圆锥曲线中的定点、定值问题专题练-2025届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的定点、定值问题 1．从抛物线上各点向轴作垂线段，垂线段中点的轨迹为. (1)求的轨迹方程； (2)是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点， ①若，求的值； ②证明：三角形与三角形的面积之比为定值. 2．P为平面直角坐标系内一点，过P作x轴的垂线，垂足为M，交直线（）于Q，过P作y轴的垂线，垂足为N，交直线于R，若△OMQ，ONR的面积之和为． (1)求点P的轨迹C的方程； (2)若，，，，过点G的直线l交C于D，E两点，是否存在常数n，对任意直线l，使为定值？若存在，求出n的值及该定值，若不存在，请说明理由． 3．已知椭圆的焦距为2，两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程； (2)设，过点的两条直线和分别交椭圆于点和点（和.不重合），直线和的斜率分别为和.若，判断是否为定值，若是，求出该值；若否，说明理由. 4．已知椭圆左右焦点分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率不为零的直线与椭圆相交于两点，交椭圆于点，且与的周长之差为. (1)求椭圆与椭圆的方程； (2)若直线与椭圆相交于两点，记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 5．已知椭圆的离心率为，中心是坐标原点，焦点在轴上，右焦点为F，A、B分别是的上、下顶点.的短半轴长是圆的半径，点是圆上的动点，且点不在轴上，延长BM与交于点的取值范围为. (1)求椭圆、圆的方程; (2)当直线BM经过点时，求的面积; (3)记直线AM、AN的斜率分别为，证明:为定值. 6．已知椭圆的离心率为，A，B，C分别为椭圆的左顶点，上顶点和右顶点，为左焦点，且的面积为．若P是椭圆M上不与顶点重合的动点，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N． (1)求椭圆M的标准方程； (2)求证：为定值，并求出此定值（其中、分别为直线QN和直线QC的斜率）． 7．如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值. 8．已知椭圆C：的离心率为，焦距为2. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C的左顶点为A，过右焦点F的直线与椭圆C交于B，D（异于点A）两点，直线，分别与直线交于M，N两点，试问是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 9．已知动圆M经过定点，且与圆内切. (1)求动圆圆心M的轨迹C的方程； (2)设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）设直线，证明：直线PQ过定点. 10．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且. (1)求双曲线C的方程； (2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）. （i）求m的取值范围； （ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上. 11．已知椭圆的离心率为，、分点是椭圆的左、右顶点，是椭圆上不同于、的一点，面积的最大值是2． (1)求椭圆的标准方程； (2)记直线、的斜率分别为、，且直线、与直线分别交于、两点． ①求、的纵坐标之积； ②试判断以为直径的圆是否过定点．若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 12．椭圆的焦点为和，短轴长为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆上、下顶点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点（不与、两点重合）. ①求证：与的交点的纵坐标为定值； ②已知直线，求直线、、围成的三角形面积最小值. 参考答案： 1．(1) (2)①1；②证明见解析 （1）设垂线段中点坐标为，则抛物线上点坐标为， 代入抛物线方程，则，即， 所以的轨迹方程：. （2）①如图，是上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点， 设， 则抛物线上过点的切线方程为， 将切线方程与抛物线方程联立，得： 联立，消去，整理得， 所以， 从而有， 所以抛物线上过点的切线方程为， 同理可得抛物线上过点的切线方程分别为， 两两联立，可以求得交点的纵坐标分别为： ， 则， 同理可得，即， 当时，，故，即， 因此. ②易知，则直线的方程为， 化简得即， 且， 点到直线的距离为： ， 则三角形的面积． 由（2）①知切线的方程为， ， 可知， 点到直线的距离为 ， 则外切三角形的面积． 故． 因此三角形与外切三角形的面积之比为定值2． 2．(1) (2)存在常数，对任意直线l，使（为定值） （1）    设，则，， 由题意可得，，即， 故点P的轨迹C的方程为； （2）由（1）可知C： 假设存在常数n，使（常数）， 设直线l：，代入C，整理得， 设， 则， 所以 整理化简得：对恒成立． 故， ∴， ∴或（舍去） 当直线l为x轴时 综上，存在常数，对任意直线l，使（为定值） 3．(1) (2)为定值0. （1）由题焦距，解得， 由两个焦点与短轴一个顶点构成等边三角形可知，则， 所以， 所以椭圆的标准方程为.    （2）是定值. 已知，设， 直线的方程为，即， 代入并整理，得， ， . ， 三点共线，且与同向， ， 同理可得 ，化简得， ， 所以为定值0. 4．(1)椭圆的方程为，椭圆的方程为 (2)证明见解析 （2）设，根据设，结合点在圆上，可得结论. （1）设椭圆的半焦距为，由椭圆的定义可知的周长为的周长为， 又与的周长之差为， 所以， 又因椭圆左右焦点分别为椭圆的左右顶点. ， 联立解得，从而有， 所以，解得， 所以所求椭圆的方程为，椭圆的方程为. （2）由（1）可知椭圆的方程为， 设，则有， 于是. 5．(1)椭圆的方程为，圆的方程为； (2)； (3)证明见解析. （1）设椭圆的方程为，圆的方程为. 分别是椭圆的上、下顶点， 在圆上，且AB是圆的直径. 点是圆上的动点，且点不在轴上， ，即. . 又点是圆上的动点，且点不在轴上， 的取值范围为. 的取值范围为， ，解得. 椭圆的离心率为， ，解得. 椭圆的方程为，圆的方程为 （2）由（1）得. 直线BF的方程为，即. 由得．解得或， 的延长线与椭圆交于点， 点的横坐标是. 当直线BM经过点时， （3）∵点在轴上，点不在轴上，BM的延长线与椭圆交于点， 点不在轴上. 存在，且. 由已知得直线AN的方程为. 由方程组得，解得或. 得点的横坐标是. 当时，. 点的坐标是 的斜率为 又由（1）得，即. ，即为定值. 6．(1) (2)证明见解析， （1）由题意得，又， 解得， ∴椭圆M的标准方程为． （2）方法一： 直线， 依题意可设直线（且），（注：P不为椭圆顶点）， 由，则， 所以， 由， ，所以， 由B，P，N三点共线得，即， 得， 所以， 所以为定值． 方法二： 设直线QC的斜率为k，则直线QC的方程为：， 又，，直线AB的方程为， 由，解得，所以， 由，得， 由， 则，所以， 则，∴， 依题意B、P不重合，所以，即， 所以， ∴直线BP的方程为， 令，即，解得， ∴， ∴， ∴为定值． 方法三： 设点，则，，， 由B，P，N三点共线得， 即， ，， 联立，得， 所以 ， 所以 . 方法四： 设点，则（且）, 由B，P，N三点共线得，即， 直线，， 联立，得，， 所以， . 7．(1) (2)为定值，， (3)证明见解析 （1）因为， 所以， 所以，半径， 因为线段的中垂线交线段于点， 所以， 所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，， 故曲线E的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，其方程为， 与y轴不相交，不合题意，舍去， 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为， 设，， 由 消去y整理得， 恒成立， 所以， 又因为直线与y轴的交点为C，所以， 所以，， ，， 又因为，所以，同理， 所以，且， 所以， 整理后得， 所以为定值，原题得证. （3）设，显然的斜率存在，，， 设的方程是， 由消去y得， 则，即， 由韦达定理得， 根据已知，可得， 即， 又，， 代入上式整理得， 则或， 当时，直线的方程为， 所以直线经过定点， 当时，直线的方程为， 所以直线经过定点与M重合，舍去， 故直线经过定点， 又因为， 所以D在以线段MK为直径的圆上. 所以F为线段MK的中点，即， 所以为定值. 8．(1) (2)是， （1）依题意知：， 解之得：，，， 所以椭圆C的方程为. （2）由于B，D异于A，故设直线的方程为， 联立得： 设，，则 因为，，所以设直线的方程为， 联立得：，同理有 因为，所以， 所以 所以，即.    9．(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. （1）设动圆的半径为r，圆的圆心，半径， 显然点在圆内，则， 于是， 因此动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆， 长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以轨迹C的方程为. （2）（i）设，，，由（1）知，， 显然，，而，则， ，又，即， 所以，为定值. （ii）由消去x得， ， 由（i）得，又， 则 ，解得，满足， 因此直线PQ的方程为， 所以直线PQ过定点. 10．(1) (2)（i）或；（ii）证明见解析 （1） 由题意可知， 因为，所以. 设，则，所以， 又， 所以. 所以双曲线C的方程为. （2）（i）由题意知直线l的方程为. 联立，化简得， 因为直线l与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或； （ii）， 直线AD的方程为 直线BE的方程为. 联立直线AD与BE的方程，得， 所以， 所以， 所以 . 所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上. 11．(1) (2)①；②过定点，． （1）由题意可得， 解得，． 故椭圆的标准方程为． （2）①由（1）可知，． 直线的方程为， 联立解得则． 同理可得 故， 设，则． 因为点在椭圆上，所以，所以， 则， 故． ②法一：由①可知，，    设存在定点，则，． 由题意可知，则， 所以恒成立，所以，． 故以为直径的圆过定点，． 法二：由题意可知在轴的两侧，则以为直径的圆与轴有两个交点， 设以为直径的圆与轴的两个交点分别为（在的左侧）， 直线与轴的交点为， 则， 因为，所以， 则，即以为直径的圆过定点.    12．(1) (2)①证明见解析；② （1）根据题意可得，，， 则，所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）①因为直线过点， 可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交， 可设直线，，， 联立方程，消去可得， 则， 由根与系数的关系可得：，， 因为，， 可得直线，直线， 所以 ． 即，解得， 所以直线，的交点在直线上. ②设直线与直线，的交点分别为，， 则由（1）可知：直线，直线． 联立和方程， 解得，， 因为， 又因为点到直线的距离， 可得，只需求的最小值． 由弦长公式可得 ． 令，则． 可得 ， 当且仅当，即时等号成立． 即的最小值为，可得面积的最小值为． 故直线，，围成的三角形面积的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$