陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高二上学期第二次月考（12月）数学试题

高二年级数学试题 第 1 页（共 4 页） 高二年级数学试题 第 2页（共 4页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … … 学 校 ： __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 ： __ __ __ __ __ __ _班 级 ： __ __ __ __ __ __ __ _考 试 号 ： __ __ __ __ __ __ __ _ 绝密★启用前| 华清中学高二年级上学期第二次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：刘璐璐 校对人：刘智军 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知经过点    1,2 , ,4A B m 的直线 l的斜率为 2，则m的值为（ ） A． 1 B．0 C．1 D．2 2．已知空间两点    0,1,2 , 2,3,1A B  ，则 A B､ 两点间的距离是（ ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．以椭圆 2 29 25 225x y  的焦点为焦点，离心率 2e  的双曲线的标准方程为（ ） A． 2 2 1 4 12   x y B． 2 2 1 12 4 x y   C． 2 2 1 20 4 x y   D． 2 2 1 4 20 x y   4．已知数列 na 满足 1 1 11 , 2n n a a a    ，则 2024a （ ） A．2 B． 1 2 C． 1 D．2024 5．记 nS 为等差数列 na 的前 n项和．若 1 5 8a a  ， 3 4 24a a  ，则 6S （ ） A．10 B．20 C．30 D．40 6．在正项等比数列 na 中， nS 为其前 n项和，若 5 5S  ， 10 15S  ，则 15S 的值为（ ） A．30 B．35 C．40 D．75 7．已知实数 ,x y满足方程 2 2 2 0x y x   ，则 1 1 y x   的最大值是（ ） A． 3 4 B． 4 3 C．0 D． 1 2 8．已知抛物线 2: 4C x y 的焦点为 F，该抛物线 C与直线 l： 1y kx  相交于 M，N两点，则 | | 3 | |MF NF 的最小值为（ ） A．2 2 3 B． 2 4 3 C． 4 2 3 D．4 4 3 二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。 9．已知数列 na 是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A． 1 na       B． 1n na a  C．   2lg na D． 1n na a  10.《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中， B1D→ ＝2DC1→ ，则( ) A.AD→＝AA1→ ＋2 3 AB→＋1 3 AC→ B.AD→＝AA1→ ＋1 3 AB→＋2 3 AC→ C.向量AD→在向量AB→上的投影向量为2 3 AB→ D.向量AD→在向量AC→上的投影向量为2 3 AC→ 11、已知曲线 C的方程为 2 2 1 0( ) 9 1yx x   ，      0, 3 , 0, 3 , 1, 0A B D  ，点 P是 C上的动 点，直线 AP与直线 5x  交于点 M，直线 BP与直线 5x  交于点 N，则 DMN 的面积可能为 （ ） A．73 B．76 C．68 D．72 三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 12．直线2 1 0x y   与2 1 0x y   之间的距离是 . 13．已知圆 2 21 : 1C x y  与圆       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     有3条公切线，则实数 a的取值 是 . 14.已知数列 na 的前 n项和公式为 3 2nnS   ，则数列 na 的通项公式 na  . 四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知从圆外一点 P(4,6)作圆 O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为 A，B. (1)求以 OP为直径的圆的方程； (2)求直线 AB的方程． 高二年级数学试题 第 3 页（共 4页） 高二年级数学试题 第 4页（共 4 页） … … … … … … ○ … … … … … … 内 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 此 卷 只 装 订 不 密 封 … … … … … … ○ … … … … … … 外 … … … … … … ○ … … … … … … 装 … … … … … … ○ … … … … … … 订 … … … … … … ○ … … … … … … 线 … … … … … … ○ … … … … … … 16．（15 分）如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为正方形，PA 平面 ABCD， 2PA AB  ． (1)求证： / /AD 平面 PBC； (2)求直线 BD平面 PCD夹角的正弦值； (3)求点 B到平面 PCD的距离． 17.（15分）已知数列 na 是单调递增的等比数列，数列 nb 是等差数列，且 1 1 2 2 3 33, 17, 14a b a b a b      ． (1)求数列 na 与数列 nb 的通项公式； (2)求数列 n na b 的前 n项和 nS ． 18．（17分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0) x yC a b a b     的离心率为 6 3 ，且过点  0,1A . (1)求椭圆C的方程； (2)已知点 ,M N在椭圆C上，且 AM AN ，证明：直线MN过定点； 19. (17分）在不大于  *, , 2nk k n k N 的正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的个数 记为  kF n . (1)求  2 4F ，  3 3F 的值； (2)求  6F n 关于 n的表达式； (3)记 x 表示不超过 x的最大整数，若  1 6 5 1 n n i S F i   ，探究 nS 是否为定值，若是，求其值； 若不是，请说明理由. 华清中学高二年级上学期第二次月考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0 5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 abcd 2 abcd 3 abcd 4 abcd 5 abcd 6 abcd 7 abcd 8 abcd 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9 abcd 10 abcd 11 abcd 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12． ____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17． （15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18． （17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19． （17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 高二数学 第4页（共6页） 高二数学 第5页（共6页） 高二数学 第6页（共6页） 高二数学 第1页（共6页） 高二数学 第2页（共6页） 高二数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华清中学高二年级上学期第二次月考数学试题答案 1．【详解】因为经过点的直线的斜率为2， 所以，且，解得. 故选：D. 2．【详解】由题意， 故选：B． 3．【解析】椭圆化为标准方程为， 焦点为，双曲线的半焦距， 离心率，， ， 双曲线的标准方程为．故选：A． 4．【详解】由，可得， 同理可得，所以数列是周期为3的数列， 则. 故选：B. 5．【解析】由等差数列的性质得①， ②， 由①得，代入②得，解得，故， 故.故选：C 6．【解析】因为正项等比数列中，为其前项和， 则也是等比数列，即， 又，，所以，解得.故选：B. 7．【解析】的方程可化为， 它表示圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点与点的连线的斜率， 设过圆上点与点的直线方程为， 则圆心到直线的距离， 可得，即最大值为，故选：B. 8．【详解】根据题意判断可得直线l过该抛物线的焦点F， 所以，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及即可证明）， 所以， 当且仅当时取“=”. 故选：C. 9．【解析】由题意知为等比数列，设其公比为q； 对于A，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故A正确； 对于B，，∴数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，当时，，数列不是等比数列，故C错误； 对于D，当时，，数列不是等比数列，故D错误.故选：AB. 10.BD　[因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋(－)＝＋＋，故A不正确，B正确； 如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC， 故向量在向量上的投影向量为，向量在向量上的投影向量为， 由题意易得＝，＝， 故＝，C不正确； ＝，D正确.] 11、详解：设，则． 设，则，直线的方程为，则点M的坐标为， 直线的方程为，则点N的坐标为．所以， 当且仅当，即时等号成立． 从而面积的最小值为. 故选：ABD． 12．【解析】易知直线与平行， 这两条直线间的距离为. 故答案为：. 13．【详解】因为圆与圆有条公切线，所以圆与圆外切， 又圆的圆心为，半径为，的圆心为，半径为， 所以，得到，又，所以， 故答案为：. 14．【详解】在中，令中，得； 当时，，显然不适合， 因此数列的通项公式， 故答案为：； 15．解　(1)∵所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)， 半径为|OP|＝ ＝， ∴以OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13. (2)∵PA，PB是圆O：x2＋y2＝1的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴A，B两点都在以OP为直径的圆上． 由得直线AB的方程为4x＋6y－1＝0. 16．【详解】（1）因为底面为正方形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则，    直线平面夹角的正弦值为； （3）由（2）知，平面的法向量为， 点到平面的距离为 17.【解析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由得 即即，解得或． 当时，，不满足单调递增， 当时，，满足单调递增， 故，所以． 又，所以， 所以， 即数列与数列的通项公式为， （2）利用等比数列前项和公式可得， 数列的前项和为， 数列的前项和为， 所以数列的前项和， 即 18．【解析】（1）由题意可得：， 解得：， 故椭圆方程为：. （2）①设点. 因为，，即 由题意知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 联立，消去并整理得：， 根据，代入整理可得： ， 将代入，得， 整理得：，解得或， 因为时直线恒过定点，不合题意，舍去， 所以，直线恒过定点. 19.【详解】（1）在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，共5个，所以； 在不大于的所有正整数中，所有既不能被2整除也不能被3整除的数为1，5，7，11，13，17，19，23，25，共9个，所以. （2）在不大于的所有正整数中，能被2整除的数有个，能被3整除的数有个， 能被2和3同时整除的数，即是能被6整除的数，其个数有个， 所以满足题意的表达式为. （3）由（2）知，当时，，所以； 当时，， （上式放缩用到了糖水不等式，若，则） 则时，， 因为，所以当时，， 综上可得，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考 试 号： _______________ ) 绝密★启用前| 华清中学高二年级上学期第二次月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：刘璐璐 校对人：刘智军 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．已知经过点的直线的斜率为2，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知空间两点，则两点间的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．9 3．以椭圆的焦点为焦点，离心率的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列满足，则（   ） A．2 B． C． D．2024 5．记为等差数列的前项和．若，，则（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 6．在正项等比数列中，为其前项和，若，，则的值为（    ） A．30 B．35 C．40 D．75 7．已知实数满足方程，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 8．已知抛物线的焦点为F，该抛物线C与直线：相交于M，N两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（    ） A． B． C． D． 10.《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，＝2，则(　　) A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.向量在向量上的投影向量为 D.向量在向量上的投影向量为 11、已知曲线C的方程为，，点P是C上的动点，直线与直线交于点M，直线与直线交于点N，则的面积可能为（ ） A．73 B．76 C．68 D．72 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．直线与之间的距离是 . 13．已知圆与圆有条公切线，则实数的取值是 . 14.已知数列的前项和公式为，则数列的通项公式 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B. (1)求以OP为直径的圆的方程； (2)求直线AB的方程． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求直线平面夹角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 17.（15分）已知数列是单调递增的等比数列，数列是等差数列，且． (1)求数列与数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．（17分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知点在椭圆上，且，证明：直线过定点； 19. (17分）在不大于的正整数中，所有既不能被整除也不能被整除的个数记为. (1)求，的值； (2)求关于的表达式； (3)记表示不超过的最大整数，若，探究是否为定值，若是，求其值；若不是，请说明理由. 高二年级数学试题 第3页（共4页） 高二年级数学试题 第4页（共4页） 高二年级数学试题 第1页（共4页） 高二年级数学试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$高二数学 第 1页（共 6页） 高二数学 第 2页（共 6页） 高二数学 第 3页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 华清中学高二年级上学期第二次月考 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、单选题（共 8小题，每小题 5分，共 40分） 1 abcd 2 abcd 3 abcd 4 abcd 5 abcd 6 abcd 7 abcd 8 abcd 二、多选题（共 3小题，每小题 6分，共 18分） 9 abcd 10 abcd 11 abcd 三、填空题（共 3小题，每小题 5分，共 15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 15．（13分） 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0 5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 高二数学 第 4页（共 6页） 高二数学 第 5页（共 6页） 高二数学 第 6页（共 6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 答案第 1页，共 6页 华清中学高二年级上学期第二次月考数学试题答案 1．【详解】因为经过点    1,2 , ,4A B m 的直线 l的斜率为 2， 所以 1m  ，且 4 2 2 1   m ，解得 2m  . 故选：D. 2．【详解】由题意 2 2 2( 2 0) (3 1) (1 2) 3AB         ， 故选：B． 3．【解析】椭圆 2 29 25 225x y  化为标准方程为 2 2 1 25 9 x y   ， 焦点为  4,0 ，双曲线的半焦距 4c  ， 离心率 2 ce a   ， 2a  ， 2 2 2 12b c a   ， 双曲线的标准方程为 2 2 1 4 12   x y ．故选：A． 4．【详解】由 1 1 11 , 2n n a a a    ，可得 2 1 1 1 11 1 2 2 a a      ， 同理可得 3 41, 2,a a   ，所以数列 na 是周期为 3的数列， 则 2024 3 674 2 2 1 2 a a a    . 故选：B. 5．【解析】由等差数列的性质得 1 5 12 4 8a a a d    ①，   13 14 2 3 24da a a a d   ②， 由①得 1 4 2a d  ，代入②得  4 4 24d  ，解得 2d ，故 1 4 2 0a d   ， 故 6 16 15 30S a d   .故选：C 6．【解析】因为正项等比数列 na 中， nS 为其前 n项和， 则 5 10 5 15 10, ,S S S S S  也是等比数列，即    210 5 5 15 10S S S S S   ， 又 5 5S  ， 10 15S  ，所以    2 1515 5 5 15S   ，解得 15 35S  .故选：B. 7．【解析】C的方程 2 2 2 0x y x   可化为 2 2( 1) 1x y   ， 它表示圆心  1,0 ，半径为 1的圆， 答案第 2页，共 6页 1 1 y x   表示圆上的点与点  1, 1P   的连线的斜率 k， 设过圆上点与点  1, 1P   的直线方程为  1 1y k x   ， 则圆心  1,0 到直线  1 1y k x   的距离 2 2 1 1 1 k d k     ， 可得 40 3 k  ，即最大值为 4 3 ，故选：B. 8．【详解】根据题意判断可得直线 l过该抛物线的焦点 F， 所以 1 1 2 1 | | | |MF NF p    ，（联立直线与抛物线，应用韦达定理及 1 1 1 1 1 1M NMF NF y y      即可证明）， 所以   31 13 3 4 4 2 3NF MFMF NF MF NF MF NF MF NF                ， 当且仅当 | | 3 | | 3 1MF NF   时取“=”. 故选：C. 9．【解析】由题意知 na 为等比数列，设其公比为 q  0q  ； 对于 A， 1 1 1 1 1 1 1 1 n n na a q a q           ，∴数列 1 na       是以 1 1 a 为首项， 1 q为公比的等比数 列，故 A正确； 对于 B， 21 2 2 1 n n n n n n a a a q a a a       ，∴数列 1n na a  是以 1 2a a 为首项， 2q 为公比的等比数 列，故 B正确； 对于 C，当 1na  时，  2lg 0na  ，数列   2lg na 不是等比数列，故 C错误； 对于 D，当 1q   时， 1 0n na a   ，数列 1n na a  不是等比数列，故 D错误.故选： AB. 10.BD [因为AD→＝AA1→ ＋A1B1→ ＋B1D→ ＝AA1→ ＋A1B1→ ＋2 3 B1C1→ ＝AA1→ ＋A1B1→ ＋2 3 (A1C1→ － A1B1→ )＝AA1→ ＋1 3 AB→＋2 3 AC→，故 A不正确，B正确； 如图所示，故 D作 DU垂直 BC，过 U作 VU垂直 AB，UW垂直 AC， 故向量AD→在向量AB→上的投影向量为AV→，向量AD→在向量AC→上的投影向量为AW→， 答案第 3页，共 6页 由题意易得 AV AB ＝ 1 3 ， AW AC ＝ 2 3 ， 故AV→＝1 3 AB→，C不正确； AW→＝2 3 AC→，D正确.] 11、详解：设  0 0,P x y ，则 2 2 0 0 22 00 9 9 9 1 9 PA PB y yk k yx         ． 设 ( 0) Ap k k k  ，则 9PBk k   ，直线 AP的方程为 3y kx  ，则点 M的坐标为 (5,5 3)k ， 直线 BP的方程为 9 3y x k    ，则点 N的坐标为 455, 3 k       ．所以 45 45 45| | 5 3 3 5 6 2 5 6 24MN k k k k k k                 ， 当且仅当 455k k  ，即 3k  时等号成立． 从而 DMN 面积的最小值为 1 24 6 72 2    . 故选：ABD． 12．【解析】易知直线2 1 0x y   与2 1 0x y   平行， 这两条直线间的距离为  22 1 1 2 5 52 1 d       . 故答案为： 2 5 5 . 13．【详解】因为圆 2 21 : 1C x y  与圆       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     有3条公切线，所以圆 1C 与圆 2C 外切， 又圆 2 2 1 : 1C x y  的圆心为 1(0,0)C ，半径为 1 1r  ，       2 2 2 : 1 16 0C x a y a     的圆心 为 2 ( ,1)C a ，半径为 2 4r  ， 所以 2 1 1 4 5a     ，得到 2 24a  ，又 0a  ，所以 2 6a  ， 故答案为： 2 6 . 14．【详解】在 3 2nnS   中，令 1n  中，得 1 1 1 3 2 1a S    ； 当 2, Nn n   时， 1 11 3 2 3 2 2 3n n nn n na S S          ，显然 1 1a  不适合， 答案第 4页，共 6页 因此数列 na 的通项公式 1 1, 1 2 3 , 2, Nn n n a n n        ， 故答案为：1； 1 1, 1 2 3 , 2, Nn n n n       15．解 (1)∵所求圆的圆心为线段 OP的中点(2,3)， 半径为 1 2 |OP|＝ 1 2 4－02＋6－02＝ 13， ∴以 OP为直径的圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝13. (2)∵PA，PB是圆 O：x2＋y2＝1的两条切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴A，B两点都在以 OP为直径的圆上． 由 x2＋y2＝1， x－22＋y－32＝13， 得直线 AB的方程为 4x＋6y－1＝0. 16．【详解】（1）因为底面 ABCD为正方形，所以 / /AD BC， 因为 AD 平面 PBC ， BC 平面 PBC ， 所以 / /AD 平面 PBC ； （2）因为 PA 平面 ABCD， ,AB AD 平面 ABCD， 所以 ,PA AB PA AD  ， 以A为坐标原点， , ,AB AD AP所在直线分别为 , ,x y z轴，建立空间直角坐标系，        2,0,0 , 0,2,0 , 0,0,2 , 2,2,0B D P C ， 设平面 PCD的法向量为� = �, �, � ， 则         , , 2,2, 2 2 2 2 0 , , 0,2, 2 2 2 0 m PC x y z x y z m PD x y z y z                    ， 令 1y  ，则 1, 0z x  ，则  0,1,1m  ， 直线 BD平面 PCD夹角的正弦值为    2, 2,0 0,1,1 1cos , 24 4 1 1 BD m BD m BD m               ； （3）由（2）知，平面 PCD的法向量为  0,1,1m  ， 答案第 5页，共 6页 点 B到平面 PCD的距离为    0,2,0 0,1,1 2 2 1 1 2 BC m m          17.【解析】（1）设等比数列 na 的公比为 q，等差数列 nb 的公差为 d， 由 2 2 3 3 17, 14, a b a b      得   1 1 2 1 1 17, 2 14, a q b d a q b d        即 2 3 14, 3 2 17, q d q d      即 2 2 15 0q q   ，解得 5q   或 3q  ． 当 5q   时， 2 1a a ，不满足 na 单调递增， 当 3q  时， 11 2 6 3 0 n n n na a a        ，满足 na 单调递增， 故 3q  ，所以 3nna  ． 又3 14q d  ，所以 5d  ， 所以  3 5 1 5 2nb n n     ， 即数列 na 与数列 nb 的通项公式为 3nna  ， *5 2, Nnb n n   （2）利用等比数列前 n项和公式可得， 数列 na 的前 n项和为   13 1 3 3 3 1 3 2 n n    ， 数列 nb 的前 n项和为   23 5 2 5 2 2 n n n n    ， 所以数列 n na b 的前 n项和 1 2 1 23 3 5 3 5 3 2 2 2 n n n n n n nS          ， 即 1 23 5 3 2 n n n nS      18．【解析】（1）由题意可得： 2 2 2, 1, 3 6c b a b c a     ， 解得： 2 2 23, 1, 2a b c   ， 故椭圆方程为： 2 2 1 3 x y  . （2）①设点    1 1 2 2, , ,M x y N x y . 因为 AM AN ， 0AM AN     ，即      1 2 1 21 1 0, ix x y y    由题意知直线MN的斜率一定存在，设直线方程为 y kx m  ， 答案第 6页，共 6页 联立 2 2 1 3 y kx m x y       ，消去 y并整理得：  2 2 21 3 6 3 3 0k x kmx m     ，   2 1 2 1 22 2 6 3 3, , ii 1 3 1 3 km mx x x x k k        根据 1 1 2 2,kx m y kx my     ，代入  i 整理可得：      2 21 2 1 21 ( 1) 0k x x km k x x m       ， 将  ii 代入，得     2 2 2 2 2 3 3 61 ( 1) 0 1 3 1 3 m kmk km k m k k           ， 整理得： 22 1 0m m   ，解得 1m  或 1 2  ， 因为 1m  时直线恒过定点  0,1A ，不合题意，舍去， 所以 1 2 m   ，直线恒过定点 10, 2      . 19.【详解】（1）在不大于 42 的所有正整数中，所有既不能被 2整除也不能被 3整除的数为 1，5，7，11，13，共 5个，所以 2 (4) 5F  ； 在不大于 33 的所有正整数中，所有既不能被 2整除也不能被 3整除的数为 1，5，7，11，13， 17，19，23，25，共 9个，所以 3 (3) 9F  . （2）在不大于 6n 的所有正整数中，能被 2整除的数有 6 2 n 个，能被 3整除的数有 6 3 n 个， 能被 2和 3同时整除的数，即是能被 6整除的数，其个数有 6 6 n 个， 所以满足题意的表达式为 16 6 6 6( ) 6 2 6 2 3 6 n n n n nF n       . （3）由（2）知，当 1n  时， 1 6 5 5 5 (1) 1 2 1 S F      ，所以  1 5S  ； 当 2n  时， 1 1 1 1 6 5 5 6 1 6 3 ( ) 1 2 6 1 2 6 1 2 6 6n n n nF n                ， （上式放缩用到了糖水不等式，若 0, 0a b c   ，则 b b c a a c    ） 则 2n  时，   2 1 11 6 5 1 1 1 3 15 3 ( ) 5 (1 ) 1 6 6 6 5 6 n n n n i S F i               ， 因为 1 10 1 1 6n    ，所以当 2n  时，5 5.6nS  ， 综上可得，  5nS  .