2024-2025学年天津市部分区九年级数学上学期期末模拟试卷02（含答案解析）

2024～2025学年度天津市部分区九年级上学期期末模拟试卷02 考试范围：人教版（2012）上册；考试时间：100分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上。 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）“保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，此方程可化为（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x+3）2＝14 3．（3分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　） A．经过任意两点画一条直线 B．任意画一个五边形，其外角和为360° C．过平面内任意三个点画一个圆 D．任意画一个平行四边形，是中心对称图形 4．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x+3）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2﹣4 5．（3分）已知⊙O的半径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内 D．无法确定 6．（3分）若关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 7．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则该正六边形的边心距是（　　） A．1cm B．2cm C． D． 8．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 9．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 10．（3分）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了28.5亿美元，若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（　　） A．y＝（1+x）2 B．y＝28.5x（1+x） C．y＝28.5（1+x）2 D．y＝28.5+（1+x）2 11．（3分）如图，已知△ABC，用尺规按照下面步骤操作： ①作线段AB的垂直平分线DE；②作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O；③以O为圆心，OB长为半径作⊙O． 结论I：点O是△ABC的内心． 结论II： 对于结论I和结论Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对II对 D．I对Ⅱ不对 12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为 　 　． 14．（3分）点A（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为 　 　． 15．（3分）一圆锥母线长为6，底面圆半径为2，则该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为 　 　． 16．（3分）如图，⊙O的弦AB⊥OC，且，则⊙O的半径是 　 　． 17．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则b的值为 　 　． 18．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 　 　． 三．解答题（本大题共7小题，共66分） 19．（8分）解下列方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2． 20．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6），在给出的平面直角坐标系中． （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1，并直接写出B1、C1的坐标； （2）计算点B旋转到点B1位置时，线段AB扫过的面积． 21．（10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝5，CD＝3，求AB的长． 22．（10分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． （1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　 　； （2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 23．（10分）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）当销售量为30件时，产品售价为 　 　元/件； （2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （Ⅰ）如图①，若∠C＝70°，求∠E的大小； （Ⅱ）如图②，若AE＝AB，求∠E的大小． 25．（10分）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标． 2024～2025学年度天津市部分区九年级上学期期末模拟试卷02 参考答案与试题解析 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）“保护生态，人人有责”，下列生态环保图片中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的概念判断即可． 【解答】A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查识别中心对称图形．识别中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，此方程可化为（　　） A．（x﹣3）2＝4 B．（x﹣3）2＝14 C．（x+3）2＝4 D．（x+3）2＝14 【分析】移项，配方，开方，即可得出选项． 【解答】解：x2﹣6x+5＝0， x2﹣6x＝﹣5， 配方得：x2﹣6x+9＝﹣5+9， （x﹣3）2＝4， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 3．（3分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　） A．经过任意两点画一条直线 B．任意画一个五边形，其外角和为360° C．过平面内任意三个点画一个圆 D．任意画一个平行四边形，是中心对称图形 【分析】直接利用多边形的性质以及直线的性质、中心对称图形的定义分别分析得出答案． 【解答】解：A、经过任意两点画一条直线，是必然事件，故此选项错误； B、任意画一个五边形，其外角和为360°，是必然事件，故此选项错误； C、过平面内任意三个点画一个圆，是随机事件，故此选项错误； D、任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了多边形的性质以及直线的性质、中心对称图形的定义，正确把握相关性质是解题关键． 4．（3分）将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（　　） A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x+3）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2﹣4 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线的函数表达式为：y＝（x﹣3）2+4． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键． 5．（3分）已知⊙O的半径为6，与圆同一平面内一点P到圆心O的距离为5，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内 D．无法确定 【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【解答】解：∵⊙O的半径是6，点P到圆心O的距离为5， ∴点P到圆心O的距离小于圆的半径， ∴点P在⊙O内． 故选：C． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r． 6．（3分）若关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0 【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答． 【解答】解：（1）当k＝0时，﹣6x+9＝0，解得x； （2）当k≠0时，此方程是一元二次方程， ∵关于x的方程kx2﹣6x+9＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1， 由（1）、（2）得，k的取值范围是k≤1． 故选：B． 【点睛】本题考查的是根的判别式，解答此题时要注意分k＝0和k≠0两种情况进行讨论． 7．（3分）如图，已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，则该正六边形的边心距是（　　） A．1cm B．2cm C． D． 【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 【解答】解：已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm，连接OA，作OM⊥AB，得到∠AOM＝30度，因而OM＝OA•cos30°cm， 正六边形的边心距是cm， 故选：D． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是解题的关键． 8．（3分）若点A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）都在二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2 【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，根据x＜1时，y随x的增大而减小，即可得出答案． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1， C（2，y3）关于直线x＝1的对称点是（0，y3）， ∵﹣3＜﹣2＜0＜1， ∴y3＜y2＜y1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 9．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【分析】根据旋转的性质得AB＝AD，由等腰三角形性质得∠B＝∠ADB，由旋转角为120°得∠BAD＝120°，由三角形内角和定理得∠B+∠ADB+∠BAD＝180°，由此可求出∠B的度数． 【解答】解：∵△ADE是由△ABC绕点A逆时针旋转120°得到的， ∴AB＝AD，∠BAD＝120°， ∴∠B＝∠ADB， ∵∠B+∠ADB+∠BAD＝180°， ∴∠B＝∠ADB（180°﹣120°）＝30°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旅转的性质，掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 10．（3分）最新报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了28.5亿美元，若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y关于x的函数解析式为（　　） A．y＝（1+x）2 B．y＝28.5x（1+x） C．y＝28.5（1+x）2 D．y＝28.5+（1+x）2 【分析】先表示成2024年的市场规模，然后再表示出2025年的市场规模即可． 【解答】解：2023年全球金属增材制造市场的总收入达到了28.5亿美元，若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x， 则2024年的市场规模为28.5（1+x）亿美元，2025年的市场规模为28.5（1+x）2，即：y＝28.5（1+x）2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数的关系式，解题的关键是了解增长率的意义，难度不大． 11．（3分）如图，已知△ABC，用尺规按照下面步骤操作： ①作线段AB的垂直平分线DE；②作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O；③以O为圆心，OB长为半径作⊙O． 结论I：点O是△ABC的内心． 结论II： 对于结论I和结论Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．I和Ⅱ都对 B．I和Ⅱ都不对 C．I不对II对 D．I对Ⅱ不对 【分析】根据三角形外心的定义对结论（Ⅰ）进行判断；利用点D、G有任意性可对结论（Ⅱ）进行判断． 【解答】解：∵点O为AB和BC的垂直平分线的交点， ∴点O为△ABC的外心，所以结论（Ⅰ）不对； ∵点D、G的位置不能确定， ∴和的长度不确定，所以结论（Ⅱ）不对． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和三角形的外心与内心． 12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③3a+c＜0；④a+b＞m（am+b）（其中m≠1），其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故此选项正确； ②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故a+c＜b，错误； ③当x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，且x1， 即b＝﹣2a，代入得9a﹣6a+c＜0，得3a+c＜0，正确； ④当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， 所以a+b+c＞am2+bm+c， 故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此选项正确． 故①③④正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象为一条抛物线，当a＜0，抛物线的开口向下，当x时，函数值最大；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为 　　． 【分析】根据一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球，从而可以求得从袋中任意摸出一个球是黑球的概率． 【解答】解：∵一个不透明的袋子里装有4个红球和6个黑球， ∴从袋中任意摸出一个球是黑球的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 14．（3分）点A（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标为 　（﹣3，5）　． 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点解答． 【解答】解：点P（3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（﹣3，5）， 故答案为：（﹣3，5）． 【点睛】本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数． 15．（3分）一圆锥母线长为6，底面圆半径为2，则该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为 　120°　． 【分析】根据展开图的扇形的弧长等于圆锥底面周长计算． 【解答】解：设圆心角为n°， ∵母线长为6，底面圆半径为2， ∴2π×2， 解得：n＝120， ∴该圆锥侧面展开扇形圆心角度数为120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是本题解题关键． 16．（3分）如图，⊙O的弦AB⊥OC，且，则⊙O的半径是 　3　． 【分析】⊙O的弦AB⊥OC，，得到，∠ADO＝90°，设⊙O的半径是r，则OA＝OC＝r，，在Rt△ADO中，由勾股定理得到，即可得到答案． 【解答】解：∵⊙O的弦AB⊥OC，， ∴，∠ADO＝90°， 设⊙O的半径是r，则OA＝OC＝r， ∵OD＝2DC， ∴， 在Rt△ADO中，OA2＝OD2+AD2， ∴， 解得r＝3或r＝﹣3（不合题意，舍去） 即⊙O的半径是3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据勾股定理列方程是解题的关键． 17．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点，则b的值为 　﹣2　． 【分析】根据（﹣2，n）和（4，n）可以确定函数的对称轴x＝1，再由对称轴的x即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+4经过（﹣2，n）和（4，n）两点， ∴函数的对称轴x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2； 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键． 18．（3分）如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，分别过点A，D作⊙O的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 　2　． 【分析】根据正方形的性质，切线的性质以及扇形面积的计算方法进行计算即可． 【解答】解：如图，连接OA，OD， ∵PA，PD是⊙O的切线，切点为A，D， ∴∠OAP＝∠ODP＝90°， ∵点O是正方形ABCD的中心， ∴OA＝OD，∠AOD90°， ∴四边形OAPD是正方形， 在Rt△AOD中，AD＝2，OA＝OD， ∴OA＝ODAD， ∴S阴影部分＝S正方形OAPD﹣S扇形OAD ＝（）2 ＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查正多边形和圆，切线的判定和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算，掌握正多边形和圆，切线的判定和性质，圆周角定理以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 三．解答题（共7小题，满分66分） 19．（8分）解下列方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2． 【分析】（1）直接运用公式法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2＝16﹣8＝8＞0， ∴， ∴． （2）3x（x﹣1）＝2x﹣2， 3x（x﹣1）＝2（x﹣1）， 3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0， （x﹣1）（3x﹣2）＝0， x﹣1＝0或3x﹣2＝0， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活解一元二次方程成为解题的关键． 20．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，2），B（﹣3，4），C（﹣2，6），在给出的平面直角坐标系中． （1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB1C1，并直接写出B1、C1的坐标； （2）计算点B旋转到点B1位置时，线段AB扫过的面积． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点B1、C1，然后写出B1、C1的坐标； （2）先计算出AB的长，然后利用扇形面积公式计算AB扫过的面积． 【解答】解：（1）如图，△AB1C1为所作，B1（1，4），C1（3，3）； （2）∵AB2， ∴扇形BAB1面积2π， ∴AB扫过的面积为2π． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 21．（10分）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC． （1）求证：AB＝AC； （2）若BC＝5，CD＝3，求AB的长． 【分析】（1）由等腰三角形的性质得到∠EDC＝∠C，由圆内接四边形的性质得到∠EDC＝∠B，由此推得∠B＝∠C，由等腰三角形的判定即可证得结论； （2）连接AE，由AB为直径，可证得AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，证明△CDE∽△CBA后即可求得AB的长． 【解答】（1）证明：∵ED＝EC， ∴∠EDC＝∠C， ∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°， ∴∠EDC＝∠B， ∴∠B＝∠C， ∴AB＝AC； （2）方法一： 解：连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， 由（1）知AB＝AC， ∴BE＝CEBC， ∵∠B＝∠C，∠EDC＝∠C， ∴∠EDC＝∠B， ∵∠C＝∠C， ∴△CDE∽△CBA， ∴， ∴CE•CB＝CD•CA， ∴5＝3CA， ∴CA， ∵AB＝AC， ∴AB． 方法二： 解：连接BD， ∵AB为直径， ∴BD⊥AC， 设AB＝a， 由（1）知AC＝AB＝a， 则AD＝a﹣3， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得： BD2＝CB2﹣CD2＝52﹣32＝42＝16， 在Rt△ABD中，由勾股定理可得： AB2＝BD2+AD2， ∴a2＝42+（a﹣3）2， 整理得：a， 即：AB． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 22．（10分）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式． （1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 　　； （2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）． 【分析】（1）根据概率公式即可求解； （2）根据题意画出树状图，再根据概率公式即可求解． 【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为， 故答案为； （2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是根据题意画出树状图，再利用概率公式求解． 23．（10分）“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件． （1）当销售量为30件时，产品售价为 　105　元/件； （2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 【分析】（1）利用售价＝110，即可求出结论； （2）利用日销售量＝20+2×（110﹣售价），即可找出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）利用电商每天销售该产品获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：（1）110 ＝110 ＝110﹣5 ＝105（元/件）， ∴当销售量为30件时，产品售价为105元/件． 故答案为：105； （2）根据题意得：y＝20+2（110﹣x）＝﹣2x+240， ∵该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件， ∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为y＝﹣2x+240（70≤x≤99）； （3）根据题意得：（x﹣70）（﹣2x+240）＝1200， 整理得：x2﹣190x+9000＝0， 解得：x1＝90，x2＝100（不符合题意，舍去）． 答：该产品的售价每件应定为90元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 24．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE切⊙O于点A，AE与直径BD的延长线相交于点E． （Ⅰ）如图①，若∠C＝70°，求∠E的大小； （Ⅱ）如图②，若AE＝AB，求∠E的大小． 【分析】（Ⅰ）连接OA，先由切线的性质得∠OAE的度数，求出∠AOB＝2∠C＝140°，进而得∠AOE，则可求出答案； （Ⅱ）连接OA，由等腰三角形的性质求出∠E＝30°． 【解答】解：（Ⅰ）连接OA．如图①， ∵AE切⊙O于点A， ∴OA⊥AE， ∴∠OAE＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠AOB＝2∠C＝2×70°＝140°， 又∵∠AOB+∠AOE＝180°， ∴∠AOE＝40°， ∵∠AOE+∠E＝90°， ∴∠E＝90°﹣40°＝50°． （Ⅱ）连接OA，如图②， 设∠E＝x． ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠E＝x， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝x， ∴∠AOE＝∠ABO+∠BAO＝2x． ∵AE是⊙O的切线， ∴OA⊥AE，即∠OAE＝90°， 在△OAE中，∠AOE+∠E＝90°， 即2x+x＝90°， 解得x＝30°， ∴∠E＝30°． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角的性质，三角形内角和的性质，用方程思想解决几何问题，关键是熟悉掌握这些性质． 25．（10分）如图，在Rt△ABC，∠ABC＝90°，该三角形的三个顶点均在坐标轴上．二次函数y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）点P为该二次函数第一象限上一点，当△BCP的面积最大时，求P点的坐标； （3）M为二次函数上一点，N为x轴上一点，当B、C、M、N成的四边形是平行四边形时，直接写出N的坐标． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过P点作PQ∥y轴交BC于点Q，设P（t，t2t+2），则Q（t，t+2），则S4×（t2+2t）＝﹣（t﹣2）2+4，当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）； （3）设M（m，m2m+2），N（n，0），根据平行四边形的对角线分三种情况讨论，结合中点坐标公式求n的值即可． 【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2），C（4，0）代入y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为yx2x+2； （2）设直线BC的解析式为y＝kx+2， ∴4k+2＝0， 解得k， ∴直线BC的解析式为yx+2， 过P点作PQ∥y轴交BC于点Q， 设P（t，t2t+2），则Q（t，t+2）， ∴PQt2t+2t﹣2t2+2t， ∴S4×（t2+2t）＝﹣t2+4t＝﹣（t﹣2）2+4， 当t＝2时，△BCP的面积最大，此时P（2，3）； （3）设M（m，m2m+2），N（n，0）， 当BC为平行四边形的对角线时，4＝m+n，2m2m+2， 解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝1， ∴N（1，0）； 当BM为平行四边形的对角线时，m＝4+n，0m2m+4， 解得m，n或m，n， ∴N（，0）或（，0）； 当BN为平行四边形的对角线时，n＝4+m，2m2m+2， 解得m＝0，n＝4（舍）或m＝3，n＝7， ∴N（7，0）； 综上所述：N点坐标为（1，0）或（，0）或（，0）或（7，0）． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键． 第1页（共24页） 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