第05讲 一次方程（组）及其应用（讲练）（思维导图+14考点+15种题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用 （思维导图+14个考点+15种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 等式的基本性质 4 重点考点二 一元一次方程 4 重点考点三 二元一次方程（组） 5 重点考点四 一次方程（组）的应用 7 题型精研 考向洞悉 9 第一部分：常考考点讲练 9 考点1：等式的性质 9 考点2：一元一次方程的解 9 考点3：解一元一次方程 9 考点4：含绝对值符号的一元一次方程 10 考点5：由实际问题抽象出一元一次方程 10 考点6：一元一次方程的应用 10 考点7：解二元一次方程 12 考点8：二元一次方程的应用 12 考点9：二元一次方程组的解 13 考点10：解二元一次方程组 13 考点11：由实际问题抽象出二元一次方程组 14 考点12：二元一次方程组的应用 15 考点13：解三元一次方程组 16 考点14：三元一次方程组的应用 16 第二部分：高频题型洞悉（方程（组）的应用） 18 题型1：工程问题（一元一次方程的应用） 18 题型2：配套问题（一元一次方程的应用） 19 题型3：销售盈利（一元一次方程的应用） 20 题型4：方案选择（一元一次方程的应用） 22 题型5：几何问题（一元一次方程的应用） 23 题型6：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 25 题型7：行程问题（一元一次方程的应用） 26 题型8：古代问题（一元一次方程的应用） 28 题型9：方案问题（二元一次方程组的应用） 29 题型10：行程问题（二元一次方程组的应用） 31 题型11：工程问题（二元一次方程组的应用） 32 题型12：分配问题（二元一次方程组的应用） 34 题型13：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 35 题型14：几何问题（二元一次方程组的应用） 37 题型15：古代问题（二元一次方程组的应用） 38 分层训练 巩固提升 39 基础夯实训练 39 能力拔高训练 43 考点要求 新课标要求 命题预测 等式的基本性质 · 理解等式的基本性质 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 · 能解一元一次方程 二元一次方程（组） · 掌握消元法，能解二元一次方程组 · 能解简单的三元一次方程组[选学] 一次方程（组） 的应用 · 利用一次方程求解实际问题 重点考点一 等式的基本性质 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2. 重点考点二 一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 解一元一次方程的基本步骤： 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 重点考点三 二元一次方程（组） 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 解“看错系数”问题的方法 看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组. 重点考点四 一次方程（组）的应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 第一部分：常考考点讲练 考点1：等式的性质 【例1】（2024•江阴市一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式1】（2022•宜兴市校级二模）若，，则的值为　　 A．15 B． C．5 D．3 【变式2】（2021•泗洪县三模）如果△△★，〇□□，△〇〇〇〇，那么★□的值为　　． 考点2：一元一次方程的解 【例2】（2024•张家港市模拟）若是关于的方程的解，则的值为　　 A．7 B．1 C． D． 【变式1】（2024•惠山区校级一模）若是关于的方程的解，则的值为　　 A．7 B．1 C． D． 【变式2】（2021•建湖县一模）已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是　　． 考点3：解一元一次方程 【例3】（2024•海门区校级模拟）解一元一次方程时，去分母正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•武进区一模）对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则　　 A． B．2 C．3 D．4 【变式2】（2023•扬州三模）规定一种新的运算：，求的解是 　　． 考点4：含绝对值符号的一元一次方程 【例4】（2022•相城区校级自主招生）关于的方程为常数）有两个不同的实根，则的取值范围是 　． 【变式1】（2021•江阴市校级模拟）方程有三个实数根，则　　． 考点5：由实际问题抽象出一元一次方程 【例5】（2024•无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•惠山区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童人，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【变式3】（2024•无锡校级二模）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为 　　． 考点6：一元一次方程的应用 【例6】（2023•工业园区校级二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是　　 A．13 B．12 C．11 D．10 【变式1】（2024•扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　　分钟． 【变式2】（2024•苏州）某条城际铁路线共有，，三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）次列车从站到站行驶了 　　分钟，从站到站行驶了 　　分钟； （2）记次列车的行驶速度为，离站的路程为；次列车的行驶速度为，离站的路程为． ①　　． ②从上午开始计时，时长记为分钟（如：上午，则，已知千米小时（可换算为4千米分钟），在次列车的行驶过程中，若，求的值． 考点7：解二元一次方程 【例7】（2019•海陵区校级三模）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，，那么方程的正整数解的组数是　　 A．34 B．35 C．36 D．37 【变式1】（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程的解的是 A． B． C． D． 考点8：二元一次方程的应用 【例8】（2024•启东市一模）图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于 　　． 【变式1】（2024•海安市二模）某家商店的账目记录显示，卖出26支型牙刷和14盒型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是 　 　． 【变式2】（2024•淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 考点9：二元一次方程组的解 【例9】（2024•滨海县校级模拟）已知有理数，满足方程组，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 【变式1】（2024•宿迁）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的方程组的解是 　　． 【变式2】（2024•钟楼区校级二模）实数，满足方程组，那么　　． 考点10：解二元一次方程组 【例10】（2020•泰州模拟）已知方程组，则　　． 【变式1】（2024•海州区校级一模）解方程组：． 【变式2】（2024•姜堰区一模）（1）计算：； （2） 解方程组：． 考点11：由实际问题抽象出二元一次方程组 【例11】（2024•武进区校级二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•工业园区校级二模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•通州区二模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为　　 A． B． C． D． 考点12：二元一次方程组的应用 【例12】（2024•鼓楼区校级模拟）我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（图3所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 　36　． 【变式1】（2024•姜堰区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？请你算算看，木长 　 　尺． 【变式2】（2024•惠山区一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 考点13：解三元一次方程组 【例13】（2021•宿迁模拟）已知方程组的解满足，则的值为　　 A．10 B．8 C．2 D． 【变式2】（2022•钟楼区校级模拟）若关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为　　． 【变式3】（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知、、，满足试求的值． 考点14：三元一次方程组的应用 【例14】（2024•秦淮区二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“”原子的个数是，右边“”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是，，为常数），则的值是 　． 【变式1】（2023•邳州市一模）母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“．已知销售每束“心之眷恋”的利润率为，每束“佳人如兰”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，商人得到的总利润率为：当售出的三种花束数量之比为时，商人得到的总利润率为，那么当售出的三种花束数量之比为时，这个商人得到的总利润率为 　　． 【变式3】（2023•崇川区校级四模）某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． （1）求场馆和场馆的门票价格． （2）若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． （3）若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案． 第二部分：高频题型洞悉（方程（组）的应用） 题型1：工程问题（一元一次方程的应用） 【例1】（2024·江苏泰州·一模）某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息： 信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天； 信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为； 根据以上信息解决下列问题： (1)求规定时间； (2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间． 【变式1】（21-22八年级上·山西大同·期末）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天． (1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ (2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 【变式2】（2022·浙江宁波·一模）甲，乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中其中一人因故障停止加工几分钟后又继续按原速加工，直到他们完成任务，如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，观察图像解决下列问题： (1)点的坐标是 ，点表示的实际意义是 ； (2)在加工的过程中，多少分钟时甲比乙多加工100个零件？ (3)为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙一起加工，直到完成任务．已知丙每分钟能加工3个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第几分钟时开始帮助乙？并在图中画出丙帮助乙后与之间的函数关系的图像． 题型2：配套问题（一元一次方程的应用） 【例2】（20-21七年级上·湖北恩施·阶段练习）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程正确的是（　　） A．22x＝16（30﹣x） B．16x＝22（30﹣x） C．2×16x＝22（30﹣x） D．2×22x＝16（30﹣x） 【变式1】（2021·浙江杭州·一模）某校教师举行茶话会．若每桌坐10人，则空出一张桌子；若每桌坐8人，还有6人不能就座．设该校准备的桌子数为x，则可列方程为（　　） A．10（x﹣1）=8x﹣6 B．10（x﹣1）=8x+6 C．10（x+1）=8x﹣6 D．10（x+1）=8x+6 【变式2】（2022·江苏无锡·模拟预测）某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务． 已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成． 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品． (1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？ (2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置． 请问至少需要补充多少名新工人？ 题型3：销售盈利（一元一次方程的应用） 【例3】（2024·江苏徐州·模拟预测）某经销商长期销售A、两种商品，5月份此经销商花费30000元一次性购买了A、两种商品共1700件，此时A、两种商品的进价分别为15元和20元．求5月份此经销商购进A、两种商品的数量； 【变式1】（2022·福建·中考真题）在学校开展“美化校园”主题系列活动中，七年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿植A和绿植B共46盆，且绿植A盆数不少于绿植B盆数的2倍，已知绿植A每盆9元，绿植B每盆6元． (1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿植A和绿植B，问可购买绿植A和绿植B各多少盆？ (2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【变式2】（2023·江苏扬州·中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 题型4：方案选择（一元一次方程的应用） 【例4】（2022·江苏宿迁·中考真题）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． (1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元； (2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 【变式1】（2022·江苏泰州·一模）某游泳馆推出了A、B两种季度套餐．选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式； (2)请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱； (3)小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长． 【变式2】（2019·江苏无锡·一模）人生经常需要做“选择题”，比如“准备选择参加哪个社团”、“暑假打算去哪儿旅游”、“中考过后决定报考哪所学校”等等．下面就有一道“选择题”：李明家新买了一套房子，2020年元旦准备乔迁入住．他家有辆车，关于车位，房地产开发商提供两种方案供业主选择： 方案 车位费用 管理费 1．租 每个车位每月租金300元 （每年年初一次性缴付当年租金） 每个车位每月50元 2．买 每个车位的销售单价待公布 （入住时一次性缴付） （1）若采用租车位的方式，则每年共需缴费 元； （2）现已知李明家手头的钱足够购买车位，但李明了解到，如果购买一种长期基金（一元起购，本金不可支取），每年可获得6%的固定收益（年终提取当年收益）．如果不考虑其他因素（如物价变化、租金变化、基金收益率变化等），根据以上信息，关于“租车位”或“买车位”哪种合算？请你帮助李明作出选择，并说明理由． 题型5：几何问题（一元一次方程的应用） 【例5】（2024·陕西榆林·二模）矩形的周长为，把该矩形长截去（截去如图①的阴影部分）剩余的面积为；把该矩形宽截去（截去如图②的阴影部分）剩余的面积为．已知比多，求原矩形的面积． 【变式1】（2023·北京西城·模拟预测）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（    ） A．24 B．12 C．18 D．21 【变式2】（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，动点从点同时出发，沿方向以的速度向点运动．当点到达点时，，两点同时停止运动，以为一边向上作正方形，过点作，交于点设点的运动时间为单位：，正方形和梯形重合部分的面积为． (1)当 ______ 时，点与点重合； (2)当 ______ 时，点在上； (3)当点在，两点之间不包括，两点时，求与之间的函数关系式； (4)是否存在某一时刻，使得正方形的面积被直线平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 题型6：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【例6】（22-23七年级下·福建泉州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 4.20 0.80 超过30吨的部分 b 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费．） 已知该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元． (1)求a、b的值； (2)实行“阶梯式水价”收费之后，该居民家用水多少吨时，其当月的平均水费每吨不超过3.64元？ (3)若该居民家2022年10月份、11月份共用水60吨，10月份和11月份一共缴交水费250元（水费每个月缴交一次）．已知10月份用水量大于11月份用水量，求该居民家10月份、11月份各用水多少吨？ 【变式1】（22-23七年级上·北京·期末）目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下． 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过180度的部分 0.5 第2档 超过180度的部分 0.7 (1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元； (2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元； (3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？ 【变式2】（2007·江苏扬州·中考真题）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表． 若某户居民月份用水，则应收水费：元． （1）若该户居民月份用水，则应收水费______元； （2）若该户居民、月份共用水（月份用水量超过月份），共交水费元，则该户居民，月份各用水多少立方米？ 题型7：行程问题（一元一次方程的应用） 【例7】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，甲、乙两车从地将一批物品匀速运往地，已知甲比乙先出发，线段分别表示甲、乙两车离地的距离与时间的关系，请结合图中的信息解决如下问题： (1)求甲车的速度和的值； (2)若乙车到达地后立即以原速返回． ①求甲车在离地多远处与返程中的乙车相遇？ ②在图中画出乙车在返回过程中离地的距离与时间的函数图象（需要标注出相应的数据）． 【变式1】（2024·江苏盐城·模拟预测）有一笔直的公路连接M，N两地，甲车从M地驶往N地，速度为，乙车从N地驶往M地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动．途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往N地．设甲车行驶的时间为t（单位：h），甲、乙两车之间的距离为s（单位：），s与t之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题： (1)M，N两地之间的距离为______； (2)求出点B的横坐标； (3)当甲、乙两车相距时，请直接写出t的值． 【变式2】（22-23七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示．    (1)求乙车到达B地的时间； (2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程； (3)求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 题型8：古代问题（一元一次方程的应用） 【例8】（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少?若设人数为x人，则可列方程为 ． 【变式1】（2022·江苏宿迁·二模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为客人一起分银子，若每人分7两，则还剩4两；若每人分9两，则还差8两．问客人有几人？设客人共有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2019·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 题型9：方案问题（二元一次方程组的应用） 【例9】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【变式1】（15-16七年级下·四川巴中·期中）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【变式2】（2024·江苏无锡·二模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 题型10：行程问题（二元一次方程组的应用） 【例10】（2023·江苏南京·一模）如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为的队伍，排尾A处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发．队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图③所示．    (1)______，______； (2)求线段所表示的与x之间的函数表达式； (3)在图③中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象 【变式1】（2021·江苏泰州·一模）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数字是一个两位数；1h后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过1h，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0的三位数．这3块里程碑上的数各是多少？ 【变式2】（2024·江苏无锡·二模）小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地米，早上小宜从出发地爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上才开始从同一出发地开始爬，为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶，两人距出发地路程y（米）与小宜登山的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小宜、小兴每一段的爬行均视为匀速） (1)小宜休息前登山的速度为__________米/分钟，小兴减速前登山的速度__________米/分钟；小兴减速后登山的速度为__________米/分钟； (2)求a的值，并说明点A所表示的实际意义； (3)若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟． 题型11：工程问题（二元一次方程组的应用） 【例11】（18-19七年级下·全国·单元测试）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 【变式1】（2011·江苏淮安·中考真题）古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工作队每天整治12米，工程队每天整治8米，共用时20天． （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：　　　　乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________________，y表示_______________； 乙：x表示________________，y表示_______________． （2）求两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【变式2】（2018·江苏南京·一模）春天来了，石头城边，秦淮河畔，鸟语花香，柳条飘逸．为给市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道出新改造，该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天改造12米，乙工程队每天改造8米，共用时200天． （1）根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 小莉： 小刚： 根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全小莉、小刚两名同学所列的方程组： 小莉：x表示 ，y表示 ； 小刚：x表示 ，y表示 ． （3） 求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米． 题型12：分配问题（二元一次方程组的应用） 【例12】（2018·浙江温州·一模）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． 若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？ 若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？ 若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材不计损耗，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共______只    【变式1】（16-17七年级下·江苏苏州·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【变式2】（2021·江苏苏州·二模）小张是某工厂的一名工人，每天工作8小时，已知他生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟． （1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟? （2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为100元，按件计酬的方式为每生产一件甲产品得a元，每生产一件乙产品得2.5元．小张某日计划生产甲，乙两种产品共28件，请设计出日薪最高的生产方案． 题型13：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例13】（2024·江苏盐城·三模）某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示： 品名 A蔬菜 B蔬菜 批发价/（元/千克） 4 3 零售价/（元/千克） 5 (1)第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元； (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）． ①请求出w与m的函数关系式； ②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【变式1】．（2024·江苏宿迁·三模）宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克． (1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？ (2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？ 【变式2】（2022·浙江温州·二模）2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分、、三个场馆，且购买2张场馆门票和1张场馆门票共需要140元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需要230元．由于场地和疫情原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观． (1)求场馆和场馆门票的单价． (2)已知场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动；每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． ①若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． ②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1200 元，求所有满足条件的购买方案． 题型14：几何问题（二元一次方程组的应用） 【例14】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2022·江苏无锡·二模）如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为 ． 【变式2】（2018·江苏南京·一模）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　 　cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 题型15：古代问题（二元一次方程组的应用） 【例15】（2024·广西钦州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗．则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十：粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．原来有米 斗． 【变式2】（2022·湖南长沙·三模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 基础夯实训练 1．（17-18七年级上·北京东城·期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中〈孙子算经〉中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？” 这道题的意思是： 今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏镇江·模拟预测）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （厘米） 当为斤时，对应的水平距离为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏南通·二模）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·江苏无锡·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ． 6．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于大约1500年前，其中一道题的原文：“今三人共车，两车空；两人工车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人乘车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各有多少？上述问题中车有 辆． 7．（2024·江苏扬州·一模）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．设大象的重量为x（N），若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含k的代数式表示）． 8．（22-23七年级上·甘肃庆阳·期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？设有个人，根据题意可列方程： ． 9．（2024·江苏苏州·二模）互不相等的有理数m， n， p在数轴上分别表示点M， N， P，若 且，则称两数m，n关于数p对称，对称半径为r．例如有理数3和5关于4对称，对称半径为1． (1)若，，则 (2)若，，求对称半径r． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．    阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 11．（2024·四川攀枝花·二模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套 (1)求书籍和实验器材各有多少套？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来 12．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 能力拔高训练 13．（2024·江苏无锡·二模）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 14．（2023·广西南宁·一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（    ） A． B． C． D． 15．（2019·湖南常德·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（ 　 ） A． B． C． D． 16．（2024·江苏无锡·一模）地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），已知火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的倍（地球绕太阳运行一圈需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间最为接近的是（    ）    A．2024年12月10日 B．2025年1月20日 C．2025年2月10日 D．2025年3月20日 17．（2020·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 18．（2023·江苏无锡·二模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围 ． 19．（2023·江苏苏州·一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元． (1)求、两种笔记本的进价； (2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值． 20．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）冰墩墩，是年北京冬季奥坛会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰哲运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 21．（2024·江苏苏州·二模）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 20 乙 24 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元． (1)求的值； (2)该超市决定回馈顾客，开展促销活动，购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3820元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲、乙水果以原售价出售，若购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于600元，求正整数的最大值． 22．（2023·江苏常州·二模）学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购买2根A型跳绳和1根B型跳绳共需元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需元． (1)购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元? (2)若班级计划购买A，B两型跳绳共根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，设购买A型跳绳m根，求购买跳绳所需最少费用是多少元? 23．（19-20七年级下·山东东营·期末）为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； (2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 方程（组）与不等式（组） 第05讲 一次方程（组）及其应用 （思维导图+14个考点+15种题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 等式的基本性质 4 重点考点二 一元一次方程 4 重点考点三 二元一次方程（组） 5 重点考点四 一次方程（组）的应用 7 题型精研 考向洞悉 9 第一部分：常考考点讲练 9 考点1：等式的性质 9 考点2：一元一次方程的解 10 考点3：解一元一次方程 11 考点4：含绝对值符号的一元一次方程 12 考点5：由实际问题抽象出一元一次方程 13 考点6：一元一次方程的应用 15 考点7：解二元一次方程 18 考点8：二元一次方程的应用 19 考点9：二元一次方程组的解 21 考点10：解二元一次方程组 22 考点11：由实际问题抽象出二元一次方程组 24 考点12：二元一次方程组的应用 26 考点13：解三元一次方程组 28 考点14：三元一次方程组的应用 30 第二部分：高频题型洞悉（方程（组）的应用） 34 题型1：工程问题（一元一次方程的应用） 34 题型2：配套问题（一元一次方程的应用） 37 题型3：销售盈利（一元一次方程的应用） 39 题型4：方案选择（一元一次方程的应用） 42 题型5：几何问题（一元一次方程的应用） 45 题型6：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 51 题型7：行程问题（一元一次方程的应用） 55 题型8：古代问题（一元一次方程的应用） 59 题型9：方案问题（二元一次方程组的应用） 60 题型10：行程问题（二元一次方程组的应用） 64 题型11：工程问题（二元一次方程组的应用） 68 题型12：分配问题（二元一次方程组的应用） 71 题型13：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 74 题型14：几何问题（二元一次方程组的应用） 79 题型15：古代问题（二元一次方程组的应用） 82 分层训练 巩固提升 85 基础夯实训练 85 能力拔高训练 94 考点要求 新课标要求 命题预测 等式的基本性质 · 理解等式的基本性质 一元一次方程与二元一次方程（组）在初中数学中因为未知数的最高次数都是一次，且都是整式方程,所以统称为“一次方程”. 中考中，对于这两个方程的解法及其应用一直都有考察，其中对于两个方程的解法以及注意事项是必须掌握的，而在其应用上也是中考代数部分结合型较强的一类考点. 预计2024年各地中考还将继续考查一次方程的解法和应用题，为避免丢分，学生应扎实掌握． 一元一次方程 · 能解一元一次方程 二元一次方程（组） · 掌握消元法，能解二元一次方程组 · 能解简单的三元一次方程组[选学] 一次方程（组） 的应用 · 利用一次方程求解实际问题 重点考点一 等式的基本性质 1.利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算. 2.运用等式的性质2时，等式两边不能同时除以0，因为0不能作除数或分母. 利用等式的性质对等式变形时,应分析变形前后式子发生了哪些变化,发生加减变形的依据是等式的性质1,发生乘除变形的依据是等式的性质 2. 重点考点二 一元一次方程 一元一次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程. 一元一次方程标准形式：ax+b=0（x为未知数，a、b是常数且a≠0） 解一元一次方程的基本步骤： 1. 一元一次方程中未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数. 2. 一元一次方程只含有一个未知数,未知数的次数都为1. 3. 解方程的五个步骤有些可能用不到，有些可能重复使用，也不一定有固定的顺序，要根据方程的特点灵活运用． 4. 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100，化分母中的小数为整数． 1.二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽. 2.如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简. 3.如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简. 重点考点三 二元一次方程（组） 1.二元一次方程有无数个解，满足二元一次方程使得方程左右相等都是这个方程的解，但并不是说任意一对数值就是它的解. 2.在二元一次方程中，给定其中一个未知数的值，就可以通过解一元一次方程的方法求出另一个未知数的值. 3.二元一次方程组的“二元”和“一次”都是针对整个方程组而言的，组成方程组的各个方程不必同时含有两个未知数，这两个一次方程不一定都是二元一次方程，但这两个一次方程必须只含有两个未知数. 4.解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程． 解二元一次方程组的方法选择： 1)当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法； 2)当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法； 3)当方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数时，选用加减消元法； 4)当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法． 解“看错系数”问题的方法 看错方程组中某个方程的系数,所得的解既是方程组中看错系数的方程的解,也是方程组中没有看错系数的方程的解,把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组,然后解方程组. 重点考点四 一次方程（组）的应用 用方程解决实际问题的步骤： 审：理解并找出实际问题中的等量关系; 设：用代数式表示实际问题中的基础数据; 列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程; 解：求解方程; 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 与一次方程（组）有关应用题的常见类型： 第一部分：常考考点讲练 考点1：等式的性质 【例1】（2024•江阴市一模）已知、、满足等式，则下列结论不正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【思路点拨】先将等式变形为，然后根据每个选项给出的已知条件即可推出结论进行判断即可． 【规范解答】解：， ， 、若，则，，，故此选项不符合题意； 、若，则，，，故此选项不符合题意； 、，，若，则，，故此选项符合题意； 、，，若，则，，故此选项不符合题意； 故选：． 【考点评析】本题考查了等式的性质，不等式的性质，熟练掌握这两个性质是解题的关键． 【变式1】（2022•宜兴市校级二模）若，，则的值为　　 A．15 B． C．5 D．3 【思路点拨】利用等式的性质进行变形就可得到结果． 【规范解答】解：①，②， ②①得， 故选：． 【考点评析】本题考查了等式的性质，做题关键是掌握等式的性质． 【变式2】（2021•泗洪县三模）如果△△★，〇□□，△〇〇〇〇，那么★□的值为　16　． 【思路点拨】根据题意可知★个△个〇个□，再代入★□即可计算求解． 【规范解答】解：△△★， ★个△， △〇〇〇〇， ★个〇， 〇□□， ★个□， ★□． 故答案为：16． 【考点评析】本题考查了等式的性质，关键是根据题意由等量关系得到★个□． 考点2：一元一次方程的解 【例2】（2024•张家港市模拟）若是关于的方程的解，则的值为　　 A．7 B．1 C． D． 【思路点拨】把代入方程，求解即可． 【规范解答】解：把代入方程得： ， 解得：． 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 【变式1】（2024•惠山区校级一模）若是关于的方程的解，则的值为　　 A．7 B．1 C． D． 【思路点拨】把代入方程，求解即可． 【规范解答】解：把代入方程得： ， 解得：． 故选：． 【考点评析】本题考查一元一次方程的解的定义，熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 【变式2】（2021•建湖县一模）已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是　4　． 【思路点拨】根据一元一次方程解的定义，把代入原方程得到关于的方程，求出的值，然后解关于的方程即可． 【规范解答】解：把代入方程， 得， 解得， 把代入方程， 得， ， ， ， ． 故答案为：4． 【考点评析】本题考查了一元二次方程的解：把方程的解代入原方程，等式左右两边相等． 考点3：解一元一次方程 【例3】（2024•海门区校级模拟）解一元一次方程时，去分母正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解答即可． 【规范解答】解：方程两边都乘以6，得：， 故选：． 【考点评析】此题考查解一元一次方程，关键是根据解一元一次方程的步骤解答． 【变式1】（2023•武进区一模）对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则　　 A． B．2 C．3 D．4 【思路点拨】根据新运算公式，得：，即． 【规范解答】解：， ， 即：， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了有理数的定义新运算． 【变式2】（2023•扬州三模）规定一种新的运算：，求的解是 　　． 【思路点拨】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出解． 【规范解答】解：根据题中的新定义化简得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：． 故答案为：． 【考点评析】此题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 考点4：含绝对值符号的一元一次方程 【例4】（2022•相城区校级自主招生）关于的方程为常数）有两个不同的实根，则的取值范围是 　　． 【思路点拨】根据绝对值的定义，进行分类讨论，再分别解一元一次方程． 【规范解答】解：当，即，则． ． 此时，则． 当，即，则． ． 此时，则． 综上：． 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查解一元一次方程、绝对值，熟练掌握绝对值的定义、一元一次方程的解法、分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式1】（2021•江阴市校级模拟）方程有三个实数根，则　　． 【思路点拨】先将方程化为，方程有三个实数根可以看作是函数和函数的图象有三个交点，画图分析即可求解． 【规范解答】解：将方程化为， 方程有三个实数根可以看作是函数和函数的图象有三个交点， 化简绝对值可得函数，且函数的图象过定点， 函数图象如下： 由图可知，只有当过点时，才有三个交点， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题将方程的解转化为函数图象的交点来做，涉及到绝对值的化简，画出分段函数的图象，最后利用函数图象的交点分析即可解决． 考点5：由实际问题抽象出一元一次方程 【例5】（2024•无锡）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程大雁的路程总路程，据此即可列出方程． 【规范解答】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意建立等量关系是关键． 【变式1】（2024春•如皋市校级月考）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设车辆，根据乘车人数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】解：设车辆， 根据题意得：． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式2】（2024•惠山区校级模拟）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设有牧童人，根据题意，可列方程为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】设有牧童人，根据“每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿”，结合竹竿的数量不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】解：设有牧童人， 根据题意可列方程为：， 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式3】（2024•无锡校级二模）《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3钱．求买羊的人数和这头羊的价格．设买羊的人数为人，根据题意，可列方程为 　　． 【思路点拨】设买羊的人数为人，根据题意正确列方程即可． 【规范解答】解：设买羊的人数为人， 根据题意，可列方程为， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，能列出方程是解题丁关键． 考点6：一元一次方程的应用 【例6】（2023•工业园区校级二模）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则与的和是　　 A．13 B．12 C．11 D．10 【思路点拨】由每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等， 左下角的数为：， 最中间的数为：或， 右下角的数为：或， ， 解得：， ， 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1】（2024•扬州）《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走60米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．问速度快的人追上他需要 　2.5　分钟． 【思路点拨】根据题意，设速度快的人需要分钟才能追上速度慢的人，可列：，求解即可． 【规范解答】解：设速度快的人需要分钟才能追上速度慢的人， 根据题意可列：， 解得：， 故答案为：2.5． 【考点评析】本题考查的是一元一次方程的应用与数学常识，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【变式2】（2024•苏州）某条城际铁路线共有，，三个车站，每日上午均有两班次列车从站驶往站，其中次列车从站始发，经停站后到达站，次列车从站始发，直达站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变．某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车运行信息如下表所示． 列车运行时刻表 车次 站 站 站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 途经站，不停车 请根据表格中的信息，解答下列问题： （1）次列车从站到站行驶了 　90　分钟，从站到站行驶了 　　分钟； （2）记次列车的行驶速度为，离站的路程为；次列车的行驶速度为，离站的路程为． ①　　． ②从上午开始计时，时长记为分钟（如：上午，则，已知千米小时（可换算为4千米分钟），在次列车的行驶过程中，若，求的值． 【思路点拨】（1）直接根据表中数据解答即可； （2）①分别求出次列车、次列车从站到站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求解即可； ②先求出，与站之间的路程，次列车经过站时，对应的值，从而得出当时，次列车在站停车，次列车经过站时，次列车正在站停车，然后分，，，讨论，根据题意列出关于的方程求解即可． 【规范解答】解：（1）次列车从站到站行驶了90分钟，从站到站行驶了60分钟， 故答案为：90，60； （2）①根据题意得：次列车从站到站共需分钟，次列车从站到站共需分钟， ， ， 故答案为：； ②（千米分钟），， （千米分钟）， （千米）， 与站之间的路程为360千米， （分钟）， 当时，次列车经过站， 由题意可知，当时，次列车在站停车， 次列车经过站时，次列车正在站停车， ．当时，， ， ， （分钟）； ⅱ．当时，， ， ， （分钟），不合题意，舍去； ⅱ．当时，， ， ， （分钟），不合题意，舍去； ．当时，， ， ， （分钟）； 综上所述，当或125时，． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的关键． 考点7：解二元一次方程 【例7】（2019•海陵区校级三模）我们探究得方程的正整数解只有1组，方程的正整数解只有2组，方程的正整数解只有3组，，那么方程的正整数解的组数是　　 A．34 B．35 C．36 D．37 【思路点拨】先把看作整体，得到的正整数解有7组；再分析分别等于2、3、4、时对应的正整数解组数；把所有组数相加即为总的解组数． 【规范解答】解：令，则的正整数解有8组，，， 其中的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，的正整数解有8组， 总的正整数解组数为： 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程的解，可三元方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算． 【变式1】（2023•无锡）下列4组数中，不是二元一次方程的解的是 A． B． C． D． 【思路点拨】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解． 【规范解答】解：、把，代入方程，左边右边，所以是方程的解； 、把，代入方程，左边右边，所以是方程的解； 、把，代入方程，左边右边，所以是方程的解； 、把，代入方程，左边右边，所以不是方程的解． 故选：． 【考点评析】本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把，的值代入原方程验证二元一次方程的解． 考点8：二元一次方程的应用 【例8】（2024•启东市一模）图1是我国古代传说中的洛书，图2是其数字表示．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．如图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，的值等于 　　． 【思路点拨】根据每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等列出，的方程，变形即可得到答案． 【规范解答】解：如图： 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出关于，的方程． 【变式1】（2024•海安市二模）某家商店的账目记录显示，卖出26支型牙刷和14盒型牙膏，收入是264元．若以同样的价格卖出同款的39支牙刷和21盒牙膏，则收入应是 　396元　． 【思路点拨】设牙刷每支元，牙膏每盒元，根据题意列出方程，则代入数据求解即可． 【规范解答】解：设牙刷每支元，牙膏每盒元， 则， ． 故39支牙刷和21盒牙膏收入396元． 故答案为：396元． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的应用，找的等量关系列出方程是解题关键． 【变式2】（2024•淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【思路点拨】设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解即可． 【规范解答】解：设有个客人，个盘子． 根据题意，得， 解得， 答：有30个客人，13个盘子． 【考点评析】本题考查数学常识，根据题意列二元一次方程组并求解是解题的关键． 考点9：二元一次方程组的解 【例9】（2024•滨海县校级模拟）已知有理数，满足方程组，则的值为　　 A． B．0 C．1 D．2 【思路点拨】根据题意直接将两个方程相加即可求解． 【规范解答】解：， 由①②得：， 化简得：， 故选：． 【考点评析】本题主要考查了二元一次方程组，理解题意应用整体思想是解题的关键． 【变式1】（2024•宿迁）若关于、的二元一次方程组的解是，则关于、的方程组的解是 　　． 【思路点拨】将方程组整理得，然后结合已知条件可得，，解方程即可． 【规范解答】解：将方程组整理得， 关于、的二元一次方程组的解是， ，， 解得：，， 即关于、的方程组的解是， 故答案为：． 【考点评析】本题考查二元一次方程组的解，将方程组进行正确的变形是解题的关键． 【变式2】（2024•钟楼区校级二模）实数，满足方程组，那么　　． 【思路点拨】先由平方差公式将所求代数式因式分解，再将代入即可得到答案． 【规范解答】解：， ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查代数式求值，涉及平方差公式因式分解，熟记平方差公式因式分解是解决问题的关键． 考点10：解二元一次方程组 【例10】（2020•泰州模拟）已知方程组，则　2　． 【思路点拨】两方程相加，变形即可求出的值． 【规范解答】解：两方程相加得：， 则． 故答案为：2． 【考点评析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：加减消元法与代入消元法． 【变式1】（2024•海州区校级一模）解方程组：． 【思路点拨】利用加减消元法解方程组即可． 【规范解答】解：， ①②得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为． 【考点评析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． 【变式2】（2024•姜堰区一模）（1）计算：； （2）解方程组：． 【思路点拨】（1）根据负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值计算即可； （2）采用适当的方法解二元一次方程组即可． 【规范解答】解：（1）原式 ． （2）两方程相加，得； 两方程相减，得； 上述两方程组成方程组． ①②，得， 解得； ①②，得， 解得， 原方程组的解为． 【考点评析】本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值等，掌握负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 考点11：由实际问题抽象出二元一次方程组 【例11】（2024•武进区校级二模）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有人，物品价值元，则所列方程组正确的是　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据题意可得等量关系：人数物品价值；人数物品价值，根据等量关系列出方程组即可． 【规范解答】解：设有人，物品价值元，由题意得： ， 故选：． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【变式1】（2024•工业园区校级二模）《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”和“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多”为等量关系，列出方程组即可． 【规范解答】解：由题意得： ， 故选：． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 【变式2】（2024•通州区二模）《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为　　 A． B． C． D． 【思路点拨】根据“好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人”，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：好酒和薄酒一共饮了17升， ； 好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，且共醉了19位客人， ． 根据题意可列方程组． 故选：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 考点12：二元一次方程组的应用 【例12】（2024•鼓楼区校级模拟）我国古代夏禹时期的“洛书”（图1所示），就是一个三阶“幻方”（图2所示）．观察图1、图2，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（图3所示）中，根据寻找出的关系，可推算出的值为 　36　． 【思路点拨】由图2中的数据，可得出“幻方”中各行、各列以及各对角线上三个数字之和相等，结合图3中的数据，可列出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【规范解答】解：， “幻方”中各行、各列以及各对角线上三个数字之和相等． 根据题意得：， 解得：， ． 故答案为：36． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式1】（2024•姜堰区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一．书中记载了这样一个题目：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？请你算算看，木长 　6.5　尺． 【思路点拨】设木长尺，则绳子长为尺，再由将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺列出方程求解即可． 【规范解答】解；设木长尺，则绳子长为尺， 由题意得，， 解得， 所以木长6.5尺， 故答案为：6.5． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键． 【变式2】（2024•惠山区一模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． （1）求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利8000元，销售1辆型汽车可获利5000元，问：购进型、型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【思路点拨】（1）设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元，则该公司购进辆型汽车，利用总利润每辆型汽车的销售利润型汽车的购进数量每辆型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【规范解答】解：（1）设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆型汽车的进价是25万元，每辆型汽车的进价是10万元； （2）设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元，则该公司购进辆型汽车， 根据题意得：， 即， ， 随的增大而减小， 又，均为正整数， 的最小值为2， 当时，取得最大值，最大值为（元，此时（辆． 答：购进2辆型汽车，15辆型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 考点13：解三元一次方程组 【例13】（2021•宿迁模拟）已知方程组的解满足，则的值为　　 A．10 B．8 C．2 D． 【思路点拨】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出的数值． 【规范解答】解：由题意可得， ①②得， ②③得， 代入③得， 则， 解得． 故选：． 【考点评析】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答． 【变式2】（2022•钟楼区校级模拟）若关于、的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为　　． 【思路点拨】先用含的代数式表示、，即解关于，的方程组，再代入中可得． 【规范解答】解：根据题意组，得，，， 把，代入二元一次方程， 得：， ． 故答案为： 【考点评析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出的数值． 【变式3】（2021•苏州一模）阅读材料：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为： 请你解决以下问题： （1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组 （2）已知、、，满足试求的值． 【思路点拨】（1）将②变形后代入方程解答即可； （2）将原方程变形后利用加减消元解答即可． 【规范解答】解：（1） 将②变形得④ 将①代入④得 把代入①得， 方程组的解为 （2） 由①得③ 由②得④ ③④得 【考点评析】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想． 考点14：三元一次方程组的应用 【例14】（2024•秦淮区二模）化学方程式等号两边的同种原子的个数是相等的，例如，乙烷充分燃烧的化学方程式是，其中，等号左边“”原子的个数是，右边“”原子的个数也是．若己烷充分燃烧的化学方程式是，，为常数），则的值是 　12　． 【思路点拨】根据题意可以列出三元一次方程组，然后解答即可求得的值． 【规范解答】解：由题意知：， ， 将，代入得， ， 解得：， ， 故答案为：12． 【考点评析】本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意列出方程求解即可． 【变式1】（2023•邳州市一模）母亲节来临之际，某花店购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别是“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“．已知销售每束“心之眷恋”的利润率为，每束“佳人如兰”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，商人得到的总利润率为：当售出的三种花束数量之比为时，商人得到的总利润率为，那么当售出的三种花束数量之比为时，这个商人得到的总利润率为 　　． 【思路点拨】设“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“的成本分别为，，，由利润率可得三种花的售价分别为，，，则三种花的利润分别为，，，当售出的三种花束数量之比为时，分别设三种花的数量为，，，可由总利润率为列出算式，化简可得①，再由售出的三种花束数量之比为时，分别设三种花的数量为，，，可由总利润率为列出算式，化简可得②，②代入①可得，则“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“的成本为，，，利润分别为，，，当售出的三种花束数量之比为时，设三种花的数量分别为，，，列出算式即可求解． 【规范解答】解：设“心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“的成本分别为，，， 销售每束“心之眷恋”的利润率为，每束“佳人如兰”的利润率为，每束“守候”的利润率为， 三种花的售价分别为，，， 三种花的利润分别为，，， 售出的三种花束数量之比为时，商人得到的总利润率为， 设三种花的数量为，，， ， ， ， ， ①， 售出的三种花束数量之比为时，商人得到的总利润率为， 设三种花的数量为，，， ， ， ， ②， 将②代入①，可得： ， ， “心之眷恋”、“佳人如兰”、“守候“的成本为，，，利润分别为，，， 当售出的三种花束数量之比为时，设三种花的数量分别为，，，则： ， 故答案为：． 【考点评析】本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是先求出三种花的成本与利润的关系，再根据两次利润率得出三种花成本之间的关系． 【变式3】（2023•崇川区校级四模）某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分为，，三个场馆，且购买1张场馆门票和1张场馆门票共需90元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需230元．场馆门票为每张15元．由于场地原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每位同学只能选择一个场馆参观．参观当天刚好有优惠活动：每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． （1）求场馆和场馆的门票价格． （2）若购买场馆的门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． （3）若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1100元，求所有满足条件的购买方案． 【思路点拨】（1）设场馆门票为元，场馆门票为元，再根据文中数量关系列出等量关系式即可得出结论． （2）购买场馆门票张，则购买场馆门票张，依题意得：求出的取值范围，再设此次购买门票所需总金额为元，则有，最后根据函数系数的性质确定最值问题． （3）设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票，根据文中数量关系列出，则，根据、为正整数这一条件判断、的值即可得出结论，最后要记得检验是否符合题意． 【规范解答】（1）解：设场馆门票为元，场馆门票为元， ， 解得． 答：场馆门票的单价为50元，场馆门票的单价为40元． （2）设购买场馆门票张，则购买场馆门票张， 依题意得：，解得：． 设此次购买门票所需总金额为元，则 ， ， 随的增大而减小． ，且为整数， 当时，取得最小值，最小值． 答：此次购买门票所需总金额的最小值为1210元． （3）设购买场馆门票张，场馆门票张，则购买场馆门票， 依题意得： ， ． 又，均为正整数， 或或． 当，时，，符合题意． 当，时，，符合题意． 当，时，，符合题意，舍去； 共有2种购买方案， 方案1：购买5张场馆门票，16张场馆门票，14张场馆门票； 方案2：购买10张场馆门票，12张场馆门票，8张场馆门票． 又在不超额的前提下，要让去场馆的人数尽量的多， 选择方案2， 即购买10张场馆门票，12张场馆门票，8张场馆门票． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组，不等式的应用以及最值问题，对学生的综合能力要求较高． 第二部分：高频题型洞悉（方程（组）的应用） 题型1：工程问题（一元一次方程的应用） 【例1】（2024·江苏泰州·一模）某单位需要在规定时间内生产一批物资，通过调研，发现投标的工厂中有甲、乙两家资质合格，并获得如下信息： 信息1：甲厂单独完成这项任务刚好如期完成； 信息2：乙厂单独完成这项任务比规定时间多用5天； 信息3：甲、乙两厂的生产速度之比为； 根据以上信息解决下列问题： (1)求规定时间； (2)若甲乙两厂合作一些天后，余下的工程由乙厂单独做也正好如期完成．求甲乙两厂合作的时间． 【答案】(1)规定时间是20天； (2)甲、乙两厂合作的时间是4天． 【思路点拨】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设规定时间是天，则甲厂单独完成这项任务需要天，乙厂单独完成这项任务需要天，根据甲、乙两厂的生产速度之比为，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）设甲、乙两厂合作的时间为天，利用甲厂完成的任务量乙厂完成的任务量总任务量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设规定时间是天，则甲厂单独完成这项任务需要天，乙厂单独完成这项任务需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：规定时间是20天； （2）解：设甲、乙两厂合作的时间为天， 根据题意得：， 解得：． 答：甲、乙两厂合作的时间是4天． 【变式1】（21-22八年级上·山西大同·期末）市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天． (1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ (2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？ 【答案】(1)甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米 (2)甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元 【思路点拨】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米，根据题意列出分式方程，解方程求解即可； （2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成，根据题意列一元一次方程求解即可 【规范解答】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米． （2）设安排甲、乙两个工程队同时开工需要天完成， 由题意得：， 解得：， 则（万元）， 答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元； 【考点评析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 【变式2】（2022·浙江宁波·一模）甲，乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中其中一人因故障停止加工几分钟后又继续按原速加工，直到他们完成任务，如图表示甲比乙多加工的零件数量（个）与加工时间（分）之间的函数关系，观察图像解决下列问题： (1)点的坐标是 ，点表示的实际意义是 ； (2)在加工的过程中，多少分钟时甲比乙多加工100个零件？ (3)为了使乙能与甲同时完成任务，现让丙帮乙一起加工，直到完成任务．已知丙每分钟能加工3个零件，并把丙加工的零件数记在乙的名下，问丙应在第几分钟时开始帮助乙？并在图中画出丙帮助乙后与之间的函数关系的图像． 【答案】(1) （15，0）； 甲乙两人工作15分钟时，加工零件的数量相同； (2)在加工的过程中，65或125分钟时甲比乙多加工100个零件； (3)丙在45分钟时开始帮助乙，图像见解析； 【思路点拨】（1）根据函数图像y和x的关系解答即可； （2）根据甲加工的时间和数量求出甲的加工速度，再由甲比乙每分钟多加工的数量求出乙的加工速度，从而得到乙加工完的时间D点坐标；由坐标B，C，D求出BC和CD的解析式即可解答； （3）设x分钟时丙加入，根据乙、丙要在105分钟时加工完600个零件列方程求解即可； 【规范解答】（1）解：由题意得：B点坐标（15，0）； 在15分钟时，甲乙两人加工零件的数量相同； （2）解：解：设直线的解析式为：， ，解得： 段的函数关系式为：，（15≤x≤105） 当时，得：，解得：， 由图像可知105分钟时甲完成了任务，中间休息了5分钟， ∴甲用时100分钟加工了600个零件，即甲每分钟加工6个零件， 从15分钟到105分钟甲比乙多加工了180个零件， ∴甲每分钟比乙多加工2个零件， ∴乙每分钟加工4个零件， ∴乙加工完需要分钟，即D（150，0）， 设直线的解析式为：， 解得：， 的函数关系式为：，（105＜x≤150） 当时，有，解得：， 所以在加工的过程中，65或125分钟时甲比乙多加工100个零件； （3）解：设x分钟时丙加入，∵乙，丙要在105分钟时加工完600个零件， ∴， 解得：， 即：丙在45分钟时开始帮助乙，图像如图所示： 【考点评析】本题考查了一次函数的实际应用，根据题意了解x，y所代表的意义并求出两人的加工速度是解题关键． 题型2：配套问题（一元一次方程的应用） 【例2】（20-21七年级上·湖北恩施·阶段练习）某车间有30名工人，生产某种由一个螺栓两个螺母组成的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下列所列方程正确的是（　　） A．22x＝16（30﹣x） B．16x＝22（30﹣x） C．2×16x＝22（30﹣x） D．2×22x＝16（30﹣x） 【答案】D 【思路点拨】设分配x名工人生产螺栓，则（30-x）人生产螺母，根据题意可得等量关系：螺母的数量=螺栓的数量×2，然后再列出方程即可． 【规范解答】解：设分配x名工人生产螺栓，则（30﹣x）人生产螺母，由题意得： 2×22x＝16（30﹣x）， 故选：D． 【考点评析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程． 【变式1】（2021·浙江杭州·一模）某校教师举行茶话会．若每桌坐10人，则空出一张桌子；若每桌坐8人，还有6人不能就座．设该校准备的桌子数为x，则可列方程为（　　） A．10（x﹣1）=8x﹣6 B．10（x﹣1）=8x+6 C．10（x+1）=8x﹣6 D．10（x+1）=8x+6 【答案】B 【思路点拨】设该校准备的桌子数为x，根据“若每桌坐10人，则空出一张桌子；若每桌坐8人，还有6人不能就坐”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】解：设该校准备的桌子数为x， 依题意得：10（x-1）=8x+6． 故选：B． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【变式2】（2022·江苏无锡·模拟预测）某工厂接受了15天内生产1200台GH型电子产品的总任务． 已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成． 工厂现有80名工人，每个工人每天能加工8个G型装置或4个H型装置．工厂将所有工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，并要求每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品． (1)按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成多少套GH型电子产品？ (2)为了在规定期限内完成总任务，工厂决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行G 型装置的加工，且每人每天只能加工4个G型装置． 请问至少需要补充多少名新工人？ 【答案】(1)工厂每天能配套组成64套GH型电子产品； (2)至少应招聘40名新工人． 【思路点拨】（1）设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置，根据“生产的装置总数=每人每天生产的数量×人数”结合每台GH型产品由8个G型装置和4个H型装置配套组成，即可得出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中即可求出结论； （2）设补充a名新工人加工G型装置，设x名工人加工G型装置，（80-x）名工人加工H型装置，进而利用每天加工的G、H型装置数量正好全部配套组成GH型产品得出等式表示出x的值，进而利用不等式解法得出答案． 【规范解答】（1）解：设安排x名工人生产G型装置，则安排（80﹣x）名工人生产H型装置， 根据题意得：， 解得：x=32， ∴． 答：按照这样的生产方式，工厂每天能配套组成64套GH型电子产品． （2）解：设招聘a名新工人加工G型装置 仍设x名工人加工G型装置，（80-x）名工人加工H型装置， 根据题意， ， 整理可得， ， 另外，注意到 ，即x≤20， 于是， 解得：a≥40， 答：至少应招聘40名新工人． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系及不等关系，正确列出一元一次方程及不等式是解题的关键． 题型3：销售盈利（一元一次方程的应用） 【例3】（2024·江苏徐州·模拟预测）某经销商长期销售A、两种商品，5月份此经销商花费30000元一次性购买了A、两种商品共1700件，此时A、两种商品的进价分别为15元和20元．求5月份此经销商购进A、两种商品的数量； 【答案】5月份此经销商购进种商品800件，购进种商品900件． 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程．设5月份此经销商购进商品件，可得：，即可解答． 【规范解答】解：设5月份此经销商购进商品件，则购进商品件， 根据题意得：， 解得， ， 5月份此经销商购进种商品800件，购进种商品900件． 【变式1】（2022·福建·中考真题）在学校开展“美化校园”主题系列活动中，七年级（1）班负责校园某绿化角的设计、种植与养护，同学们约定每人养护一盆绿植，计划购买绿植A和绿植B共46盆，且绿植A盆数不少于绿植B盆数的2倍，已知绿植A每盆9元，绿植B每盆6元． (1)采购组计划将预算经费390元全部用于购买绿植A和绿植B，问可购买绿植A和绿植B各多少盆？ (2)规划组认为有比390元更省钱的购买方案，请求出购买两种绿植总费用的最小值． 【答案】(1)购买绿植盆，绿植盆 (2)购买绿植盆，绿植盆时，总费用最小，最小值为369元 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用、不等式的性质，理解题意，正确列出方程和不等式是解答的关键． （1）设绿植A购买了x盆，则绿植B购买了盆，根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）先根据题意求得x的取值范围，求出购买费用，再利用不等式的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设绿植A购买了x盆，则绿植B购买了盆， 根据题意，得， 解得， ， 答：购买绿植盆，绿植盆； （2）解：由题意，，解得， ∴，且为正整数， 则购买费用为， ∵， ∴， ∴当时，总费用最小，最小值为（元）， 答：购买绿植盆，绿植盆时，总费用最小，最小值为369元． 【变式2】（2023·江苏扬州·中考真题）近年来，市民交通安全意识逐步增强，头盔需求量增大．某商店购进甲、乙两种头盔，已知购买甲种头盔20只，乙种头盔30只，共花费2920元，甲种头盔的单价比乙种头盔的单价高11元． (1)甲、乙两种头盔的单价各是多少元？ (2)商店决定再次购进甲、乙两种头盔共40只，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种头盔按单价的八折出售，乙种头盔每只降价6元出售．如果此次购买甲种头盔的数量不低于乙种头盔数量的一半，那么应购买多少只甲种头盔，使此次购买头盔的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． (2)购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【思路点拨】（1）设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得，求解； （2）设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w,则，解得，故最小整数解为，，根据一次函数增减性，求得最小值=． 【规范解答】（1）解:设购买乙种头盔的单价为x元，则甲种头盔的单价为元，根据题意，得 解得，， ， 答：甲、乙两种头盔的单价各是65元， 54元． （2）解：设购m只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,设总费用为w, 则，解得，故最小整数解为， ， ∵，则w随m的增大而增大， ∴时，w取最小值，最小值． 答：购14只甲种头盔，此次购买头盔的总费用最小,最小费用为1976元． 【考点评析】本题考查一元一次方程的应用，一次函数的性质，一次函数的应用、一元一次不等式的应用；根据题意列出函数解析式，确定自变量取值范围是解题的关键． 题型4：方案选择（一元一次方程的应用） 【例4】（2022·江苏宿迁·中考真题）某单位准备购买文化用品，现有甲、乙两家超市进行促销活动，该文化用品两家超市的标价均为10元/件，甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖；乙超市全部按标价的8折售卖． (1)若该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为 元；乙超市的购物金额为 元； (2)假如你是该单位的采购员，你认为选择哪家超市支付的费用较少？ 【答案】(1)300，240 (2)当时，选择乙超市更优惠，当时，两家超市的优惠一样，当时，选择甲超市更优惠． 【思路点拨】（1）根据甲、乙两家超市的优惠方案分别进行计算即可； （2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元， 可得当时， 显然此时选择乙超市更优惠，当时 再分三种情况讨论即可． 【规范解答】（1）解： 甲超市一次性购买金额不超过400元的不优惠，超过400元的部分按标价的6折售卖； ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元）， ∵乙超市全部按标价的8折售卖， ∴该单位需要购买30件这种文化用品，则在甲超市的购物金额为（元）， 故答案为： （2）设单位购买x件这种文化用品，所花费用为y元，又当10x=400时，可得 当时， 显然此时选择乙超市更优惠， 当时， 当时，则 解得： ∴当时，两家超市的优惠一样， 当时，则 解得： ∴当时，选择乙超市更优惠， 当时，则 解得： ∴当时，选择甲超市更优惠． 【考点评析】本题考查的是列代数式，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式1】（2022·江苏泰州·一模）某游泳馆推出了A、B两种季度套餐．选择这两种套餐消费时，一个季度的费用y（元）与该季度游泳时长x（小时）之间的函数关系如图所示． (1)分别求出这两种套餐消费时，y与x之间的函数关系式； (2)请通过计算说明，一个季度的游泳时长少于多少时选择A套餐更省钱； (3)小明估计了自己本季度的游泳时长后，选择了B套餐，因为这样可比选择A种套餐游泳平均小时节省5元，求小明估计自己本季度的游泳时长． 【答案】(1)， (2)当时长少于10小时，选择A套餐更省钱． (3)小明估计本季度的游泳时长为20小时． 【思路点拨】（1）根据图像信息，结合待定系数法求解即可； （2）根据两种收费相同列出方程，求解，结合图像小于该游泳时长时套餐更省钱； （3）根据选择两种套餐费用的关系，用套餐的费用减去套餐的费用等于节省的费用，列出方程即可解答． 【规范解答】（1）设，把（，）代入， 得：， 解得： ∴ 设，把（，），（，）代入， 得， 解得： ∴ （2）当，两种套餐的费用相等可得： ， 解得： 由图像可得：当时，选择套餐更省钱 答：当时长少于小时，选择A套餐更省钱． （3）由题得，， 解得： 答：小明估计本季度的游泳时长为小时． 【考点评析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一元一次方程的实际应用，解题关键是读懂题意，结合图像正确列出方程并求解． 【变式2】（2019·江苏无锡·一模）人生经常需要做“选择题”，比如“准备选择参加哪个社团”、“暑假打算去哪儿旅游”、“中考过后决定报考哪所学校”等等．下面就有一道“选择题”：李明家新买了一套房子，2020年元旦准备乔迁入住．他家有辆车，关于车位，房地产开发商提供两种方案供业主选择： 方案 车位费用 管理费 1．租 每个车位每月租金300元 （每年年初一次性缴付当年租金） 每个车位每月50元 2．买 每个车位的销售单价待公布 （入住时一次性缴付） （1）若采用租车位的方式，则每年共需缴费 元； （2）现已知李明家手头的钱足够购买车位，但李明了解到，如果购买一种长期基金（一元起购，本金不可支取），每年可获得6%的固定收益（年终提取当年收益）．如果不考虑其他因素（如物价变化、租金变化、基金收益率变化等），根据以上信息，关于“租车位”或“买车位”哪种合算？请你帮助李明作出选择，并说明理由． 【答案】（1）4200；（2）见解析. 【思路点拨】(1) 根据每个车位每月租金300元，每个车位每月50元，列式计算即可;(2)分三种情况讨论即可. 【规范解答】（1）300×12+50×12=4200； （2）设每个车位的销售单价为x元， 若6％·（x－3600）＝3600，求得x＝63600，此时两种方案任选； 若6％·（x－3600）＞3600，求得x＞63600， 此时选用“租车位”方案合算； 若6％·（x－3600）＜3600，求得x＜63600， 此时选用“买车位”方案合算． 【考点评析】本题考查了一元一次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是准确理解题意列式计算. 题型5：几何问题（一元一次方程的应用） 【例5】（2024·陕西榆林·二模）矩形的周长为，把该矩形长截去（截去如图①的阴影部分）剩余的面积为；把该矩形宽截去（截去如图②的阴影部分）剩余的面积为．已知比多，求原矩形的面积． 【答案】原矩形的面积为 【思路点拨】本题考查的是整式的乘法运算，一元一次方程的应用，先设原矩形的长为，则宽为，再分别表示，，再建立方程求解即可． 【规范解答】解：设原矩形的长为，则宽为， ∴， ， ∵比多， ∴， 解得：， ∴原矩形的面积为； 答：原矩形的面积为． 【变式1】（2023·北京西城·模拟预测）如图①，底面积为的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度与注水时间之间的关系如图②．若“几何体”的下方圆柱的底面积为，求“几何体”上方圆柱体的底面积为（    ） A．24 B．12 C．18 D．21 【答案】A 【思路点拨】根据图像，分三个部分：满过“几何体”下方圆柱需，满过“几何体”上方圆柱需，注满“几何体”上面的空圆柱形容器需，再设匀速注水的水流速度为，根据圆柱的体积公式列方程可得匀速注水的水流速度；设“几何体”下方圆柱的高为，根据圆柱的体积公式得，解得，于是得到“几何体”上方圆柱的高为，设“几何体”上方圆柱的底面积为，根据圆柱的体积公式得，再解方程即可求解． 【规范解答】解：根据函数图像得到圆柱形容器的高为，两个实心圆柱组成的“几何体”的高度为， 水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体”到注满用了：， 这段高度为：， 设匀速注水的水流速度为，则， 解得， 即匀速注水的水流速度为； “几何体”下方圆柱的高为，则， 解得， 所以“几何体”上方圆柱的高为， 设“几何体”上方圆柱的底面积为， 根据题意得， 解得， 即“几何体”上方圆柱的底面积为， 故选：A． 【考点评析】本题考查了函数图像的应用：把分段函数图像中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题是解决本题的关键． 【变式2】（2022·江苏苏州·模拟预测）如图，在中，，，动点从点出发，沿方向以的速度向点运动，动点从点同时出发，沿方向以的速度向点运动．当点到达点时，，两点同时停止运动，以为一边向上作正方形，过点作，交于点设点的运动时间为单位：，正方形和梯形重合部分的面积为． (1)当 ______ 时，点与点重合； (2)当 ______ 时，点在上； (3)当点在，两点之间不包括，两点时，求与之间的函数关系式； (4)是否存在某一时刻，使得正方形的面积被直线平分？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在， 【思路点拨】（1）当点与点重合时，此时，且，由此列一元一次方程求出的值； （2）当点在上时，如图1所示，此时．由相似三角形比例线段关系可得，从而由关系式，列一元一次方程求出的值； （3）当点在两点之间运动(不包括两点)， 时，如答图3所示，此时重合部分为梯形．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出，②当时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形，根据求出． （4）由题意知，当时，正方形的面积被直线平分，列出方程，求出时间． 【规范解答】（1）当点与点重合时，，且， ∴，解得， 故答案为：； （2）当点在上时，如答图1所示，此时． ∵ ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ∴， ∴， 则． 由，得， 解得：； （3）当重合时，由（1）知，此时； 当点在上时，如答图2所示， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：；此时两点重合； 因此当点在两点之间(不包括两点)时，其运动过程如下： ①当时，如答图3所示，此时重合部分为梯形． 此时， ∴； ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， ； ②当时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形． 此时， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， 可得，， ∴， 又， ∴． ∴ 综上所述，当点在两点之间(不包括两点)时，与之间的函数关系式为： ． （4）由（3）知，当时，正方形的面积被直线平分， ∴， 解得：， ∴当时，正方形的面积被直线平分． 【考点评析】本题考查了相似三角形的性质与判定，动点问题，一元二次方程的应用，分类讨论是解题的关键． 题型6：电费和水费问题（一元一次方程的应用） 【例6】（22-23七年级下·福建泉州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 用户每月用水量 自来水单价（元/吨） 污水处理费用（元/吨） 17吨及以下 a 0.80 超过17吨但不超过30吨的部分 4.20 0.80 超过30吨的部分 b 0.80 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费．） 已知该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元． (1)求a、b的值； (2)实行“阶梯式水价”收费之后，该居民家用水多少吨时，其当月的平均水费每吨不超过3.64元？ (3)若该居民家2022年10月份、11月份共用水60吨，10月份和11月份一共缴交水费250元（水费每个月缴交一次）．已知10月份用水量大于11月份用水量，求该居民家10月份、11月份各用水多少吨？ 【答案】(1)， (2)该居民家用水不超过25吨时，其当月得平均水费每吨不超过3.64元 (3)该居民家10月份用水40吨，则11月份用水20吨 【思路点拨】（1）根据“该市某居民家2022年3月份用水15吨，缴交水费45元；6月份用水40吨，缴交水费184元”可列出关于的二元一次方程组，解出后得到答案； （2）先确定30吨用水时平均水费价格，再确定居民具体适用价格方案，列出关于的一元一次不等式，解出解集即可得到答案； （3）分两种不同情况设未知数列出方程，解出符合题意的答案即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得 解得 答：， （2）解：当月用水量为30吨时平均水费为 该居民家当月用水量不超过30吨 设该居民家用水x吨，根据题意，得： 解得： 答：该居民家用水不超过25吨时，其当月得平均水费每吨不超过3.64元． （3）解：设该居民家10月份用水n吨，则11月份用水吨． ①当，即时， 解得：（不符合题意，舍去） ②当，即时， 解得：，符合题意， 答：该居民家10月份用水40吨，则11月份用水20吨． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是确定正确的计费方式． 【变式1】（22-23七年级上·北京·期末）目前，某城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下． 一户居民一个月用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第1档 不超过180度的部分 0.5 第2档 超过180度的部分 0.7 (1)若该市某户12月用电量为200度，该户应交电费_________元； (2)若该市某户12月用电量为x度，请用含x的代数式分别表示和时该户12月应交电费多少元； (3)若该市某户12月应交电费125元，则该户12月用电量为多少度？ 【答案】(1)104 (2)， (3)230度 【思路点拨】（1）根据总价单价数量结合阶梯电价收费标准，即可求出结论； （2）分及两种情况，用含的代数式表示出该户12月应交电费； （3）由（1）可得出，结合（2）的结论即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【规范解答】（1）解：， ， ， （元）． 故答案为：104． （2）当时，该户12月应交电费为元； 当时，该户12月应交电费为， ， （元）． （3）， ， ， ． 答：该户12月用电量为230度． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出该户12月应交电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【变式2】（2007·江苏扬州·中考真题）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格见价目表． 若某户居民月份用水，则应收水费：元． （1）若该户居民月份用水，则应收水费______元； （2）若该户居民、月份共用水（月份用水量超过月份），共交水费元，则该户居民，月份各用水多少立方米？ 【答案】（1）48；（2）三月份用水．四月份用水11． 【思路点拨】（1）根据表中收费规则即可得到结果； （2）分两种情况：用水不超过时与用水超过，但不超过时，再这两种情况下设三月份用水，根据表中收费规则分别列出方程即可得到结果． 【规范解答】（1）应收水费元． （2）当三月份用水不超过时，设三月份用水，则 解之得，符合题意． 当三月份用水超过时，但不超过时，设三月份用水， 则解之得（舍去） 所以三月份用水．四月份用水11． 题型7：行程问题（一元一次方程的应用） 【例7】（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，甲、乙两车从地将一批物品匀速运往地，已知甲比乙先出发，线段分别表示甲、乙两车离地的距离与时间的关系，请结合图中的信息解决如下问题： (1)求甲车的速度和的值； (2)若乙车到达地后立即以原速返回． ①求甲车在离地多远处与返程中的乙车相遇？ ②在图中画出乙车在返回过程中离地的距离与时间的函数图象（需要标注出相应的数据）． 【答案】(1)甲车的速度为，； (2)①；②画图见解析． 【思路点拨】（）根据速度路程时间可求出甲车的速度，进而可求出的值； （）①根据图象和题意求出乙车的速度，即可求出乙车由地到达地需要，设乙车从地出发与甲车相遇，由题意可得方程，求出即可求解；②由乙车到达地后立即以原速返回，可得乙车从地到达地需要的时间为，即可得到乙车到达地时，在横轴上对应的时间为小时，据此画出图象即可； 本题考查了一次函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意可得，甲车的速度为， ∴； （2）解：①乙车的速度为， ∴乙车由地到达地需要， 设乙车从地出发与甲车相遇， 则， 解得， ∴， 答：甲车在离地远处与返程中的乙车相遇； ②∵乙车到达地后立即以原速返回， ∴乙车从地到达地需要的时间为， ∴乙车到达地时，在横轴上对应的时间为小时， ∴画图如下： 【变式1】（2024·江苏盐城·模拟预测）有一笔直的公路连接M，N两地，甲车从M地驶往N地，速度为，乙车从N地驶往M地，速度为，两辆车同时出发，先到目的地的车停止不动．途中甲车发生故障，于是停车修理了，修好后立即按原速驶往N地．设甲车行驶的时间为t（单位：h），甲、乙两车之间的距离为s（单位：），s与t之间的关系如图所示，根据题中的信息解答下列问题： (1)M，N两地之间的距离为______； (2)求出点B的横坐标； (3)当甲、乙两车相距时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)点B的横坐标是1 (3)当甲、乙两车相距时，t的值为或 【思路点拨】本题考查函数的图象，一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用．由图象获得正确的信息是解题的关键． （1）由图象得，M，N两地之间的距离为，然后作答即可； （2）由图可知，点甲乙相遇，点甲车开始停车修理，设行驶x小时后，甲车发生故障，由题意得：，计算求解即可； （3）由图象可知，点甲车开始停车修理，点甲车重新开始运动，表示的时间为，当甲乙相遇前，甲、乙两车相距时， 题意得，，计算求解即可；当甲乙相遇后，甲车重新开始运动时，甲乙的距离为，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：由图象得，M，N两地之间的距离为， 故答案为：； （2）解：由图可知，点甲乙相遇，点甲车开始停车修理， 设行驶x小时后，甲车发生故障， 由题意得：， 解得， ∴点B的横坐标是1； （3）解：由图象可知，点甲车开始停车修理，点甲车重新开始运动，表示的时间为， 由（2）得：点B的横坐标是1 ∴ ∴ 当甲乙相遇前，甲、乙两车相距时， 依题意得，， 解得，， 当甲乙相遇后，甲车重新开始运动时， 甲乙的距离为， 综上所述，当甲、乙两车相距时，t的值为或． 【变式2】（22-23七年级下·山东青岛·期末）甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地；设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），乙车行驶的时间为x（时），y与x之间的图象如图所示．    (1)求乙车到达B地的时间； (2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程； (3)求甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间． 【答案】(1)2.5小时 (2)100千米 (3)甲车行驶途中，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时． 【思路点拨】（1）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出乙车从A地到达B地的速度，进而可求得乙车到达B地的时间； （2）根据图形中的数据，可以先甲车的速度，然后即可计算出乙车到达B地时甲车距A地的路程； （3）根据题意可知，乙车返回时的速度为（千米/时），甲车行驶的时间为3.75小时，设乙车行驶的时间为小时，存在三种情况：乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米；乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米： 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米；然后即可列出相应的方程，再求解即可． 【规范解答】（1）由图象可得，乙车从A地到B地的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地的时间为：（小时）， （2）由（1）可知， 由图象可得，甲车的速度为：（千米/时）， 则乙车到达B地时甲车距A地的路程是（千米）， （3）乙车返回时的速度为（千米/时）， 甲车行驶的时间为小时， 设乙车行驶的时间为小时， 乙车返回前，甲乙相遇之前，甲、乙两车相距40千米：，解得； 乙车返回前，甲乙相遇之后，甲、乙两车相距40千米：，解得； 乙车返回后，甲、乙两车相距40千米，，解得：，不符合题意舍去， 综上，甲、乙两车相距40千米时，乙车行驶的时间为1.3小时或1.7小时． 【考点评析】本题考查了图象、一元一次方程的应用，理解题意，能从图象中获取相关联信息，行程问题的数量关系的运用是解答的关键． 题型8：古代问题（一元一次方程的应用） 【例8】（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数物价各几何?意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少?若设人数为x人，则可列方程为 ． 【答案】 【思路点拨】根据题意，每人出八钱，会多三钱得到总钱数为，每人出七钱，又差四钱得到总钱数为，根据总钱数相等建立方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】根据题意，得， 故答案为：． 【变式1】（2022·江苏宿迁·二模）我国明代数学读本《算法统宗》中有一道题，其题意为客人一起分银子，若每人分7两，则还剩4两；若每人分9两，则还差8两．问客人有几人？设客人共有人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“每人7两，还剩4两；每人9两，还差8两”，结合分银子的人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【规范解答】设客人共有人， 根据题意得，． 故选：A． 【变式2】（2019·甘肃·一模）中国人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】39人，15辆车 【思路点拨】设一共有x人，分别表示两种方式的车辆数，根据车辆数相等建立方程求解即可． 【规范解答】设一共有x人， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：一共有39人，15辆车． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出方程是解题的关键． 题型9：方案问题（二元一次方程组的应用） 【例9】（2024·江苏南通·中考真题）某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣． 相关信息如下： 信息一 A型机器人台数 B型机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 260 3 2 360 信息二 (1)求A、B两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备用不超过700万元购买A、B两种型号智能机器人共10台．则该企业选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多? 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元，根据题意列出方程组，计算结果即可； （2）设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台，先求出a的取值范围，再得出每天分拣快递的件数当a取得最大值时，每天分拣快递的件数最多． 【规范解答】（1）解：设A型智能机器人的单价为x万元，B型智能机器人的单价为y万元， 解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买A型智能机器人a台，则购买B型智能机器人台， ∴， ∴， ∵每天分拣快递的件数， ∴当时，每天分拣快递的件数最多为万件， ∴选择购买A型智能机器人5台，购买B型智能机器人5台． 【变式1】（15-16七年级下·四川巴中·期中）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨．现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝．根据以上信息，解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． 【答案】(1)1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨 (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【思路点拨】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨，由“用2辆A型车和1辆B型车载满荔枝一次可运走10吨；1辆A型车和2辆B型车载满荔枝一次可运走11吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论； （2）由“现有荔枝31吨，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合a、b均为非负整数，即可得出各租车方案． 【规范解答】（1）设1辆A型车载满荔枝一次可运送x吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送y吨， 由题意得： ， 解得：， 答：1辆A型车载满荔枝一次可运送3吨，1辆B型车载满荔枝一次可运送4吨； （2）由题意得：， ∴， 又∵a、b均为非负整数， ∴或或， ∴该物流公司共有3种租车方案， 方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程． 【变式2】（2024·江苏无锡·二模）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售．据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元． (1)求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，问：购进A型、B型各几辆，才能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元 (2)购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用， （1）设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，利用总利润=每辆A型汽车的销售利润型汽车的购进数量+每辆B型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【规范解答】（1）解：设每辆A型汽车的进价是x万元，每辆B型汽车的进价是y万元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A型汽车的进价是25万元，每辆B型汽车的进价是10万元； （2）解：设该公司购进m辆A型汽车，全部售出后获得的总利润为w万元，则该公司购进辆B型汽车，根据题意得： ， 即， ∵， ∴w随m的增大而减小， 又∵m，均为正整数， ∴m的最小值为2， ∴当时，w取得最大值，最大值为（元），此时（辆）． 答：购进2辆A型汽车，15辆B型汽车时，才能获得最大利润，最大利润是91000元． 题型10：行程问题（二元一次方程组的应用） 【例10】（2023·江苏南京·一模）如图①，古代行军中传令兵负责传送命令．如图②，一支长度为的队伍，排尾A处的传令兵从甲地和队伍沿同一直道同时出发．队伍以的速度行进，且队伍长度保持不变；出发时，传令兵接到命令，立即以的速度赶赴排头B，到达排头B后立即返回排尾A，再次接到命令，立即赶赴排头B……如此循环往复，且传令兵往返速度保持不变．行进过程中，传令兵离甲地的距离（单位：）与出发时间x（单位：）之间的函数关系部分图象如图③所示．    (1)______，______； (2)求线段所表示的与x之间的函数表达式； (3)在图③中，画出排头B离甲地的距离（单位：）与出发时间x之间的函数图象 【答案】(1)75；125 (2) (3)见解析 【思路点拨】（1）由函数图象可知在第12分钟时传令兵到达排头B，此时传令兵比队伍多走600米，在第15分钟传令兵此时返回到排尾A，3分钟内队伍和传令兵的路程和为600米，由此建立方程组求解即可； （2）先求出M、N的坐标，再利用待定系数法求解即可； （3）（单位：）与出发时间x之间的函数图象过图中两个拐点（点M和与点M类似的那个点），由此画图即可． 【规范解答】（1）解：， 解得， 故答案为：75；125； （2）解：， ∴点M的坐标为， ， ∴点N的坐标为， 线段所表示的与x之间的函数表达式为， ∴， ∴， ∴段所表示的与x之间的函数表达式为； （3）解：与x之间的函数图象如图所示．    【考点评析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键． 【变式1】（2021·江苏泰州·一模）小亮在匀速行驶的汽车里，注意到公路里程碑上的数字是一个两位数；1h后，看到里程碑上的两位数与第一次看到的两位数恰好互换了两个数字的位置；再过1h，看到里程碑上的数是第一次看到的两位数的两个数字之间添加一个0的三位数．这3块里程碑上的数各是多少？ 【答案】16，61，106． 【思路点拨】设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y，则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y，再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y，从而表示出这个三个里程碑上的数，再根据是匀速行驶，由每个小时的行程相等，列出方程，便可解答． 【规范解答】解：设小亮第一次看到的两位数，十位数为x，个位数为y， 则1h后，看到里程碑上的两位数个位数为x，十位数为y， 再过lh，看到里程碑上的数，百位数为x，十位数字为0，个位数为y， ∴第一个里程碑上的数为（10x+y）， 第二个里程碑上的数为（10y+x）， 第三个里程碑上的数为（100x+y）， ∵小亮是匀速行驶， ∴第1h行驶的路程=第2h行驶的路程， ∴（10y+x）-（10x+y）=（100x+y）-（10y+x）， 化简得，y-x=11x-y， ∴y=6x， ∵x，y都为整数，且1≤x≤9，1≤y≤9， ∴x=1，y=6， ∴这3块里程碑上的数各是16，61，106． 答：这3块里程碑上的数各是16，61，106． 【考点评析】本题考查的是二元一次方程的应用，考查了求不定方程的解，考查了数学在生活中的运用，及二元一次方程的正整数解．正确理解题意并列出方程是解题的关键． 【变式2】（2024·江苏无锡·二模）小宜和小兴两人相约爬太华山锻炼身体，山顶距太华山山脚下出发地米，早上小宜从出发地爬到半山腰休息了5分钟，然后加速继续往上爬；小兴因有事耽搁，早上才开始从同一出发地开始爬，为了追赶小宜，小兴开始爬山的速度是小宜休息前速度的倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶，两人距出发地路程y（米）与小宜登山的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小宜、小兴每一段的爬行均视为匀速） (1)小宜休息前登山的速度为__________米/分钟，小兴减速前登山的速度__________米/分钟；小兴减速后登山的速度为__________米/分钟； (2)求a的值，并说明点A所表示的实际意义； (3)若小宜不想晚于小兴到达山顶，则他加速后的速度至少应提高多少米/分钟． 【答案】(1) (2)，点A表示小兴在爬了分钟后，于上午追上小宜，此时二人离出发地相距米 (3)米/分钟 【思路点拨】（1）解：由题意可得，小宜休息前登山的速度为（米/分钟），，则小兴开始爬山的速度为（米/分钟），小兴爬到半山腰所用的时间为（米/分钟），当时，小兴爬到半山腰，则小兴减速后登山的速度为，计算求解即可； （2）由题意知，当时，小宜距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为；当时，小兴距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为；联立，可得，则，进而可证点A表示小兴在爬了分钟后，于上午9:24追上小宜，此时二人离出发地相距米． （3）设小宜比原来速度提高米/分钟．根据题意，得，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，小宜休息前登山的速度为（米/分钟） 根据题意，得，小兴开始爬山的速度为（米/分钟）， ∴小兴爬到半山腰所用的时间为（米/分钟）， ∵， ∴当时，小兴爬到半山腰， ∴小兴减速后登山的速度为（米/分钟）． 故答案为：． （2）解：由题意知，当时，小宜距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为； 当时，小兴距出发地路程y与小宜登山的时间x之间的函数关系式为； 联立， 解得， ∴， ∴点A表示小兴在爬了分钟后，于上午追上小宜，此时二人离出发地相距米． （3）解：设小宜比原来速度提高米/分钟． 根据题意，得， 解得， ∴小宜加速后的速度至少应提高米/分钟． 【考点评析】本题考查了函数图象，函数解析式，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用等知识．从图象中获取正确的信息是解题的关键． 题型11：工程问题（二元一次方程组的应用） 【例11】（18-19七年级下·全国·单元测试）绵阳中学为了进一步改善办学条件，决定计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍．拆除旧校舍每平方米需80元，建造新校舍每平方米需要800元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共9000平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的而拆除旧校舍则超过了计划的，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积． (1)求原计划拆、建面积各是多少平方米？ (2)若绿化1平方米需要200元，那么把在实际的拆、建工程中节余的资金全部用来绿化，可绿化多少平方米？ 【答案】(1)原计划拆建各4500平方米 (2)1620平方米 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）等量关系为：计划在年内拆除旧校舍面积计划建造新校舍面积平方米，计划建造新校舍面积计划拆除旧校舍面积平方米．依等量关系列方程，再求解． （2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，那么可求可绿化的面积． 【规范解答】（1）解：由题意可设拆旧舍x平方米，建新舍y平方米， 则，解得 答：原计划拆建各4500平方米． （2）计划资金元 实用资金 ∴节余资金： ∴可建绿化面积平方米 答：可绿化面积1620平方米． 【变式1】（2011·江苏淮安·中考真题）古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由两工程队先后接力完成．工作队每天整治12米，工程队每天整治8米，共用时20天． （1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 甲：　　　　乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：x表示________________，y表示_______________； 乙：x表示________________，y表示_______________． （2）求两工程队分别整治河道多少米．（写出完整的解答过程） 【答案】（1）甲：表示工程队工作的天数，表示工程队工作的天数； 乙：表示工程队整治河道的米数，表示工程队整治河道的米数． （2）两工程队分别整治了60米和120米． 【思路点拨】此题主要考查利用基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180，运用不同设法列出不同的方程组解决实际问题． （1）此题蕴含两个基本数量关系：A工程队用的时间+B工程队用的时间=20天，A工程队整治河道的米数+B工程队整治河道的米数=180，由此进行解答即可； （2）选择其中一个方程组解答解决问题． 【规范解答】试题解析：（1）甲同学：设A工程队用的时间为x天，B工程队用的时间为y天，由此列出的方程组为 ； 乙同学：A工程队整治河道的米数为x，B工程队整治河道的米数为y，由此列出的方程组为 ； 故答案为： A工程队用的时间，B工程队用的时间，A工程队整治河道的米数，B工程队整治河道的米数； （2）选甲同学所列方程组解答如下： ， ②-①×8得4x=20， 解得x=5， 把x=5代入①得y=15， 所以方程组的解为， A工程队整治河道的米数为：12x=60， B工程队整治河道的米数为：8y=120； 答：A工程队整治河道60米，B工程队整治河道120米． 考点：二元一次方程组的应用. 【变式2】（2018·江苏南京·一模）春天来了，石头城边，秦淮河畔，鸟语花香，柳条飘逸．为给市民提供更好的休闲锻炼环境，决定对一段总长为1800米的外秦淮河沿河步行道出新改造，该任务由甲、乙两工程队先后接力完成．甲工程队每天改造12米，乙工程队每天改造8米，共用时200天． （1）根据题意，小莉、小刚两名同学分别列出尚不完整的方程组如下： 小莉： 小刚： 根据两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x、y表示的意义，然后在方框中补全小莉、小刚两名同学所列的方程组： 小莉：x表示 ，y表示 ； 小刚：x表示 ，y表示 ． （2）求甲、乙两工程队分别出新改造步行道多少米． 【答案】（1）见解析；（2）甲、乙两工程队分别出新改造600米、1200米． 【规范解答】分析：(1)、小莉：x表示甲工程队改造的天数，y表示乙工程队改造的天数；小刚：x表示甲工程队改造的长度，y表示乙工程队改造的长度；(2)、根据题意解方程组，从而得出答案． 详解：解：(1)、小莉：       小刚： 小莉：x表示 甲工程队改造的天数 ，y表示 乙工程队改造的天数 ； 小刚：x表示 甲工程队改造的长度 ，y表示 乙工程队改造的长度 ． (2)、解小莉方程组得 所以 12x＝600，8y＝1200． 答：甲、乙两工程队分别出新改造600米、1200米． 点睛：本题主要考查的是二元一次方程组的实际应用问题，属于基础题型．解决应用题的关键在于找出等量关系，列出方程组． 题型12：分配问题（二元一次方程组的应用） 【例12】（2018·浙江温州·一模）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． 若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？ 若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？ 若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材不计损耗，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共______只    【答案】（1）最多可以做25只竖式箱子；（2）能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只；（3）47或49． 【思路点拨】表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，利用A型板材65张、B型板材110张，得出方程组求出答案；设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材张，进而得出方程组求出符合题意的答案． 【规范解答】解：设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得 解得． 答：最多可以做25只竖式箱子． 设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意， 得， 解得：． 答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只． 设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材张，由题意得： ， 整理得，，． 竖式箱子不少于20只， 或22，这时，或，． 则能制作两种箱子共：或． 故答案为47或49． 【考点评析】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出等式． 【变式1】（16-17七年级下·江苏苏州·期中）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房． （1）求该店有客房多少间？房客多少人？ （2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？ 【答案】（1）该店有客房8间，房客63人；（2）诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． 【思路点拨】（1）设该店有客房x间，房客y人；根据题意得出方程组，解方程组即可； （2）根据题意计算：若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，求出所需付费；若一次性定客房18间，求出所需付费，进行比较，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）设该店有客房x间，房客y人； 根据题意得：，解得：． 答：该店有客房8间，房客63人； （2）若每间客房住4人，则63名客人至少需客房16间，需付费20×16=320钱 若一次性定客房18间，则需付费20×18×0.8=288钱＜320钱； 答：诗中“众客”再次一起入住，他们应选择一次性订房18间更合算． “点睛”本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键． 【变式2】（2021·江苏苏州·二模）小张是某工厂的一名工人，每天工作8小时，已知他生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟． （1）小张每生产一件甲产品和一件乙产品分别需要多少分钟? （2）工厂工人每日收入由底薪和计件工资组成，每日底薪为100元，按件计酬的方式为每生产一件甲产品得a元，每生产一件乙产品得2.5元．小张某日计划生产甲，乙两种产品共28件，请设计出日薪最高的生产方案． 【答案】（1）小张每生产一件甲产品需要15分钟，每生产一件乙产品需要20分钟；（2）当时，生产16件甲产品和12件乙产品日薪最高；当时，生产甲产品数量满足的整数时，日薪均为170元；当时，28件全部生产甲产品日薪最高． 【思路点拨】（1）设小张每生产一件甲产品需要分钟，每生产一件乙产品需要分钟，根据“小张生产6件甲产品和4件乙产品共需170分钟，生产10件甲产品和10件乙产品共需350分钟”建立方程组，解方程组即可得； （2）设小张某日计划生产甲产品件，日薪为元，从而可得生产乙产品件、关于的函数关系式，再根据“每天工作8小时和”求出，然后分、和三种情况，分别利用一次函数的性质求解即可得． 【规范解答】解：（1）设小张每生产一件甲产品需要分钟，每生产一件乙产品需要分钟， 由题意得：， 解得， 答：小张每生产一件甲产品需要15分钟，每生产一件乙产品需要20分钟； （2）设小张某日计划生产甲产品件，日薪为元，则生产乙产品件， 则， 由题意得：，解得， ∵，即， ∴，且为整数， ①当时，，随的增大而减小， 则当时，取得最大值， 即生产16件甲产品和12件乙产品日薪最高； ②当时，，， 即生产甲产品数量满足的整数时，日薪均为170元； ③当时，，随的增大而增大， 则当时，取得最大值， 即28件全部生产甲产品日薪最高； 综上，当时，生产16件甲产品和12件乙产品日薪最高；当时，生产甲产品数量满足的整数时，日薪均为170元；当时，28件全部生产甲产品日薪最高． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用等知识点，较难的是题（2），正确分三种情况讨论是解题关键． 题型13：销售、利润问题（二元一次方程组的应用） 【例13】（2024·江苏盐城·三模）某蔬菜超市经销的A，B两种蔬菜，进价和售价如下表所示： 品名 A蔬菜 B蔬菜 批发价/（元/千克） 4 3 零售价/（元/千克） 5 (1)第一次进货时，超市用1000元购进A，B两种蔬菜共300千克，求全部售完获利多少元； (2)受市场因素影响，第二次进货时，A种蔬菜进价每千克上涨了元，B种蔬菜进价每件上涨了元，但两种蔬菜的售价不变．超市计划购进A，B两种蔬菜共240千克，且B种蔬菜的购进量不超过A种蔬菜购进量的2倍．设此次购进A种蔬菜m千克，两种蔬菜全部售完可获利w元（不考虑损耗）． ①请求出w与m的函数关系式； ②超市第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由． 【答案】(1)全部售完获利为580元 (2)①，②超市第二次获利不能超过第一次获利，理由见解析 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）等量关系式：购进A种蔬菜的重量购进B种蔬菜的重量千克，购进A种蔬菜的费用购进B种蔬菜的费用千克，列出方程组，即可求解； （2）①等量关系式：总获利销售A种蔬菜的获利销售B种蔬菜的获利，据此列出函数关系式，即可求解； ②由①得函数关系式，再由一次函数的性质，即可求解； 找出等量关系式，用一次函数的性质求解是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设购进A种蔬菜x千克，购进B种蔬菜y千克， 根据题意列出方程组为： 解得：， 全部售完获利： （元）． （2）解：①设第二次购进A种蔬菜m千克，则购进B种蔬菜（）件， 根据题意 ， ②超市第二次获利不能超过第一次获利， 理由如下： ， 解得：， 由①可知，， ， 一次函数w随m的增大而减小， ∴当时，w取最大值， （元）， ， 超市第二次获利不能超过第一次获利． 【变式1】．（2024·江苏宿迁·三模）宿迁某生鲜超市购进一批黄瓜和蒜苔，进价都为2元/千克． (1)当黄瓜售出300千克，蒜苔售出400千克时，两种蔬菜的总销售额为3200元；当黄瓜售出400千克，蒜苔售出600千克时，两种蔬菜的总销售额为4600元，求出两种蔬菜的售价各是多少？ (2)若以（1）中的售价销售两种蔬菜，黄瓜每天可卖出500千克，蒜苔每天可卖出800千克．经市场调查发现：黄瓜售价每降0.1元，每天可多卖出10千克，蒜苔售价每提高0.1元，可少卖出10千克．如果黄瓜售价减少的钱和蒜苔售价增加的钱相同，请求出一天的利润最大为多少元？ 【答案】(1)黄瓜4元/千克，蒜苔5元/千克 (2)利润最大为3450元 【思路点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二次函数的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和函数解析式成为解题的关键． （1）设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克，再根据题意列出方程组求解即可； （2）设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元，从而利润的函数关系式，最后利用二次函数的性质进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设黄瓜的售价为x元/千克，蒜台的售价为y元/千克， 则，解得：． 答：黄瓜的售价为4元/千克，蒜台的售价为5元/千克． （2）解：设黄瓜售价减少x元，则蒜苔售价增加x元， ∴利润 ． 又∵， ∴当时，利润有最大值，最大值为3450元． 【变式2】（2022·浙江温州·二模）2022年中国航天在诸多领域实现重大突破，在全国掀起航天知识学习的浪潮．某校40名同学要去参观航天展览馆，已知展览馆分、、三个场馆，且购买2张场馆门票和1张场馆门票共需要140元，购买3张场馆门票和2张场馆门票共需要230元．由于场地和疫情原因，要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观． (1)求场馆和场馆门票的单价． (2)已知场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动；每购买1张场馆门票就赠送1张场馆门票． ①若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，求此次购买门票所需总金额的最小值． ②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且最终购买三种门票共花费了1200 元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】(1)场馆门票的单价为50元，场馆门票的单价为40元 (2)①1210元；②所有满足条件的购买方案为：方案一，购买场馆门票5张，购买场馆门票20张，购买场馆门票10张；方案二，购买场馆门票10张，购买场馆门票16张，购买场馆门票4张 【思路点拨】（1）设场馆和场馆门票的单价分别为元、元，根据题意得：①2张场馆门票的费用＋1张场馆门票的费用＝140元，②3张场馆门票的费用＋2张场馆门票的费用＝230元，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可； （2）①若购买场馆门票赠送的场馆门]票刚好够参观场馆的同学使用，设购买场馆门票张，此次门票所需总金额为元，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，，又根据题意要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观，所以，再结合是正整数，利用一次函数的性质可求解； ②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门]票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费了1200元，设购买场馆门票张，购买场馆门]票张，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，由题意得：，整理得：，再结合、都是正整数，可求解． 【规范解答】（1）解：设场馆和场馆门票的单价分别为元、元，根据题意，得： ， 解方程组，得：． 答：场馆门票的单价为50元，场馆门]票的单价为40元． （2）已知场馆门票每张售价15元，且参观当天有优惠活动：每购买1张场馆门票赠送1张场馆门票， ①若购买场馆门票赠送的场馆门票刚好够参观场馆的同学使用，设购买场馆门票张，此次门票所需总金额为元，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， 而要求到场馆参观的人数要少于到场馆参观的人数，且每一位同学只能选择一个场馆参观， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴， ∴当时，取得最小值， 最小值为：， 即此次门票所需总金额的最小值为1210元； ②若参观场馆的同学除了使用掉赠送的门票外，还需另外购买部分门票，且总共三种门票共花费了1200元， 设购买场馆门票张，购买场馆门票张，则参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，参观场馆的同学有名，由题意得： ， 整理得： ， ∵、都是正整数， ∴是5的倍数， 满足条件的、有、， 若、，则，； 若、，则，，． 所有满足条件的购买方案为：方案一，购买场馆门票5张，购买场馆门票20张，购买场馆门票10张；方案二，．购买场馆门票10张，购买场馆门票16张，购买场馆门票4张． 【考点评析】本题主要考查二元一次方程（组）的应用，不定方程等知识，涉及一元一次不等式的应用，一次函数的性质等知识．第（2）问中②小题中，得到不定方程，并根据题干中的信息确定、都是正整数是解题关键． 题型14：几何问题（二元一次方程组的应用） 【例14】（22-23八年级上·重庆沙坪坝·期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有60张正方形纸板和140张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，根据60张正方形纸板和140张长方形纸板建立等式． 【规范解答】解：设做x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒， 根据竖式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板，横式无盖纸盒用到个正方形纸板和个长方形纸板， 则， 故选：B． 【考点评析】本题考查了列二元一次方程组，解题的关键是理清楚量与量之间的等量关系． 【变式1】（2022·江苏无锡·二模）如图，在ΔABC中放置5个大小相等的正方形，若BC=12，则每个小正方形的边长为 ． 【答案】3 【思路点拨】如图，设正方形的边长为x，根据相似三角形的高之比等于相似比，列方程，即可求解． 【规范解答】解：过点A作，交BC于点F，交DE于点G，交MN于点P，如图， 由题可知，， ，， ，， 设正方形的边长为x，则，，，， ，， ， ， 化简得， 将代入，得， 解得． 正方形的边长为3． 故答案为3． 【考点评析】本题主要考查了相似三角形的性质，高之比等于相似比． 【变式2】（2018·江苏南京·一模）阅读材料： 小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积． 解决问题： （1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积； （2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　 　cm； （3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程． 【答案】（1）每个小长方形的面积为60；（2）小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm（3）46 【思路点拨】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积； （2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度＋3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝9，单独一个纸杯的高度＋8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝14．根据这两个等量关系可列出方程组； （3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积． 【规范解答】（1）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得：，解得：， ∴xy=10×6=60． 故每个小长方形的面积为60； （2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm， 则，解得， 则12x+y=12×1+8=20． 即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm． （3）设小长方形的长为x，宽为y， 根据题意得， 解得， ∴S阴影=17×14﹣8×8×3=46． 【考点评析】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 题型15：古代问题（二元一次方程组的应用） 【例15】（2024·广西钦州·二模）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗．则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组是解题关键． 设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗，根据题意“上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当”，列出二元一次方程并求解即可． 【规范解答】.解：设上等水稻每捆有稻谷斗，下等水稻每捆有稻谷斗， 根据题意可得， 故选：D． 【变式1】（2024·江苏无锡·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十：粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而春之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再春成米，共得米7斗．原来有米 斗． 【答案】2.5 【思路点拨】本题考查了列二元一次方程组解应用题．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系列出方程组． 设原来有米x斗，再向桶加谷子y斗，由题意列出方程组，解方程组即可． 【规范解答】解：原来有米x斗，向桶中加谷子y斗， 谷子出米率为， 则可列方程组为， 解得， ∴原来有米2.5斗， 故答案为2.5 【变式2】（2022·湖南长沙·三模）《九章算术》中记载了这样一个问题：“假设头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题： (1)求每头牛、羊各值多少两银子？ (2)若某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，请问商人有几种购买方法？列出所有可能的购买方案． 【答案】(1)每头牛值两银子，每只羊值两银子； (2)有商人种购买方案，①购买头牛，只羊；②购买头牛，只羊；③购买头牛，只羊． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用， （1）设每头牛值两银子，每只羊值两银子，根据头牛、只羊，值两银子；头牛、只羊，值两银子．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买头牛，则购买 只羊，根据某商人准备用两银子买牛和羊共只，要求羊的数目不超过牛的数目的两倍，且银两有剩余，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【规范解答】（1）解：设每头牛值两银子，每只羊值两银子， 由题意得：， 解得：， 答：每头牛值两银子，每只羊值两银子； （2）设购买头牛，则购买 只羊， 依题意得：， 解得：， 为整数， ，，， 有商人种购买方案： ①购买头牛，只羊； ②购买头牛，只羊； ③购买头牛，只羊． 基础夯实训练 1．（17-18七年级上·北京东城·期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中〈孙子算经〉中有个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？” 这道题的意思是： 今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？ 如果我们设有辆车，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，根据人数是固定的，列出方程即可． 【规范解答】解：设有辆车，由题意，得：； 故选A． 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【规范解答】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 3．（2024·江苏镇江·模拟预测）古秤是一种人类智慧的产物，也是华夏文明的瑰宝之一．如图，我们可以用秤砣到秤纽（秤杆上手提的部分）的水平距离得出秤钩上所挂物体的重量，称重时，若秤钩所挂物重为（斤），秤砣到秤纽的水平距离为．下表中为若干次称重时所记录的一些数据： （斤） （厘米） 当为斤时，对应的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 观察表格数据可以发现与之间存在一次函数关系，故借助表格数据，利用待定系数法求出关于的函数关系式，然后将代入函数解析式，求出对应的函数值即可． 【规范解答】解：观察表格数据发现与之间存在一次函数关系，故设， 将点与分别代入，得， ，得：， 系数化为，得：， 将代入，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 关于的函数关系式为， 将代入上述解析式，得：， 即当为斤时，对应的水平距离为， 故选：． 4．（2024·江苏南通·二模）已知x，y满足，且，．若，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组， 先解关于x，y的方程组：，得到，再根据，，得到关于的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【规范解答】解关于x，y的方程组：， 解得：， ，， ， 解得：， 的取值范围为：， 故选：C． 5．（2024·江苏无锡·二模）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意．设有x人，物品价格为y钱，根据每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，列出方程组即可． 【规范解答】解：设有x人，物品价格为y钱， 根据题意得：， 故答案为：． 6．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于大约1500年前，其中一道题的原文：“今三人共车，两车空；两人工车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人乘车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各有多少？上述问题中车有 辆． 【答案】15 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设有人，辆车，根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【规范解答】解：设有人，辆车． 根据题意，得 解得． 即上述问题中车有15辆． 故答案为：15 7．（2024·江苏扬州·一模）某动物园利用杠杆原理称象：如图，在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁（呈水平状态），将装有大象的铁笼和弹簧秤（秤的重力忽略不计）分别悬挂在钢梁的点A、B处，当钢梁保持水平时，弹簧秤读数为k（N）．设大象的重量为x（N），若铁笼固定不动，移动弹簧秤使扩大到原来的倍，且钢梁保持水平，则弹簧秤读数为 （N）（用含k的代数式表示）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了列代数式．根据题意正确的列代数式是解题的关键． 依题意知，，设移动后弹簧秤读数为，依题意得，，计算求解即可． 【规范解答】解：依题意知，， 设移动后弹簧秤读数为， 依题意得，， 解得，， 故答案为：． 8．（22-23七年级上·甘肃庆阳·期末）我国古代《孙子算经》卷中记载“多人共车”问题，其原文如下：今有三人共车，二车空，二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意为：若3个人乘一辆车，则空2辆车；若2个人乘一辆车，则有9个人要步行，问人与车数各是多少？设有个人，根据题意可列方程： ． 【答案】 【思路点拨】根据车的数量不变，列出一元一次方程即可． 【规范解答】解：设有个人，由题意，得： ； 故答案为：． 【考点评析】本题考查一元一次方程的应用．准确的找到等量关系，列出一元一次方程，是解题的关键． 9．（2024·江苏苏州·二模）互不相等的有理数m， n， p在数轴上分别表示点M， N， P，若 且，则称两数m，n关于数p对称，对称半径为r．例如有理数3和5关于4对称，对称半径为1． (1)若，，则 (2)若，，求对称半径r． 【答案】(1)2 (2)对称半径或6． 【思路点拨】本题主要考查了新定义运算，一元一次方程的应用，绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式． （1）根据题干提供的信息，列出关于n的方程，求出n的值，然后再根据两点间距离公式求出r即可； （2）根据有理数和n关于2对称，得出，根据，得出或，然后分别求出n的值，再求出对称半径即可． 【规范解答】（1）解：∵，， 即有理数3和n关于1对称， ∴， 解得：， 对称半径， 故答案为：2； （2）解：∵，即有理数和n关于2对称， ∴， ∵， ∴或， 当时，， 解得：， 此时对称半径； 当时，， 解得：， 此时对称半径； 综上分析可知，对称半径或6． 10．（2024·江苏宿迁·二模）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．    阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为________秒． (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间． (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 【答案】(1) (2)乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒， (3)当时，方案一温度高，当时，两个方案一样高，当时，方案二温度高 【思路点拨】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组，一元一次不等式的应用； （1）设再接温水的时间为秒，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解； （2）设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （3）分别表示出方案一、方案二中开水和温水的体积，根据公式开水体积×开水降低的温度=温水体积×温水升高的温度．得出，，进而列出不等式，解不等式，即可求解． 【规范解答】（1）解：设再接温水的时间为秒，依题意得， 解得： 答：再接温水的时间为秒 （2）解：依题意，设乙同学接温水的时间为秒，开水所用的时间为秒，根据题意得， 解得： 答：乙同学接温水的时间为秒，接开水所用的时间为秒， （3）解：方案一：温水，则开水为， 设转化后的温度为， 依题意， ∴ 方案二：开水为，温水为， 设转化后的温度为， 依题意， ∴ 当时， 解得： 当时，，解得： 当时，，解得： ∴当时，方案一温度高， 当时，两个方案一样高， 当时，方案二温度高 11．（2024·四川攀枝花·二模）为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套 (1)求书籍和实验器材各有多少套？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来 【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套； (2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得； （2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得． 【规范解答】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套， 由题意得，， 解得， 答：书籍和实验器材各有240套，120套； （2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆， 由题意得，， 解得， ∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 12．（2024·浙江温州·一模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点固定不变，左侧托盘固定在点处，右侧托盘的点可以在横梁段滑动．已知，，一个的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点至点，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点移动到长时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘物体重量右盘物体重量．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置物体，长，求关于的函数表达式，并求出的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 【答案】任务1：，；任务2：空矿泉水瓶的重量为 【思路点拨】本题考查了反比例函数的应用，二元一次方程组的应用，熟练掌握反比例函数的应用，二元一次方程组的应用是解题的关键 任务1：由题意，得，即，由题意知，，，则，即，进而可求的取值范围． 任务2：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【规范解答】任务1：解：由题意，得， ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴． 任务2：解：设第一次加入水的质量为，空矿泉水瓶的质量为， 依题意得，， 解得， 空矿泉水瓶的重量为． 能力拔高训练 13．（2024·江苏无锡·二模）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名醨厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人．共同饮了一十九，三十三客醉颜生．试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”设有醇酒瓶，薄酒瓶．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二元一次方程组的应用，设有醇酒瓶，薄酒瓶，根据题意可列方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 【规范解答】设有醇酒瓶，薄酒瓶， 根据题意得：， 故选：． 14．（2023·广西南宁·一模）学习《设计制作长方体形状的包装纸盒》后，小宁从长方形硬纸片上截去两个矩形（图中阴影部分），再沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．纸片长为，宽为，，则该纸盒的容积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】设，则，列出关于x的方程并求解，再计算该纸盒的容积． 【规范解答】解：设，则， ， 解得：， 所以， 则长方体的底面宽为：， 所以该纸盒的容积为： 故选：D 【考点评析】此题主要考查了展开图折叠成几何体及一元一次方程应用，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题． 15．（2019·湖南常德·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，还差钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，可列方程组为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为人，羊价为钱，根据题意，列方程组即可，读懂题意，找准等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设合伙人数为人，羊价为钱， 根据题意，得：， 故选：． 16．（2024·江苏无锡·一模）地球、火星的运行轨道近似是同一平面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”是指火星、地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间的现象（如图所示），已知火星绕太阳运行一周的时间近似是地球绕太阳运行一圈的时间的倍（地球绕太阳运行一圈需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火星冲日的时间最为接近的是（    ）    A．2024年12月10日 B．2025年1月20日 C．2025年2月10日 D．2025年3月20日 【答案】B 【思路点拨】本题考查一元一次方程的应用，一年按365天计算，地球绕太阳运行一圈每天旋转度，火星绕太阳运行一圈每天旋转度，下次火星冲日时，地球比火星多旋转一圈，即多旋转360度，由此列一元一次方程，即可求解． 【规范解答】解：设自2022年12月8日起，x天后火星再次冲日， 由题意得：， ， 在2年天后，即2025年1月22日左右，火星再次冲日， B选项中的2025年1月20日最为接近， 故选B． 17．（2020·湖南岳阳·中考真题）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【思路点拨】设醇酒为斗，行酒为斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【规范解答】解：设醇酒为斗，行酒为斗， 根据题意得：， 故答案为：． 【考点评析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系． 18．（2023·江苏无锡·二模）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围 ． 【答案】 【思路点拨】两方程相加可得，根据题意得出关于的不等式，解之可得． 【规范解答】解：， ，得：， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【考点评析】本题考查的是解一元一次不等式组，根据题意得出关于的不等式是解答此题的关键． 19．（2023·江苏苏州·一模）某文具店计划购进、两种笔记本，已知种笔记本的进价比种笔记本的进价每本便宜3元．现分别购进种笔记本150本，种笔记本300本，共计6300元． (1)求、两种笔记本的进价； (2)文具店第二次又购进、两种笔记本共100本，且投入的资金不超过1380元．在销售过程中，、两种笔记本的标价分别为20元/本、25元/本．两种笔记本按标价各卖出本以后，该店进行促销活动，剩余的种笔记本按标价的七折销售，剩余的种笔记本按标价的八折销售．若第二次购进的100本笔记本全部售出后的最大利润不少于600元，请求出的最小值． 【答案】(1)种笔记本每本12元，种笔记本每本15元 (2)20 【思路点拨】（1）设种笔记本每本元，则种笔记本每本元，由题意得，，计算可得的值，进而可得的值； （2）设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本，由题意得，，可得，设获得的利润为元，由题意得，，由一次函数的性质可知，当时，的值最大，最大值为，令，求解满足要求的解即可． 【规范解答】（1）解：设种笔记本每本元，则种笔记本每本元， 由题意得，， 解得，， ∴， ∴种笔记本每本12元，种笔记本每本15元； （2）解：设第二次购进种笔记本本，则购进种笔记本本， 由题意得，， 解得，， ∴， 设获得的利润为元，由题意得， ， ， 随的增大而减小， 当时，的值最大，最大值为， 由题意得， 解得，， 为正整数， 的最小值为20． 【考点评析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用等知识．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式． 20．（22-23九年级上·广东广州·阶段练习）冰墩墩，是年北京冬季奥坛会的吉祥物、将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，头部外壳造型取自冰哲运动头盔，装饰彩色光环，整体形象酷似航天员．冬奥会来临之际，冰墩墩玩偶非常畅销．小冬在某网店选中A，B两款冰墩墩玩偶，决定从该网店进货并销售．两款玩偶的进货价和销售价如下表： A款玩偶 B款玩偶 进货价（元/个） 销售价（元/个） (1)第一次小冬元购进了A，B两款玩偶共个，求两款玩偶各购进多少个． (2)第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半．小冬计划购进两款玩偶共个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)购进A款玩偶个， B款玩偶个 (2)购进A款玩偶个，购进B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元 【思路点拨】 （1）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，根据题意可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元，根据题意可求出，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半，可以得出的取值范围，最后根据一次函数的性质，即可得到如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少． 【规范解答】（1） 设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个， 由题意可得：， 解得：， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个； （2） 设购进A款玩偶个，则购进B款玩偶个，利润为元， 由题意可得：． ∵， 随的增大而增大． 网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半， ， 解得：， 当时，取得最大值，此时， （个）， 答：购进A款玩偶个，B款玩偶个时才能获得最大利润，最大利润是元． 【考点评析】本题考查一元一次方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用．解题的关键是读懂题意，找出数量关系，列出等式或不等式． 21．（2024·江苏苏州·二模）某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 20 乙 24 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元． (1)求的值； (2)该超市决定回馈顾客，开展促销活动，购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3820元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲、乙水果以原售价出售，若购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于600元，求正整数的最大值． 【答案】(1)的值为17，的值为20 (2)正整数的最大值为8 【思路点拨】（1）根据“购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不超过3820元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购进的200千克水果全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每千克甲种水果的销售利润销售数量每千克乙种水果的销售利润销售数量，可找出关于的函数关系式，利用一次函数的性质及获得的最大利润不低于600元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【规范解答】（1）解：根据题意得，解得， 答：的值为17，的值为20； （2）解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，根据题意得，解得， 设购进的200千克水果全部售出后获得的总利润为元，则，即， ， 随的增大而减小， 又，且的最大值不低于600元， ，解得， 又为正整数， 的最大值为8， 答：正整数的最大值为8． 【考点评析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 22．（2023·江苏常州·二模）学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购买2根A型跳绳和1根B型跳绳共需元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需元． (1)购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元? (2)若班级计划购买A，B两型跳绳共根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，设购买A型跳绳m根，求购买跳绳所需最少费用是多少元? 【答案】(1)购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需15元 (2)购买跳绳所需最少费用是600元 【思路点拨】本题主要考查二元一次方程的应用，不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程及关系式是解题关键． （1）设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设所需的费用为W元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需元． （2）解：设所需的费用为W元，则 ， 根据题意，得， ， m的最大值是， ，W随m的增大而减小， 当时，W的最小值是， 答：购买跳绳所需最少费用是600元． 23．（19-20七年级下·山东东营·期末）为了缓解大气污染，贵阳市公交公司决定将某一条线路上的柴油公交车替换为新能源公交车，计划购买A型和B型两种新能源公交车共10辆．若购买A型公交车3辆，B型公交车 2辆，共需180万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需195 万元． (1)求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元； (2)预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100 万人次，若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过 360万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于 680 万人次，则该公司有哪几种购车方案，哪种购车方案总费用最少?最少总费用是多少? 【答案】(1)购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元 (2)三种购买方案，购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元 【思路点拨】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列方程组求解； （2）根据题意列不等式组．再求其整数解，再根据题意列一次函数，求其最值． 【规范解答】（1）设购买每辆A型公交车需要x万元，每辆B型公交车需要y万元， 依题意，得：   ，解得： 答：购买每辆A型公交车需要30万元，每辆B型公交车需要45万元． （2）设购进A型公交车m辆，则购进B型公交车辆， 依题意，得：， 解得：，因为m为整数，所有， 所以，该公司有三种购车方案， 方案1：购进6辆A型公交车，4辆B型公交车； 方案2：购进7辆A型公交车，3辆B型公交车； 方案3：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车． 该公司购买这10辆公交车的总费用为w元，则 ， 因为，，w随m的增大而减小，当时，w取得最小值，最小值为330， 答：购进8辆A型公交车，2辆B型公交车时总费用最少，最少费用为330万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$