第01讲 直线的倾斜角与斜率（3个知识点+3种必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第一章第01讲 直线的倾斜角与斜率 课程标准 学习目标 1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养． 2. 通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养. 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点) 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 知识点01．倾斜角的相关概念 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度 【即学即练1】（24-25高三上·上海·阶段练习）设图像的一条对称轴是直线，则直线的倾斜角为 . 【即学即练2】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）经过点、两点的直线的倾斜角为 . 知识点02．斜率的概念及斜率公式 1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α≠） （2）斜率公式：k＝． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 4.斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0 【即学即练3】（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 . 【即学即练4】（23-24高二上·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 知识点03倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 【即学即练5】若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【即学即练6】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 题型一：斜率与倾斜角的变化关系 1．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 3．（24-25高二上·上海·期中）若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是 . 4．（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 题型二：已知两点求斜率 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知两点、，则过点、的直线的倾斜角为 ． 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 3．（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 4．（22-23高二上·上海青浦·阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 题型三：已知斜率求参数 1．（21-22高二下·上海松江·期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 2．（23-24高二上·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 3．（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 一、填空题 1．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    2．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若，，且过点的直线l与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围是 . 3．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）设点，，直线l过点且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是 ． 二．选择题 4．（2023春•宝山区期末）若，，则直线不经过第　　象限 A．一 B．二 C．三 D．四 5．（2022秋•嘉定区校级期末）下列说法正确的是　　 A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大 B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 C．任何一条直线都有唯一的斜率 D．任何一条直线都有唯一的倾斜角 6．（2023秋•宝山区校级期末）直线倾斜角的范围是　　 A．， B．， C．， D．， 7．（2023春•闵行区校级月考）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的所有直线中　　 A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 三、解答题 8．（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 9．（2021秋•奉贤区校级月考）若求直线经过、两点．求： （1）求直线的倾斜角关于的函数解析式； （2）直线的倾斜角的取值范围． 10．（2022秋•浦东新区校级月考）（1）设坐标平面内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 11．（2023•浦东新区校级开学）设直线的方程是，其倾斜角为． （1）若，求实数的取值范围； （2）若将倾斜角用表示，求关于的函数关系． 12．（2022秋•浦东新区校级月考）已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知，是一组“共轭线对”，求的最小值； （2）已知点、点和点分别是三条直线，，上的点，，与，，均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标． 13．（2022秋•浦东新区校级月考）设直线的方程为，其倾斜角为． （1）将倾斜角表示成的函数； （2）①若，求的取值范围； ②若，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章第01讲 直线的倾斜角与斜率 课程标准 学习目标 1. 通过倾斜角概念的学习，提升直观想象的数学素养． 2. 通过斜率和直线方向向量的学习，培养逻辑推理和数学运算的数学素养. 1.理解直线的斜率和倾斜角的概念．(重点) 2．理解直线的方向向量和向量坐标表示．(重点) 3．了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率．(难点) 知识点01．倾斜角的相关概念 1．定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2．范围：[0，π） （特别地：当直线l和x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0°） 3．意义：体现了直线对x轴正方向的倾斜程度． 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角． (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度 【即学即练1】（24-25高三上·上海·阶段练习）设图像的一条对称轴是直线，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】先根据函数的对称轴是直线，推断出，求得a和b的关系，进而求得直线的斜率，则直线的倾斜角可求得． 【详解】因为函数图像的一条对称轴是直线， 所以，即，所以， 所以直线的斜率为， 由于，所以直线的倾斜角为， 故答案为：. 【即学即练2】（24-25高二上·上海闵行·阶段练习）经过点、两点的直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据两点的坐标求得斜率，结合倾斜角与斜率的关系，可得答案. 【详解】由题意可得直线的斜率，则，解得. 故答案为：. 知识点02．斜率的概念及斜率公式 1．定义：当直线倾斜角α≠时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α≠） （2）斜率公式：k＝． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α≠时，k＝tanα；当α＝时，斜率不存在； ②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（，π）时，k＜0且随α的增大而增大． 4.斜率与倾斜角的对应关系． 图示 倾斜角 (范围) α＝0° 0°＜α＜90° α＝90° 90°＜α ＜180° 斜率 (范围) 0 (0，＋∞) 不存在 (－∞，0) 注意点： (1)当x1＝x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关． (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换． (4)若直线与x轴平行或重合，则k＝0 【即学即练3】（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 . 【答案】 【分析】根据斜率的定义结合同角三角关系运算求解. 【详解】因为，且，则， 所以直线l斜率为. 故答案为：. 【即学即练4】（23-24高二上·安徽亳州·期中）过，的直线的斜率大于，则满足条件的一个a值可以为 . 【答案】（满足的一个值即可） 【分析】根据两点的斜率公式计算可得. 【详解】因为过，的直线的斜率大于，所以， 则，解得． 故答案为：（满足的一个值即可） 知识点03倾斜角和斜率的应用 设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 【即学即练5】若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用倾斜角与斜率的定义、正切函数的图象与性质运算即可得解. 【详解】解：设直线的倾斜角为，则，斜率. 由题意，直线的斜率，则： 当时，； 当时，； 综上知，直线的倾斜角的取值范围是. 故答案为： 【即学即练6】已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解　如图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 题型一：斜率与倾斜角的变化关系 1．（22-23高二下·上海黄浦·期中）直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意知,若 a = 0  ,则倾斜角为, 若,则, ①当时，(当且仅当时，取“”)， ②当时，(当且仅当时，取“”)， ，故， 综上，， 故选：C. 2．（24-25高二上·上海·期中）已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论. 【详解】因为在上为增函数,所以, 因为在上为增函数,所以, 又时,直线的斜率不存在, 所以直线的斜率的取值范围是. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）若直线的倾斜角的取值范围是，则其斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据斜率与倾斜角的关系求斜率范围. 【详解】由，则. 故答案为： 4．（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）若直线经过两点，斜率为，倾斜角为. (1)用分别表示直线的斜率和倾斜角； (2)求的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）计算，根据和两种情况得到倾斜角. （2），得到倾斜角范围. 【详解】（1）， 当或时，，； 当时，，； （2），所以. 题型二：已知两点求斜率 1．（23-24高二上·上海浦东新·期中）已知两点、，则过点、的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可求得直线的倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 则，所以，. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，，直线是过点且与线段AB相交且斜率存在，则的斜率的取值范围是 【答案】 【分析】利用斜率计算公式可得，，根据直线过点且与线段相交，数形结合即可求出直线的斜率的取值范围． 【详解】因为，，， 所以，． 直线过点且与线段相交，如下图所示： 或， 直线的斜率的取值范围是：． 故答案为：． 3．（24-25高二上·上海·单元测试）若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据两点斜率公式求得斜率，再根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】因为直线的斜率， 又因为直线的倾斜角为锐角， 所以，解得. 故答案为： 4．（22-23高二上·上海青浦·阶段练习）已知线段两端点的坐标分别为和，若直线恒过，且与线段有交点，则的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及直线的斜率公式即可求解. 【详解】因为直线恒过,和， 所以，. 由题意可知，直线的斜率存在且的斜率，若直线与线段有交点，如图所示 由图象可知，或,即或， 所以的斜率的取值范围是为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·上海·课后作业）若，则经过两点，的直线的倾斜角为 ． 【答案】 【分析】根据两点求出斜率，再结合斜率和倾斜角的关系可解. 【详解】因为， 所以 又因为， 且， 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 6．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 题型三：已知斜率求参数 1．（21-22高二下·上海松江·期末）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】结合倾斜角与斜率、两角和与差的正切公式求得正确答案. 【详解】设直线的倾斜角为、直线的倾斜角为， 由于的斜率为，即， 所以， 由于直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角不是，斜率存在，且斜率为. 所以，解得， 或，解得. 所以实数的值为或. 故答案为：或 2．（23-24高二上·上海·课后作业）已知三个不同的点、、在同一条直线上，求实数的值． 【答案】或 【分析】依题意可得，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可. 【详解】因为三个不同的点、、在同一条直线上， 所以，即，解得或，经检验符合题意. 3．（22-23高二上·上海浦东新·开学考试）设直线l的方程是，其倾斜角为． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若将倾斜角用m表示，求关于m的函数关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由斜率与倾斜角的关系即可建立不等式求解； （2）分别讨论、，由斜率与倾斜角的关系即可求得 【详解】（1）当，斜率，解得； （2）i.时，，； ii.时，，斜率，， 综上， 一、填空题 1．（23-24高二上·上海杨浦·期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是 .    【答案】 【分析】根据题意线段，，分别找出点落在线段上的临界位置，即可求解. 【详解】由题意知：，，设，则线段的斜率：， 为使点落在线段上（不包括端点），所以得：当落到点，点时为相应的两种临界位置， 当落到点时： 由题意知：点为的中点，且从点出发又回到点，所以可得：此时位于线段的中点位置， 所以得此时的斜率：； 当落到点时： 点与点重合，如下图所示，设，可得：，且， 所以得：，，， 所以得：，解之得：, 所以此时斜率：， 综上所述：可得的斜率范围为：，即. 故答案为：.    2．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）若，，且过点的直线l与线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围是 . 【答案】， 【分析】先计算直线的斜率，根据题意结合图象可得直线l的斜率的取值范围及倾斜角的取值范围. 【详解】因为直线的斜率，倾斜角为， 直线的斜率，倾斜角为， 如图所示，    可得直线l的斜率的取值范围为，倾斜角的取值范围. 故答案为：，. 3．（23-24高二上·上海浦东新·阶段练习）设点，，直线l过点且与线段相交，则l的斜率k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得，要使得直线l过点且与线段相交，结合图象，得到或，即可求解. 【详解】如图所示，由，，且， 可得， 要使得直线l过点且与线段相交，则满足或， 所以直线的斜率k的取值范围是. 故答案为：.      二．选择题 4．（2023春•宝山区期末）若，，则直线不经过第　　象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【分析】由题意，把直线的方程化为斜截式，根据直线的斜率以及它在轴上的截距，确定它的位置． 【解答】解：若，，则直线即， 故直线的斜率，直线在轴上的截距， 故直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：． 【点评】本题主要考查确定直线位置关系的几何要素，属于基础题． 5．（2022秋•嘉定区校级期末）下列说法正确的是　　 A．直线的倾斜角越大，它的斜率越大 B．两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也相等 C．任何一条直线都有唯一的斜率 D．任何一条直线都有唯一的倾斜角 【分析】根据直线的倾斜角和斜率概念分别判断即可． 【解答】解：对于：直线的倾斜角，，，，所以错误； 对于：两直线的倾斜角相等为，斜率不存在，所以错误； 对于：当直线的倾斜角为时直线斜率不存在，所以错误； 对于：任何一条直线都有唯一的倾斜角，所以正确． 故选：． 【点评】本题考查直线的斜率与直线的倾斜角的关系，是基础题． 6．（2023秋•宝山区校级期末）直线倾斜角的范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【分析】根据直线倾斜角的定义判断即可． 【解答】解：直线倾斜角的范围是：，， 故选：． 【点评】本题考查了直线倾斜角的范围，考查倾斜角的定义，是一道基础题． 7．（2023春•闵行区校级月考）在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若为无理数，则在过点的所有直线中　　 A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点 B．恰有条直线，每条直线上至少存在两个有理点 C．有且仅有一条直线至少过两个有理点 D．每条直线至多过一个有理点 【分析】根据题意，假设一条直线上存在两个有理点，由此推断满足条件的直线有多少即可． 【解答】解：设一条直线上存在两个有理点，，，， 由于也在此直线上， 所以，当时，有为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点； 当时，直线的斜率存在，且有， 又为无理数，而为有理数， 所以只能是，且， 即； 所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是； 所以，正确的选项为． 故选：． 【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目． 三、解答题 8．（23-24高二上·上海·课后作业）在平面直角坐标系中有一个边长为1的正方形，其中点为坐标原点，点、分别在轴和轴上，点在第一象限．求直线和的斜率，并讨论这两个斜率之间的关系． 【答案】 【分析】根据已知建系，先根据两点求斜率公式求出斜率，最后找到斜率关系即可. 【详解】   如图建系， 9．（2021秋•奉贤区校级月考）若求直线经过、两点．求： （1）求直线的倾斜角关于的函数解析式； （2）直线的倾斜角的取值范围． 【分析】（1）根据题意，求出直线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系可得答案； （2）根据题意，分析的取值范围，结合正切函数的图象分析可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，直线经过、两点， 则其斜率， 则有， （2）根据题意，由（1）的结论，，即， 而，由正切函数的图象，可得的范围为，，． 【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的计算，涉及正切函数的性质，属于基础题． 10．（2022秋•浦东新区校级月考）（1）设坐标平面内三点、、，若直线的斜率是直线的斜率的3倍，求实数的值； （2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率． 【分析】（1）由已知结合直线的斜率公式即可求解； （2）结合直线的倾斜角与斜率关系即可求解． 【解答】解：（1）由， 即，解得或， 经检验均符合题意，故的值是1或2， （2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由已知，，则直线的斜率为． 【点评】本题主要考查了直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率关系的应用，属于基础题． 11．（2023•浦东新区校级开学）设直线的方程是，其倾斜角为． （1）若，求实数的取值范围； （2）若将倾斜角用表示，求关于的函数关系． 【分析】（1）根据直线的倾斜角与斜率关系，函数思想即可求解； （2）根据直线的倾斜角与斜率关系，反三角函数的定义即可求解． 【解答】解：（1），其倾斜角为，且， ， ， ，， ，， ， ，； （2）， ． 【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率关系，反三角函数的定义，函数思想，属基础题． 12．（2022秋•浦东新区校级月考）已知点和非零实数，若两条不同的直线，均过点，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直线，是一组“共轭线对”，其中是坐标原点． （1）已知，是一组“共轭线对”，求的最小值； （2）已知点、点和点分别是三条直线，，上的点，，与，，均不重合），且直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，直线，是“共轭线对”，求点的坐标． 【分析】（1）结合已知定义，利用基本不等式即可求解； （2）结合直线定义可分别求出，，，进而可求三条直线，联立方程可求． 【解答】解：（1）设的斜率为，则的斜率为， 则 等号成立的条件是，所以最小值为； （2）设直线，，的斜率分别为，，， 则 得或，，， 当时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 当，，时，直线的方程为，直线的方程为，联立得，； 故所求为或． 【点评】本题以新定义为载体，主要考查了直线的斜率关系的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题． 13．（2022秋•浦东新区校级月考）设直线的方程为，其倾斜角为． （1）将倾斜角表示成的函数； （2）①若，求的取值范围； ②若，求的取值范围． 【分析】（1）根据已知条件，分，，三种情况讨论，即可求解． （2）①结合（1）的结论，分分，，三种情况讨论，并取并集，即可求解． ②直线的斜率，根据的取值范围，可求得的取值范围，再结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解． 【解答】解：（1）当时，，当时，直线的斜率 若，则， 当，则， 即． （2）①当时，，故，解得，，显然成立， 当时，，故，解得， 综上所述，的取值范围是． ②已知， 则， 又， 故的范围是． 【点评】本题主要考查直线的倾斜角，考查转化能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$