2024-2025学年人教版八年级数学上册压轴题训练题

人教版八年级数学上学期压轴题训练题 1．(1)已知到△ABC，△CDE均为等边三角形. ①如图 1，求证:△BCD≌△ACE； ②如图 2，连接AE并延长至点N，使得AN=2AE，连接BD并延长至点M，使得BM=2BD，连接CM、CN、MN.猜想△CMN的形状，并证明； (2) 如图3，等腰△ABC中，∠A=120°，BD，CE为△ABC的中线.延长BD至M，使得BM=2BD，延长EC至N，使得EN=2EC，连接CM、MN.证明:CM⊥MN. 图2 图1 图3 2．在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，且满足， (1)直接写出A，B两点的坐标:A ，B ； (2)如图1，点C为线段AB上一点，且点C的横坐标为1，点D为第四象限一点，满足OC=OD且OC⊥OD，求点D的坐标； (3)如图2，BM为∠ABO的角平分线，点C为BM上一点，以OC为直角边作等腰Rt△OCD，其中∠OCD=90°，且点D在第四象限，∠OBD=45°，求证：BD+OB=AB. 3．[尝试应用]小明将两副大小不同的三角板如图所示放置，△ABC和△DBE为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，连接AD，CE，直线MN经过点B交AD于M，交CE于N． （1）如图1，若MN⊥CE，请直接写出AM与DM的数量关系； [类比迁移] （2）如图2，若点M是AD的中点，请判断BM与CE的位置关系和数量关系，并证明：（小明发现：延长线段BM至点F，使得BM=MF，连接AF，证明了△ABF与△BCE的关系，便可解决问题）请你按照他的思路，完成证明； [拓展应用] （3）如图3，小明又找了两副大小相同的直角三角板，且△ABC≌△EBD，∠ABC=∠DBE=90°，连接AD，CE，直线MN经过点B交线段AD于M，交线段CE于N，若M为线段AD的中点． 求：①= ；②= . 4．如图，在平面直角坐标系中， A，B两点的坐标分别是点A(0，a)，点B(b，0)，且a，b 满足:. (1)求∠ABO的度数; (2)点M为AB的中点，等腰Rt△ODC的腰CD经过点M，∠OCD=90°，连接AD. 如图1，求证：AD⊥OD; 如图2，取BO的中点N，延长AD交NC于点P，若点P的横坐标为t，请用含t的式子表示四边形ADCO的面积. 5．如图，在平面直角坐标系中，点A为y轴正半轴上一点，点B为x轴负半轴上一点，点C为x轴正半轴上一点，OA＝OB＝m，OC＝n，满足m2﹣12m＋36＋（n﹣2）2＝0，作BD⊥AC于D，BD交OA于E． （1）如图1，求点B、C的坐标； （2）如图2，动点P从B点出发，以每秒2个单位的速度沿x轴向右运动，设点P运动的时间为t，△PEC的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； （3）如图3，在（2）的条件下，当t＝6时，在坐标平面内是否存在点F，使△PEF是以PE为底边的等腰直角三角形，若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由． 6．在平面直角坐标系中，点A为x轴正半轴上一点，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，AB为直角边在第一象限作等腰Rt△ABC． （1）如图1，若OB=2，OA=4，则点C的坐标为______； （2）如图2，若OA=OB，点D为OA延长线上一点，以D为直角顶点，BD为直角边在第一象限作等腰Rt△BDE，连接AE，求证：AE⊥AB； （3）如图3，在（1）的条件下，以B为直角顶点，OB为直角边在第三象限作等腰Rt△OBF．连接CF，交y轴于点P，求点P的坐标． 7．已知在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点P是第一象限内一动点． (1)①如图1．若动点满足，求点P的坐标． ②如图2，在第（1）问的条件下，且，将逆时针旋转至如图所示位置，求的值． (2)如图3，若点A与点关于x轴对称，且，若动点P满足， 问：的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变化．请求出其值． 8．如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，是多项式中一次项的系数． (1)直接写出，两点的坐标：A（______，______），B（______，______） (2)如图1，点C为线段上一点（点C不与、A重合）且满足：，连接，点为轴上一点（点在点的右边），若，求证：． (3)如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论． 9．在等边中，D、E两点分别在边上，，相交于点F． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，延长至点P，连接，，求的值； (3)如图3，连接，若，则_______． 10．如图，点，在平面直角坐标系中的坐标轴上，点为内一点，． (1)求点P到的距离； (2)如图1，射线交的垂直平分线于点C，试判断的形状，并说明理由； (3)如图2，为x轴正半轴上一点，将沿所在直线翻折，与y轴，线段分别交于点F，G，试探究的周长是否会发生变化，若变化，求变化范围；若不变，求的周长． 11．以线段、为底按顺时针方向在平面内构造等腰与等腰，，，，，且． (1)如图1，当点A、B、C三点共线时，求证：； (2)如图2，当点A、B、C三点不共线时，连接，点为中点，连接、，求证：； (3)如图3，当点B在线段上运动时（点B与A、D不重合），请直接写出与的数量关系．（直接填写答案） 12．（1）问题背景如图（1），在中，是角平分线．求证：； （2）在中，，，是角平分线，，． ①应用探究如图（2），若，求证：； ②迁移拓展如图（3），P为线段上一点，绕C点逆时针旋转得到，使，连接，当最小时，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 13．已知，实数m，n，t满足． (1)求m，n，t的值； (2)如图，在平面直角坐标系中，A，B都是y轴正半轴上的点，C，D都是x轴正半轴上的点（点D在C右边），，． ①如图（1），若点A与B重合，，求B点的坐标； ②如图（2），若点A与B不重合，，，直接写出的面积． 14．问题提出：如图1，在锐角等腰中，， ，K是动点，满足，将线段绕点A逆时针旋转至，连接并延长，交于点M，探究点M的位置． 特例探究：（1）如图2，当点K在上时，连接，求证：； （2）如图3，当点K在上时，求证：M是的中点． 问题解决：再探究一般化情形，如图1，求证：M是的中点． 15．如图，在中，，，点在第一象限，点在轴的负半轴上，交轴于，交轴于，，点在轴上，且在点的上方．              (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，连接，求证：； (3)直接写出点的坐标_________（用含的式子表示）． 人教版八年级上学期压轴题训练题参考答案 1．(1)①证明:∵△ABC，△CDE均为等边三角形. ∴AC=BC，CE=CD，∠ACB =∠DCE = 60°， ∴∠ACB－∠ACD =∠DCE － ∠ACD， ∴∠BCD =∠ACE， ∴△BCD≌△ACE(SAS); ②△CMN是等边三角形，理由如下: 由①知，△BCD≌△ACE， ∴∠CBD= ∠CAE，BD = AE， ∵AN = 2AE，BM = 2BD， ∴AN =BM， ∵AC=BC， ∴△ACN≌△BCM(SAS)， ∴∠BCM =∠ACN，CM=CN， ∴∠ACM -∠ACM=∠ACN - ∠ACM， ∴∠MCN = ∠BCA =60°， ∴△CMN是等边三角形; (2)证明:方法1： 如图，延长AC至F，使CF=AC，连接FM，MN，延长BC交FM于点G，连接NG， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠ABC=∠ACB =30°， ∴∠FCG =∠ACB =30°， ∵D是AC的中点， ∴AD=CD， ∴DM =BD，∠CDM =∠ADB， ∴△ABD≌△CMD (SAS)， ∴CM=AB，∠A=∠DCM， ∴CMIAB，CM =AC=CF， ∴∠MCG =∠ABC=30°， ∴∠FCM =∠MCG +∠FCG=60°， ∴△CFM是等边三角形， ∴∠CMF=∠CFM =60°， FM=CM=CF，GM =FG=－FM， 同理可得，△FCN≌△ACE， ∴∠CFN=∠A=120°， FN =AE =AB=AC=CF=2FM ∴∠MFN =∠CFN－∠CFM=60°， FN = FG， ∴△GFN是等边三角形， ∴∠FGN =60°，GN=FG=GM， ∴∠GMN =∠GNM， ∴∠GMN +∠GNM =∠FGN =60°， ∴∠GMN =∠GNM =30°， ∴∠CNM =∠CMF +∠GMN = 60+30°= 90° ∴CM⊥MN. 方法2： 延长MC到F，使CF=MC，连接BF，EF， ∵BD，CE为△ABC的中线 ∴AD=DC，AE=BE ∵BM=2BD，EN=2EC ∴BD=DM，EC=CN 在△AD和水CMD中 AD=DC,∠ADB=∠CDN,BD=MD ∴△ABD≌△CMD(SAS) ∴∠BAD=∠MCD，AB=CM 同理可证△EFC≌△NMC，得∠EFC=∠NMC ∵∠A=120° ∴∠MCD=120° ∴∠ACF=60° ∴AB=AC ∴△ACF是等边三角形 ∴∠AFC=60°，∠FAC=60°，AF=AC 又∠A=120° ∴∠BAF=60° 又AB=AC ∴AB=AF ∴△ABF是等边三角形 ∴∠ABF=60° 又E为AB中点 ∴EF为∠BAF的角平分线 ∴∠AFE=∠AFB=30° ∴∠EFC=∠AFE+∠AFC=90° ∴∠NMC=∠EFC=90° ∴CM⊥MN. 2．(1)， ∴a=b=4， ∴点A(0，4)，点B (4，0)， 故答案为:(0，4)，(4，0); (2)如图1，过点C作CH⊥AO于H，过点D作 DG⊥OB于G， ∵点A(0，4)，点B(4，0)， ∴OA=OB=4， ∴∠OAB =∠OBA=45°， ∵CH⊥OA， ∴△AHC是等腰直角三角形， ∴AH = CH， ∵点C的横坐标为1， ∴AH=CH =1， ∴OH = 3， ∵OCLOD， ∴∠COD =90°=∠AOB=∠OHC = ∠OGD ∴∠COH = ∠DOG， 又∵OC =OD， ∴△COH≌△DOG (AAS)， ∴OG =0H =3，HC =DG =1， ∴点D(3，－1); (3)证明:如图2，过点O作OE⊥OD，交AB于E，连接EC， ∵ OE⊥OD， ∴∠DOE = 90°=∠AOB， ∵∠OBD = 45°，∠OAB= ∠OBA=45°， ∴∠ABD =90°，∠OAB= ∠OBD =45°， 又:OA=OB， ∴△AOE≌△BOD (ASA)， ∴AE = BD，OD=OE， ∴∠EOC = 45°= ∠COD， 又:CO=CO，EO=OD， ∴△COE=△COD (SAS)， ∴EC=CD，∠OCD=∠OCE =90°， ∴∠ECO+∠DCO =180°， ∴点E，点C，点D三点共线， ∴EC=CD，∠ABD =90°， ∴CB=EC=CD， ∴OC=CB=EC， ∴∠OBC =∠OCB，∠CBA=∠CEB， ∵BM为∠ABO的角平分线， ∴.∠OBC=∠ABC = 22.5°， ∴∠OBC=∠OCB =∠CBA=∠CEB=22.5 ∵BC =BC， ∴△CBO≌△CBE(ASA)， ∴OB=BE， ∴OB+BD= BE + AE = AB. 3．（1）AM=DM， 过A作AP⊥BM于P，过D作DQ⊥BM于Q， ∴∠APM=∠DQM=90°， ∵MN⊥CE， ∴∠BNC=∠BNE=90°， ∴∠BCN+∠CBN=90°， ∵∠ABC=90°， ∴∠CBN+∠ABP=90°， ∴∠BCN=∠ABP， ∵AB=BC， ∴△BCN≌△ABP（AAS）， ∴AP=BN， 同理DQ=BN， ∵∠AMP=∠DMQ， ∴△APM≌△DQM（AAS）， ∴AM=DM； （2）BM⊥CE，BM=CE， 证明：延长线段BM至点F，使得BM=MF，连接AF， ∵点M是AD的中点， ∴AM=DM， ∵∠AMF=∠DMB， ∴△AMF≌△DMB（SAS）， ∴AF=BD，∠F=∠DBM， ∵BD=BE，∠DBE=90°， ∴∠DBM+∠EBN=90°， ∵∠ABD+∠CBE=360°－90°－90°=180°， ∴∠CBE=180°－∠ABD， ∵∠BAF=180°－∠ABF－∠F=180°－∠ABF－∠DBM=180°－∠ABD， ∴∠BAF=∠CBE， ∴△BAF≌△CBE（SAS）， ∴BF=CE，∠F=∠CEB， ∴BM=CE，∠CEB=∠DBM， ∴∠CBE+∠EBN=90°， ∴∠BNE=90°， ∴MN⊥CE； 证明：延长线段BM至点F，使得BM=MF，连接AF， ∵点M是AD的中点， ∴AM=DM， ∵∠AMF=∠DMB， ∴△AMF≌△DMB（SAS）， ∴AF=BD，∠F=∠DBM， ∵△ABC≌△EBD， ∴BD=BC，AB=BE， ∴AF=BC， ∵∠ABC=∠DBE=90°， ∴∠ABD+∠CBE=360°－90°－90°=180°， ∵∠BAF=180°－（∠F+∠ABF）=180°－（∠DBM+∠ABM）=180°－∠ABD， ∴∠BAF=∠CBE， ∴△BAF≌△EBC（SAS）， ∴BF=CE=2BM， ∴， ∵△AMF≌△DMB， ∴S△AMF=S△ABD， ∴S△ABD=S△CBE， ∴， 故答案为：，1． 4.(1)∵ ∴ ∴， ∴ ∴OA=OB 又∵∠AOB=90° ∴∠ABO=∠OAB=45° (2)连接OM，过点M作MH⊥CD交OD于点H. ∵△AOB为等腰Rt△ ∵M为AB中点 ∴OM⊥AB，OM=AM=BM ∵△ODC为等腰Rt△，∠OCD=90° 又∵MH⊥CD ∴∠DMH=90° 则∠MDH=∠MHD=45° ∴MD=MH，∠MHO=135° ∴∠DMA=∠HMO 在△ADM和△OHM中 ∵ ∴△ADM≌△OHM(AAS) ∴∠ADM=∠OHM=135° 又∵∠MDH=45° ∴∠ADO=90° ∴AD⊥OD. (3)在OC上截取OQ=CM，连接QN，OM，MN，OP. 在等腰Rt△OMB中， ∵N为BC中点， ∴MN⊥OB，MN=ON=BN ∴∠MNO=∠DCO=90° ∴∠NOQ=∠NMC 在△NOQ和△NMC中 ∵ ∴△ONQ≌△MNC(SAS) ∴QN=CN，∠ONQ=∠MNC ∴∠ONM=∠QNC=90° ∴∠NQC=∠NCQ=45°，∠OQN=∠MCN=∠ADM=135° ∴∠NQC=∠CDP=∠DCP=45° ∴∠NPA=∠ODA =90° ∴OD∥NP ∴S△DCO=S△DPO ∴S四边形ADCO=S△APO 又∵点P的横坐标为t，OA=6 ∴S四边形ADCO= 5．（1）∵m2﹣12m＋36＋（n﹣2）2＝0 ∴(m﹣6)2＋（n﹣2）2＝0， ∴m－6＝0，n－2＝0 ∴m＝6，n＝2 ∴B（－6，0），C（2，0） （2）∵BD⊥AC，AO⊥BC ∠BDC＝∠BDA＝90°，∠AOB＝∠AOC＝90° ∴∠OAC＋∠OCA＝90°，∠OBE＋∠OCA＝90° ∴∠OAC＝∠OBE ∴△OAC≌△OBE（AAS） ∴OC＝OE＝2 ①当0≤t＜4时，BP＝2t，PC＝8－2t，S＝PC×OE＝（8－2t）×2＝8－2t； ②当t＞4时，BP＝2t，PC＝2t－8，S＝PC×OE＝（2t－8）×2＝2t－8； （3）当t＝6时，BP＝12 ∴OB＝OP＝6 ①当F在EP上方时，作FM⊥y轴于M，FN⊥x轴于N ∴∠FME＝∠FNP＝90° ∵∠MFN＝∠EFP＝90° ∴∠MFE＝∠NFP ∵FE＝FP ∴△FME≌△FNP（AAS） ∴ME＝NP，FM＝FN ∴MO＝ON ∴2＋EM＝6－NP ∴ON＝4 ∴F（4，4） ②当F在EP下方时，作FG⊥y轴于G，FH⊥x轴于H ∴∠FGE＝∠FHP＝90° ∵∠GFH＝∠EFP＝90° ∴∠GFE＝∠HFP ∵FE＝FP ∴△FGE≌△FHP（AAS） ∴FG＝FH， GE＝HP ∴HF＝OG，FG＝OH ∴2＋OG＝6－OH ∴OG＝OH＝2 ∴F（2，－2） 6．(1)解：如图，过点C作CH⊥y轴于点H， ∴∠CHB=∠ABC=∠AOB=90°， ∴∠BCH+∠HBC=90°=∠HBC+∠ABO ∴∠ABO=∠BCH， 在△ABO和△BCH中， ∵∠CHB=∠AOB，∠BCH=∠ABO，BC=AB， ∴△ABO≌△BCH（AAS）， ∴CH=OB=2，BH=AO=4， ∴OH=6， ∴点C（2，6）， 故答案为：（2，6）； (2)证明：过点E作EF⊥x轴于点F， ∴∠EFD=∠BDE=∠BOD=90°， ∴∠BDO+∠EDF=90°=∠BDO+∠DBO， ∴∠DBO=∠EDF， 在△BOD和△DFE中， ∵∠BOD=∠EFD，∠DBO=∠EDF，BD=ED， ∴△BOD≌△DFE（AAS）， ∴BO=DF=4，OD=EF， ∵点A的坐标为（4，0）， ∴OA=OB=4， ∴∠BAO=45°， ∵OA=DF=4， ∵OD=AF=EF， ∴∠EAF=∠AEF=45°， ∴∠BAE=90°， ∴AE⊥AB； (3)解：过点C作CG⊥y轴于点G， 由（1）可知：△ABO≌△BCG， ∴BO=GC，AO=BG=4， ∵BF=BO，∠OBF=90°， ∴BF=GC，∠CGP=∠FBP=90°， 又∵∠CPG=∠FPB， ∴△CPG≌△FPB（AAS）， ∴BP=GP， ∴BP－BG=2， ∵OB=2， ∴OP=4， ∴点P的坐标为（0，4）． 7.（1）①∵ ， 又∵，， ∴，， ∴， ∴． ②如图①中，作于E，于F． ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，，, ∵， ∴， ∴， ∴． 如图②中， ∵, ∴. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图3中，作交的延长线于E，交于N． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（1）解：∵ ， ∴， ∵ 又是多项式中一次项的系数． ∴ ∴． （2）证明∶ 在上截取，连，分别过、B作于，于，如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ． （3）解∶ ． 证明：在上截取，连，如图2， ∵等边， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 9．（1）解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∵， ∴， ， ∵， ∴； （2）解：在上取一点K，使得，连接， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ， 在和中， ∵， ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：如图，延长至点H，使得，连接， 由（1）知， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（1）解：过点P分别作，，的垂线，垂足分别为E、F、M，如图 ，，， ，，， ， ， ， ∵, ∴， ∴ ． （2）解：如图．延长交y轴于点R，作于S，于T， 点C是垂直平分线上的点， ， ， ， ， ， 到，，的距离均为1， ，，分别平分，，， ， ， 于S，于T，平分， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，且． （3）解：的周长不变，为4，理由如下： 过点P分别作垂线，，，，连，． 将沿所在直线翻折， ， ， ，， ，， 的周长为， ，， ， 的周长为4． 11．（1）解：，， ，， ， ， ， ． （2）证明：如图，延长至Q，使，连接，， 在与中， ， ， ，， ， ， 根据（1）可设，，则， ， ， 在中，， ， 在与中， ， ， ， ， ． （3）解：取的中点F，连接，由（2）知， ， ， ， 设， 情况1，当点E在上方， ， ， 即； 情况2，如图，当点E在下方， ， ． 综上所述，或． 12．（1）作点D到AC、BC边的垂线，垂足分别为、N， ∵是角平分线． ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． （2）①在上取点，使，作的角平分线交于F点， ∵在中，，， ∴， ∴是角平分线，即：， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 又∵是角平分线，． ∴． ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵是角平分线， ∴，即， ∴即． ②连接，作点D关于直线BQ的对称点，连接交于点， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴是定直线， ∴， 当Q在点时， 最小， 又对称性质可知：，， ∴， 当最小时， 13．（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，； （2）解：①∵点A与B重合，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点D作交的延长线于点，交y轴于点，如图， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴B点的坐标为； ②过点D作交的延长线于点，交y轴于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， 解得，即， ∴， ∴的面积=． 14．特例探究 （1）证明：线段绕点A逆时针旋转至， ． 在和中， ， ， ． 又，， ， （2）在中，， ， 线段绕点A逆时针旋转至， ， ， ， 所以， ， ，， ，即M是的中点． 问题解决 如图，连接，过点C作于E，过点B作，交的延长线于F． 线段绕点A逆时针旋转至， ∴同（1）可证得， ， ， ， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 即M是的中点． 15．（1）设，则， 在中，， ， ， 平分； （2）作于轴于，作轴于，交于点． ， 平分， ． 轴， 又 ， ， ． ． 垂直平分， ． （3）作轴于轴于，过作于． ， ∴ ∵ ∴ ∴． ， ，，． 又， ， ． ， 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$