专题10 与角有关的计算-2024-2025学年七年级数学上学期期末复习必刷专题训练（华东师大版）

专题10与角有关的计算 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）填空：完成下列说理过程 如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 解：（1）如图，因为是的平分线， 所以______． 因为是的平分线， 所以______． 所以____________°． （2）由（1）可知____________°． 所以____________°． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数 4．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．    6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 7．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 8．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 9．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 10．（21-22七年级上·山东济宁·期末）已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 12．（21-22七年级上·重庆巴南·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 13．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，直线与相交于点O，射线是的平分线，，垂足为O，，分别求的度数． 14．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 15．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 16．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 17．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，与互余，平分． (1)若，则　　，　　； (2)设，，请探究与之间的数量关系． 18．（22-23七年级上·甘肃庆阳·期末）已知：如图，是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 19．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，    (1)如图1，平分，平分，若，则是 　　； (2)如图2，分别平分和，若，求的度数． (3) 若分别平分和，，则的度数是 　　（直接填空）． 20．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知、共顶点O，平分，平分． (1)如图1，当与重合时，若，，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若，，求的度数． 21．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，是的角平分线，若，求的度数． 22．（20-21七年级上·广东江门·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求． 23．（23-24七年级上·宁夏固原·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明是否平分． 24．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）如图，O为上一点，，平分，，求的度数． 25．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图，是的平分线，是的平分线，，求得度数． 26．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，平分，射线在内部．若平分，求的度数． 27．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，直线相交于点O，已知，将分成两个角，且． (1)求的度数； (2)若平分，那么平分吗？若平分，请说明理由． 28．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，直线与相交于点O，平分，射线在内部．若平分求的度数． 29．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，直线，交于点O，，垂足为O，平分，且，求的度数． 30．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． (1)若，求的度数． (2)请写出与的数量关系，并说明理由． 试卷第14页，共14页 试卷第13页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10与角有关的计算 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）填空：完成下列说理过程 如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 解：（1）如图，因为是的平分线， 所以______． 因为是的平分线， 所以______． 所以____________°． （2）由（1）可知____________°． 所以____________°． 【答案】(1)；；；； (2)；；； 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算， （1）根据角平分线的定义得到，，然后再根据角的和差关系可得答案； （2）先算出的度数，再利用的度数可得答案． 【详解】（1）解：（1）如图，因为是的平分线， 所以． 因为是的平分线， 所以． 所以°； 故答案为：；；；． （2）由（1）可知． 所以． 故答案为：；；； ． 2．（24-25七年级上·全国·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若2，求的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查角的计算． （1）用减去的度数，求出的差就是的度数； （2）设，用含x的代数式表示出后根据建立关于x的方程，解方程求出x的值后即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）将一副三角尺叠放在一起． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，三角尺中角的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形板中角的度数． （1）根据，，求出．根据，得出． （2）根据，，求出，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：由题图可知，， 所以． 又因为， 所以， 所以． 4．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）已知：在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 【答案】或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的性质，理解题意作图分析，掌握角平分线的性质计算角度的方法是解题的关键． 根据题意作图，分类讨论：当在外部时，可得，则，，由平分，即可求解；当在内部时，，则，由平分，即可求解． 【详解】解：第一种情况，如答图①， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴； 第二种情况，如答图②， ∵平分，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴； 综上所述，的度数是或． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，是内部任意一条射线，，分别是，的平分线，和有怎样的数量关系？请说明理由．    【答案】．理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义，是解题的关键．根据，分别是，的平分线，得出，．根据求出结果即可． 【详解】．理由如下： 因为，分别是，的平分线， 所以，． 又因为， 所以． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）已知在的外部，平分，平分，平分，，，试求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，分两种情况讨论：①如图，当在的外部，②如图，当在的内部，再结合图形进一步解答即可． 【详解】解：①如图，当在的外部， ∵平分，，， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∵平分， ∴； ②如图，当在的内部， ∵平分，，， ∴，． ∵平分， ∴． ∴， ∵平分， ∴． 综上所述，的度数是或． 7．（24-25七年级上·辽宁·期末）如图，已知、是内的两条射线，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案； （2）先求出的度数，再由角平分线的定义推出的度数，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 8．（22-23七年级上·陕西西安·期末）如图，，是内的两条射线，平分，且．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算．先根据角平分线的定义得出，，再根据，算出，根据，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，已知直线与相交于点O，、分别是、的平分线． (1)的补角是_____； (2)若，求和的度数； 【答案】(1)或；(2)， 【分析】本题考查余角与补，角度的计算，是基础题，熟记性质并准确识图，找出图中各角之间的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得再根据补角的定义结合图形找出即可； （2）根据角平分线的定义计算即可求出，然后根据补角的和等于列式计算即可求出，先求出，再根据角平分线的定义解答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， 又∵，， ∴ ∴的补角是或； （2）∵是的平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴． 10．（21-22七年级上·山东济宁·期末）已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键． （1）先根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据计算即可； （2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：如图： ， ， 平分， ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， ． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）已知射线在的内部，射线平分，射线平分． (1)如图①，，则_________； (2)如图②，若，射线在的内部绕点O旋转，求的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了几何图形中角度计算，角平分线的意义，掌握角度的计算是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，根据即可求解； （2）同理（1）即可求得． 【详解】（1）解：平分，平分， ， ， ， ， ； （2）解：同理（1）得：， ， ． 12．（21-22七年级上·重庆巴南·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了余角的定义，邻角互补，角的倍数的运算，掌握邻角互补是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知的度数，再利用邻角互补即可得到的度数； （2）根据角的倍数即可得到的度数，再利用余角的定义即可求得的度数． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴ 即的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（22-23七年级下·山东聊城·期末）如图，直线与相交于点O，射线是的平分线，，垂足为O，，分别求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的意义，角平分线的意义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键，根据得出，再由角平分线的意义得出，再由角的和差求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵射线是的平分线， ∴， ∴． 14．（23-24七年级下·广东江门·阶段练习）探究题：已知为直线上的一点，以为顶点作，射线平分． (1)如图1，若，则______，______； (2)若将绕点旋转至图2的位置，射线仍然平分，请写出与之间的数量关系，并说明理由； 【答案】(1)；；(2)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的计算，解题的关键是找出各个角之间的关系，利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件． （1）利用角的加减，角平分线定义计算； （2）由图②，可以得到各个角之间的关系，从而可以得到和之间的数量关系； 【详解】（1）解： ，， ， ， 又射线平分， ， ； 故答案为：，； （2）解：；理由如下： 平分， ， ， ， ， ， ，即； 15．（23-24七年级上·吉林四平·期末）如图，射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西、射线是的反向延长线，且射线平分．解答下列各题： (1)射线的方向是_______； (2)求的度数； (3)若射线的方向是东南方向，请直接写出的度数． 【答案】(1)北偏东；(2)；(3) 【分析】此题主要考查了方向角的表达，角平分线的定义，邻补角，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再求得的度数，即可确定的方向； （2）根据得出 ，进而求出的度数； （3）根据，射线平分，即可求出再利用求出答案即可． 【详解】（1）解：如图： ∵射线的方向是北偏东，射线的方向是北偏西 ∴， ∵射线平分 ∴ ∴，即射线的方向是北偏东； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵射线的方向是东南方向， 16．（22-23七年级上·四川眉山·期末）如图，直线，相交于点，平分，． (1)若，求的度数： (2)若，求的度数． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查角平分线的定义，熟练掌握对顶角、角平分线的定义，利用角的和差关系准确计算是解题的关键． （1）利用对顶角和角平分线的定义可得，，； （2）设，，则有，求出，再求即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， 平分， ； （2）， 设，， ， ， ， ， ， ． 17．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，与互余，平分． (1)若，则　　，　　； (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)；；(2) 【分析】本题考查的是余角和补角的概念和性质，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． （1）根据互余的概念求出，根据角平分线的定义求出，结合图形计算即可； （2）根据互余的概念用表示，根据角平分线的定义求出，结合图形列式计算即可． 【详解】（1）与互余，， ， 平分， ， ， 故答案为：；； （2），且与互余， ， 平分 ， 解得，． 18．（22-23七年级上·甘肃庆阳·期末）已知：如图，是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1)；(2) 【分析】此题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，主要考查学生的计算能力． （1）先求出，根据角平分线的定义求出即可； （2）与（1）类似，先求出，根据角平分线的定义求出，再根据角的和差关系求出即可． 【详解】（1）解：， ， 平分， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 19．（22-23七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）已知，    (1)如图1，平分，平分，若，则是 　　； (2)如图2，分别平分和，若，求的度数． (3) 若分别平分和，，则的度数是 　　（直接填空）． 【答案】(1)15；(2)；(3)或 【分析】本题主要考查角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，根据角度之间的和差关系，进行分类讨论． （1）根据角平分线的性质求出，求出最后根据即可求解； （2）根据已知得所求，而，，最后根据，即可求解； （3）分析两种可能性，当或至少有一个在内部时，当和都在外部时． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， 故答案为：15； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵平分和， ∴，， ∴； （3）解：①当或至少有一个在内部时，如下图， 则 ； ②当和都在外部时，如下图， 则， 综上的度数为或． 故答案为：或． 20．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）已知、共顶点O，平分，平分． (1)如图1，当与重合时，若，，求的度数； (2)将绕点O逆时针旋转至图2所示位置，若，，求的度数． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，解题的关键是∶ （1）利用角平分线定义求出，利用角的和差关系求出，然后再利用角平分线的定义求解即可； （2）设，利用角的和差关系求出，利用角平分线定义求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，且平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 故的度数为； （2）解∶∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故的度数为． 21．（23-24六年级下·山东烟台·期末）如图，已知，是的角平分线，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，正确求得x是关键． 首先设，，根据角平分线的定义求得，然后根据，求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴． 22．（20-21七年级上·广东江门·期末）如图，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，，求． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差倍分关系，能够根据定义正确表达出关系式是解决此题的关键．根据角平分线可得，，进而得出，即可求解． 【详解】解∶∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴． 23．（23-24七年级上·宁夏固原·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)请通过计算说明是否平分． 【答案】(1)；(2)平分，证明见解析 【分析】（）由角平分线的定义可得，进而由邻补角的性质即可求解； （）利用邻补角性质可得，再由角的和差关系可得，得到，即可求证； 本题考查了角平分线的定义，邻补角的性质，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∴； （2）解：平分． 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分． 24．（23-24七年级上·四川泸州·开学考试）如图，O为上一点，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，先求解，结合角平分线可得，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：∵O为上一点，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴． 25．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图，是的平分线，是的平分线，，求得度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义以及角的加减运算，难度较小． 因为是的平分线，所以，又因为是的平分线，所以，再根据即可作答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 即， ∵， ∴． 26．（23-24七年级下·吉林·期末）如图，直线与相交于点O，平分，射线在内部．若平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的定义、角的概念及对顶角、邻补角，熟练运用以上知识点是解题的关键．由对顶角的性质可得，再由平分，平分，可得，，进而得出答案． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 27．（23-24七年级下·河北邢台·期末）如图，直线相交于点O，已知，将分成两个角，且． (1)求的度数； (2)若平分，那么平分吗？若平分，请说明理由． 【答案】(1)；(2)平分，理由见解析 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键． （1）由对顶角相等得出，再根据即可求出的度数； （2）根据（1）中的结论先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，与的度数比较即可得出结论． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：平分，理由： 由（1）知， ， 平分， ， ， ， 平分． 28．（23-24七年级下·河南周口·期末）如图，直线与相交于点O，平分，射线在内部．若平分求的度数． 【答案】 【分析】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义及角的和差倍分，确定各角度之间的和差关系是解题关键．注意利用数形结合的思想．由题意得设，则，，，根据即可建立方程求解． 【详解】解：∵ ∴可设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 29．（23-24七年级下·江西上饶·期末）如图，直线，交于点O，，垂足为O，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图中角度的相关计算，由垂直的意义可得出，设，则．根据，可得出，进而可得出，．由角平分线的定义可得出，再根据对顶角相等可得出，最后根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 设，则． ∵， ∴， 解得：． ∴，． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 30．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）如图，将一副三角尺的直角顶点重合在一起． (1)若，求的度数． (2)请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)；(2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （1）利用即可得到； （2）表示出，再根据图形可知，然后计算即可得解． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ， ． 试卷第24页，共24页 试卷第23页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $$