2024-2025学年天津市部分区九年级数学上学期期末模拟试卷03（含答案解析）

2024～2025学年度天津市部分区九年级上学期期末模拟试卷03 考试范围：人教版（2012）上册；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）已知点A（2，﹣2），点A关于原点的对称点是B，那么点B的坐标是（　　） A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 2．（3分）在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩从未断流，而“成语”则是中华文化的一大瑰宝，下列成语所描述的事件中，不可能事件是（　　） A．百步穿杨 B．瓮中捉鳖 C．守株待兔 D．水中捞月 3．（3分）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任，对于下列垃圾分类标志，则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠D＝64°，则∠ABC的度数是（　　） A．20° B．36° C．32° D．26° 5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 6．（3分）同圆的外切正方形和内接正三角形的边长之比是（　　） A． B． C． D． 7．（3分）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（　　） A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980 8．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＞2 C．x＜2 D．﹣2＜x＜2 9．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为（　　） A．12π B．6π C．9π D．18π 10．（3分）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB＝AC＝10，AD＝8，BC＝12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（　　）秒后四边形APQB是△ABC面积的． A．2 B．4.5 C．8 D．7 12．（3分）已知二次函数（a≠0），当时，y的最小值为﹣6，则a的值为（　　） A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．﹣6或﹣2 D．6或2 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）口袋中有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机一次性取出两个小球，取出的小球的颜色都是红色的概率为 　 　． 14．（3分）将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　 　． 15．（3分）请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析式　 　．（答案不唯一） 16．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦CD⊥AB，交AB于点E，若AE＝1，则弦CD＝ 　 　． 17．（3分）已知二次函数y＝2025x2图象上有两个不同点，，则t1+t2＝　 　． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 　 　． 三．解答题（共7小题，共66分） 19．（8分）解方程 （1）2（x﹣2）2＝x2﹣4； （2）3x2+2x﹣2＝0． 20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4）， B（﹣4，1），C（﹣1，3）． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°所得的△A2BC2； （3）在（2）的条件下，求△ABC扫过图形的面积． 21．（10分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠OAC＝32°，求∠DEB的度数； （2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长． 22．在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出1个球，这个球是白球的概率是． （1）求袋子中白球的个数． （2）随机摸出1个球后，放回，搅匀再随机摸出1个球，请利用列表或画树状图的方法求两次摸到相同颜色的小球的概率． 23．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润． 24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （Ⅰ）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小； （Ⅱ）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径． 25．（10分）如图所示，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结BC． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）在直线BC上方的抛物线上有一点M，使得四边形ABMC的面积最大，求点M的坐标及四边形ABMC面积的最大值； （3）点E在抛物线上，当∠EBC＝∠ACO时，直接写出点E的坐标． 2024～2025学年度天津市部分区九年级上学期期末模拟试卷03 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）已知点A（2，﹣2），点A关于原点的对称点是B，那么点B的坐标是（　　） A．（2，2） B．（﹣2，2） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2） 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【解答】解：A（2，﹣2），点A关于原点的对称点是B，那么点B的坐标是（﹣2，2）， 故选：B． 2．（3分）在五千年的历史长河中，中华文化绚丽多彩从未断流，而“成语”则是中华文化的一大瑰宝，下列成语所描述的事件中，不可能事件是（　　） A．百步穿杨 B．瓮中捉鳖 C．守株待兔 D．水中捞月 【分析】根据事件发生的可能性大小判断． 【解答】A、百步穿杨，是随机事件； B、瓮中捉鳖，是必然事件； C、守株待兔，是随机事件； D、水中捞月，是不可能事件； 故选：D． 3．（3分）推进生态文明建设，实行垃圾分类和资源化利用是每个公民义不容辞的责任，对于下列垃圾分类标志，则四幅图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可． 【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意； 故选：A． 4．（3分）如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠D＝64°，则∠ABC的度数是（　　） A．20° B．36° C．32° D．26° 【分析】根据圆周角定理得∠AOB＝128°，再利用等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：连接OA，如图： ∵∠D＝64°， ∴∠AOB＝2∠D＝128°， ∵OA＝OB， ∴， 故选：D． 5．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 则． 故选：D． 6．（3分）同圆的外切正方形和内接正三角形的边长之比是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据圆内接正三角形的性质以及正方形的性质得出EC的长，进而得出圆的内接正三角形的边长． 【解答】解：如图所示：连接CO，过点O，作OE⊥CD于点E， 故CD＝2CE， 四边形AMNB是正方形，⊙O切AB于点C，△CFD是⊙O的内接正三角形， 设圆的外切正方形的边长为a， 则，∠OCE＝30°， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正三角形的边长为：， ∴． 故选：A． 7．（3分）元旦将至，九（1）班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有x名学生，那么所列方程为（　　） A．x2＝1980 B．x（x+1）＝1980 C．x（x﹣1）＝1980 D．x（x﹣1）＝1980 【分析】根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x﹣1）x＝1980． 【解答】解：根据题意得：每人要赠送（x﹣1）张贺卡，有x个人， ∴全班共送：（x﹣1）x＝1980， 故选：D． 8．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＞2 C．x＜2 D．﹣2＜x＜2 【分析】依据题意，由关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集就是函数y＝ax2+bx+c的图象在函数y＝kx+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围，进而结合图象即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵关于x的不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为函数y＝ax2+bx+c的图象在函数y＝kx+b的图象上方部分对应的自变量的取值范围， 又一次函数y＝kx+b（k≠0）与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）相交于A、B两点的横坐标分别为﹣2，2， ∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞kx+b的解集为x＜﹣2或x＞2． 故选：A． 9．（3分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的半径为6，则阴影部分的面积为（　　） A．12π B．6π C．9π D．18π 【分析】根据图形分析可得求图中阴影部分面积实为求扇形部分面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可． 【解答】解：如图所示：连接BO，CO，OA， ∵正六边形ABCDEF内接于⊙O， ∴△OAB，△OBC都是等边三角形， ∴∠AOB＝∠OBC＝60°， ∴S△ABC＝S△OBC， ∴S阴＝S扇形OBC ∴图中阴影部分面积为：S扇形OBC6π． 故选：B． 10．（3分）如图，在等腰△ABC中，在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP＝AQ．再分别以点P，Q为圆心，以大于PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D．已知AB＝AC＝10，AD＝8，BC＝12．若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为（　　） A．10 B．12.8 C．12 D．9.6 【分析】如图，过点B作BH⊥AC于点H证明．BM+MN的最小值为BH的长，再利用面积法求出BH即可． 【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于点H． ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AB，AC关于AD对称， 作点N关于AD的对称点N′，连接MN′， ∵BM+NM＝BM+MN′≥BH， ∴BM+MN的最小值为BH的长． ∵AB＝AC＝10，ADP平分∠BAC， ∴AD⊥CB，BD＝CD＝6， ∴AD8， ∵S△ABC•BC•AD•AC•BH， ∴BH9.6． 故选：D． 11．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90，AB＝10cm，AC＝8cm，点P从点A开始出发向点C以2cm/s的速度移动，点Q从B点出发向点C以1cm/s的速度移动，若P、Q分别同时从A，B出发，（　　）秒后四边形APQB是△ABC面积的． A．2 B．4.5 C．8 D．7 【分析】由于四边形APQB是一个不规则的图形，不容易表示它的面积，观察图形，可知S四边形APQB＝S△ABC﹣S△PCQ，因此当四边形APQB是△ABC面积的时，△PCQ是△ABC面积的，即有S△PCQS△ABC． 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 由勾股定理，得BC6． 设t秒后四边形APQB是△ABC面积的， 则t秒后，CQ＝BC﹣BQ＝6﹣t，PC＝AC﹣AP＝8﹣2t． 根据题意，知S△PCQS△ABC， ∴CQ×PCAC×BC， 即（6﹣t）（8﹣2t）8×6， 解得t＝2或t＝8（舍去）． 故选：A． 12．（3分）已知二次函数（a≠0），当时，y的最小值为﹣6，则a的值为（　　） A．6或﹣2 B．﹣6或2 C．﹣6或﹣2 D．6或2 【分析】先求出对称轴，再分两种情况讨论，当a＞0时，根据二次函数的图象和性质可知，当时，y有最小值，即可求出a的值，当a＜0时，根据二次函数图象上的点离对称轴越远，函数值越小可知，当时，y有最小值，即可求出a的值． 【解答】解：由解析式可知：二次函数的对称轴为直线， 当a＞0时，此时当时，y有最小值，y最小＝﹣a＝﹣6， ∴a＝6， 当a＜0时， ∵， ∴当时，y有最小值，y最小， ∴a＝﹣2， 综上所述，a的值为﹣2或6， 故选：A． 二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）口袋中有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同，随机一次性取出两个小球，取出的小球的颜色都是红色的概率为 　　． 【分析】根据题意画出树状图，再根据树状图即可求得所有等可能的结果与取出的小球的颜色都是红色的情况，然后根据概率公式求解． 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球的颜色都是红色的结果有2种， ∴取出的小球的颜色都是红色的概率为， 故答案为：． 14．（3分）将一元二次方程（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4化为一般形式是 　x2﹣3x+2＝0　． 【分析】先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再根据一元二次方程的一般形式解答即可． 【解答】解：（x﹣2）（2x+1）＝x2﹣4， 则2x2﹣4x+x﹣2＝x2﹣4， 整理得：x2﹣3x+2＝0， 故答案为：x2﹣3x+2＝0． 15．（3分）请写出一个开口向上，与y轴交点纵坐标为﹣1，且经过点（1，3）的抛物线的解析式　y＝x2+3x﹣1　．（答案不唯一） 【分析】设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c．由此函数图象与y轴交点纵坐标为﹣1，得出c＝﹣1；把（1，3）代入y＝ax2+bx+c，得出a+b+c＝3；由开口向上，知a＞0．据此答题．本题答案不唯一． 【解答】解：设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c ∵开口向上， ∴a＞0 ∵y轴交点纵坐标为﹣1， ∴c＝﹣1 ∵经过点（1，3）， ∴a+b+c＝3 写一个满足条件的函数解析式即可 如y＝x2+3x﹣1．答案不唯一． 16．（3分）如图，在⊙O中，直径AB＝8，弦CD⊥AB，交AB于点E，若AE＝1，则弦CD＝ 　2　． 【分析】根据垂径定理和勾股定理，即可得答案． 【解答】解：连接OC， ∵直径AB＝8， ∴OA＝OC＝4， ∵AE＝1， ∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3， ∵弦CD⊥AB， ∴CE＝ED， ∴CD＝2CE＝2， 故答案为：2． 17．（3分）已知二次函数y＝2025x2图象上有两个不同点，，则t1+t2＝　0　． 【分析】根据二次函数的图象与性质及点P、Q的坐标可得P、Q关于y轴对称，从而可得到答案． 【解答】解：∵，， ∴点P、Q的纵坐标相等， ∴点P、Q关于y轴对称， ∴t1+t2＝0， 故答案为：0． 18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是 　3　． 【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM． 【解答】解：如图连接PC． 在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2， ∴AB＝4， 根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4， ∴A′P＝PB′， ∴PCA′B′＝2， ∵CM＝BM＝1， 又∵PM≤PC+CM，即PM≤3， ∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）． 故答案为：3． 三．解答题（共7小题，共66分） 19．（8分）解方程 （1）2（x﹣2）2＝x2﹣4； （2）3x2+2x﹣2＝0． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【解答】解：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4， 2（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0， （x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0， （x﹣2）（x﹣6）＝0， x﹣2＝0，x﹣6＝0， ∴x1＝2，x2＝6； （2）3x2+2x﹣2＝0， ∵Δ＝22﹣4×3×（﹣2）＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，3）． （1）画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （2）画出将△ABC绕点B顺时针旋转90°所得的△A2BC2； （3）在（2）的条件下，求△ABC扫过图形的面积． 【分析】（1）根据中心对称的性质找出对应点即可求解； （2）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （3）根据△ABC扫过图形的面积＝△ABC的面积+扇形CBC2的面积求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；C1（1，﹣2）； （2）如图所示，△A2BC2即为所求； （3）由图形可知，△ABC扫过图形的面积＝△ABC的面积+扇形CBC2的面积＝3×3． 21．（10分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上． （1）若∠OAC＝32°，求∠DEB的度数； （2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长． 【分析】（1）连接OB，则∠OBC＝∠OAC＝32°，进而得∠DOB＝58°，然后再根据圆周角定理可得出∠DEB的度数； （2）先在Rt△OAC中，由勾股定理求出AC＝8，进而可得ABDE长． 【解答】解：（1）连接OB，如图所示： ∵OA＝OB，∠OAC＝32°， ∴∠OBC＝∠OAC＝32°， ∵OD⊥AB， ∴∠OCA＝∠OCB＝90°，AC＝BC， ∴∠DOB＝90°﹣∠OBC＝90°﹣32°＝58°， ∴∠DEB∠DOB＝29°； （2）在Rt△OAC中，OC＝6，OA＝10， 由勾股定理得：AC8， ∴AB＝2AC＝16． 22．在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有2个，若从中随机摸出1个球，这个球是白球的概率是． （1）求袋子中白球的个数． （2）随机摸出1个球后，放回，搅匀再随机摸出1个球，请利用列表或画树状图的方法求两次摸到相同颜色的小球的概率． 【分析】（1）设白球有x个，利用概率公式得到，然后解方程即可； （2）画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸到的小球颜色相同的小球的结果数，然后根据概率公式求解即可． 【解答】解：（1）设白球有x个， ， 解得x＝1， 经检验：x＝1是原分式方程的解， 即白球有1个； （2）画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，其中两次摸到的小球颜色相同的小球的结果数为5， 所以两次摸到的小球颜色不同的概率为． 23．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为x，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润． 【分析】（1）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可求出结论； （2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要有利于减少库存，即可确定结论； （3）根据前三个月的总销量为285件，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，将其符合题意的值代入60（1+x），60（1+x）2中，可得出2月份、三月份的销售量，再利用该季度的总利润＝（该商品1月份的售价﹣该商品的进价）×1月份的销售量+（该商品2月份的售价﹣该商品的进价）×2月份的销售量+（该商品3月份的售价﹣该商品的进价）×3月份的销售量，即可求出结论． 【解答】解：（1）根据题意得：（360﹣280）×60 ＝80×60 ＝4800（元）． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件， 根据题意得：（360﹣m﹣280）（60+5m）＝7200， 整理得：m2﹣68m+480＝0， 解得：m1＝8，m2＝60， 又∵要有利于减少库存， ∴m＝60． 答：每件商品应降价60元； （3）根据题意得：60+60（1+x）+60（1+x）2＝285， 整理得：4x2+12x﹣7＝0， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣3.5（不符合题意，舍去）， ∴60（1+x）＝60×（1+50%）＝90（件），60（1+x）2＝60×（1+50%）2＝135（件）， ∴2月份这种商品的售价为360354（元），3月份这种商品的售价为360345（元）， ∴该季度的总利润为（360﹣280）×60+（354﹣280）×90+（345﹣280）×135＝20235（元）． 答：该季度的总利润为20235元． 24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （Ⅰ）如图①，若∠C＝71°，求∠E的大小； （Ⅱ）如图②，当AE＝AB，DE＝2时，求∠E的大小和⊙O的半径． 【分析】（Ⅰ）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，求出∠AOB＝2∠C＝142°，进而得∠AOE，则可求出答案； （Ⅱ）连接OA，由等腰三角形的性质求出∠E＝30°，根据含30°解的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）连接OA． ∵AE切⊙O于点A， ∴OA⊥AE， ∴∠OAE＝90°， ∵∠C＝71°， ∴∠AOB＝2∠C＝2×71°＝142°， 又∵∠AOB+∠AOE＝180°， ∴∠AOE＝38°， ∵∠AOE+∠E＝90°， ∴∠E＝90°﹣38°＝52°． （Ⅱ）连接OA， 设∠E＝x． ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠E＝x， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝x， ∴∠AOE＝∠ABO+∠BAO＝2x． ∵AE是⊙O的切线， ∴OA⊥AE，即∠OAE＝90°， 在△OAE中，∠AOE+∠E＝90°， 即2x+x＝90°， 解得x＝30°， ∴∠E＝30°． 在Rt△OAE中，OAOE， ∵OA＝OD， ∴OA＝OD＝DE， ∵DE＝2， ∴OA＝2，即⊙O的半径为2． 25．（10分）如图所示，抛物线y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连结BC． （1）求抛物线顶点D的坐标； （2）在直线BC上方的抛物线上有一点M，使得四边形ABMC的面积最大，求点M的坐标及四边形ABMC面积的最大值； （3）点E在抛物线上，当∠EBC＝∠ACO时，直接写出点E的坐标． 【分析】（1）化为顶点式求解即可； （2）先求出△ABC的面积，然后判断出△BCM的面积最大时四边形ABMC面积最大，求出直线BC的解析式，设过点M与y轴平行的直线与BC相交于点N，表示出MN，再表示出△BCM的面积，然后利用二次函数的最值问题求出点M的横坐标以及△BCM的面积，最后求解即可； （3）①连接CD，BD，作DM⊥OC于点M，证明即可；②作点D关于BC的对称点D′，作DN⊥OC于点N．求出直线BD′的解析式，然后与二次函数解析式联立即可求解． 【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线顶点D的坐标为（1，4）； （2）令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴点A（﹣1，0），B（3，0）， 令x＝0，则y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，3）， ∴AB＝3﹣（﹣1）＝4，OC＝3， ∴， ∴△BCM的面积最大时四边形ABMC面积最大． 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 则， ∴， ∴y＝﹣x+3． 设过点M与y轴平行的直线交BC于点N， M（x，﹣x2+2x+3），N（x，﹣x+3）， 则MN＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x， ∴， ∴当时，△BCM的面积最大，最大值为， 此时，， 所以，当点时，四边形ABMC面积最大，最大值为． （3）①连接CD，BD，作DM⊥OC于点M． ∵C（0，3），D（1，4）， ∴CM＝DM＝1， ∴△CDM是等腰直角三角形， ∴∠DCE＝45°． ∵B（3，0），C（0，3）， ∴△BOC是等腰直角三角形， ∴∠BCO＝45°， ∴∠BCD＝90°， ∵，， ∴， ∴∠DBC＝∠ACO， ∴点E与点D重合， ∴点E的坐标为（1，﹣4）； ②作点D关于BC的对称点D′，作DN⊥OC于点N， ∵∠DMC＝∠D′NC＝90°，∠DCM＝D′CN，DC＝D′C， ∴△DCM≌△D′CN（AAS）， ∴D′N＝DM＝1，CM＝CN＝1， ∴ON＝3﹣1＝2， ∴D′（﹣1，2）， 设直线BD′的解析式为y＝mx+n， 则， 解得， 所以直线BD′的解析式为， 联立， 解得（为点B坐标，舍去），， 所以，点H的坐标为， 综上所述，点E的坐标为（1，4）或时，∠EBC＝∠ACO． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/12/5 16:19:15；用户：李译林；邮箱：wanghs2003@163.com；学号：4520893 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$