专题07 立体几何初步（知识梳理+10考点精讲精练+实战训练）-【决胜春考】2025年春季高考数学冲刺总复习（广东小高考专用）

专题07 立体几何初步 目录 考情回顾 1 考情解读 1 考点精讲 8 考点一：立体图形的结构特征、展开图、直观图 8 考点二：表面积与体积 12 考点三：外接球问题 17 考点四：内切球问题 19 考点五：空间点、直线、平面的位置关系 21 考点六：异面直线所成的角 25 考点七：直线与平面平行的判定与性质 30 考点八：平面与平面平行的判定与性质 37 考点九：证明线线、线面垂直 42 考点十：平面与平面垂直的判定与性质 48 实战训练 56 考情回顾 考点 考频 考查内容 立体图形的表面积和体积 5年1考 求立体图形的表面积和体积 外接球和内切球 5年2考 外接球和内切球问题 空间点、直线、平面的位置关系 5年2考 判断直线和直线、直线和平面的位置关系 直线与平面、平面与平面的平行 5年2考 直线与平面平行 直线与平面、平面与平面的垂直 5年2考 直线与平面垂直 考情解读 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图. (3)了解球、棱柱、楼锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线,平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. ①理解以下判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. ②理解以下性质定理 如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 (3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 知识梳理 1、空间几何体的结构特征 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （3）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （4）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （5）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （6）圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （7）球 球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 2、直观图 （1）空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. （2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 3、柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱，圆柱） 椎体（棱锥，圆锥） 台体（棱台，圆台） 球 4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 图示 侧面积公式 5、与平面有关的三个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面  数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,. （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内  数学语言：,,且, （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线  数学语言：,且 ,且 6、基本事实1的三个推论 推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;  推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;  推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.  7、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是异面直线 a⊂α 8、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. （2）直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： （3）直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 9、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 两个平面没有公共点 （2）平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： （3）平面与平面平行的性质定理 ①两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 ②两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面 符号语言： 10、直线与平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. 符号语言：对于任意，都有. （2）直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， （3）直线和平面垂直的性质定理 定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 11、平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的定义 定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 符号语言: 图形语言 （2）平面与平面垂直的判定 定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 符号（图形）语言:， （3）平面与平面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号（图形）语言：，， . 考点精讲 考点一：立体图形的结构特征、展开图、直观图 【典型例题】 解题策略 1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．　 S原图形＝S直观图． 3.多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 例1．如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 【答案】C 【分析】根据圆柱的形成即可得到答案. 【详解】以矩形的边所在直线为轴， 其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆柱. 故选：C. 例2．如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据长方体的性质求解. 【详解】在长方体中，， 故选：B 例3．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出圆锥底面周长，再根据扇形周长公式求其圆心角的大小. 【详解】由题设，底面周长，而母线长为， 根据扇形周长公式知：圆心角. 故选：C. 例4．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】由直观图画出原图的图像，分析求解边长，最后求解原的周长即可. 【详解】由直观图画出原图的图像，如图所示： ，， 所以， 所以原的周长为：. 故选：D 【即时演练】 1．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 【答案】D 【分析】根据圆锥定义可得结论. 【详解】依题意可知一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥. 故选：D 2．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【分析】根据锥体、柱体、台体等知识确定正确答案. 【详解】截去三棱锥，则剩余的部分是四棱锥. 故选：B 3．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出直观图的面积，再利用原图形面积是直观图面积的求解即得. 【详解】依题意，矩形的面积， 由原图形面积是直观图面积的，得原图形面积. 故答案为： 4．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先用面积公式得到的面积，把斜二测画出的三角形还原原图象，求得的面积，计算判断即可. 【详解】由，则， 如图，作出还原后，则， 故，所以. 故选：A.    考点二：表面积与体积 【典型例题】 解题策略 (1)空间几何体表面积的求法 ①旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． ②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)求空间几何体的体积的常用方法 ①公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解． ②割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体． ③等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积． 例1．四面体的各棱长均为2，则它的表面积 ． 【答案】 【分析】利用四面体的结构特征，三角形面积公式计算作答. 【详解】因为四面体的各棱长均为2，所以. 故答案为： 例2．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是 . 【答案】 【分析】利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】由题意可知，半径为的球体的表面积为. 故答案为：. 例3．已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为 . 【答案】 【分析】先求出圆锥底面的半径，再由圆锥的体积公式求解． 【详解】圆锥的底面半径为：， 则圆锥的体积为：． 故答案为： 例4．上、下底面面积分别为1，4，高为3的圆台体积为 . 【答案】7 【分析】由圆台体积公式即可求解. 【详解】由题意知,,， 所以. 故答案为：. 例5．在中，，，，若将绕所在的直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 . 【答案】 【分析】画出旋转体的图象，根据圆锥体积公式求出几何体的体积. 【详解】如图所示， 旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥， 所以， 所以旋转体的体积为：. 故答案为： 例6．如图，在长方体中，，则四棱锥的体积为 ． 【答案】4 【分析】根据题意，结合柱体和锥体的体积公式，结合，即可求解. 【详解】在长方体中，， 则三棱柱的体积为， 三棱锥的体积为， 所以. 故答案为：. 例7．若一个半径为的球和一个上，下底面边长分别为和的正四棱台的体积相同，则正四棱台的高为 ． 【答案】/ 【分析】利用球和正四棱台的体积公式直接建立等式计算即可． 【详解】解：球的体积为①， 设正四棱台的高为，则正四棱台的体积为②， 由， 解得：． 故答案为：． 【即时演练】 1．已知圆锥的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出圆锥的母线长和底面圆周长，代入圆锥侧面积公式即得. 【详解】由题意，圆锥的母线长为，底面圆周长为， 则圆锥的侧面积为 故选：B. 2．已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据圆柱的体积公式计算可得答案. 【详解】因为圆柱的底面积为1，高为2， 所以该圆柱的体积为. 故选：B. 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆锥侧面展开图的形状先求出圆锥的母线，然后求出半径，再由圆锥的体积公式进行求解. 【详解】设母线长为，依题意得，，解得，于是圆锥的高为， 根据圆锥的体积公式，其体积为：. 故选：B    4．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 【答案】C 【分析】求出，三棱锥的高为6，利用锥体体积公式求出答案. 【详解】正方体中，棱长为6， 故， 又三棱锥的高为6， 故. 故选：C 5．（2022高三下·广东·学业考试）若球O的表面积为cm2，则它的体积等于 cm3. 【答案】 【分析】根据球的表面积求解出球的半径，然后根据球的体积公式求得结果. 【详解】设球的半径为， 因为，所以， 所以， 故答案为： 考点三：外接球问题 【典型例题】 解题策略 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 例1．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是 ． 【答案】 【分析】先求出长方体对角线的长度，即得外接球的直径，再求球的表面积即可. 【详解】由题意，长方体的对角线的长度即外接球的直径，为， 故这个球的表面积是. 故答案为： 例2．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，由此可求出外接球的半径，再根据球的体积公式，即可求出结果. 【详解】若棱长为的正方体的顶点都在同一个球面上， 则球的直径等于正方体的体对角线长，即，（其中是该球的半径）， 所以，则球的体积． 故选：B． 例3．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为 ． 【答案】 【分析】设该正方体的棱长为，由正方体的性质得得到对角线，也就是外接球的直径，进而得到半径，然后利用球的体积公式得到关于的方程，求解即得. 【详解】设该正方体的棱长为，则该正方体的外接球的半径为. 由，得, 故答案为：. 【即时演练】 1．如果一个正四面体的四个顶点在同一个球面上，且这个球的表面积等于，那么该正四面体的体积为 ． 【答案】/ 【分析】正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接于球，画出图形，结合条件求出球的半径，正四面体的棱长，进而求出正四面体的体积. 【详解】正四面体内接于球，则相应的一个正方体内接于球， 设正方体为，则正四面体为，如图， 设球半径为，正四面体的棱长为，则正方体的棱长为， 则，得， 所以外接球的表面积为，即，所以， 设底面的中心为，， 则正四面体的高， 又底面的面积， 所以正四面体的体积. 故答案为：. 2．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于 . 【答案】 【分析】将三棱锥补成长方体，求长方体外接球的体积即可. 【详解】如图：    将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的. 设长方体外接球半径为，则：，所以 所以三棱锥的外接球体积为：. 故答案为： 考点四：内切球问题 【典型例题】 解题策略 “切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决． (2)体积分割是求内切球半径的通用方法． 例1．（2023高三·广东·学业考试）棱长为的正方体的内切球的直径为 . 【答案】 【分析】根据正方体的几何性质可得结果. 【详解】棱长为的正方体的内切球的直径为. 故答案为：. 例2．某正方体的棱长为，则该正方体内切球的表面积为 . 【答案】 【分析】根据正方体的棱长求出内切球的半径，进而求得内切球的表面积. 【详解】因为正方体的棱长为，所以内切球的半径为， 所以该正方体内切球的表面积为. 故答案为： 【即时演练】 1．一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 . 【答案】 【分析】正方体内切球的直径即为正方体的棱长，即可得到内切球的半径，从而求出内切球的体积； 【详解】解：依题意正方体内切球的直径即为正方体的棱长，即，所以内切球的体积 故答案为： 2．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥与内切球的轴截面图，列出等量关系，即可求解. 【详解】如图，圆锥与内切球的轴截面图，点为球心，内切球的半径为，为切点，设， 即， 由条件可知，， 在中，，即，解得：， 所以圆锥内切球的体积. 故选：D 考点五：空间点、直线、平面的位置关系 【典例讲解】 解题策略 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据面面平行的定义判断. 【详解】两个平面平行的定义是：两个平面没有公共点，则这两个平面平行，因此是的充要条件． 故选：C． 例2．（2023高三·广东·学业考试）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】还原为正方体根据空间直线的位置关系结合正方体的性质即得. 【详解】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体, 则BF与DN是异面直线，故①错误； CM与BN平行，故②错误； 由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确； AE与DN是异面直线，故④正确； 故正确个数为2． 故选：B. 例3．（2022高二上·广东·学业考试）已知直线与平面，则下列结论成立的是（    ） A．若直线垂直于平面内的一条直线，则 B．若直线垂直于平面内的两条直线，则 C．若直线平行于平面内的一条直线，则 D．若直线与平面没有公共点，则 【答案】D 【分析】利用空间线面位置关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，若直线垂直于平面内的一条直线，则或与相交（不一定垂直）或，A错； 对于B选项，若直线垂直于平面内的两条直线，则与的位置关系不确定，B错； 对于C选项，若直线平行于平面内的一条直线，则或，C错； 对于D选项，若直线与平面没有公共点，则，D对. 故选：D. 例4．已知直线a，b与平面，若a平行，b在内，则下列结论正确的是（   ） A． B．a与b是异面直线 C． D．以上情况都有可能 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质判断可得； 【详解】解：因为，，则，或与是异面直线或， 故选：D 【即时演练】 1．已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据空间中线、面关系结合充分、必要条件分析判断. 【详解】当“与异面”，若直线与l不相交，由于，则， 又，则，这与和异面相矛盾，故直线与l相交， 故“与异面”是“直线与l相交”的充分条件； 当“直线与l相交”，若与不异面，则与平行或相交， 若与平行，又，则，这与直线和l相交相矛盾； 若与相交，设，则且，得， 即A为直线的公共点，这与 相矛盾； 综上所述：与异面，即“与异面”是“直线与l相交”的必要条件； 所以“与异面”是“直线与l相交”的充分必要条件. 故选：C. 2．若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，是两条不同的直线，是一个平面，， 若，则或，故充分性不成立； 若，则在平面存在直线，使得，又，，所以，所以，故必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．内不存在与共面的直线 B．内不存在与异面的直线 C．内不存在与垂直的直线 D．内不存在与相交的直线 【答案】D 【分析】根据题意作出图形，利用空间线线，线面性质逐项判断从而可求解. 【详解】由题意作出下图，在正方体中，设所在直线为，平面所在平面为， 对A：由图及正方体性质可知，且平面，此时与共面，故A错误； 对B：由图及正方体性质可知与异面，且平面，故B错误； 对C：由图及正方体性质可知，且平面，故C错误； 对D：由平面，且平面，故D正确. 故选：D. 4．如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的性质结合空间中线线位置关系分析判断. 【详解】根据题意可知：、与相交，与平行，与异面， 故ABD错误，C正确. 故选：C. 考点六：异面直线所成的角 【典例讲解】 解题策略 求异面直线所成的角的方法和步骤 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解． 例1．在正四面体中，是的中点，在的延长线上，，则异面直线和所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，或其补角为异面直线和所成角，在中由余弦定理求得及和所成角的正弦值. 【详解】连接，因为，是的中点，所以， 所以或其补角为异面直线和所成角， 设正四面体的棱长为2，则， 在中由余弦定理得， 所以和所成角的正弦值为， 故选：B    例2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用几何法求出异面直线所成的角. 【详解】在正方体中，连接，四边形是其对角面， 则四边形是矩形，，于是是异面直线与所成的角， 而，即为正三角形，， 所以异面直线与所成的角为. 故选：C 例3．如图，在四面体中，分别是与的中点，若，，则与所成角的度数为（    ） A．90° B．45° C．60° D．30° 【答案】D 【分析】设为的中点，连接，由三角形中位线定理可得，，则或其补角即为与所成的角，结合，，，在中，利用三角函数相关知识即可得到答案. 【详解】设为的中点，连接， 则分别为的中位线， 所以 ，， ，， 则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数， 即或其补角即为与所成角， 又因为，， 所以， 则为直角三角形，，，， 在直角中，，即， 所以与所成角的度数为30°. 故选：D 例4．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把平移到，连结构成等边三角形，异面直线与所成角即为. 【详解】连结、，如下图： 在正方体中，且； 四边形为平行四边形，则； 又在正方体中，为等边三角形， 就是异面直线与所成角,， 异面直线与所成角的大小为. 故选：C. 【即时演练】 1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C.    2．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设正四面体的棱长为，取的中点，连接、，利用几何法求解作答. 【详解】如图，设正四面体的棱长为，取的中点，连接、， 因为、分别为、的中点，则且， 因此或其补角为直线与直线所成的角， 因为为等边三角形，为的中点，则，且， 同理，在等腰中，， 所以直线CM与直线BD所成角的余弦值为. 故选：B 考点七：直线与平面平行的判定与性质 【典例讲解】 解题策略 (1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线． (2)利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形． (3)在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行． 例1．（2023高三·广东·学业考试）如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．证明：EF∥平面AB1D1． 【答案】证明见解析 【分析】由直线与平面平行的判定定理，需要证明EF∥AD1. 【详解】证明:连接BC1，如图所示 ∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1， 在四棱柱中,底面ABCD为平行四边形，∴AB∥DC∥D1C1且AB=DC=D1C1， ∴四边形AB C1D1为平行四边形，有BC1∥AD1，∴EF∥AD1， ∵EF⊄平面AB1D1，AD1⊂平面AB1D1，∴EF∥平面AB1D1． 例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，PA=AC=2，PA⊥平面ABC，E，F分别为PD，BC的中点. （1）求三棱锥P-ABD的体积； （2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高） 【答案】（1）；（2）证明见详解； 【分析】（1）首先计算三棱锥的底面面积，根据三棱锥的体积公式求解即可；（2）根据线面平行的判定定理证明即可； 【详解】（1）因为在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形， 且AC=2，所以 则， 又PA⊥平面ABC， 所以. （2）取线段PA中点H，连接HE,BH, 因为E，F分别为PD，BC的中点， 所以,, 则, 所以四边形为平行四边形， 所以, 又面,面, 所以面. 例3．如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．    (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)与所成角的余弦值为. 【分析】（1）取的中点，连接；证明，根据线面平行判定定理证明平面； （2）根据异面直线夹角定义证明为直线与所成角，解三角形求其余弦值即可. 【详解】（1）取的中点，连接，    ∵分别为的中点，∴，， 由，且， ∴，且 ， ∴四边形为平行四边形，故， 又平面，平面， ∴平面； （2）因为， 所以为直线与所成角， 中，， 直角梯形中，，过作，为垂足，如图所示，    则，，，， ，所以为等腰三角形，则， 中，， 所以， 中，， 所以 所以与所成角的余弦值为. 例4．（2024高三上·广东·学业考试）如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点. (1)求证平面； (2)求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由条件可得，利用线面平行的判定定理即可证明； （2）由题意得，，从而平面，得，又，则，即最小时，最小，结合已知条件求解即可. 【详解】（1）∵平面，平面，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2）∵平面，平面，∴，， ∵，平面，平面，， ∴平面， ∵平面，∴， ∵，∴，即最小时，最小， ∵为线段上一点，∴当时，最小， ∵，∴为等腰直角三角形， ∴，∴， ∴面积的最小值为. 【即时演练】 1．如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.    (1)求证：平面ABC； (2)若，，求圆锥PO的体积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线可得线线平行，即可由线面平行的判定求证， （2）由圆锥的体积公式即可求解. 【详解】（1）由于D，E分别为母线PB，PC的中点,所以, 由于平面ABC,平面ABC,所以平面ABC （2）AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点， 所以,又，所以, 因此底面圆的半径为, 故圆锥PO的体积为， 2．如图，长方体，，. (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用锥体体积公式可求得三棱锥的体积； （2）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立. 【详解】（1）解：在长方体中，平面，且， 因为，，则，， 因此，三棱锥的体积为. （2）证明：在长方体中，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，因此，平面. 考点八：平面与平面平行的判定与性质 【典例讲解】 解题策略 (1)判定面面平行的主要方法 ①利用面面平行的判定定理． ②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)． (2)面面平行条件的应用 ①两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行． ②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行． 例1．如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点． (1)求证：四点共面 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）在上取一点N使得DN＝1，连接CN，EN，可证明四边形、四边形CNEB是平行四边形，可得，CNBE，则，即可证明结论； （2）利用数据可证明HGFB，，利用线面平行的判定定理可得到HG平面，平面，然后利用面面平行的判定定理即可得证 【详解】（1）在上取一点N使得DN＝1， 连接CN，EN，则AE＝DN＝1， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以， 同理四边形DNEA是平行四边形，所以ENAD，且EN＝AD， 又BCAD，且AD＝BC，所以ENBC，EN＝BC， 所以四边形CNEB是平行四边形，所以CNBE， 所以， 所以四点共面； （2）因为H是的中点，所以， 因为，所以， 因为，且， 所以， 所以， 所以HGFB， 因为HG平面，FB 平面，所以HG平面， 因为 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 平面，所以平面， 又平面 所以平面平面 例2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理证明即可得出结论. 【详解】连接，如下图所示： 由于平面，平面，则. 且，，则. 又，则，故. 又，则，又， 则四边形为平行四边形，则. 又平面，平面， 则平面； 由于，，则.又， 则， 则，则，则. 平面，平面， 则平面； 又平面，结合平面，平面， 可得平面平面. 【即时演练】 1．如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明出，得到四点共面； （2）先得到，，证明出线面平行，面面平行. 【详解】（1）∵，分别是，的中点， ∴是的中位线，∴， 又在三棱柱中，，∴， ∴，，，四点共面. （2）∵在三棱柱中，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面，∴平面. 又，是，的中点，所以，又. 所以， ∵平面，平面，∴平面. 又，平面， 所以平面平面. 2．在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形中位线证明，可证平面. （2）证明，，可证得平面，平面，所以平面平面. 【详解】（1）连接，正四棱锥中，为底面中心，则为中点， 又为的中点，则有， 平面，平面，所以平面. （2），分别为，的中点，则有， 平面，平面，则有平面， ，分别为，的中点，有， 又，则有， 平面，平面，则有平面， 平面，， 所以平面平面. 考点九：证明线线、线面垂直 【典例讲解】 解题策略 1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． 2.证明直线和平面垂直的常用方法 (1)判定定理． (2)直线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α)． 例1．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】利用线面位置关系判断ABC，利用线面平行的性质定理与面面垂直的判定定理判断D，从而得解. 【详解】对于A：若，，则或与相交，故A错误； 对于B：若，，则或，故B错误； 对于C：若，，则或或与相交，故C错误； 对于D：若，由线面平行的性质定理可得过的平面，若，则， 因为，所以，又，所以，故D正确； 故选：D. 例2．（2023高三·广东·学业考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F． (1)求证：平面PAC； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面，只需证这条直线与该平面内两条不相交的直线垂直即可； （2）先证明平面，再根据线面平行的性质证明，即可证明结论. 【详解】（1）证明：∵在四棱锥中，平面平面ABCD， ∴， ∵平面PAC， ∴平面PAC． （2）∵， 平面，平面， 故平面， 又过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F，即平面平面， ∴， ∴. 例3．（2023高三·广东·学业考试）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点. (1)证明BC⊥面PAC； (2)若求PB与面PAC的夹角. 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（1）由已知线面垂直得，由圆性质得，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直； （2）由（1）得是与平面所成的角，然后求出，再利用直角三角形得结论． 【详解】（1）证明：平面，平面，∴，同理， 是圆直径，在圆周上，因此， 又，平面，∴平面； （2）由（1）平面，∴是与平面所成的角， 又平面，∴， 由已知，，所以， ∴与平面所成的角是． 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证： (1)BC⊥平面PAC； (2)PB⊥平面AMN. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可证得PA⊥BC，BC⊥AC，再由线面垂直的判定定理即可证明. （2）由线面垂直的判定定理和性质定理即可证明. 【详解】（1）∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. ∵是直角三角形，AB为斜边，∴BC⊥AC， 又AC∩PA=A，AC，PA平面PAC，∴BC⊥平面PAC. （2）由（1）知BC⊥平面PAC， ∵AN⊂平面PAC，∴BC⊥AN， 又∵AN⊥PC，BC∩PC=C，BC，PC平面PBC， ∴AN⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC，∴AN⊥PB， 又∵PB⊥AM，AM∩AN=A，AM，AN⊂平面AMN， ∴PB⊥平面AMN. 【即时演练】 1．已知直线和两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由空间直线与平面，平面与平面的位置关系逐一判断即可. 【详解】若，则不一定平行，还可以相交，故A错误； 若，则，故B错误； 若，则不一定平行，还可以相交，故C错误； 若，则必存在直线，且， 而，所以，所以，故D正确. 故选：D 2．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理转化为证明线面平行，通过构造平行四边形，证明； （2）利用面面垂直的性质定理，即可证明. 【详解】（1）连结，因为分别是的中点， 所以，且， 因为点是的中点，所以，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 且平面，平面， 所以平面； （2）因为，为的中点，所以， 由平面，平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面， 所以平面； 3．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.    (1)证明：； (2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据题意可证平面，结合线面垂直的性质分析证明； （2）根据体积关系可得，利用等体积法可得到平面的距离为，再根据线面夹角的定义分析求解. 【详解】（1）因为，，平面， 可得平面，且平面，所以. （2）因为，，则， 由（1）可知：平面，可知三棱锥的高为， 则三棱锥的体积，解得， 设到平面的距离为，则， 因为，则，解得， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. 4．（2022高二上·广东·学业考试）如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且． (1)求证：平面PAC (2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明来证得平面. （2）先求得三棱锥的高，进而求得三棱锥的体积. 【详解】（1）∵PA为圆柱母线， ∴平面ACB， ∵平面， ∴， ∵AB为底面圆直径，∴， ∵平面APC，平面APC，， ∴平面PAC. （2）∵平面APC，平面平面APC， ∴平面ACM，BC为三棱锥的高，， ∵，M为PC中点， ∴，，， ∴. 考点十：平面与平面垂直的判定与性质 【典例讲解】 解题策略 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义． ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 例1．已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，，则下列推理正确的是（    ） A．，， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据线面位置关系分别判断各选项. 【详解】A选项：由面面垂直的性质定理可知，缺少条件“”的情况下，与的位置关系不确定，平行，相交或在内都有可能，故A选项错误； B选项：根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故B选项正确； C选项：若，，则与可能平行或相交，故C选项错误； D选项：，，则或者，故D错误； 故选：B． 例2．如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，连接，可证，故由线面平行的判定定理可得平面. （2）由线面垂直的判定定理可证平面，故可得平面平面. 【详解】（1） 设，连接， ∵底面是菱形，∴为的中点， 又∵是的中点，∴， 又平面，平面，∴直线平面. （2）∵底面是菱形，∴. 又平面，平面，∴. 又，平面，平面， ∴平面，∵平面，∴平面平面. 例3．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点． (1)求证：面面． (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）先根据线面垂直的性质得，结合，根据线面垂直的判定定理得到平面,再有面面垂直的判定定理即可证明； （2）利用，即可求解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以, 又是正方形，所以, 且,平面，平面， 所以平面, 又平面, 所以平面平面. （2）因为，所以, , 由于E是的中点， 所以, 即三棱锥的体积为. 【即时演练】 1．如图，在三棱锥中，，是正三角形． (1)求证：平面平面； (2)若，，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作交PC于，连接，根据已知条件可得即为二面角的平面角，利用边长关系可得，从而可得结论； （2）首先证明平面，利用等体积法求出点到平面的距离，由，即可得结果. 【详解】（1）作交PC于，连接， 设，由，得， 因为是正三角形，所以 在中，， 所以，所以， 故， 所以即为二面角的平面角， 因为，，则 所以，则 所以由面面垂直定义可知，平面平面． （2）因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面，设点到平面的距离为， 由，，，则， 由余弦定理可得：， 在中，，，，所以 则 在中，，，，由余弦定理可得：， 所以在中，，取的中点，连接 则，所以 则 根据等体积法可得：， 所以， 因为，所以与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面平面； (3)设点在棱上，，求二面角的正弦值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可. （2）先利用线面垂直判定定理得到平面，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可. （3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 因为平面, 所以三棱锥的体积. （2）因为平面,平面, 所以,又 平面,所以平面, 因为平面,所以平面平面. （3） 过点作于, 取的中点, 连接 因为平面平面所以平面⊥平面, 又平面平面平面 所以平面∥， 因为且是的中点, 所以平面, 所以是二面角的平面角, 因为是的中点，所以是的中点， 又//，所以是的中点, 在中, ， 所以即二面角的正弦值为. 3．如图，在直三棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再证面面垂直即得； （2）先证明，再利用三棱锥等体积转化即可求得点到平面的距离. 【详解】（1）在直三棱柱中，底面，因底面，所以， 又，平面,且，则平面， 又平面，故平面平面. （2）因为，所以， 又由（1）知，平面，平面，则， 设点B到平面的距离为d，因为， 即，解得，故点B到平面的距离为． 实战训练 一、单选题 1．一个圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与该圆柱的体积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球的半径为，即可求出球、圆柱的体积，从而得解. 【详解】设球的半径为，则， 依题意圆柱的底面半径为，高为，所以， 所以. 故选：D 2．如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明是异面直线CD与所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角． 【详解】∵， ∴是异面直线CD与所成的角或其补角， 在直角中，， ，所以， 所以异面直线CD与所成的角是， 故选：A． 3．如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】根据线面平行、线面垂直的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设，连接，由于是的中点，是的中点， 所以，而， 所以，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面， 所以平面，所以A选项正确. 由A选项的分析可知，而平面， 所以与平面相交，所以C选项错误. 由于与的夹角为，所以与平面不垂直，D选项错误. 设正方体的边长为，则，不满足勾股定理， 所以与不垂直，而平面，所以与平面不垂直， 所以B选项错误. 故选：A 4．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 【答案】C 【分析】正方体的体积减掉8个以为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积. 【详解】设此半正多面体模型的体积为， 则. 故选：C. 二、填空题 5．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m∥n，m⊥，那么n⊥； ②如果m⊥，m⊥，那么//； ③如果⊥，m∥，那么m⊥． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】①② 【分析】由线面垂直的判定定理可判断①；由线面垂直的性质可判断②；由面面垂直的性质可判断③ 【详解】解：对于①，由m∥n，m⊥，可得n⊥，所以①正确； 对于②，由m⊥，m⊥，可得//，所以②正确； 对于③，由⊥，m∥，可得直线m与平面可平行，可能相交但不垂直，可能垂直，还有可能直线m在平面内，所以③错误， 故答案为：①② 6．如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】先取中点为,连接,记与交点为,根据平行可知与BF所成角即为与所成角,通过正方体性质可得,即,根据可知,即,即可知与BF所成角为. 【详解】取中点为,连接,记与交点为,如图所示: 因为G,F分别是棱,的中点, 所以,且,故四边形为平行四边形, 所以,所以与BF所成角即为与所成角, 因为正方体,E,G是棱AD,的中点, 所以, 所以,即, 因为,所以, 所以, 故与所成角为,即与BF所成角为. 故答案为: 7．如图，在正方体中，E是的中点.给出下列三个结论： ①； ②； ③线段的长度大于线段的长度. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】连接，可判断①；连接、可判断②，通过计算可判断③. 【详解】连接、 、，并设正方体的棱长为. 对于①，由于，可知平面，①正确； 对于②，由于，又是的中点，易知，②正确； 对于③，、、是正方体的面对角线，可知， 因此是等边三角形，而是等边三角形边上的高线，因此，③正确. 故答案为：①②③ 三、解答题 8．如图，已知四边形ABCD是菱形，，绕着BD顺时针旋转得到，E是PC的中点. (1)求证：平面BDE； (2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接交于，连接，利用中位线可得到，再利用直线与平面平行的判定即可证明； （2）先根据（1）得到直线AP与平面PBC所成的角为直线与平面PBC所成的角，然后过作，利用面面垂直的性质定理得到平面，进而得到为直线与平面PBC所成的角，最后求的正弦值即可. 【详解】（1）连接交于，连接，因为四边形ABCD是菱形， 所以为的中点，又因为是的中点，所以， 平面，平面，所以平面. （2）过作，垂足为，连接， 由（1）知：， 则直线AP与平面PBC所成的角为直线与平面PBC所成的角， 易知，又是的中点，所以，同理， 又，面，所以面，又面， 所以面面，面面，面，， 所以面，所以为直线与平面PBC所成的角， 由△绕着BD顺时针旋转得到△，可得到， 假设，则， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 因为，所以，又为的中点，所以， 则在中，， 所以， 所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为. 9．如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据体积公式可求四棱锥的体积. （2）可证 ，结合可证平面. 【详解】（1）因为底面，故四棱锥的高为， 而正方形的面积为，故. （2）因为底面，而平面，故， 由正方形可得，因平面， 故平面. 10．如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得. （2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可. 【详解】（1）证法一：由题意知，为正三角形， D为AC的中点，所以， 又平面ABC，平面ABC，所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以. 证法二：如图，取中点E，连接DE，BE， 则或其补角即为异面直线与BD所成的角， 在中，，，， 则为直角三角形，， 即异面直线与BD所成的角为直角， 故. （2）因为为正三角形，，所以， 所以的面积， 又平面ABC，所以，， 所以的面积， 的面积， 由（1）可知，平面，所以，， 所以的面积， 所以三棱锥的表面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 立体几何初步 目录 考情回顾 1 考情解读 1 考点精讲 8 考点一：立体图形的结构特征、展开图、直观图 8 考点二：表面积与体积 10 考点三：外接球问题 12 考点四：内切球问题 12 考点五：空间点、直线、平面的位置关系 13 考点六：异面直线所成的角 15 考点七：直线与平面平行的判定与性质 16 考点八：平面与平面平行的判定与性质 19 考点九：证明线线、线面垂直 20 考点十：平面与平面垂直的判定与性质 23 实战训练 25 考情回顾 考点 考频 考查内容 立体图形的表面积和体积 5年1考 求立体图形的表面积和体积 外接球和内切球 5年2考 外接球和内切球问题 空间点、直线、平面的位置关系 5年2考 判断直线和直线、直线和平面的位置关系 直线与平面、平面与平面的平行 5年2考 直线与平面平行 直线与平面、平面与平面的垂直 5年2考 直线与平面垂直 考情解读 1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)会用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图. (3)了解球、棱柱、楼锥、台的表面积和体积的计算公式. 2.点、直线,平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. 公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理:空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补. (2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. ①理解以下判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. ②理解以下性质定理 如果一条直线与一个平面平行,经过该直线的任一个平面与此平面相交,那么这条直线就和交线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行. 如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 (3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题. 知识梳理 1、空间几何体的结构特征 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （3）棱台的定义 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间的那部分多面体叫做棱台 上底面：原棱锥的截面 下底面：原棱锥的底面 侧面：除上下底面以外的面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点 （4）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （5）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （6）圆台的定义 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台 轴：圆锥的轴 底面：圆锥的底面和截面 侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分 母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分 台体：棱台和圆台统称为台体 （7）球 球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 2、直观图 （1）空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. （2）斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 3、柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱，圆柱） 椎体（棱锥，圆锥） 台体（棱台，圆台） 球 4、圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 图示 侧面积公式 5、与平面有关的三个基本事实 （1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面  数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,. （2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内  数学语言：,,且, （3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线  数学语言：,且 ,且 6、基本事实1的三个推论 推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;  推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;  推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.  7、空间点、直线、平面之间的位置关系 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b是异面直线 a⊂α 8、直线与平面平行 （1）直线与平面平行的定义 直线与平面没有公共点，则称直线与平面平行. （2）直线与平面平行的判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号表述： （3）直线与平面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号表述：，， 9、平面与平面平行 （1）平面与平面平行的定义 两个平面没有公共点 （2）平面与平面平行的判定定理 如果一个平面内的有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号表述： （3）平面与平面平行的性质定理 ①两个平行平面，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 符号语言 ②两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行与另一平面 符号语言： 10、直线与平面垂直 （1）直线和平面垂直的定义 如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，那么直线垂直于平面，记为．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，垂线与平面的交点P叫垂足. 符号语言：对于任意，都有. （2）直线和平面垂直的判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 简记：线线垂直线面垂直 符号语言：，，，， （3）直线和平面垂直的性质定理 定义转化性质：如果一条直线与平面垂直，那么直线垂直于平面内所有直线. 符合语言：，. 性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. 符合语言：， 11、平面与平面垂直 （1）平面与平面垂直的定义 定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直. 符号语言: 图形语言 （2）平面与平面垂直的判定 定理：如果一个平面过另一个平面的的垂线，那么这两个平面垂直.(线面垂直，则面面垂直) 符号（图形）语言:， （3）平面与平面垂直的性质定理 定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 符号（图形）语言：，， . 考点精讲 考点一：立体图形的结构特征、展开图、直观图 【典型例题】 解题策略 1.在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半． 2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝S原图形．　 S原图形＝S直观图． 3.多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 例1．如图、以矩形的边所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体是（    ） A．圆锥 B．圆台 C．圆柱 D．球 例2．如图，在长方体中，，，则（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 例3．已知圆锥的底面直径为，母线长为，则其侧面展开图扇形的圆心角为（    ） A． B． C． D． 例4．用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中，，则原的周长为（    ） A． B． C．10 D．12 【即时演练】 1．一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转形成的曲面所围成的几何体是（    ） A．球体 B．圆柱 C．圆台 D．圆锥 2．如图所示，在三棱台中，沿平面截去三棱锥，则剩余的部分是（    ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 3．如图，矩形是由斜二侧画法得到的水平放置的一个平面图形的直观图，其中，，则原图形面积为 ． 4．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为(    ).    A． B． C． D． 考点二：表面积与体积 【典型例题】 解题策略 (1)空间几何体表面积的求法 ①旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． ②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (2)求空间几何体的体积的常用方法 ①公式法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解． ②割补法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体． ③等体积法：通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积． 例1．四面体的各棱长均为2，则它的表面积 ． 例2．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作球体教具，他们制作的球体，半径为，这种球体的表面积是 . 例3．已知某圆锥的母线长为4，高为，则圆锥的体积为 . 例4．上、下底面面积分别为1，4，高为3的圆台体积为 . 例5．在中，，，，若将绕所在的直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为 . 例6．如图，在长方体中，，则四棱锥的体积为 ． 例7．若一个半径为的球和一个上，下底面边长分别为和的正四棱台的体积相同，则正四棱台的高为 ． 【即时演练】 1．已知圆锥的底面半径为1，高为，则这个圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知圆柱的底面积为1，高为2，则该圆柱的体积为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点.若，则三棱锥的体积是（    ） A．72 B．54 C．36 D．18 5．（2022高三下·广东·学业考试）若球O的表面积为cm2，则它的体积等于 cm3. 考点三：外接球问题 【典型例题】 解题策略 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 例1．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为2，1，1，那么这个球的表面积是 ． 例2．已知一个棱长为的正方体的顶点都在球面上，则该球体的体积为（ ） A． B． C． D． 例3．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的棱长为 ． 【即时演练】 1．如果一个正四面体的四个顶点在同一个球面上，且这个球的表面积等于，那么该正四面体的体积为 ． 2．三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球体积等于 . 考点四：内切球问题 【典型例题】 解题策略 “切”的问题处理规律 (1)找准切点，通过作过球心的截面来解决． (2)体积分割是求内切球半径的通用方法． 例1．（2023高三·广东·学业考试）棱长为的正方体的内切球的直径为 . 例2．某正方体的棱长为，则该正方体内切球的表面积为 . 【即时演练】 1．一个正方体的棱长为2，若一个球内切于该正方体，则此球的体积是 . 2．已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 考点五：空间点、直线、平面的位置关系 【典例讲解】 解题策略 空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、基本事实4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决． 例1．（2023高三·广东·学业考试）已知α和β是两个不同平面，A:，B:α和β没有公共点，则A是B的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．（2023高三·广东·学业考试）下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（2022高二上·广东·学业考试）已知直线与平面，则下列结论成立的是（    ） A．若直线垂直于平面内的一条直线，则 B．若直线垂直于平面内的两条直线，则 C．若直线平行于平面内的一条直线，则 D．若直线与平面没有公共点，则 例4．已知直线a，b与平面，若a平行，b在内，则下列结论正确的是（   ） A． B．a与b是异面直线 C． D．以上情况都有可能 【即时演练】 1．已知a，b为两条直线，，为两个平面，且满足，，，，则“与异面”是“直线与l相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，是两条不同的直线，是一个平面，，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（    ） A．内不存在与共面的直线 B．内不存在与异面的直线 C．内不存在与垂直的直线 D．内不存在与相交的直线 4．如图，在正方体中，与平行的是（    ） A． B． C． D． 考点六：异面直线所成的角 【典例讲解】 解题策略 求异面直线所成的角的方法和步骤 (1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移． (2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解． 例1．在正四面体中，是的中点，在的延长线上，，则异面直线和所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，在正方体中，异面直线与所成的角为（    ） A． B． C． D． 例3．如图，在四面体中，分别是与的中点，若，，则与所成角的度数为（    ） A．90° B．45° C．60° D．30° 例4．在正方体中，异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 2．已知正四面体，M为AB中点，则直线CM与直线BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 考点七：直线与平面平行的判定与性质 【典例讲解】 解题策略 (1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线． (2)利用面面平行的性质证明线面平行时，关键是构造过该直线与所证平面平行的平面，这种方法往往借助于比例线段或平行四边形． (3)在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行． 例1．（2023高三·广东·学业考试）如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，CC1的中点．证明：EF∥平面AB1D1． 例2．如图，在四棱锥P-ABCD中，底边ABCD是边长为2的菱形，PA=AC=2，PA⊥平面ABC，E，F分别为PD，BC的中点. （1）求三棱锥P-ABD的体积； （2）证明：EF∥平面PAB（参考公式：锥体的体积公式为V= ，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高） 例3．如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．    (1)求证平面； (2)求与所成角的余弦值． 例4．（2024高三上·广东·学业考试）如图，直线和直线均垂直于平面，且，，为线段上一动点. (1)求证平面； (2)求面积的最小值. 【即时演练】 1．如图，P为圆锥的顶点，O为底面圆的圆心，AC为底面圆的直径，B是底面圆周上不同于A，C的任意一点，点D，E分别为母线PB，PC的中点.    (1)求证：平面ABC； (2)若，，求圆锥PO的体积. 2．如图，长方体，，. (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面. 考点八：平面与平面平行的判定与性质 【典例讲解】 解题策略 (1)判定面面平行的主要方法 ①利用面面平行的判定定理． ②线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)． (2)面面平行条件的应用 ①两平面平行，分别构造与之相交的第三个平面，交线平行． ②两平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行． 例1．如图所示，已知是棱长为3的正方体，点E在上，点F在上，G在上，且，H是的中点． (1)求证：四点共面 (2)求证：平面平面． 例2．如图，在四棱锥中，平面，，，，，，证明：平面平面 【即时演练】 1．如图，在正三棱柱中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面平面； 2．在正四棱锥中，为底面中心，，，分别为，，的中点，点在棱上，且. (1)证明：平面. (2)证明：平面平面. 考点九：证明线线、线面垂直 【典例讲解】 解题策略 1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系． (2)利用等腰三角形底边中线的性质． (3)利用勾股定理的逆定理． (4)利用直线与平面垂直的性质． 2.证明直线和平面垂直的常用方法 (1)判定定理． (2)直线垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)． (3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)． (4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α)． 例1．设是直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2．（2023高三·广东·学业考试）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，过CD的平面分别与PA，PB交于点E，F． (1)求证：平面PAC； (2)求证：． 例3．（2023高三·广东·学业考试）如图，圆的直径为4，直线PA垂直圆所在的平面，C是圆上的任意一点. (1)证明BC⊥面PAC； (2)若求PB与面PAC的夹角. 例4．（2023高三·广东·学业考试）已知的斜边为AB，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于M，AN⊥PC于N.求证： (1)BC⊥平面PAC； (2)PB⊥平面AMN. 【即时演练】 1．已知直线和两个不重合的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为直角三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱称为“垫堵”．如图，在垫堵中，已知，且点，，分别是，，边的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面． 3．如图，在四棱锥中，四边形是矩形，.    (1)证明：； (2)若，三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值. 4．（2022高二上·广东·学业考试）如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且． (1)求证：平面PAC (2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积． 考点十：平面与平面垂直的判定与性质 【典例讲解】 解题策略 (1)判定面面垂直的方法 ①面面垂直的定义． ②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)． (2)已知平面垂直时，解题一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，将问题转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直． 例1．已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，，则下列推理正确的是（    ） A．，， B．， C．， D．， 例2．如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证： (1)直线平面； (2)平面平面. 例3．如图，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中点． (1)求证：面面． (2)若，求三棱锥的体积． 【即时演练】 1．如图，在三棱锥中，，是正三角形． (1)求证：平面平面； (2)若，，求与平面所成角的正弦值． 2．如图，在三棱锥中，平面，，，． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面平面； (3)设点在棱上，，求二面角的正弦值． 3．如图，在直三棱柱中，，，． (1)求证：平面平面； (2)若，求点B到平面的距离． 实战训练 一、单选题 1．一个圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与该圆柱的体积之比为（    ）． A． B． C． D． 2．如图，在长方体，中，，，则异面直线CD与所成的角的大小为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在正方体中，分别为棱，的中点.下列结论正确的是（    ） A．平面B．平面 C．平面 D．平面 4．小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为，如图1所示，然后截去以为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（    ）    A．108 B．162 C．180 D．189 二、填空题 5．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面．给出下列三个命题： ①如果m∥n，m⊥，那么n⊥； ②如果m⊥，m⊥，那么//； ③如果⊥，m∥，那么m⊥． 其中所有真命题的序号是 ． 6．如图,在正方体中,点E,F分别是棱AD,的中点,则异面直线与BF所成角的大小为 ． 7．如图，在正方体中，E是的中点.给出下列三个结论： ①； ②； ③线段的长度大于线段的长度. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题 8．如图，已知四边形ABCD是菱形，，绕着BD顺时针旋转得到，E是PC的中点. (1)求证：平面BDE； (2)求直线AP与平面PBC所成角的正弦值. 9．如图，四棱锥的底面是正方形，底面.    (1)若，求四棱锥的体积 (2)求证：平面 10．如图，在正三棱柱中，D为AC的中点. (1)求证：； (2)若，，求三棱锥的表面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$