第04讲 数学归纳法（2大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选择性必修第一册）

第四章第04讲 数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 知识点 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 【即学即练】用数学归纳法证明：. 题型一：数学归纳法 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·上海·期中）已知是关于正整数n的命题，现在小杰为了证明该命题，已经证明了命题、、均成立，并对任意的且，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切且均成立，则m的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不存在 3．（22-23高一下·上海杨浦·开学考试）用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 5．（21-22高二上·上海青浦·期末）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 6．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 7．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 8．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）下列命题正确的有（ ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．（23-24高二上·上海静安·期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 10．（23-24高二下·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 11．（23-24高二上·上海宝山·期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 三、解答题 12．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 题型二：数学归纳法的应用 1．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）在数列中，，（n为正整数）． (1)求，的值； (2)证明：． 5．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 6．（21-22高二下·上海普陀·期末）在数列中，为正整数. (1)若数列为常数列，求的通项； (2)若，用数学归纳法证明：. 7．（22-23高一下·上海浦东新·期末）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件. (1)求、的值，并写出与满足的关系式； (2)利用数学归纳法证明销售总量一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由. 8．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 9．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 10．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知数列满足，. (1)写出数列的前四项； (2)判断数列的单调性； (3)求证：. 一、单选题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·课前预习）一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当n取第 个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，k为正整数）时命题成立，证明当 时命题也成立． 那么，命题对于从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时，第一步取 验证． 5．（24-25高二·上海·随堂练习）利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在数列中，，且，则 ． 三、解答题 7．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明． 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 9．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 10．（24-25高二上·上海·单元测试）已知，. (1)求，，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 11．（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列的通项公式（n为正整数），为其前n项和． (1)计算，，，的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 12．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 13．（22-23高二下·上海闵行·阶段练习）已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，…. (1)若数列A为等差数列且，求其公差d； (2)若，求的值； (3)若，，求数列的前100项和. 14．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章第04讲 数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 知识点 数学归纳法 1．数学归纳法 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当n＝n0时命题成立； （2）假设当n＝k（k∈N+，且k≥n0）时命题成立，证明n＝k+1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立．这种证明方法称为数学归纳法． 2．用数学归纳法证明时，要分两个步骤，两者缺一不可． （1）证明了第一步，就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的正确性． 在这一步中，只需验证命题结论成立的最小的正整数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数成立． （2）证明了第二步，就获得了推理的依据．仅有第二步而没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论，因为单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对n0+1，n0+2，…，是否正确． 在第二步中，n＝k命题成立，可以作为条件加以运用，而n＝k+1时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明． 完成一，二步后，最后对命题做一个总的结论． 3．用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： ①明确初始值n0并验证真假．（必不可少） ②“假设n＝k时命题正确”并写出命题形式． ③分析“n＝k+1时”命题是什么，并找出与“n＝k”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项． ④明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设． 【即学即练】用数学归纳法证明：. 【分析】直接利用数学归纳法证明问题的步骤证明. 【详解】（1）当时，左边，右边，不等式成立. （2）假设当，时，不等式成立，即有， 则当时，左边 ， 又 即， 即当时，不等式也成立. 综上可得，对于任意，成立. 【点睛】本题考查了用数学归纳法证明不等式，还考查了放缩法，弄清从到不等式左右增加的式子是解决问题的关键，属于中档题. 题型一：数学归纳法 一、单选题 1．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 2．（22-23高二上·上海·期中）已知是关于正整数n的命题，现在小杰为了证明该命题，已经证明了命题、、均成立，并对任意的且，在假设成立的前提下，证明了成立，其中m为某个固定的整数，若要用上述证明说明对一切且均成立，则m的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不存在 【答案】C 【分析】由归纳法的步骤知，在假设f（k）成立的前提下，证明了f（k+m）成立，由此类推，对n＞m的任意整数均成立，而小明证明了命题f（1），f（2），f（3）均成立，由此可得m的最大值． 【详解】由题意可知，对都成立， 假设成立的前提下，证明了成立，所以m的最大值可以为3． 故选：C． 3．（22-23高一下·上海杨浦·开学考试）用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取和带入左式相减得到答案. 【详解】等式左边需增加的代数式是： . 故选：A 4．（23-24高二下·上海宝山·阶段练习）已知，则共有（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【分析】 依题意，分别写出的表达式，在中去掉中的项，即得剩余项的项数. 【详解】由可得，， 故的表达式中共有项数为. 故选：D. 5．（21-22高二上·上海青浦·期末）用数学归纳法证明“”，验证成立时等式左边计算所得项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数学归纳法求解即可. 【详解】表达式的左边是从开始加到结束， 所以验证成立时等式左边计算所得项是. 故选：D 6．（23-24高二下·上海·期末）现有命题：，用数学归纳法探究此命题的真假情况，下列说法正确的是（    ） A．不能用数学归纳法判断此命题的真假 B．此命题一定为真命题 C．此命题加上条件后才是真命题，否则为假命题 D．存在一个无限大的常数，当时，此命题为假命题 【答案】B 【分析】直接用数学归纳法证明可得答案． 【详解】①当时，左边，右边，左边右边，即时，等式成立； ②假设时，等式成立， 即，则当时， ， 即当时，等式成立． 综上，对任意， 等式恒成立， 所以ACD错误. 故选：B． 7．（24-25高二上·上海青浦·阶段练习）利用数学归纳法证明不等式（，且）的过程，由到时，左边增加了（   ） A．项 B．项 C．项 D．k项 【答案】B 【分析】根据给定条件，探讨从变到不等式左边增加的部分即可得解. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 增加的项为，共有项. 故选：B 8．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）下列命题正确的有（ ）个 （1）若数列为等比数列，为其前n项和，则，，也成等比数列； （2）数列的通项公式为，则对任意的，存在，使得； （3）设为不超过实数x的最大整数，例如：，，.设a为正整数，数列满足，，记，则M为有限集． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】（1）取特列，分析判断；（2）根据实数的性质分析判断；（3）利用数学归纳法证明，即可得结果. 【详解】对（1）：设等比数列的公比为， 若，则，可得， 则，故，，不是等比数列，（1）错误； 对（2）：根据实数性质可得：对，均存在，使得，， 故对，均存在，使得，则，（2）正确； 对（3）：若，则，故，且. 下证对，， 当时，，即； 假设当时，； 当时，则 ∵，当且仅当，即时，等号成立， 则； 故对，. ∵，，则，可得， 可得， ∵， 下证， 当时，则成立； 假设当时，则成立； 当时，则，即； 故. 可得，且，即的取值可能是有限的， 故为有限集，（3）正确； 故选：C. 【点睛】关键点点睛： ①对，则，且； ②在数列递推性质时，常用数学归纳法证明. 二、填空题 9．（23-24高二上·上海静安·期中）用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上 【答案】 【分析】由题意，整理取不同值时的式子，对比可得答案. 【详解】由题意，当时，所得等式左端为； 当时，所得等式左端为； 所以当时，左端应在时的左端上加上. 故答案为：. 10．（23-24高二下·上海·期末）用数学归纳法证“”的过程中，当到时，左边所增加的项为 ． 【答案】 【分析】根据题意，得到到时，左边增加两项，减少了一项，即可求解. 【详解】由 当到时，左边增加了两项，减少了一项， 即左边所增加的项为． 故答案为：． 11．（23-24高二上·上海宝山·期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ． 【答案】 【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立. 【详解】 根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点， 两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析， 时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为. 故答案为: 三、解答题 12．（24-25高二上·上海·期中）对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”.已知，，. (1)若为的“影数列”，为的“镜数列”，求的值； (2)在（1）的条件下，当，时，比较和的大小，并说明理由； (3)若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由. 【答案】(1)20 (2)，理由见解析 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题设定义得出，，再计算的值； （2）当，时，猜想，利用数学归纳法证明即可； （3）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【详解】（1）由题意，，，，；以； （2）当，时，猜想，数学归纳法证明如下 （ⅰ）当时，，命题成立； （ⅱ）假设当时，命题成立，即， 则当时， （*） ，，即命题也成立 由（ⅰ）（ⅱ）可知，当，时，成立. （3），则，， 设，即，则， 函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，为偶数，等式不成立；所以等式无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列. 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法. 题型二：数学归纳法的应用 1．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列满足，且（n为正整数）． (1)求，，，并由此猜想出的一个通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想成立． 【答案】(1)，，，（n为正整数）； (2)证明见解析 【分析】（1）计算出数列的前几项， 由此猜想的一个通项公式； （2）用数学归纳法证明即可． 【详解】（1）由，得， 由，得， 由，得， 由此猜想的一个通项公式：（n为正整数）； （2）用数学归纳法证明：①当，满足，命题成立； 假设当（k为正整数）时命题成立， 即，则当时，， 命题仍然成立，由①和②可知：（n为正整数）． 2．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知数列的每一项均为正数，记的前项和为，，尝试通过计算数列的前四项，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 【答案】；证明见解析 【分析】根据递推关系先求前四项，再猜想数列的通项，验证基础成立，证明递推成立即可. 【详解】因，当时，由可得，因，故； 当时，，即，即，故； 当时，即，即，故； 当时，，即， 即，故. 由，，，，可猜测. 证明如下： 当时，猜想成立； 设当（）时，猜想成立，即； 则当时，依题意，①，② 由①-②，可得，，即， 即，因，故得，即猜想也成立. 综上，由数学归纳法就可以断定对任何正整数都成立，这就是该数列的通项公式． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）是否存在常数a、b，使等式对一切正整数n都成立？若存在，求出a、b的值并用数学归纳法证明你的结论．若不存在，请说明理由． 【答案】存在，或证明见解析 【分析】由数学归纳法证明即可. 【详解】存在．将，分别代入等式，得， 即，所以或. 猜测对一切正整数都成立． 证明：（1）当时，显然成立； （2）假设时，成立； 则当时， 左边 右边，所以时，等式也成立． 综合（1）（2），由数学归纳法就可以断定等式对一切正整数都成立． 4．（24-25高二上·上海·随堂练习）在数列中，，（n为正整数）． (1)求，的值； (2)证明：． 【答案】(1)0， (2)证明见解析 【分析】（1）代值计算即可； （2）由数学归纳法和数列与函数的性质即可证明； 【详解】（1）在数列中，，， ，． （2）证明：设，则， ①当时，命题成立． ②假设时，命题成立，即． 当时，易知在上为减函数， 从而，即， 所以当时结论成立， 由①②可知命题成立，即． 5．（24-25高二上·上海·期中）已知等差数列的首项为，公差为，前项和为.若，用数学归纳法证明：. 【答案】证明见解析. 【分析】根据给定条件，求出等差数列的通项，前项和为，再利用数学归纳法证明. 【详解】等差数列中，，， 当时，，，原等式成立； 假设当时，原等式成立，即，， 则 ， 即当时，原等式成立， 所以对一切，等式成立. 6．（21-22高二下·上海普陀·期末）在数列中，为正整数. (1)若数列为常数列，求的通项； (2)若，用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)见解析. 【分析】（1）根据数列为常数列及所给递推关系，平方后即可得解； （2）根据数学归纳法的证明步骤，结合余弦的降幂公式即可得证. 【详解】（1）， ，又数列为常数列， ， 解得或（舍去） 的通项公式为. （2）当时，，成立； 假设时成立，即， 当时，（为锐角）， 即时，成立， 综上，对任意，都有. 7．（22-23高一下·上海浦东新·期末）某企业的产品以往专销欧美市场，在全球金融风暴的影响下，欧美市场的销量受到严重影响，该企业在政府的大力扶助下积极开拓国内市场，并基本形成了市场规模；自年月以来的第个月（年月为第一个月）产品的内销量、出口量和销售总量（销售总量内销量与出口量的和）分别为和（单位：万件），依据销售统计数据发现形成如下营销趋势：，（其中、为常数），已知万件，万件，万件. (1)求、的值，并写出与满足的关系式； (2)利用数学归纳法证明销售总量一直小于万件，并判断总销量是否逐月递增，说明理由. 【答案】(1)，， (2)证明见解析，总销量逐月递增，理由见解析 【分析】（1）依题意可得，分别令、，可得出关于、的方程组，即可解得这两个未知数的值，进而可得出与满足的关系式； （2）利用数学归纳法可证得，再利用作差法可证得数列为单调递增数列，即可得出结论. 【详解】（1）依题意可得， 所以，，① ，② 联立①②可得，，所以，. （2）因为，，猜想，对任意的，， 假设当时，猜想成立，即， 则当时，， 这说明，当时，猜想也成立，故对任意的，. 因为，则，即， 因此，数列为单调递增数列，即总销量逐月递增. 8．（23-24高二上·上海虹口·阶段练习）已知函数. (1)依次求，，的值； (2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，； (2)猜想，证明见解析 【详解】（1），，，， ，，， 所以，，； （2），，， 所以猜想， 当时，，成立， 假设当时，命题成立，即， 即 那么当时，， ， ， ， 所以当时，猜想成立， 综合以上可知，当时，成立. 9．（24-25高二上·上海松江·期中）在各项均不为零的数列中，选取第项、第项、…、第项，其中，，若新数列为等比数列，则称新数列为的一个长度为m的“等比子列”.已知等差数列，其各项与公差d均不为零. (1)若在数列中，公差，，且存在项数为3的“等比子列”，求数列的通项公式； (2)若，数列为的一个长度为的“等比子列”，其中，公比为.当最小时，求的通项公式； (3)若公比为的等比数列，满足，，，证明：数列为数列的“等比子列”. 【答案】(1)或； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）“等比子列”可能为；；，根据等比数列和等差数列的性质，可求的通项公式； （2）要使公比最小，则，结合、等比等差数列通项公式即可求的通项公式； （3）要证数列为数列的“等比子列”，即要证数列中每一项都是数列中的项，可用数学归纳法证明. 【详解】（1）由题设， 时，等比子列可能为；；， 经验证： 等比子列为时无解； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； 等比子列为时，前4项为：，故通项为； （2）由题设，而，则为递增的等差数列， 要使公比最小，则，即， 所以，则，又， 所以，可得. （3）由，有，即， 由，，， 所以，即，可得或， 由，则， 要证数列为数列的“等比子列”，即证数列中每一项都是数列中的项， 数学归纳法证明如下： 由上推理及题设知，前3项满足，即时结论成立； 假设时结论成立，即使， 当时，， 所以是的第项，故结论也成立， 综上，，总有的任意一项都是中的某一项， 综上，数列为数列的“等比子列”，得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，化为证明数列中每一项都是数列中的项，并应用数学归纳法求证. 10．（22-23高二上·上海徐汇·期末）已知数列满足，. (1)写出数列的前四项； (2)判断数列的单调性； (3)求证：. 【答案】(1)，，， (2)严格增数列 (3)证明见解析 【分析】（1）由递推公式直接求解；（2）利用作差法证明出的单调性；（3）利用数学归纳法证明. 【详解】（1）因为数列满足，， 所以，，. （2）因为，所以，所以. 所以数列为严格增数列. （3）用数学归纳法证明： 当时，有显然成立； 假设时，命题成立，即. 所以当时，只需证明成立即可. 先证明左边. 由于随的增大而增大，所以有， 只需证，两边平方得：，化简得：，显然成立. 再证右边. 由于随的增大而增大，所以有， 只需证， 化简得：， 展开，整理得：， 再平方，左边， 右边， 所以左边<右边. 综上所述：原命题成立，即. 【点睛】数学归纳法适用于证明与正整数有关的命题.其步骤为： 第一步：验证取第一个自然数时成立； 第二步：假设时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将代入假设的原式中去； 最后一步总结表述. 一、单选题 1．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：，时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】列出增加的项，即可得解. 【详解】从到成立时，左边增加的项为，，…，， 因此增加的项数是. 故选：A． 2．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】由数学归纳法的证明步骤可得答案. 【详解】由数学归纳法的证明步骤可知： 当时，等式的左边是. 故选：D． 二、填空题 3．（24-25高二上·上海·课前预习）一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）证明当n取第 个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，k为正整数）时命题成立，证明当 时命题也成立． 那么，命题对于从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． 【答案】 一 【分析】根据数学归纳法的步骤即可作答． 【详解】解：证明当n取第一个值（为正整数）时，命题成立； （2）假设当（，k为正整数）时命题成立，证明当时命题也成立． 那么，命题对于从开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法， 故答案为：一，． 4．（24-25高二·上海·随堂练习）用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时，第一步取 验证． 【答案】2 【分析】利用数学归纳法证明的步骤一：取证明的命题对象中的最小自然数，即可得出． 【详解】用数学归纳法证明：（n为正整数，且）时， 第一步取验证． 故答案为：2. 5．（24-25高二·上海·随堂练习）利用数学归纳法证明“，，”时，从“”变到“”时，左边应增乘的因式是 ． 【答案】 【分析】分别写出和左边的式子，两对照可得答案. 【详解】当时，左边式子为， 当时，左边式子为， 故左边增乘的因式是． 故答案为：． 6．（23-24高二下·上海·阶段练习）在数列中，，且，则 ． 【答案】 【分析】利用递推公式求出数列的前4项，由此猜想．再用数学归纳法证明，由此能求出． 【详解】在数列中，，且， ， ， ， 由此猜想． 下面用数学归纳法证明： ①，成立， ②假设成立， 则成立， 由①②得， 则． 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25高二上·上海·课后作业）已知数列满足，且，求数列的通项公式并证明． 【答案】（为正整数），证明见解析 【分析】先根据递推式求出数列的前几项，然后猜想出通项公式，再利用数学归纳法证明即可. 【详解】解：计算得，，，，…，猜测数列的通项公式为，用数学归纳法证明： 证明：（i）当时，符合上述公式； （ii）假设当（为正整数）时，有， 则当时，，符合上述公式. 由（i）（ii）可知，（为正整数）. 8．（24-25高二上·上海·课后作业）已知在上有定义，且满足x、时，有． (1)证明：在上为奇函数； (2)证明：等式，n为正整数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）赋值法，结合奇偶性定义可解； （2）数学归纳法证明即可. 【详解】（1）由已知在上有定义， 令，有，故. 令，有，得. 故在上为奇函数. （2）①时，左边右边. ②假设当时，有， 则当时， 左边 . 所以当时等式也成立. 由①②，对一切正整数等式成立. 9．（24-25高二·上海·随堂练习）设数列的前n项和为，，对任意，都有成立． (1)求，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据，令代入即可求解. （2）利用数学归纳法的证明即可. 【详解】（1），，令，则； 令，； 令，； （2）猜想， ①当时，满足上式； ②假设时，上式成立，即， 则当时，， 显然，猜想成立，所以． 10．（24-25高二上·上海·单元测试）已知，. (1)求，，，的值； (2)猜想的表达式并用数学归纳法证明． 【答案】(1)，，， (2)，证明见解析 【分析】（1）根据递推式，即可求得答案； （2）结合数列前面几项的值，猜想的表达式，再用数学归纳法证明即可. 【详解】（1）， ， ， ． （2）猜想：． 下面运用数学归纳法进行证明： ①当时，，猜想成立． ②假设当（为正整数）时猜想成立，即， 则时，， ∴当时，猜想成立， ∴对一切正整数，均成立． 11．（24-25高二上·上海·单元测试）已知数列的通项公式（n为正整数），为其前n项和． (1)计算，，，的值； (2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明你的结论． 【答案】(1)，，， (2)答案见解析 【分析】（1）应用数列的前n项和结合二倍角公式及两角和差公式求解； （2）应用数学归纳法结合二倍角公式及两角和差公式证明即可. 【详解】（1）， ，． （2）当时，左边，右边，等式成立． 假设（k为正整数，），， 则当时， ， 此时等式成立． 综合（1）（2）知，对任何n为正整数，． 12．（24-25高二上·上海·课后作业）设数列各项均为正数，且满足（n为正整数）. (1)求数列的通项公式； (2)试用数学归纳法证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）先根据和项与通项关系求得，解得； （2）先证明成立，再根据成立推导成立即可. 【详解】（1）当时 所以 当时； （2）①当时，，即时，结论成立； ②假设当时，结论成立，即 当时， 因为 即当时，结论成立； 由①②得， 13．（22-23高二下·上海闵行·阶段练习）已知无穷数列A：，，…满足：①，，…且；②，设为所能取到的最大值，并记数列：，，…. (1)若数列A为等差数列且，求其公差d； (2)若，求的值； (3)若，，求数列的前100项和. 【答案】(1)1或2； (2)3 (3)7500 【分析】（1）由等差数列写出，再由数列的性质确定，注意验证得出的数列满足数列的性质； （2）由性质②确定的取值，再分别确定的取值，从而可得； （3）由数列的性质先求得得，再求出，归纳出数列并用数学归纳法证明，然后求得其前100项的和． 【详解】（1）由已知，， 又，所以或， 若，则由得，，，满足； 若，则由得，，，也满足． 所以或2； （2）因为，所以， 所以或，因此， 当时，且同时成立，此时， 当时，且同时成立，此时矛盾， 综上，； （3）因为，所以，所以，显然，， 由知，事实上，当时，与同时成立，所以，从而， 猜想数列 即数列由不能被3整除的正整数从小到大排列组成，且满足数列的两条 性质， 下面用数学归纳法证明． ①当时结论成立， ②假设时结论成立，则当时， 当时，此时，， 由于，且，所以， 当时，此时，， 由于，且，所以， 综上，数列是由不能被3整除的正整数从小到大排列组成， 数列的前100项和为：． 【点睛】关键点睛：第3小问题中解题关键是由数列满足的性质确定数列的项，由根据不等式的性质得出的可能值，得出，再得出的可能值，得，然后归纳出数列并用数学归纳法证明． 14．（23-24高二上·上海黄浦·阶段练习）数列满足为正整数. (1)试确定实数的值，使得数列为等差数列； (2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t即可. （2）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时成立，必为中一项得整理化简有，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果. 【详解】（1）由，得，于是， 由，可得，此时， 由知：此时数列为等差数列. （2）由（2）及题设知：为， 则，显然不合题意，适合题意， 当时，若后添入，则，不合题意， 从而必是数列中的某一项，则， 则 即，整理， 显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下： 当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立； 假设时，成立， 当时， 因此当时，不等式成立， 所以恒成立，即无正整数解． 所以满足题意的正整数仅有. 【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$