河北省邯郸市部分学校2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

2024~2025学年上学期高二年级第二次月考 数 学 全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区战均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题卡 上作答：字体工整，笔迹清楚。 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。 5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册4.1,4.2。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.直线2x一1=0的斜率为 A.不存在 B.0 c D.- 2.在空间四边形PABC中，PA+AB-CB= A.PC B.PA C.AB D.AC 3.已知数列W6,√10，√14,32，√22，…，则5V2是这个数列的 A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 4.两平行直线l1:x-2y-√10=0，l2:4y-2x-3√10=0之间的距离为 A.5 B.3 c D.2√2 5.已知抛物线C:x2=16y的焦点为F,点M(x,%)为抛物线C上一点，若|MF1=3%,则|x|= A.4 B.4V2 C.8 D.8√2 6.如图，长为a(a是正常数)的线段AB的两个端点A,B分别在互相垂直的两条直线上滑动， 点M是线段AB上靠近A的三等分点，则下列说法正确的为 A.点M的轨迹是圆 B.点M的轨迹是椭圆且离心率为号 C.点M的轨迹是椭圆且离心率大小与a有关 D.点M的轨迹不能确定 【高二数学，第1页（共4页）】 25247B 7.如图，⊙O的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称， 恰好经过原点O,此时直线y=一x十m与这两段弧有4个交点，则m的 取值可能是 A哥 B.3-1 c号 D.2√2-2 8在正四棱柱ABCD-A,B,C,D1中，AA,=2AB=4,点E在线段CC1上，且CC=4CE,点F 为BD中点，则点D,到直线EF的距离 A.14 B.①4 3 2 C.v 2 D.7 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.设等差数列{an}的前n项和为S.若S=0,a,=4,则 A.a.=4n-8 B.a,=2n-4 C.S.=2n2-6n D.S.=n2-3n 10.如图，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过抛物线C上一点P(点P在 第一象限)作准线l的垂线，垂足为H,△PHF为边长为8的等边三角 形.则 A.p=2 B.p=4 C.点P的坐标为(6,3√3) D.点P的坐标为(6,4V3) 11.已知双曲线C:y2一x2=一1，则 A.双曲线C也叫等轴双曲线 B.双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为√2 C.若过原点的直线1与双曲线C相交，则直线L的倾斜角的取值范围为[0，)U(任x】 D.直线I过双曲线C的右焦点F,且直线l与双曲线的一条渐近线平行，直线1与双曲线C 相交于点A,与双曲线C的另一条渐近线相交点于B,则点A是线段BF的中点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 12.在平面直角坐标系xOy中，圆O:x2十y2=2被直线y=x+a截得的弦长2，则实数a的值 为 18设两个等差数列a.和伍，}的前n项和分别为5，和T…且子=则哈- 14.已知椭圆C:号+若-1(u>6>0)的左，右焦点分别为F,5,过R,且倾斜角为60的直线1 与C交于P,Q两点（点P在第一象限），若3PF=2F,Q,则C的离心率是 【高二数学第2页（共4页）】 25247B 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知数列{a.}是等差数列，且a2=一25,2a3十as=一50. (1)求{a.}的通项公式； (2)若数列{a.}的前n项和为S。,求S.的最小值及取得最小值时n的值. 16.(本小题满分15分) 已知半径为2的圆C的圆心在射线y=x(x>0)上，点A(一1,1)在圆C上. (1)求圆C的标准方程； (2)求过点B(一1,0)且与圆C相切的直线方程. 17.(本小题满分15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)过点A(1,2). (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程； (2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A,B两点，求线段AB的长度 【高二数学第3页（共4页）】 25247B 18.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD,AB⊥BC,AB= 2CD=2BC,O为BD的中点，BD=4,PB=PC=PD=√5. (1)证明：OP⊥平面ABCD: (2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值. 1小5，，- 州河 19.(本小题满分17分) 已知椭圆C若+芳=1a>b>0)的左，右焦点分别为R,R,上顶点为点A,若△AF,R是 面积为4√3的等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知M,N是椭圆C上的两点，且IMN|=43,求使△OMN的面积最大时直线MN的 方程(O为坐标原点). 【高二数学第4页（共4页）】 25247B20242025学年上学期高二年级第二次月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A2x-1=0的斜率不存在，故选A. 2.A根据向量的加法、减法法则得PA+AB-C=P店-CB=PB+BC=P心 3.B由数列的前几项观察归纳，知根号内的被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，所以通项公式。= √4n+2,当n=12时，a1:=V√50=5√2. 4.C直线4：2x-4)-2V而=0,4：2x-4y十3V而=0，两平行直线之间的距离为30-（-2而@ √4+16 =5v2 2 5.B由抛物线定义可得|MF1=3y%=十4，%=2，所以xo|=√16%=4V2. 6.B设M(x,y),由于点M是线段AB上靠近A的三等分点，设A(m,0),B(0m),则AM=号A店，即 (一m)=号（一m,,放m=号，m=3,由AB到=a>0,放m+r=公，即学+9y=心，整理得到 4a a 空故选B 十誉1，点M的轨迹是焦点在横轴上的椭圆，故离心率为V99 /4a 7.C因为圆O的劣弧BC关于弦BC对称的图形恰好经过坐标原点O,所以B(一√3， -1),C(W3,一1)，当直线过C(W3,一1)时，将C(3,一1)代入y=一x+m中，所以 m=一1十√3，由对称性可知，圆弧BOC对应的圆的圆心在y轴上，设为T(0,1),则 OT1=|TC1,所以√0+F=√(0-√3)+(+1)2，解得1=-2，且劣孤BC对应 的圆的半径为2，故劣弧BC对应的圆方程为x2十(y十2)2=4，当直线1与劣弧BC 相切时得一2二m=2,所以m=2反-2(m=一22-2舍)，结合图形可知当-1+3<m<22-2时直线 √2 y=一x+m与两段弧有4个交点.故选C. 8.A连接ED,以D为原点，DA,DC,DD所在直线为x,y,之轴建立空间直角坐标 系，由题意可得D(0,0,4),E(0,2,1),F(1,1,0),则ED=(0,-2,3),E亦= (1,一1，一1)，所以点D1到直线EF的距离为 ED-（ ED,·EF\2 /13-（ =14 3,故选A 3(a1+d)=0 ,解得 a1=-2 9.BD设等差数列{am}的公差为d,由题意可得 a1+3d-4 d-2· =-2+2(n-D=2n-4,5.=-2m+”2×2=2 10.BD设抛物线C的准线与x轴的交点为Q,由∠PHF=∠HFO=60°，|FQ|=p,有HF=2p,HQ=V3p, 【高二数学参考答案第1页（共4页）】 25247B 有2p=8,得p=4,点P的坐标为(6,43). 11.ACD对于A选项，由双曲线的定义可知A选项正确： 对于B选项，由双曲线C的渐近线方程为y=土x,右焦点的坐标为（√2,0），可求得焦点F到直线y=x的 距离为1，故B选项错误； 对于选项C,由双曲线C的渐近线方程为y=士x,若直线1与双曲线相交，只需要直线1的斜率k∈（一1,1）， 可求得直线1的倾斜角的取值范围为[0，)U(云，x),故C选项正确： 对于选项D,可知△OBF为等陵直角三角形，OF1-E,可知点B的横坐标为号，联立方程 (x2-y2=1, y=-(x-√2) 解得点A的黄坐标为32，由子×(2+号）-32，可知点A为线段BF的中点，造项D 4 正确 12.士2因为，=2，所以圆心0到直线的距离d=√P-=1所以a=1,解得a=士2. V1FT （a1十as)·5 13.号由题意可得公-公 2 S37×5355 Fb2b(b1+b)·5T59×5+4497 14.号（或0.4）如图，连结PF,Qr,设PF=2,QF:=3,则PE,=2a -21,QF1=2a-3t, 在△PFF2中，由余弦定理，PF1I2=|PF2I2+|F1F2|2-2|PF2|·|FF2| cos120°， 即(2a-2t)2=(21)2+4c2+21·2c,整理得：a2-2=tc+21a(i), 在△QF1F2中，由余弦定理：QF|2=QF2|2+F1F22-2QF2|·FF2cos60°， 即(2a-3)=(30P+4-31·2,整理得：d-2=3a-名1e(im 由0(D得c+2u=3u-2c,化简得c+2a=3a-是c,即a=名c,解得e=号， 3 a1+d=-25, 15.解：(1)设{am}的公差为d,则{ ……3分 2(a1+2d)+a1+4d=-50, a1=-30, 解得 5分 d=5, 所以aw=a1十(n-1)d=5n一35；… 7分 (2s=二30+”35m=多（a-9）》-85, 2 10分 所以当n=6或n=7时，Sn取得最小值，最小值为一105，…13分 16.解：(1)由圆C的圆心在射线y=x(x>0)上，可设圆心C的坐标为(m,m)(m>0),…2分 又由圆C的半径为2，有|AC=√m-(一1)十(m-1)=2,解得m=一1（舍去）或m=1,…6分 故圆C的标准方程为(x一1)2十(y一1)2=4；…7分 (2)①当切线的斜率不存在时，直线x=一1与圆C相切：………9分 ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为y=k(x十1)，整理为kx一y十k=0, 【高二数学参考答案第2页（共4页）】 25247B 有26-1=2，解得k=-3 √k+1 ………12分 可得切线方程为-子一y一子=0，整理为3x十4十3=0. 由①②知，过点B(一1,0)且与圆C相切的直线方程为x=一1或3.x十4y十3=0.…15分 17.解：(1)，y=2px(p>0)过点A(1,2),.2p=4,解得p=2,………3分 .抛物线C:y=4x,准线方程为x=一1；……6分 (2)由(1)知，抛物线焦点为(1,0)，……………8分 设直线AB:y=√3(x-1),A(x1,y),B(x2,y2),… 10分 y=5x-1得3-10x+3=0,则十=9。 由 12分 y2=4x, 则1AB=++p=9+2=9 15分 18.(1)证明：如图，连接OC, 在Rt△BCD中，由BD=4可得OC=2, ,PB=PD=√5，OB=OD=2, ∴.OP⊥BD,OP=√/PB2-OB=/5-4=1,…3分 OP=1,0C=2,PC=V5,..PC=OP+OC, .OP⊥OC,… 6分 ,OP⊥BD,OP⊥OC,BD,OCC平面ABCD,BD∩OC=O, OP⊥平面ABCD;… ………8分 (2)解：由(1)和等腰三角形BCD可知，OC,OB,OP两两垂直，以O为坐标原点，向量O店，O心，O驴方向分别 为xy,之轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。 可得O(0,0,0),B(2,0,0),D(-2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,1), 又由D心=(2,2,0)，有AB=2DC-(4,4,0),可得点A的坐标为(-2，-4,0)，…10分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,z), m·BC=-2x+2y=0, 由BC=(-2,2,0),Bp=(-2,0,1),有 m·BP=-2x+2=0, 取x=1,y=1,g=2,可得平面PBC的一个法向量为m=(1,1,2).…12分 设平面PAD的法向量为n=(a,b,c), n·Dp-2a+c=0, 由D°=(2,0,1)，AD=(0,4,0),有 取a=1,b=0,c=一2，可得平面PAD的一个法向 n·AD=4b=0, 量为n=(们，0，一2).……14分 由m·n=-3,m=6,n=5,可得平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为二3=30. √5X√6 10 ………………………17分 bc=4/3 19.解：(1)由△AF,F2是面积为43的等边三角形，得 ………2分 b=√3c 所以c=2,b=2√5，从而a=4, …4分 【高二数学参考答案第3页（共4页）】 25247B 所以椭圆C的标准方程为后十-1.…6分 (2)由(1)知，当MN⊥x轴时，MN|=4√3，则MN为椭圆C的短轴，故有M,N,O三点共线，不合题意. 8分 所以直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为y=kx+m,点M(x1,y),点N(x2,2),联立方程组 +2=1,消去y,得(4k+3)x2十8kmx十4m2-48=。 y=kx十m 所以有x十=十3=m二48 一8km 440004444404044404 4k2+3 11分 则1MN=V+E√/+-4=中E·4y516k-m+亚=4W3, 4k2+3 即牛·m亚-1，化简得m=4一中 1 …………………12分 4k2+3 因为十1>1，所以有3≤m<4且十市4-m.……1 3分 原点O到直线MN的距离为d=m,△OMN的面积S=MNd=2,Bd, √k+1 所以当d最大时，△OMN的面积最大.……………………15分 因为d==m4-m)=4-(m-2,而3≤m<4, 所以当m2=3时，d取最大值为3，△OMN面积的最大值S=2√5d=6.……16分 k=0 把m=3代人十中有=4一m,得k=0,所以有 m=士3 即直线MN的方程为y=√3或y=一√5。……17分 【高二数学参考答案第4页（共4页）】 25247B