江苏省“决胜新高考”2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷

江苏省“决胜新高考”2025届高三上学期12月联考数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，若集合，则实数a的取值范围是    A. B. C. D. 2.“数列是等差数列”是“数列为等比数列"的     条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 既不充分也不必要 D. 充要 3.高路公路管理部门在某一测速点，测得100辆车辆的速度单位：并汇总整理车速数据如下表，根据表中数据，下列结论中正确的是    车速 频数 6 12 18 30 24 10 A. 100辆车的车速的中位数小于 B. 100辆车中车速低于的车辆所占比例超过 C. 100辆车的车速的极差介于至之间 D. 100辆车的车速的平均值介于至之间 4.记为等差数列的前n项和.已知，，则    A. 10 B. 9 C. D. 5.已知正四棱台，，，二面角的正切值为2，则正四棱台的体积为    A. B. 56 C. D. 6.已知P为抛物线上的一动点，过P作y轴的垂线，垂足为B，点Q是圆上的一动点，则的最小值为    A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 7.已知函数的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为  A. B. C. D. 8.在平面直角坐标系xOy内，将椭圆绕原点O旋转得到椭圆，点是椭圆上任意一点，则下列说法错误的是(    ) A. 椭圆的对称轴为 B. 的最大值为 C. 椭圆的离心率为 D. n的最大值为 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.已知，，下列说法正确的是    A. 若，则 B. 若，则，中至少有一个为0 C. D. 若，，，则 10.已知函数，则下列选项正确的是(    ) A. 的图象关于点对称 B. 是的极大值点 C. 在处的切线方程为 D. 在区间上单调递增 11.某高校甲、乙两个班级举行团建活动，在活动中甲、乙两个班各派出由6人组成的一支队伍参加一项游戏.甲班的队伍由2个女生和4个男生组成，乙班的队伍由4个女生和2个男生组成，为了增加游戏的趣味性，先从甲班的队伍中抽取一名同学加入乙班的队伍，以，分别表示由甲班队伍中抽出的是女生和男生;再从乙班的队伍中随机抽取一名同学加入甲班的队伍，以 B表示从乙班队伍中抽出的是女生，则下列结论正确的是      A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件B相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知，，则          . 13.设，是双曲线的左、右焦点，点A是C右支上一点，若的内切圆的圆心为M，半径为a，且存在，使得，则C的离心率为          . 14.某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步;把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步;把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步;依次类推，直到剩下一位同学为止.问走到最前面的同学第一次的序号是          号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知 求 若BC边上的高为1且，求的面积 16.本小题15分 已知函数 已知在处取得极小值，求a的值; 对任意，不等式恒成立，求a的取值范围. 17.本小题15分 记为数列的前n项和，且 证明：数列为等比数列; 求数列的前n项和; 数列的前n项和为，且，求证： 18.本小题17分 如图，在直四棱柱中，平面ABCD，，，其中，，P是的中点，Q是的中点. 求证：平面 若异面直线BC，所成角的余弦值为，求二面角的余弦值. 19.本小题17分 已知椭圆过点，且离心率为 求椭圆C的标准方程; 已知动圆M与椭圆C相交于A，B，C，D四个不同的点，直线AB，CD相交于点，记直线AB，CD的斜率分别为， ①比较与的大小不要给出证明 ②试问是否为定值，如果为定值，求出定值;如果不为定值，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查含参数的交集运算问题，属于基础题. 化简M，由，得，然后分和两种情况讨论即可. 【解答】 解：， 由，得， 当时，即时，满足题意； 当时，则，此时， 则，解得， 综上，实数a的取值范围是 故选 2.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查等比数列的概念、等差数列的判断以及充分必要条件的判断，属于基础题. 根据充分必要条件的定义判断可判断充分性，再用特殊值法对必要性判断即可得到答案. 【解答】 解：若数列为等差数列，则，为常数， 则为不为0的常数， 所以数列为等比数列，充分性成立； 若数列为等比数列，设为等比数列，显然，没有意义，故必要性不成立； “数列是等差数列”是“数列为等比数列"的充分不必要条件， 故选 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查平均数、中位数、极差，属于基础题. 根据表格中数据，对各选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】 解：因为，， 所以100辆车的车速的中位数大于等于，所以A错误; 因为100辆车中车速低于的车辆有66辆， 所占比例为，所以B错误; 100辆车的车速的极差的最大值小于，最小值大于， 所以极差介于至之间，所以 C正确; 100辆车的车速的平均值的估计值为： ， 所以平均值不介于至之间，所以D错误. 故选 4.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了等差数列通项公式以及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 由题意得出，解方程组即可求解. 【解答】 解：设等差数列的公差为d， 由，，可知 ， 解得： 故选 5.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查二面角的平面角的定义，棱台的体积，属于较难题. 作出二面角的平面角，通过解直角三角形，求出正四棱台的高，从而求出正四棱台的体积. 【解答】 解：如图， 设上，下底面的中心分别为G，H，连接GH， 设，BC的中点分别为E，F，连接EF， 设，易知，， 是二面角的平面角， ， 中，，， ，易知∽， ，， ， 正四棱台的体积为， 故选 6.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了抛物线定义有关的最值问题，点到圆上点的最值问题，属于中档题. 结合抛物线定义可得，从而可得当共线，且在线段AF之间时，最短，即可求解. 【解答】 解：圆的圆心 ，半径， 抛物线的焦点， 根据抛物线的定义可知， 所以， 所以当共线，且在线段AF之间时，最短， 而， 故有 故选 7.【答案】D  【解析】【分析】 本题考查函数的对称性，函数图象的应用，属于中档题. 转化为当时，和的图像恒有交点，数形结合即可求解. 【解答】 解：由题意，当时，， 此时关于y轴对称的函数为，， 由题意可知，只需要当时，和的图象恒有交点即可， 由图象可知，当时，； 又，则，则， 由图象可知，实数a的取值范围为 8.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查椭圆方程的旋转变换问题，利用椭圆的相关几何性质并结合基本不等式等相关内容求解，属于中档题. A选项，将x，y互换和x换成，y换成，得到方程是否与原方程一致，即可求解； B选项，把在方程，结合基本不等式得，即可求出的最大值； C选项，联立方程与，得到短轴顶点，求出，然后求出 D选项，，将这个方程看做是关于m的方程，利用判别式，求出n范围. 【解答】 解：对于A选项，椭圆为，将x，y互换可得， 图象关于对称， 将x换成，y换成可得， 图象关于对称，故A选项正确. 对于B选项，在上，则，， 则，由基本不等式得，当且仅当时取等号， ，即，， ，故B选项正确. 对于C选项，联立方程与，则，解得， 短轴顶点为，，，， ，故C选项错误. 对于D选项，，将这个方程看作是关于m的方程，， ，则，故D选项正确. 故答案为： 9.【答案】BCD  【解析】【分析】 本题主要考查复数的四则运算，共轭复数和复数的模，属于中档题. 利用复数的四则运算，共轭复数的定义和复数模的计算，对选项逐个判断即可. 【解答】 解：对于选项A：令，， ，，， 所以，故A错误； 对于选项B：令，，， 则有， 可知，则， 于是或， 则或， 所以和中至少有一个为0，故B正确； 对于选项C：令，，则， 则，，故，故C正确； 对于选项D：设，， 则所以， 所以，所以， 又，，所以，， 所以， 所以1， 所以，故D正确， 故选： 10.【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查利用导数研究函数的极值，导数的几何意义，属于中档题. 利用，判断A；利用导数研究函数的单调性，结合极值的意义、导数的几何意义判断B，C， 【解答】 解：， ， 所以的图象关于点对称，故A正确； ，所以， 所以或， 所以或， 时，，时，， 所以是的极小值点，故B错误； ，所以， 又， 所以在处的切线方程为，故C正确； 因为时，，时，， 所以在区间上单调递增， 在上单调递减，故D错误. 故选： 11.【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查互斥事件、相互独立事件、条件概率的乘法公式、古典概型及其计算，属于一般题. 根据互斥事件的概念，即可判定A；根据题意求出，，，，再对其他选项逐项判定，即可求出结果. 【解答】 解：由题意知事件A1与事件A2不可能同时发生，故事件A1与事件A2互斥，故A正确; 由题意知，， ，，故C正确； 所以， ， 所以，故D正确； ， 所以事件A1与事件B不相互独立，故B错误. 故选 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查两角和与差的正弦公式、利用同角三角函数基本关系化简，属于基础题． 由两角和的正弦公式及同角三角函数的基本关系可求，从而可求解． 【解答】解：，， ，， 由得， 所以， 即 13.【答案】2  【解析】【分析】 本题考查双曲线的离心率，双曲线与向量的综合运用，属于中档题. 设A在第一象限，则点M也在第一象限，根据得到，由两种方法求解的面积，得到方程，求出，结合，求出，由两点间距离公式得到，求出，故，代入双曲线方程，求出，得到离心率. 【解答】 解：不妨设A在第一象限，则点M也在第一象限， 设，， 因为，所以， 故，， 又， 故，解得， 由双曲线定义得， 故，， ， 又，故，故， 又，所以，，故， 将代入中，得， 解得，所以C的离心率为 故答案为： 14.【答案】 ； 126  【解析】【分析】 本题考查数列的概念与分类，属于中档题. 根据每次报完后向前一步的人的序号的规律，即可求出结果. 【解答】 解：这些人的编号从左到右为1到100号，由于从左往右1，2报数，凡报到2留下， 第一次报完后向前一步的人的序号是2的倍数， 即2，4，6，8，，100， 第二次报完后，向前一步的人的序号是4的倍数， 即4，8，，100， 第三次报完后，向前一步的人的序号是8的倍数， 即8，16，，96， 第四次报完后，向前一步的人的序号是16的倍数， 即16，32，48，64，80，96， 第五次报完后，向前一步的人的序号是32的倍数， 即32，64，96， 第六次报完后，向前一步的人的序号是64的倍数，即64， 走到最前面的同学第一次的序号是64； 这位同学的所有序号之和为： 故答案为64； 15.【答案】解：且， ，即， 由正弦定理得，， 因为， 所以， 又在中，，， 则，， ，即， ； ， 在中，作于高H，AH为BC边上的高，则， 设，，所以，则，， 在中，， 在中，， 且 ， ，又， 所以，   【解析】本题主要考查两角和与差的三角函数公式，正弦定理，三角形面积公式，属于中档题. 由已知利用三角形面积公式，正弦定理即可求解； 由已知得，作AHBC于高H，则，设，，则，，利用求得a的值，即可求ABC的面积. 16.【答案】解：因为，定义域为， 所以， 因为在取得极小值， 所以，所以， 检验：，定义域为， ， x 3 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以，； 因为对恒成立， 所以令， ， ①，即时，恒成立，在上单调递增， 所以，满足题意； ②，即时，，得， x 1 ， - 0 + 0 单调递减 极小值 单调递增 所以，与题意不符，舍去， 综上所述，a的取值范围为  【解析】本题考查利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数中的恒成立与存在性问题，属于较难题. 由题意，得出a，再检验即可； 令，利用导数研究单调性和最小值，可得a的取值范围. 17.【答案】证明：①， ②， ②-①得，，即， 又当时，， 是首项为4，公比为的等比数列， ，， ，， 当时，，， 首项为3，公比为的等比数列. 解：由得，数列的前n项和为， ， ③， ④， ③-④得，， ， 数列的前n项和为 解：数列前n项和为，，， ， 得证.  【解析】本题考查了数列的前n项和及与的关系，等比数列的概念，数列求和，属于中档题. 利用数列的前n项和及与的关系和等比数列的定义即可； 利用错位相减法求和即可； 利用裂项相消法求和即可. 18.【答案】解：证明：取B1C中点M，连接MQ，PM， 在直四棱柱中， 是中点，1，1， 是中点，M是B1C中点， 1，1，，， 四边形是平行四边形， ，，， 平面； 连接，设，连接， 异面直线BC，所成余弦值即直线，所成余弦值， 在直四棱柱中，平面， 平面，， 在中，，且， ， 为中点，且， 在中，，，， 平面，平面，， 又，，面，平面， 平面， 又平面，， 在中，， ，， 连接BD，B1D1，取BD的中点O，B1D1的中点O1，连接OO1， 以为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，1，，，，，， ，，， 设平面的法向量， 平面DCQ的法向量， ， ，， ，， ，， 时，得， 设二面角为，   【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于中档题. 根据线面平行的判定定理进行证明即可； 建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可. 19.【答案】解：椭圆过点，且离心率为，设焦距为， ，，椭圆C的标准方程为 ① ②设，，， 由， 得， 不妨设，，，， ，， ，， ， 同理：， 位于椭圆外侧， ，同向，，同向， ， ， 即， ， ，   【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定值问题，向量数量积的坐标运算，属于较难题． 根据题意结合a，b，c之间的关系求出，，即可得解； 先依据圆的相交弦定理给出结论，设定直线方程后，与椭圆方程联立，利用韦达定理用各自的斜率表示两向量数量积，利用共线将向量的数量积转化为线段长度积，再依据给定的结论构造等式，从而得出结果. 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$