，0.25，0.35，结合该图提供的信息回答下列问题： (1)抽取的学生人数共有______人，体重不低于58千克的学生有______人； (2)这部分学生体重的中位数落在第______组； (3)在这次抽样测试中，第一组学生的体重分别记录如下：40，40，41，42，43．如果要从这组学生中随机抽取2人，求被抽到的2人体重都不低于41千克的概率． 考点十：事件的相互独立性 【典例讲解】 解题策略 相互独立事件与互斥事件的概率计算 概率 A，B互斥 A，B相互独立 P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P() P(AB) 0 P(A)P(B) P( ) 1－[P(A)＋P(B)] P()P() P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B) 注：①(A)＋(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生． ②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B. 例1．甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别是与．甲、乙两人在罚球线各投球1次，假设两人投球是否命中互不影响，则甲、乙两人投球都命中的概率为（    ） A． B． C． D． 例2．甲、乙两人独立破译某个密码，若每人成功破译密码的概率均为，则密码不被破译的概率为（    ） A．0.09 B．0.42 C．0.49 D．0.51 例3．甲､乙两名同学进行投篮练习，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，且甲､乙两人投篮的结果互不影响，相互独立.甲､乙两人各投篮一次，求下列事件的概率： (1)甲､乙两人都命中； (2)甲､乙两人至少有一人命中. 【即时演练】 1．甲、乙两人独立地破译一份密码.已知甲能破译的概率为，乙能破译的概率为，则甲、乙两人都成功破译的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某射击运动员在一天的射击训练中射靶100次，训练成绩统计结果如图所示. (1)请估计这名运动员射击成绩的众数； (2)请估计这名运动员射击一次命中9环的概率； (3)如果这名运动员连续射击两次，每次射击成绩互不影响，请估计他两次命中环数都大于8环的概率. 3．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲成功破译的概率为，乙成功破译的概率为． (1)求两人都成功破译的概率； (2)求至少有一人成功破译的概率． 4．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，，，且各轮问题能否回答正确互不影响．求： (1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率； (2)该选手至多进入第二轮考核的概率． 实战训练 一、单选题 1．在一次随机试验中，事件A，B发生的概率分别为，，则下列表述中一定正确的是（    ） A． B． C．若与是互斥的，则 D．若与互为对立事件，则 2．袋子中有4个大小质地完全相同的球，其中2个红球，2个白球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都摸到红球的概率（   ） A． B． C． D． 3．某同学通过摸球的方式选择参加学校组织的社会实践活动.摸球规则如下：在一个不透明的袋子中有10个大小质地完全相同的球，其中2个红球，8个黄球.该同学从这个袋子中随机摸出1个球.若摸出的球是红球，则参加社区植树；若摸出的球是黄球，则参加社区卫生大扫除.该同学参加社区植树的概率为（    ） A． B． C． D． 4．今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如表： 月份性别 一 二 三 总计 男婴 22 19 23 64 女婴 18 20 21 59 总计 40 39 44 123 则今年第一季度该医院男婴的出生频率是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是 ． 6．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为0.35，乙获胜的概率为0.45，则甲不输的概率为 7．有4所自主招生的大学，甲､乙两位同学各自选择其中一所学校参加考试，若每位同学选择每所大学的可能性相同，则这两位同学选择同一所大学的概率为 . 三、解答题 8．甲、乙两人组成“超级星队”参加猜成语活动，在每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求一轮活动甲猜对且乙没有猜对的概率； (2)求两轮活动“超级星队”猜对3个成语的概率． 9．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20名工人某天生产该产品的数量（单位：个），产品数量的分组区间为，频率分布直方图如图所示.工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2名进行培训，则这2名工人不在同一组的概率是多少？ 10．梅雨季节，杨梅上市，现有8筐杨梅，其中3筐是A种杨梅，5筐是B种杨梅，两种筐子完全相同. (1)从中抽取1筐，直接写出所抽为A种杨梅的概率； (2)从中无放回地抽取2筐，求所抽筐都是A种杨梅的概率； (3)从中无放回地抽取2筐，求所抽筐中至少有1筐是B种杨梅的概率. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$