2024-2025学年天津市部分区九年级数学上学期期末模拟试卷01（含答案解析）

2024～2025学年度天津市部分区九年级上学期期末模拟试卷01 考试范围：人教版（2012）上册；考试时间：100分钟 注意事项： 1． 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2． 请将答案正确填写在答题卡上 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）下列说法正确的是（　　） A．海底捞月是必然事件 B．对载人航天飞船几万个零部件的检查适合采用抽样调查 C．某种彩票中奖的概率是，则购买10张该种彩票一定会中奖 D．将一组数据中的每个数都减去1，得到的一组新数据的方差不变 2．（3分）2024年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 4．（3分）抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5） 5．（3分）如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB＝8cm，则油面的深度为（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 6．（3分）已知是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，则∠BCD的度数是（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 8．（3分）随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（　　） A．x（x﹣1）＝812 B．x（x+1）＝812 C．2x（x﹣1）＝812 D． 9．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到该三角形内心的是（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当时，AC的长为（　　） A． B．10 C． D． 11．（3分）如图，正六边形螺帽的边长是a cm，这个扳手开口的距离是3cm，a的值是（　　） A． B． C． D．1 12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）一个不透明的口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约 　 　个． 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝﹣x2+2x+m与x轴有两个不同交点，则m的取值范围是 　 　． 15．（3分）已知圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是 　 　． 16．（3分）点A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2图象上的两个点，则y1　 　y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．17．（3分）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　 　m． 18．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D，E，F分别在线段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，则∠EDF＝　 　度． 三．解答题（共7小题，共66分） 19．（8分）用适当的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，4），B（3，2），若△OAB绕点O逆时针旋转90°后，得到△OA1B1（A对应点是A1，B对应点是B1）． （1）画出△OA1B1，并直接写出A1的坐标； （2）求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留π）． 21．（10分）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°． （1）如图①，若∠APC＝100°，求∠ABD； （2）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小． 22．（10分）在一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球． （1）从袋中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率； （2）从袋中随机摸出一个球，放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球颜色相同的概率． 23．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 24．（10分）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F． （1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E． （2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长． 25．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C． （1）求抛物线与直线AC的函数解析式； （2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值． （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 2024～2025学年度天津市部分区九年级上学期期末模拟试卷01 参考答案与试题解析 一．选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．（3分）下列说法正确的是（　　） A．海底捞月是必然事件 B．对载人航天飞船几万个零部件的检查适合采用抽样调查 C．某种彩票中奖的概率是，则购买10张该种彩票一定会中奖 D．将一组数据中的每个数都减去1，得到的一组新数据的方差不变 【分析】根据概率的意义及调查方式的要求即可得出答案． 【解答】解：∵海底捞月是不可能事件， ∴A选项不合题意， ∵航天零件每个都很重要， ∴要全面调查， ∴B选项不合题意， ∵概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生， ∴C选项不合题意， 根据方差的计算公式可知D选项正确， ∴D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查概率的意义和调查方式的选择，关键是要牢记调查方式的要求和概率的意义． 2．（3分）2024年油价多次上涨，新能源车企迎来了更多的关注，如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形判断即可． 【解答】解：∵在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形与原图形重合，则这个图形为中心对称图形， ∴C选项中的图形为中心对称图形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的知识，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 3．（3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案． 【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2， ∴d＞r， ∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外， ∴过圆外一点可以作圆的2条切线， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键． 4．（3分）抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（　　） A．（3，5） B．（﹣3，5） C．（﹣3，﹣5） D．（3，﹣5） 【分析】根据二次函数的顶点式解析式解答即可． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5）． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键． 5．（3分）如图是一个半径为5cm的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB＝8cm，则油面的深度为（　　） A．2cm B．2.5cm C．3cm D．3.5cm 【分析】首先过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，根据垂径定理求得AD的长，又由⊙O的直径为100cm，得出半径OA的长，然后根据勾股定理，求得OD的长，继而求得油面的最大深度． 【解答】解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA， ∴ADAB6＝4cm， 在Rt△AOD中，OD3cm， ∴DE＝OE﹣OD＝5﹣3＝2（cm）． ∴油面的最大深度为2cm． 故选：A． 【点睛】此题考查了垂径定理的应用，难度不大，解题的关键是辅助线的作法，注意勾股定理的应用． 6．（3分）已知x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则x1+x2﹣x1x2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】直接利用根与系数的关系作答． 【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣1， ∴x1+x2﹣x1x2＝2﹣（﹣1）＝3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2，x1•x2． 7．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点D落在AB边上，则∠BCD的度数是（　　） A．30° B．25° C．20° D．15° 【分析】根据三角形的内角和定理得到∠A＝60°，根据旋转的性质得到AC＝CD，得到△ACD是等边三角形，求得∠ACD＝60°，由此即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DCE， ∴AC＝CD， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴∠BCD＝30°． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8．（3分）随着中考结束，某毕业班的每一个同学都向其他同学赠送一张自己的照片留作纪念，全班共送出了812张照片．若该班有x名同学，则根据题意可列出方程为（　　） A．x（x﹣1）＝812 B．x（x+1）＝812 C．2x（x﹣1）＝812 D． 【分析】若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1），根据题意列方程即可． 【解答】解：若该班有x名同学，那么每名学生送照片（x﹣1）张，全班应该送照片x（x﹣1）张， 则可列方程为：x（x﹣1）＝812． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找到等量关系并列出方程是解决本题的关键． 9．（3分）根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到该三角形内心的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据等腰三角形的性质可得顶角的平分线也是底边的高线和中线，然后利用基本作图和三角形内心的定义进行判断即可． 【解答】解：∵三角形内心为三角形内角平分线的交点， ∴选项D中作了两个角的平分线． ∵180°﹣70°﹣55°＝55°， ∴选项D是等腰三角形， 根据等腰三角形的性质可知：顶角的平分线也是底边的高线和中线． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是掌握三角形内切圆与内心，等腰三角形的性质． 10．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当时，AC的长为（　　） A． B．10 C． D． 【分析】如图，连接DB，延长DC交AB于F，首先利用旋转的性质证明△DAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出DF，接着利用已知条件求出CF，最后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，连接DB，延长DC交AB于F， ∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝12， ∴△DAB为等边三角形， ∴DA＝DB， ∵AC＝BC， ∴CD为AB的中垂线， ∴AFAB＝6， 在Rt△ADF中，DF6， 而CD＝2， ∴CF＝DF﹣CD＝4， 在Rt△ACF中，AC2． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练利用旋转的性质和等边三角形的性质． 11．（3分）如图，正六边形螺帽的边长是a cm，这个扳手开口的距离是3cm，a的值是（　　） A． B． C． D．1 【分析】根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行解答即可． 【解答】解：由题意可知，OF⊥AE于点M， ∵正六边形ABCDEF， ∴∠AFE120°，EF＝AF， ∴∠FEA＝∠FAE30°， 在Rt△EFM中，EMAE，∠FEM＝30°， ∴EF， 即a， 故选：A． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 12．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，m），与x轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①abc＞0；②2b+c＞0；③若图象经过点（﹣3，y1），（3，y2），则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根，则m＜3．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断； ②利用抛物线的对称轴求出a＝b，根据图象可得当x＝1时，y＝a+b+c＜0，即可判断； ③利用抛物线的对称轴，设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断； ④根据根的判别式即可判断． 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点A的坐标为（，m）， ∴， ∴，即ab＞0， 由图可知，抛物线开口方向向下，即a＜0， ∴b＜0， 当x＝0时，y＝c＞0， ∴abc＞0， 故①正确，符合题意； ②∵直线x是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴a＝b， 由图象可得：当x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴2b+c＜0， 故②错误，不符合题意； ③∵直线x是抛物线的对称轴， 设（﹣3，y1），（3，y2）两点横坐标与对称轴的距离为d1、d2， 则， ， ∴d2＞d1， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴y1＞y2， 故③正确，符合题意； ④∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣3＝0无实数根， ∴Δ＝b2﹣4a（c﹣3）＜0， ∴b2﹣4ac+12a＜0， ∴b2﹣4ac＜﹣12a， ∴4ac﹣b2＞12a， ∵， ∴m＜3， 故④正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13．（3分）一个不透明的口袋中装有若干个红球和30个白球，它们除颜色外其它完全相同．通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则通过计算可以估计出口袋中红球约 　10　个． 【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而利用概率公式求出红球个数即可． 【解答】解：设红球个数为x个， ∵摸到红色球的频率稳定在25%左右， ∴口袋中得到红色球的概率为25%， ∴25%， 解得：x＝10， 故红球的个数为10个． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，根据大数次反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键． 14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y＝﹣x2+2x+m与x轴有两个不同交点，则m的取值范围是 　m＞﹣1　． 【分析】由抛物线y＝﹣x2+2x+m与x轴有两个不同交点，可得﹣x2+2x+m＝0中，Δ＞0，由此得到关于m的不等式，即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x+m与x轴有两个不同的交点， ∴﹣x2+2x+m＝0中，Δ＞0， 即22﹣4×（﹣1）•m＞0， 解得：m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个不同的交点，掌握上述内容是解题的关键． 15．（3分）已知圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是 　24π　． 【分析】首先求得圆锥的底面周长，即侧面的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【解答】解：由题意，得：这个圆锥的侧面积是8÷2×6×π＝24π； 故答案为：24π． 【点睛】本题考查的是圆锥的计算，熟知正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解答此题的关键． 16．（3分）点A（﹣1，y1），B（4，y2）是二次函数y＝（x﹣1）2图象上的两个点，则y1　＜　y2（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】由于知道二次函数的解析式，且知道A、B两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出y1、y2的值，再比较即可． 【解答】解：把A（﹣1，y1）、B（4，y2）代入二次函数y＝（x﹣1）2得， y1＝（﹣1﹣1）2＝4；y2＝（4﹣1）2＝9， 所以y1＜y2． 故答案为＜． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标符合函数解析式． 17．（3分）如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　10　m． 【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论． 【解答】解：令y＝0，则（x﹣10）（x+4）＝0， 解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去）， ∴A（10，0）， ∴OA＝10m． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键． 18．（3分）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D，E，F分别在线段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，则∠EDF＝　63　度． 【分析】根据切线长定理得到PA＝PB，根据三角形内角和定理得到∠PAB＝∠PBA＝63°，证明△AFD≌△BDE，根据全等三角形的性质得到∠AFD＝∠BDE，结合图形计算，得到答案． 【解答】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线， ∴PA＝PB， ∴∠PAB＝∠PBA63°， 在△AFD和△BDE中， ， ∴△AFD≌△BDE（SAS） ∴∠AFD＝∠BDE， ∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠ADF＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝∠FAD＝63°， 故答案为：63． 【点睛】本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 三．解答题（本大题共7小题，共66分） 19．（8分）用适当的方法解方程： （1）x2﹣4x﹣7＝0； （2）x（x﹣2）+x﹣2＝0． 【分析】（1）利用配方法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣7＝0， ∴x2﹣4x＝7， 则x2﹣4x+4＝7+4，即（x﹣2）2＝11， 解得x﹣2， ∴x＝2，即x1＝2，x2＝2； （2）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0， 则x﹣2＝0或x+1＝0， 解得x1＝2，x2＝﹣1． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，4），B（3，2），若△OAB绕点O逆时针旋转90°后，得到△OA1B1（A对应点是A1，B对应点是B1）． （1）画出△OA1B1，并直接写出A1的坐标； （2）求旋转过程中A点的运动路径长（结果保留π）． 【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案． （2）利用勾股定理求出OA的长，再利用弧长公式求解即可． 【解答】解：（1）如图，△OA1B1即为所求． 点A1的坐标为（﹣4，1）． （2）由勾股定理得，OA， ∴旋转过程中A点的运动路径长为． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、勾股定理以及弧长公式是解答本题的关键． 21．（10分）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝63°． （1）如图①，若∠APC＝100°，求∠ABD； （2）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小． 【分析】（1）根据∠ABC＝63°，∠APC＝100°得到∠C，即可得到∠BAD，结合直径所对圆周角是直角求解即可得到答案； （2）根据同弧或等弧所对圆周角等于圆心角一半求出∠BOD，结合切线性质得到直角求解即可得到答案． 【解答】解：（1）∵∠APC是△PBC的一个外角，∠ABC＝63°，∠APC＝100°， ∴∠C＝∠APC﹣∠PBC＝37°， ∵在⊙O中，∠BAD＝∠C， ∵， ∴∠BAD＝37°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝180°﹣37°﹣90°＝53°； （2）如图，连接OD， ∵CD⊥AB， ∴∠CPB＝90°， ∴∠PCB＝90°﹣∠PBC＝27°， ∵在⊙O中，∠BOD＝2∠BCD， ∴∠BOD＝54°， ∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE，即∠ODE＝90°， ∴∠E＝90°﹣∠EOD， ∴∠E＝36°． 【点睛】本题考查圆周角定理及切线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 22．（10分）在一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球． （1）从袋中随机摸出一个球，求摸出的球是白球的概率； （2）从袋中随机摸出一个球，放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球颜色相同的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球颜色相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，从袋中随机摸出一个球，摸出的球是白球的概率为． （2）列表如下： 白 红 红 红 白 （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 红 （红，白） （红，红） （红，红） （红，红） 共有16种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色相同的结果有10种， ∴两次摸出的球颜色相同的概率为． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 23．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ 【分析】（1）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，即可求出结论； （2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件，利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，可列出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，再结合要有利于减少库存，即可确定结论； 【解答】解：（1）根据题意得：（360﹣280）×60 ＝80×60 ＝4800（元）． 答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元； （2）设每件商品降价m元，则每件的销售利润为（360﹣m﹣280）元，每月可售出（60+5m）件， 根据题意得：（360﹣m﹣280）（60+5m）＝7200， 整理得：m2﹣68m+480＝0， 解得：m1＝8，m2＝60， 又∵要有利于减少库存， ∴m＝60． 答：每件商品应降价60元； 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24．（10分）已知AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接BC，过点O作OD⊥BC于D，交于点E，连接AE，交BC于F． （1）如图1，求证：∠BAC＝2∠E． （2）如图2，连接OF，若OF⊥AB，DF＝1，求AE的长． 【分析】（1）证明OE∥AC，推出∠CAF＝∠AEO，由OA＝OE，推出∠OAE＝∠E，可得结论； （2）证明∠B＝∠EAO＝∠E＝30°，求出EF，AF，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵OE⊥BC， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∴OE∥AC， ∴∠CAF＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠AEO＝∠OAE， ∴∠BAC＝2∠E； （2）解：如图2中， ∵OF⊥AB，OA＝OB， ∴FA＝FB， ∴∠FAB＝∠FBA， ∵∠CAF＝∠EAB， ∴∠CAB＝2∠ABC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠B＝90°， ∴∠B＝∠EAO＝∠E＝30°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠FOE＝∠E＝30°， ∴FO＝EF， ∵FD⊥OE， ∴EF＝OF＝2DF＝2，AF＝2OF＝4， ∴AE＝AF+EF＝4+2＝6． 【点睛】本题考查圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会性质特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．（10分）综合与探究 在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交点C． （1）求抛物线与直线AC的函数解析式； （2）若点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AC于点D，求线段PD的最大值． （3）点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【分析】（1）应用待定系数法即可求出抛物线解析式，再求出点C的坐标，设直线AC的解析式为y＝kx+2，将点C的坐标代入即可求得答案； （2）如图1，设点，则，则，应用二次函数最值即可求得答案； （3）分两种情况：①若CM平行于x轴，如图2，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM．②若CM不平行于x轴，如图所示，过点M作MG⊥x轴于G，易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2，即yM＝﹣2，设M（x，﹣2），建立方程求解即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的解析式为； ∵二次函数与y轴交于点C， ∴点C的坐标为（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+2， ∵直线AC经过点A（﹣3，0）， ∴0＝﹣3k+2， 解得：， ∴直线AC的解析式为； （2）由（1）得， 如图1，设点，则， ∴， ∴当时，PD最大，最大值是． （3）存在．假设存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形． ①若CM平行于x轴，如图2，有符合要求的两个点Q1，Q2，此时Q1A＝Q2A＝CM． ∵CM∥x轴， ∴点M、点C（0，2）关于对称轴x＝﹣1对称， ∴M（﹣2，2）， ∴CM＝2， 由Q1A＝Q2A＝CM＝2，得到Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0）； ②若CM不平行于x轴，如图所示，过点M作MG⊥x轴于G， 易证△MGQ≌△COA，得QG＝OA＝3，MG＝OC＝2，即yM＝﹣2， 设M（x，﹣2），则有， 解得：， 又QG＝3， ∴， ∴，． 综上所述，存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形．Q点坐标为：Q1（﹣5，0），Q2（﹣1，0），，． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、二次函数最值应用等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/30 22:10:14；用户：李译林；邮箱：wanghs2003@163.com；学号：4520893 第9页（共28页） 学科网（北京）股份有限公司 $$