第04讲 分式（讲练）（思维导图+5考点+2命题点7种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（山东专用）

第一章 数与式 第04讲 分式（3~6分） （思维导图+5考点+2命题点12种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的相关概念 考点二 分式的基本性质 考点三 分式的乘除 考点四 分式的加减 考点五 分式的混合运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的性质及应用 ►题型01 判断分式值得变化 ►题型02 分式的值为0 ►题型03 分式规律性问题 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式化简求值直接代入 ►题型02 分式化简求值分析后代入 ►题型03 分式列项相消 ►题型04 倒数求值法 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 分式的相关概念 理解分式和最简分式的概念. 2024省卷17（2）题 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的基本性质 能利用分式的基本性质进行约分与通分. 分式的运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 考点一 分式的相关概念 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 【例1】．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【变式1-1】．（2020·山东菏泽·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得： 解得：且 故选D． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【变式1-2】．（2024·山东济宁·模拟预测）若分式 有意义，则x的值为（    ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0，分式有意义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 【变式1-3】．（2022·山东日照·二模）要使分式有意义，x的取值应该满足（　　） A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2 【答案】D 【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解． 【详解】由题意得：， 解得：且， 故选：D． 考点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. 【例2】．（2024·山东聊城·三模）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不符合题意； B．，符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选B． 【变式2-1】．（2024·山东菏泽·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了乘法公式，分式的基本性质，熟知乘法公式和分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】．（2022·山东枣庄·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质，分式的减法法则计算即可求解． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的减法，关键是熟练掌握计算法则正确进行计算． 【变式2-3】．（2021·山东临沂·二模）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】各项利用分式的基本性质及分式的加减法则计算得到结果，即可作出判断． 【详解】解：、原式为最简分式，不能再化简，故错误不符合题意； B、原式，故错误不符合题意； C、原式，故错误不符合题意； D、原式，符合题意， 故选：D． 考点三 分式的乘除 【例3】．（2023·山东济南·模拟预测）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用分式的除法的法则进行运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3-1】．（2021·山东临淄·模拟预测）化简，结果是 【答案】 【分析】本题考查分式的除法．将除法变成乘法，能分解因式的先分解因式，再进行化简即可．掌握分式的除法法则，是解题的关键． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【变式3-2】．（2022·山东枣庄·二模）计算：= ． 【答案】 【分析】根据分式除法法则先将除法转化为乘法，再运用分式的乘法法则进行计算，即可得出结果． 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的除法运算，掌握分式的乘、除法的关系及运算法则是解题的关键． 【变式3-3】．（2022·山东济宁·二模）计算：＝ . 【答案】﹣ 【分析】利用分式的基本性质结合乘除运算法则化简求出即可. 【详解】. 故答案为：﹣. 考点四 分式的加减 【例4】．（2024·山东青岛·模拟预测）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减法，在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．先将分母变为相同的形式，然后进行分子的运算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-1】．（2022·山东德州·二模）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，先通分再合并，最后化简，熟练掌握分式加减运算的运算法则是解题的关键． 先通分，再合并，然后将分母进行因式分解，约分即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4-2】．（2024·山东济南·三模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算的知识；解题的关键是熟练掌握分式加减运算的性质，从而完成求解．根据分式加减法的性质计算，即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【变式4-3】．（2024·山东枣庄·二模）计算 的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的相加减，熟练运用通分、约分法则是解本题的关键． 将原式通分，相加后再约分即可得出结果． 【详解】 ． 故答案为：． 考点五 分式的混合运算 【例5】．（2021·山东滨州·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】先将括号内的式子通分，然后将括号外的除法转化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ． 【变式5-1】．（2024·山东德州·中考真题）化简： 【答案】； 【分析】利用加减消元法求出解即可； 此题考查了分式的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算法则和解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 【变式5-2】．（2024·山东东营·中考真题）计算：． 【答案】． 【分析】先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ． 【变式5-3】．（2024·山东泰安·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】利用分式的运算法则化简即可． 【详解】解： ． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的基本性质及应用 ►题型01 判断分式的值得变化 【例1】．（2021·山东枣庄·一模）如果分式中，x，y的值都变为原来的2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大2倍 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据x，y都扩大2倍，即可得出分子扩大4倍，分母扩大2倍，由此即可得出结论． 【详解】解：∵x，y都扩大为原来2倍， ∴分子2xy扩大4倍，分母3x﹣3y扩大2倍， ∴分式的值扩大2倍，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是根据x、y的变化找出分子分母的变化．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的基本性质找出分式的变化是关键． 【变式1-1】．（2023·山东日照·二模）若分式的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 【答案】D 【详解】，分式值没变，故选D. 【变式1-2】．（2022·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案． 【详解】根据分式的基本性质，可知若x，y的值均扩大为原来的3倍， A、，错误； B、，错误； C、，错误； D、，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键. 【变式1-3】．（2023·山东枣庄·二模）若把分式 的x、y同时扩大10倍，则分式的值（  ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 【答案】B 【详解】试题解析：∵分式中的x，y的值同时扩大10倍，分子扩大10倍，分母扩大100倍， ∴分式的值缩小为原来的． 故选B． ►题型02 分式的值为0 【例2】．（2021·山东聊城·中考真题）如果分式的值为0，那么的值为（  ） A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0 【答案】B 【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值． 【详解】根据题意，得 |x|-1=0且x+1≠0， 解得：x=1． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【变式2-1】．（2022·山东淄博·二模）若分式的值为0，则x的值等于（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】C 【分析】根据分式的值为0的条件列出关于x的不等式组，求出x的值即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查的是分式值为零的条件以及分式有意义的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键． 【变式2-2】．（2023·山东德州·二模）若分式的值等于0，则x的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【答案】A 【分析】根据分式的值为0的条件即可得出答案． 【详解】解：根据题意，−1＝0，x−1≠0， ∴x＝−1， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，掌握分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 【变式2-3】．（2021·山东青岛·一模）若分式的值等于0，则x的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【答案】A 【分析】根据分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0性质即可求解． 【详解】由题意可得：且，解得． 故选A． ►题型03 分式的规律性问题 【例3】．（2022·山东滨州·中考真题）观察下列各式：， 根据其中的规律可得 （用含n的式子表示）． 【答案】 【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解． 【详解】解：由分析得， 故答案为： 【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案． 【变式3-1】．（2023·山东济南·模拟预测）一组按规律排列的式子：，···，第个式子是 ．(用含的式子表示，为正整数）． 【答案】 【分析】观察分母的变化规律为：a的1次幂、2次幂、3次幂…n次幂，分子的变化规律为：2、5、10、17…，分式的符号变化规律为：+，-，+，…，，结合上述三个规律，即可得到答案． 【详解】∵， ， ， …， ∴第个式子是：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查代数式的变化规律，分别找出分子，分母以及分式的符号变化规律，是解题的关键． 【变式3-2】．（2022·山东德州·二模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 (用含的n式子表示，n为正整数)． 【答案】 【分析】分母中a的次数等于分式的序次，分子为序次的平方加1，当分式的序次为奇数时，分式符号为正，当分式的序次为偶数时，分式的符号为负，根据这个规律可得第7个式子是，第n个式子是． 【详解】这列分式中的第7个式子是，第n个式子是． 故答案为；． 【变式3-3】．（2022·山东淄博·中考真题）设的面积为1． 如图1，分别将，边2等份，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积． 如图2，分别将，边3等份，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积； 如图3，分别将，边4等份，，，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积； … 按照这个规律进行下去，若分别将，边等份，…，得到四边形，其面积 ． 【答案】． 【分析】 本题主要考查了图形规律探索，分数混合运算，三角形面积的计算，相似三角形的判定和性质，中位线性质，解题的关键是根据已知图形找出规律．先根据已知图形得出，，，从而找出规律，得出答案即可． 【详解】 解：如图所示，连接，，， ∵图1中，，是两边的中点， ∴，， ∴，且 ， ∴， ∵是的中点， ∴， ， ∴， 同理可得： 图2中，， 图3中，， 以此类推， 将将，边等分，得到四边形，其面积为： ． 故答案为：． 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的化简求值直接代入 【例1】．（2023·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】运用因式分解，约分，通分的技巧化简计算即可． 【详解】 ； 当时， ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分的技巧是解题的关键． 【变式1-1】．（2022·山东枣庄·中考真题）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4． 【答案】 【分析】先将能够分子分母因式分解，再根据分式的运算法则进行化简，最后将x的值带去即可． 【详解】原式＝ ＝ ＝ 当x＝﹣4时， 原式＝＝﹣1． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的运算法则将分式进行约分化简是解题的关键． 【变式1-2】．（2021·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】先对分式进行化简，然后再代入进行二次根式的运算即可． 【详解】解：原式=， 把代入得：原式=． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的运算及二次根式的运算是解题的关键． 【变式1-3】．（2021·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：，其中a＝﹣． 【答案】；6 【分析】先把分式化简后，再把a的值代入求出分式的值即可． 【详解】解：原式＝ ， 当时，原式＝6． ►题型02 分式的化简求值分析后代入 【例2】．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则对分式化简，然后根据题意求出的值，把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，正确化简分式和求出的值是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴的平方根为， ∵， ∴， 又∵为的平方根， ∴， ∴原式． 【变式2-1】．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，无理数估算；根据对话可求得，的值，将原分式化简后代入数值计算即可． 【详解】解：依题意，，且为整数，又，则， ； 当，时，原式． 【变式2-2】．（2023·山东枣庄·中考真题）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算法则，进行化简，再选择一个合适的整数，代入求值即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∵， ∴的整数解有：， ∵， ∴，原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】； 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 解不等式得：， ∵a为正整数， ∴，，， ∵要使分式有意义， ∴， ∵当时，， ∴， ∴把代入得：原式． ►题型03 分式列项相消 【例3】．（2023·山东青岛·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 【答案】（1）；（2）；（3）2． 【分析】本题考查了代数式的运算过程中的规律问题， （1）根据表达式中分母上两个乘数和前面的下标数之间的关系，可得出的表达式． （2）根据所给示例，找出规律（括号中的数，消完后，就只剩下首和尾），进而得出结果． （3）对（2）中求出的代数式，进行变形处理，便可得出这个常数． 【详解】解：（1）由题知，． 即． 故答案为：； （2）由题知， ． 故答案为：； （3）由（2）知：， 将变形得：． 则当无限大时，无限接近于0． 所以无限接近于2，即这个常数是2． 【变式3-1】．（2022·山东德州·一模）（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：；；等． （问题解决） 利用上述材料中的方法，解决下列问题： （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据运算式的特点把原式化为：，再计算即可； （2）根据运算式的特点把原式化为：，再结合（1）问的规律进行计算即可. 【详解】解：（1） ； （2） ； 【点睛】本题考查利用分数或分式的自身特点总结其规律，再利用规律进行分数或分式的简便运算，发现并利用规律是解题的关键. 【变式3-2】．（2022·山东威海·二模）阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差，如：==1﹣；==﹣；==（﹣），等等．解答下列问题： （1）已知a=，b=，c=，比较a，b，c的大小． （2）求++++…++的值． （3）求++++…++的值． 【答案】（1）、a＜b＜c；（2）、；（3）、 【详解】试题分析：（1）、将各式转化成1减去各式，然后根据同分子的分数大小比较方法得出答案；（2）、根据已知条件中给出的规律进行计算得出答案；（3）、首先提取，然后和第二题同样的方法进行求解. 试题解析：（1）、a=，b=，c= ∵ ∴ 即 则 （2）、原式==1-= （3）、原式= 考点：规律题 ►题型04 倒数求值法 【例4】．（2022·山东淄博·二模）阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式的变形求值： （1）根据进行求解即可； （2）先利用完全平方公式得到，则，再根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【变式4-1】．（2022·山东德州·二模）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴，     ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，理解“倒数求值法”，再根据分式的运算进行求解是解题的关键． （1）先求，再求，即可求解． （2）先求，再求，即可求解． （3）由（1）、（2）的方法可得，将所求式子化简，代入求值即可． 【详解】（1）解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为2的倒数，即． （2）由，得到， 即， ∴， 则； （3）根据题意得：，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 【变式4-2】．（2021·山东淄博·二模）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用） 【例】已知实数满足，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值， 因为 所以 【活学活用】 (1)已知实数满足，求分式的值； (2)已知实数满足，求分式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值； （2）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】（1） （2）， ，即， ， ， 【点睛】此题考查了分式的值，将所求式子就行适当的变形是解本题的关键． 【变式4-3】．（2022·山东青岛·二模）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故的值为． (1)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】 (2)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，得到；将所求分式取倒数，利用完全平方公式和整体代入的方法求得式子的值，最后再取倒数即可； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到，将所求的分式取倒数计算出结果，进而可求出原式的值． 【详解】（1）由知， 所以， 即， 所以 所以 故：的值为． （2）因为，，， 所以， 所以， 所以， 故，的值为． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了分式的辨别能力，形如（其中A、B是两个整式，并且A中含有字母）的式子，叫作分式．据此判断即可． 【详解】解：A、是分式，符合题意； B、是整式，不符合题意； C、是整式，不符合题意； D、是整式，不符合题意． 故选：A． 2．若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同乘或同除以一个不为0的整式，分式的值不变． a，b都扩大成原来的3倍就是分别变成原来的3倍，变成和．用和代替式子中的a和b，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】解：由题意得：， ∴分式的值缩小为原来的， 故选：C． 3．下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0 的数或整式，分式的值不变，进行判断即可． 【详解】解：A、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； B、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； C、，原式变形正确，符合题意； D、与不一定相等，原式变形错误，不符合题意； 故选：C． 4．化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的除法运算等知识点，根据分式的除法运算法则即可求出答案，解题的关键是熟练运用分式的除法运算法则． 【详解】 ， 故选：A ． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，由已知可得，再代入分式计算即可，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴原式， 故选：． 6．已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的运算性质是解题的关键．先计算出，，然后根据选项的已知条件，逐一计算判断即可． 【详解】解： ，， ， ， A、若，则，但不能判断的符号，故不能得出，即不能得到，故该选项错误，不符合题意； B、若，同理无法判断的符号，不能得到，故该选项错误，不符合题意； C、若，则，故该选项正确，符合题意； D、若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．若分式，则的值为 ． 【答案】1 【解析】略 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，设，可得，，，代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， 故答案为：． 9．计算的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式的加减运算．先把两个分式通分，然后按照同分母的分式相减，再把分子分解因式，进行约分即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是掌握完全平方公式．将已知等式两边平方，化简可得结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 故答案为：． 11．若，则代数式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要查了求代数式的值和整体思想，分式的化简．把原式变形为，再代入，即可求解． 【详解】解：， ∴， ， 原式． 故答案为：6 三、解答题 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，因式分解，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 通分结合括号内的式子，再对整个式子进行因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴原式． 14．下面是某同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空： 以上化简步骤中，第一步对分式的分子与分母进行了因式分解 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述情况外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 【答案】任务一：为了分式的约分；二；分式的基本性质；四；单项式2与多项式相乘时，单项式2没有与多项式中的第二项5相乘 任务二： 任务三：见解析 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 任务一：①根据分式的混合运算步骤即可得出答案；②根据通分的依据即可得出答案；③根据分式的混合运算步骤即可得出答案； 任务二：根据分式的混合运算法则计算即可得出答案； 任务三：根据分式的混合运算步骤即可得出答案． 【详解】解：任务一：以上化简步骤中，第一步对分式的分子与分母进行了因式分解为了分式的约分； 以上化简步骤中，第二步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质； 从第四步开始出现错误，这一步错误的原因是单项式2与多项式相乘时，单项式2没有与多项式中的第二项5相乘． 任务二： ； 任务三：建议：最后结果应化为最简分式或整式；约分、通分时，应根据分式的基本性质进行变形；分式化简不能与解分式方程混淆． 15．观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)猜想（的正整数） ； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索、绝对值的非负性，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据各式的变化规律即可得； （2）根据（1）中的规律，将各项拆分成两项，再计算加减法即可得； （3）先求出，从而可得，再代入进行拆分，计算加减法即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，， ， ， ， …… 依次类推，， 故答案为：． （2）解： ． （3）解：∵， ， 解得，， ， 则 ． 能力提升 一、单选题 1．若分式的值等于0，则的值是（   ） A．4 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值为零的条件等知识点，直接利用分式的值为零则分子为零分母不等于零进而分析得出答案，正确把握相关定义是解题关键． 【详解】∵分式的值等于0， ∴，且， 解得：， 故选：A． 2．把分式中的和都扩大2倍，分式的值（    ） A．不变 B．扩大4倍 C．缩小 D．扩大2倍 【答案】A 【分析】此题考查分式的性质，先根据分式的基本性质进行计算，即可求出答案． 【详解】解：分式中的x和y都同时扩大2倍， 可得 所以分式的值不变． 故选：A． 3．下列说法正确的是（    ） A．代数式化简后得 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程，最简分式等知识．熟练掌握分式的化简，解分式方程，最简分式是解题的关键． 根据分式的化简，解分式方程，最简分式对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，故不符合要求； B中分式中x，y都扩大3倍，为，故不符合要求； C中分式的值为0， ∴， 解得，（舍去），故不符合要求； D中分式是最简分式，故符合要求； 故选：D． 4．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式加减法，负整数指数幂的运算法则，理解相关法则是解答关键． A．利用分式的基本性质来求解． B．利用异分母分式减法运算法则求解． C．利用分式约分来求解． D．利用负整数指数幂的运算法则来计算求解． 【详解】解：A．中没有，故此项不符合题意； B．，此项计算错误，不符合题意； C．，此项计算错误，不符合题意； D．，此项计算正确，符合题意． 故选：D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，已知式子的值求代数式的值，数量掌握消元思想是解题的关键． 先将变形得，再代入代数式消去a，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 6．化简分式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的混合运算．先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算． 【详解】解： ， 故选：A． 二、填空题 7．要使分式有意义，则x应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用分式有意义，分式的分母不为零即可求出． 【详解】根据题意 得 解得 故答案为：． 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的化简求值，设，可得，，，代入分式计算即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∴，，， ∴， 故答案为：． 9．化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序，灵活进行分解因式、约分是解题的关键． 先把除法运算转化成乘法运算，后对分子进行因式分解，再约分，按照运算顺序依次计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：1． 10．已知，，，，， （即当为大于1的奇数时，，当为大于1的偶数时，），按此规律， ． 【答案】 【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2020=336×6+4，即可得出S2020=S4，此题得解． 【详解】解：S1=， S2=-S1-1=--1=-， ， S4=-S3-1=， =-(a+1)， S6=-S5-1=(a+1)-1=a， ， …， ∴Sn的值每6个一循环． ∵2020=336×6+4， ∴S2020=S4=-． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，以及分式的加减运算，根据数值的变化找出Sn的值，每6个一循环是解题的关键． 11．已知，，是大于1的正整数，且为整数，则 ． 【答案】12 【分析】先求出，再不妨设，则，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，，则，可得，则；当时，，则，则，可得． 【详解】解： ， 、、是大于1的正整数， ∴不妨设， ∴，， ∴， ∵为整数， ∴， 当时，则，不符合题意， ∴或， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，分式的乘法计算，根据题意推出，且或是解题的关键． 三、解答题 12．计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，因式分解，平方差公式，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 通分结合括号内的式子，再对整个式子进行因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 13．化简求值，是不等式组的一个整数解． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟知运算法则是解题的关键．先通分括号内，再运算除法化简得，然后算出不等式组的整数解为：0，1，2，结合分式有意义，则当时，，据此即可作答．． 【详解】解： ； 解， 得：， 不等式组的整数解为：0，1，2， ，， ，， 当时，． 14．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴，     ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的运算，理解“倒数求值法”，再根据分式的运算进行求解是解题的关键． （1）先求，再求，即可求解． （2）先求，再求，即可求解． （3）由（1）、（2）的方法可得，将所求式子化简，代入求值即可． 【详解】（1）解：由，知，所以，即． ∴． ∴的值为2的倒数，即． （2）由，得到， 即， ∴， 则； （3）根据题意得：，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 15．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1+（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 形式； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (3)若分式的值为m，m的取值范围是 （直接写出结果）． 【答案】(1)真分式；； (2)1，2，4，5； (3)． 【分析】（1）根据分子的次数小于分母的次数可得为真分式，依据假分数化为带分数的特点，第二个空即可得答案． （2）先化简原分式，化成分子为常数，分母带字母的分式，根据整体为整数，并且为整数，即可求得． （3）先化简原分式，化为带分式的形式，再结合，从而可得答案． 分式新定义题目，实际上是考查分式化简的知识，分式中分子分母同时满足某种关系时求得分式整体值的情况，对学生基础分析能力和知识迁移能力的考查非常明显． 【详解】（1）解：根据新定义可得：为分子次数为0，分母次数为1，故为真分式， ， 故答案为：真分式；． （2）解：，且为正数，且为正数 或或或， 解得或或或， 故满足条件的整数的值为1，2，4，5． （3）解： ， 而， ， ， ， ， ． 故答案为：． $$第一章 数与式 第04讲 分式（3~6分） （思维导图+5考点+2命题点12种题型） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 分式的相关概念 考点二 分式的基本性质 考点三 分式的乘除 考点四 分式的加减 考点五 分式的混合运算 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的性质及应用 ►题型01 判断分式值得变化 ►题型02 分式的值为0 ►题型03 分式规律性问题 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式化简求值直接代入 ►题型02 分式化简求值分析后代入 ►题型03 分式列项相消 ►题型04 倒数求值法 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 01考情透视·目标导航 考点要求 新课标要求 考查频次（地区版加） 命题预测 分式的相关概念 理解分式和最简分式的概念. 2024省卷17（2）题 在中考，主要考查分式的意义和分式值为零情况，常以选择题、填空题为主；分式的基本性质和分式的运算考查常以选择题、填空题、解答题的形式命题. 分式的基本性质 能利用分式的基本性质进行约分与通分. 分式的运算 能对简单的分式进行加、减、乘、除运算. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 1. 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式. 2. 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义. 3. 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等. 4. 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几个分式的最简公分母． 考点一 分式的相关概念 分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，A为分子，B为分母. 对于分式来说： ①当B≠0时，分式有意义；当 B=0时，分式无意义. ②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0. ③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1. ④若>0，则A、B同号; 若<0，则A、B异号. 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分. 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分. 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母. 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值. 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单. 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式. 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 【例1】．（2023·山东·中考真题）若代数式有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【变式1-1】．（2020·山东菏泽·中考真题）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式1-2】．（2024·山东济宁·模拟预测）若分式 有意义，则x的值为（    ） A． B． C． D．且 【变式1-3】．（2022·山东日照·二模）要使分式有意义，x的取值应该满足（　　） A．x≠﹣1 B．x≠2 C．x≠﹣1或x≠2 D．x≠﹣1且x≠2 考点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变. 即：（C0）或（C0），其中A，B，C是整式. 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：. 【例2】．（2024·山东聊城·三模）下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】．（2024·山东菏泽·三模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2022·山东枣庄·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】．（2021·山东临沂·二模）下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 考点三 分式的乘除 【例3】．（2023·山东济南·模拟预测）化简： ． 【变式3-1】．（2021·山东临淄·模拟预测）化简，结果是 【变式3-2】．（2022·山东枣庄·二模）计算：= ． 【变式3-3】．（2022·山东济宁·二模）计算：＝ . 考点四 分式的加减 【例4】．（2024·山东青岛·模拟预测）化简： ． 【变式4-1】．（2022·山东德州·二模）计算： ． 【变式4-2】．（2024·山东济南·三模）计算： ． 【变式4-3】．（2024·山东枣庄·二模）计算 的结果为 ． 考点五 分式的混合运算 【例5】．（2021·山东滨州·中考真题）计算：． 【变式5-1】．（2024·山东德州·中考真题）化简： 【变式5-2】．（2024·山东东营·中考真题）计算：． 【变式5-3】．（2024·山东泰安·中考真题）化简：． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 分式的基本性质及应用 ►题型01 判断分式的值得变化 【例1】．（2021·山东枣庄·一模）如果分式中，x，y的值都变为原来的2倍，则分式的值（    ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大2倍 D．不能确定 【变式1-1】．（2023·山东日照·二模）若分式的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值（ ） A．是原来的20倍 B．是原来的10倍 C．是原来的倍 D．不变 【变式1-2】．（2022·山东济南·中考真题）若x，y的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】．（2023·山东枣庄·二模）若把分式 的x、y同时扩大10倍，则分式的值（  ） A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．缩小为原来的 ►题型02 分式的值为0 【例2】．（2021·山东聊城·中考真题）如果分式的值为0，那么的值为（  ） A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或0 【变式2-1】．（2022·山东淄博·二模）若分式的值为0，则x的值等于（    ） A． B． C．2 D．0 【变式2-2】．（2023·山东德州·二模）若分式的值等于0，则x的值为（    ） A．﹣1 B．0 C．1 D．±1 【变式2-3】．（2021·山东青岛·一模）若分式的值等于0，则x的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 ►题型03 分式的规律性问题 【例3】．（2022·山东滨州·中考真题）观察下列各式：， 根据其中的规律可得 （用含n的式子表示）． 【变式3-1】．（2023·山东济南·模拟预测）一组按规律排列的式子：，···，第个式子是 ．(用含的式子表示，为正整数）． 【变式3-2】．（2022·山东德州·二模）一组按规律排列的式子：，，，，，…，其中第7个式子是 ，第n个式子是 (用含的n式子表示，n为正整数)． 【变式3-3】．（2022·山东淄博·中考真题）设的面积为1． 如图1，分别将，边2等份，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积． 如图2，分别将，边3等份，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积； 如图3，分别将，边4等份，，，，，，是其分点，连接，交于点，得到四边形，其面积； … 按照这个规律进行下去，若分别将，边等份，…，得到四边形，其面积 ． 命题点二 分式的运算 ►题型01 分式的化简求值直接代入 【例1】．（2023·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式1-1】．（2022·山东枣庄·中考真题）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝﹣4． 【变式1-2】．（2021·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式1-3】．（2021·山东聊城·中考真题）先化简，再求值：，其中a＝﹣． ►题型02 分式的化简求值分析后代入 【例2】．（2024·山东烟台·中考真题）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 【变式2-1】．（2024·山东淄博·中考真题）化简分式：，并求值（请从小宇和小丽的对话中确定，的值）    【变式2-2】．（2023·山东枣庄·中考真题）先化简，再求值：，其中a的值从不等式组的解集中选取一个合适的整数． 【变式2-3】．（2023·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． ►题型03 分式列项相消 【例3】．（2023·山东青岛·模拟预测）阅读下列相关的两段材料，根据材料反映的规律完成后面的填空题． 设n是正整数， 材料1： ．．． 问题：（1）用含n的代数式表示=___________________（写最简结果） 材料2： = 问题：（2）用含n的代数式表示=_______（写最简结果）． （3）当n无限增大时，接近于一个常数，这个常数是________． 【变式3-1】．（2022·山东德州·一模）（阅读材料） 在进行计算或化简时，可以根据题目特点，将一个分数或分式变成两部分之差，如：；；等． （问题解决） 利用上述材料中的方法，解决下列问题： （1）求的值； （2）求的值． 【变式3-2】．（2022·山东威海·二模）阅读，做题时，根据需要，可以将一个分数变成两个分数之差，如：==1﹣；==﹣；==（﹣），等等．解答下列问题： （1）已知a=，b=，c=，比较a，b，c的大小． （2）求++++…++的值． （3）求++++…++的值． ►题型04 倒数求值法 【例4】．（2022·山东淄博·二模）阅读材料，解决问题：在解决某些代数式运算问题，特别是单项式除以多项式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即先求其倒数，再对结果求倒数，进而求得原式，以达到计算目的． 【问题解决】已知，求下列代数式的值． (1)求的值． (2)求的值． 【变式4-1】．（2022·山东德州·二模）阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴，     ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【变式4-2】．（2021·山东淄博·二模）阅读理解：（请仔细阅读，认真思考，灵活应用） 【例】已知实数满足，求分式的值． 解：观察所求式子的特征，因为，我们可以先求出的倒数的值， 因为 所以 【活学活用】 (1)已知实数满足，求分式的值； (2)已知实数满足，求分式的值． 【变式4-3】．（2022·山东青岛·二模）【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故的值为． (1)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】 (2)已知，，，求的值． 05分层训练·巩固提升 基础巩固 一、单选题 1．下列代数式是分式的是（   ） A． B． C． D． 2．若把分式中的，都扩大为原来的倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的倍 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．不变 3．下列式子从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．化简 的结果是（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．已知a，b为实数，且，，设，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 7．若分式，则的值为 ． 8．已知，则 ． 9．计算的结果是 ． 10．已知，则的值是 ． 11．若，则代数式的值为 ． 三、解答题 12．计算： 13．先化简，再求值：，其中． 14．下面是某同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一： 填空： 以上化简步骤中，第一步对分式的分子与分母进行了因式分解 以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ； 从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果； 任务三：除纠正上述情况外，请你根据平时的学习经验，就分式化简时还需要注意的事项给其他同学提一条建议． 15．观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… (1)猜想（的正整数） ； (2)计算：； (3)若，求的值． 能力提升 一、单选题 1．若分式的值等于0，则的值是（   ） A．4 B． C．1 D． 2．把分式中的和都扩大2倍，分式的值（    ） A．不变 B．扩大4倍 C．缩小 D．扩大2倍 3．下列说法正确的是（    ） A．代数式化简后得 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 4．下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．化简分式的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．要使分式有意义，则x应满足的条件是 ． 8．已知，则 ． 9．化简： ． 10．已知，，，，， （即当为大于1的奇数时，，当为大于1的偶数时，），按此规律， ． 11．已知，，是大于1的正整数，且为整数，则 ． 三、解答题 12．计算： 13．化简求值，是不等式组的一个整数解． 14．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由，知，所以，即， ∴，     ∴的值为的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 15．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成1+（即1）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：． 解决下列问题： (1)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式 形式； (2)如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (3)若分式的值为m，m的取值范围是 （直接写出结果）． $$