专题05 轴对称图形与等腰三角形（中等类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版）

专题05 轴对称图形与等腰三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称的性质 【解惑】如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质逐项判断即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴，，，故ABC正确，不符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得，进而由轴对称的性质可得，最后根据角的和差关系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点是点， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，中，，，点为边上一动点．分别作点关于直线，的对称点，，连接，，则的度数为 ． 【答案】130 【分析】本题考查了对称的性质和三角形内角和定理，关键是利用轴对称的性质解答．连接，由对称得，由三角形内角和求得即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由对称得， ∴ ； ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：130． 3．如图，点P在内部，E，F分别是点P关于直线的对称点．若，则的度数为 ． 【答案】/76度 【分析】本题考查轴对称的性质，连接，则：，进而得到，再根据四边形的内角和为360度，进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ∵E，F分别是点P关于直线的对称点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 类型二、轴对称图形——台球、光线问题 【解惑】如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反弹时反射角等于入射角作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2014除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后点回到出发点， ∵， ∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组第4次碰到矩形的边， ∴点P的坐标为． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了点坐标的规律探索，作出图形，观察出每6次反弹为一个循环组依次循环是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【详解】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 2．如图，光源发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数在初中物理光的反射中的应用，设点B的坐标为．过点B作垂直于y轴的直线，过点C作交于点D，根据轴对称的性质得到，设入射光线所在直线的解析式为，再结合求出所在直线的解析式，即可求出点B的坐标． 【详解】解：如图，过点B作垂直于y轴的直线，过点C作交于点D， 由题意得：点C与点D关于对称， 设点B的坐标为，则，设入射光线所在直线的解析式为， ，解得， 所在直线的解析式为， ， ，解得， ， 故答案为：． 3．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 【答案】3 【分析】主要考查了轴对称的性质．根据题意画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： ∴该球最后将落入的球袋是3号． 故答案为：3． 类型三、线段垂直平分线的判定 【解惑】如图，与相交于点O，，，． (1)求证； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）证明，可得结论； （2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）得， ∴， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【融会贯通】 1．如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)垂直平分，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定： （1）利用证明，即可证明结论； （2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论； （3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 设交于H， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：垂直平分，理由如下：、 ∵， ∴， ∴点O和点E都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 2．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，解题的关键是： （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据割补法求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，， ∴ ． 3．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 （1）如图①，在中，若，则____________； 【类比探究】 （2）借助学习几何图形的经验，小红对筝形AEDC（如图②）的性质进行了探究．求证：． 【答案】（1）；（2）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握轴对称的性质及线段垂直平分线的判定是解题的关键． （1）根据三角形内角和性质，求得，再根据轴对称的性质，求得，最后根据三角形的外角性质，即可求得答案； （2）由筝形的定义可知，，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图①， ，， ， 对折，使点落在边上的点处， ， ； 故答案为：． （2）证明：如图②， 四边形是筝形， ，， 点A，点D都在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ． 类型四、角平分线的判定 【解惑】如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用是正确解答本题的关键．要证平分，只需证．可通过证来实现、根据已知条件，利用可直接证明，从而可得出平分． 【详解】证明：， ， 在与中， 是的平分线 【融会贯通】 1．如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）如图，过点分别作，，，由角平分线的性质可得，，进而得，再根据角平分线的判定即可求证； （）由的面积为可得，再根据可得，进而即可求解； 本题考查了角平分线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点分别作，，，垂足分别为点， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上， 即平分； （2）解：∵的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴的周长． 2．教材呈现：下面是人教版八年级上册数学教材第页的部分内容 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，补充完整该证明过程． 已知：，，垂足分别是、，且． 求证：平分． 证明过程：，．．……（未写完） (2)定理应用：如图②，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定，可以得到，即可求解； （2）过点作于，可以得到，进而证明，根据角平分线的性质即可求解 【详解】（1）证明：在和中， ， ． ， 是的平分线． （2）解：如图②，过点作于， 平分，， ∴， 是的中点，   ∴， ∴． 又∵，   ∴， ∵， 是的平分线． 3．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查了角平分线的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形面积公式，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题关键． （1）过点E作，，根据角平分线的性质得到，，进而得到，再根据角平分线的判定定理即可证明结论； （2）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，即可求出的面积． 【详解】（1）证明：过点E作交于点G，交于点H， ∵，， ∴， ∴， ∴， 平分， ，， ， 平分，，， ， ， ，， 平分； （2）解：， ， ， ，，， ， ， ， ， ． 类型五、等边对等角证明 【解惑】如图，，都是的角平分线，，相交于点O，且，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，根据角平分线的定义可得出，．再根据等边对等角得出，进而可得出，即可证明是等腰三角形． 【详解】证明：∵，是的角平分线， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴是等腰三角形． 【融会贯通】 1．已知：如图，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴． 2．如图，在中，，，是边上一点，连接，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)当时，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题中作图要求画图即可； （2）根据三角形的内角和定理和余角性质，结合全等三角形的判定证明，然后利用全等三角形的对应边相等可得结论； （3）根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质证明，再利用余角性质得到即可得结论． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：如图， ， 在中，， ， ， ， ∵， ∴， 在和中，， ， ； （3）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、垂直定义、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、余角性质、角平分线的定义等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． 3．如图，在中，点D是边的中点，连接，且．E是边上任意一点（不与点A、C重合），过点B作，点F落在的延长线上． (1)求证：； (2)连接，当时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，，根据，得出，即可证明结论； （2）证明，得出，，证明垂直平分，得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，垂线的定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 类型六、三线合一证明 【解惑】如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用线段垂直平分线的性质证得，再根据等腰三角形的三线合一性质即可求证结论； （2）由三角形的外角的性质可得，进而得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ， ∴， ， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形外角的性质、三角形内角和等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，在中，，为的中点，于，于．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，三线合一定理，根据三线合一定理得到，再证明，得到，则垂直平分，即可证明． 【详解】证明：∵，为的中点， ∴， ∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴． 2．如图，在中，点、在边上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，作于点，由等腰三角形的性质可得，再求出，即可得证，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】证明：作于点， ， ， ， ，即， ， ． 3．如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M． (1)求证：M是的中点； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形的性质． （1）先证明为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证； （2）根据含的直角三角形的性质得到，然后根据即可得到结果． 【详解】（1）证明：连接， ∵在等边，且D是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴M是的中点； （2）解：由（1）可知：，M是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵M是的中点 ∴． 类型七、等边三角形的证明 【解惑】如图，在中，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，连接．求证：为等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，涉及了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识点，由题意得平分于点D ，可推出；根据的垂直平分线交于点，交于点，得出，进而得，，即可求证； 【详解】证明中，是BC边上的中线 平分于点D ； ∵的垂直平分线交于点，交于点， ． 为等边三角形 【融会贯通】 1．如图，在中，，E是的中点，交于点D，点F在上，，交于点G，若，． (1)求的长． (2)求的长． (3)求证：为等边三角形． 【答案】(1)2 (2)8 (3)证明见解析 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余可得出，，再根据含30度直角三角形的性质即可得出答案． （2）连接，根据含30度直角三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，等量代换可得出，再利用等腰三角形三线合一的性质即可得出答案． （3）由（2）得，由等边对等角可得出，．进而可得出，由三角形内角和定理可得出，，进而可得出为等边三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵E是的中点，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：证明：由（2）得， ∴，． ∵， ∴， ∴． 在中，． ∵， ∴为等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定， 线段垂直平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质等知识，掌握这些性质是解题的关键． 2．如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再结合即可证明结论； （2）由等边三角形的性质可得，再结合可得，易证可得，再根据等边三角形的性质可得，即；最后根据四边形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵交于点，是等边三角形， ∴，即 ∴四边形的周长为 ． 3．如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质等知识，熟记等边三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据等边三角形的性质及三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定定理即可得解． 【详解】（1）证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵在中，是高，点是边的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴． 类型八、设计轴对称图形 【解惑】如图，在“”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四幅图不能重复） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，根据轴对称图形：沿着一直线折叠后，直线两旁的部分完全重合画图即可． 【详解】解：在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影如下图所示：（答案不唯一） 【融会贯通】 1．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图轴对称图形，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：如图所示， 2．如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形（图1，图2，图3中所作的图形不全等）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，掌握轴对称的性质是解题关键．根据轴对称的性质作图即可． 【详解】解：如下图即为所求作 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，每个图中均已将两个小正方形涂了阴影，请你在下面的每个图形中再涂两个空白小正方形，分别使得各图中阴影部分成为一个轴对称图形（若阴影部分涂成全等图形的，视为一种图形）． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了作图——轴对称变换，根据轴对称图形的概念求解即可作出相应图形，解题的关键是掌握轴对称变换定义与性质． 【详解】解：根据轴对称图形特点作图如下， 【一览众山小】 1．如图，三角形中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的定义，掌握垂直平分线的性质，等腰三角形的定义是解题的关键． 根据垂直平分线的性质可得，，，则，由三角形内角和定理可得，由此得到，即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B ． 2．如图，在中，，的平分线交于D，是线段的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，所对的直角边是斜边的一半，先求出，再结合角平分线的性质，得出，最后根据所对的直角边是斜边的一半，得出，即可作答． 【详解】解：∵的平分线交于D， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的平分线交于D，， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．如图，中，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ．    【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据的面积求解即可． 【详解】解：过点作于点，如图所示：   是的角平分线，， ， ，， ， 的面积， 故答案为：． 4．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交、于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为 ． 【答案】116 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据三角形的内角和定理求得，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得，，再利用三角形的外角性质和平角定义求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：116． 5．已知一个三角形的两条边长分别为，．设第三条边长为．若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 直接根据三角形的三边关系求出x的取值范围；根据三角形是等腰三角形，确定第三边是，进而求出三角形的周长． 【详解】解：根据三角形三边关系，得，即； 因为三角形是等腰三角形， 所以，第三边只能是， 所以，周长为． 6．如图，点E是等边外的一点，点D是边上一点，，，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质，证明是解答的关键．先根据等边三角形的性质得到，，再证明，得到，，进而根据等边三角形的判定可证得结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 7．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． （1）根据等边三角形的性质及和角关系，可得； （2）根据正方形的性质及和角关系，可得，由全等三角形的性质即可求得的长； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明，由全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 8．已知：和都是等边三角形，连接，． (1)如图1，线段和的数量关系是：___________________，并就图1的情形证明你的结论； (2)如图2，点，，在同一条直线上，且是的中点． ①直接写出的度数是_____； ②与有怎样的位置关系，并给予证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得； （2）①由是的中点，可得，再由等边三角形的性质可得，可得，从而得出，最后由全等三角形的性质可得； ②先证得点E在的垂直平分线上，再证得点B在的垂直平分线上，最后由线段垂直平分线的判定可得结论． 【详解】（1）解：，证明如下： 均为等边三角形， ， 即， 在和中， 故答案为：； （2）解：①是的中点， ， 为等边三角形， ， ， ， 由（1）得， ， 故答案为：； ②，理由如下： 由（1）得 ， ， ， 点E在的垂直平分线上， 为等边三角形， ， 点B在的垂直平分线上， 垂直平分， 即 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形，线段垂直平分线的判定，等腰三角形的性质，掌握三角形全等的判定方法是解决问题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 轴对称图形与等腰三角形思维导图 【类型覆盖】 类型一、轴对称的性质 【解惑】如图，与关于直线对称，交于点O，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，在中，，于，点关于直线的对称点是点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，，点为边上一动点．分别作点关于直线，的对称点，，连接，，则的度数为 ． 3．如图，点P在内部，E，F分别是点P关于直线的对称点．若，则的度数为 ． 类型二、轴对称图形——台球、光线问题 【解惑】如图动点从出发，沿如图所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点第2014次碰到长方形的边时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，光源发出的一束光，遇到平面镜（y轴）上的点B后的反射光线交x轴于点，则点B的坐标是 ． 3．2005年4月3日，斯诺克中国公开赛，中国江苏神奇小子丁俊晖奇迹般地战胜了世界头号选手亨德利，夺得了自己首个世界台球职业排名赛冠军，如图，是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中阴影部分分别表示六个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 号袋． 类型三、线段垂直平分线的判定 【解惑】如图，与相交于点O，，，． (1)求证； (2)求证：垂直平分． 【融会贯通】 1．如图，平分，于点，于点，连接． (1)试说明； (2)与相等吗？请说明理由； (3)是否垂直平分，请说明理由． 2．如图，是的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若，，求的面积． 3．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点落在边上的点处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步应用】 （1）如图①，在中，若，则____________； 【类比探究】 （2）借助学习几何图形的经验，小红对筝形AEDC（如图②）的性质进行了探究．求证：． 类型四、角平分线的判定 【解惑】如图，已知，，垂足分别为，，，相交于点，连接．若．求证：平分． 【融会贯通】 1．如图，已知分别是的外角和的平分线，连接， (1)求证：平分； (2)若，且与的面积分别是和，求的周长． 2．教材呈现：下面是人教版八年级上册数学教材第页的部分内容 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？利用三角形全等，可以得到 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明：请根据教材中的分析，结合图①，补充完整该证明过程． 已知：，，垂足分别是、，且． 求证：平分． 证明过程：，．．……（未写完） (2)定理应用：如图②，，是的中点，平分．求证：是的平分线． 3．如图，中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，垂足为，且，连接． (1)求证：平分 (2)若，三角形的面积是16，求的面积． 类型五、等边对等角证明 【解惑】如图，，都是的角平分线，，相交于点O，且，求证：是等腰三角形． 【融会贯通】 1．已知：如图，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 2．如图，在中，，，是边上一点，连接，过点作于点，交于点，过点作交延长线于点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)当时，求证：平分． 3．如图，在中，点D是边的中点，连接，且．E是边上任意一点（不与点A、C重合），过点B作，点F落在的延长线上． (1)求证：； (2)连接，当时，求证：． 类型六、三线合一证明 【解惑】如图：在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【融会贯通】 1．如图，在中，，为的中点，于，于．求证：．    2．如图，在中，点、在边上，，．求证：． 3．如图，在等边中，D是的中点，E是延长线上的一点，且，，垂足为M． (1)求证：M是的中点； (2)若，求的长度． 类型七、等边三角形的证明 【解惑】如图，在中，是边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，连接．求证：为等边三角形． 【融会贯通】 1．如图，在中，，E是的中点，交于点D，点F在上，，交于点G，若，． (1)求的长． (2)求的长． (3)求证：为等边三角形． 2．如图，在中，，，交于点，且，，其两边分别交边，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求四边形的周长． 3．如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求长． 类型八、设计轴对称图形 【解惑】如图，在“”的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．请你在图中分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四幅图不能重复） 【融会贯通】 1．如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： （1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； （2）涂黑部分成轴对称图形． 图乙与图丙是一种涂法，请在图中分别设计另外三种涂法．（注：在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙） 2．如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形（图1，图2，图3中所作的图形不全等）． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为，每个图中均已将两个小正方形涂了阴影，请你在下面的每个图形中再涂两个空白小正方形，分别使得各图中阴影部分成为一个轴对称图形（若阴影部分涂成全等图形的，视为一种图形）． 【一览众山小】 1．如图，三角形中，的垂直平分线交边于点，的垂直平分线交边于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，的平分线交于D，是线段的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．如图，中，是的角平分线，于点，，，则的面积是 ．    4．如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交、于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为 ． 5．已知一个三角形的两条边长分别为，．设第三条边长为．若此三角形为等腰三角形，求该等腰三角形的周长． 6．如图，点E是等边外的一点，点D是边上一点，，，连接．求证：是等边三角形． 7．【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 8．已知：和都是等边三角形，连接，． (1)如图1，线段和的数量关系是：___________________，并就图1的情形证明你的结论； (2)如图2，点，，在同一条直线上，且是的中点． ①直接写出的度数是_____； ②与有怎样的位置关系，并给予证明． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$