江西省宜春市黄茅初级中学2024--2025学年度上学期八年级期中考试数学试题

江西省宜春市黄茅初级中学2024--2025学年度上学期八年级期中考试数学试题 第I卷（选择题） 一、单选题 1．下面四个“艺术字”中，轴对称图形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．脸谱是中国传统文化之一，下列脸谱图案中是轴对称图形的是（  ） A．B．C．D． 3．如图，我们铁岭三中的电动伸缩校门利用的数学原理是（  ） A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性 C．两点之间线段最短D．三角形两边之和大于第三边 4．下列各图中，正确画出边上的高的是（    ） A．B．C．D． 5．如图，， ，， 则图中阴影部分面积为（  ） A．2 B．3 C．4 D．无法确定 6．如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 第II卷（非选择题） 二、填空题 7．如图，在▲ABC中，点E是边上一点，且，点D在上，连接，，若，，，则的度数为 ． 8．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 9．如图，在中，，的平分线交于点O，点O到边的距离为4，且▲ABC的周长为20，则▲ABC的面积为 ． 10．科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 ．    11．已知和关于轴对称，则 ． 12．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，随着点运动而运动，当点运动 秒时，▲BAC与点、、为顶点的三角形全等（时间不等于）． 三、解答题 13．如图所示，已知，和是对应角，，，求线段的长度．    14．分别是▲ABC的两个外角∠CBE、∠BCF的平分线，，求． 15．如图，在▲ABC中，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的度数． 16．如图，在▲ABC中，，点为上一点，且满足．点在延长线上，连接并延长，交于点，连接．求和的度数． 17．请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在▲ABC中，、分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，请作出∠BAC的角平分线； (2)如图2，在▲ABC中，，点D为边上一点，点，关于DE对称，请作出BD的一条垂线． 18．已知如图▲ABC中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 19．如图，是▲ABC的角平分线，的垂直平分线分别交于点、交的延长线于点，连接． (1)求证：；(2)求证：． 20．如图所示，E为线段上一点．． (1)试猜想线段与的位置关系满足什么条件时，能保证，并证明你的结论； (2)猜想的数量关系． 21．如图，在▲ABC中，分别垂直平分和，交于两点，与相交于点． (1)若▲CMN的周长为15cm,求AB的长； (2)若，求的度数． 22. 如图，▲ABC，AB=AC，，经过点A，BD⊥DE，CE⊥DE，点D，E为垂足． （1）如图1，求证：； （2）如图2，的平分线交于点F，请判断与之间的关系，并说明理由． 23．【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，且，连接，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接，过O点作于点E，交直线于点D，连接，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． (1)直接写出点A的坐标为_________，点B的坐标为_________； (2)【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示_________．（不需证明） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C B D A A 1．A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：四个字中只有“美”是轴对称图形，即轴对称图形只有1个， 故选：A． 2．C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．B 【分析】本题考查了四边形的性质，根据电动伸缩门的工作原理，结合四边形的不稳定性即可得到答案，熟练掌握四边形的相关知识的解题的关键． 【详解】解：∵电动伸缩门的整体形状为四边形，且电动伸缩门的长度可以伸长和变短， ∴利用的数学原理是四边形的不稳定性， 故选：． 4．D 【分析】本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．根据三角形高的定义判断即可得到答案． 【详解】解：在中，边上的高即为过点B作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意， 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形面积相等、对应边相等和对应角相等，本题应将阴影面积进行转化，利用等量代换得到阴影面积等于的面积，再利用面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴阴影面积， 故选：A ． 6．A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 7．/度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．4 【分析】本题考查了全等三角形的判定：根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合全等三角形的判定定理进行求解即可，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去； 标有2的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有2的玻璃去； 标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去； 标有4的玻璃与原三角形的玻璃两个角相等，且这两个角的夹边相等，故带标有4的玻璃去； 故答案为：4． 9．40 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解答的关键．过O作于M，于N，连接，利用角平分线的性质求得，然后利用求解即可． 【详解】解：过O作于M，于N，连接，    ∵点O到边的距离为4， ∴， ∵的周长为20， ∴ ∵，的平分线交于点O，，， ∴， ∴ ， 故答案为：40． 10． 【分析】本题考查了多边形的内角与外角．先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形， ∵每一次都是左转， ∴多边形的边数， 周长（米）． 故答案为：． 11．5 【分析】本题考查关于轴对称的点的特征，根据题意得：，求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 12．或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，分两种情况：①当 P在线段 上，②当 P在射线 上，再分别分和 两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①当在线段上，时，， ∵， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ②当在线段上，时，， 则， ∴， 即时间为秒，不合题意； ③当在射线上，时，， ∴， ∴， ∴点的运动时间为秒； ④当在射线上，时，， 则， ∴， ∴点的运动时间为秒； 综上，当点运动或或秒时，与点、、为顶点的三角形全等， 故答案为：或或． 13． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形对应边相等是解题关键．根据全等三角形的性质可得，进而求得的值，然后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 14． 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 先根据分别是的平分线可知，再由是的两个外角得出，故 根据在中即可得出结论． 【详解】解：∵分别是的平分线， ∵是的两个外角， ∴， 在中， ∵， ∴． 15．． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．设，则，，推出，，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解． 【详解】解：设，则，， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵，即， ∴，即． 16．， 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题意，设，则，，由三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则，． 17．(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 19．(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）由垂直平分线的性质知，，由等边对等角知，； （）由垂直平分线的性质知，，则，由平分，则有，可得，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了垂直平分的性质，角平分线的定义，等边对等角，平行线的判定，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 20．(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理： （1）当时，则，进而得到，由全等三角形的性质得到，进一步可得，即可． （2）由全等三角形的性质可得，进而可得． 【详解】（1）解：当时，，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 所以当时，； （2）解：∵， ∴， ∴． 21．(1) (2) 【分析】此题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． （）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长； （）根据三角形的内角和定理列式求出 ，再求出，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、分别垂直平分和， ∴，， ∴的周长， ∵的周长为， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 22．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了使用无刻度直尺作图，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）连接，根据即可说理； （2）延长交射线于点，连接，同（1）可证明，即可说理． 【详解】（1）解：如图1，即为所求： 连接， 由题意得垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即为所求； （2）解：如图1，即为所求： 延长交射线于点，连接， 同上可证明， 故即为所求． 23．(1)，； (2)①见解析；②，理由见解析 (3)或． 【分析】（1）由平方的非负性求得，即可得到答案； （2）①利用互余可得，，即可得证； ②如图，过B点作于点B，交的延长线于点M，易证，可得，由，可得，进而可得，易证，可得，进而得到； （3）分两种情况，点在的延长线上（如图2）或点在的延长线上（如图3），类比②中的证明思路即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴ 故答案为：，； （2）①由题得， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴； ②，理由如下： 如图，过B点作于点B，交的延长线于点， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， （3）或 如图2，如图，过B点作于点B，交于点， 同理可证得，， 则：，， 此时； 如图3，如图，过B点作于点B，交的延长线于点， 同理可证得，， 则：，， 此时， 综上，或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$