专题1-1 幂的运算【13个常考题型】- 【寒假衔接】2024-2025学年七年级北师大版2024下学期数学重点题专练

【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题1-1 幂的运算 模块一 题型·解读 【题型1】同底数幂的乘法 3 【题型2】利用同底数幂的运算求式子或字母的值 3 【题型3】幂的乘方及逆用 4 【题型4】积的乘方及逆用 5 【题型5】同底数幂的除法及逆用 7 【题型6】零指数幂和负指数幂 8 【题型7】科学记数法 8 【题型8】幂的混合运算 9 【题型9】先化为同底幂再计算 11 【题型10】用字母表示代数式 11 【题型11】利用幂的运算比较大小 12 【题型12】幂的新定义运算 13 【题型13】找规律 16 模块二 基础知识·梳理 幂的运算公式 知识点01 同底数幂的乘法性质 同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 知识点02 同底数幂的乘法的逆用公式 同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点03 幂的乘方法则 幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 知识点04 幂的乘方法则逆用公式 幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点05 积的乘方法则 积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 知识点06 积的乘方法则逆用公式 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点07 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点08 零指数幂：（a≠0） 知识点09 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点10 科学记数法 科学记数法是一种记数的方法，它能够将一个数表示为与10的次幂相乘的形式，这种记数法特别适用于表示非常大或非常小的数字，使得数字的书写更加简洁，同时也便于进行数值计算和比较。 要点诠释： 科学记数法的基本形式为：或，其中， 不为分数形式， （1）若是较大的数，则基本形式为：，为整数为位数减1，比如，数字141000，它有6为数，则，故 （2）若是绝对值小于1的数，则基本形式为：， 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．如 模块三 核心题型·训练 【题型1】同底数幂的乘法 【例题1】下列各式的计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【例题2】的值为　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】下列各选项中计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【巩固练习2】计算：　 　．（结果用幂的形式表示） 【巩固练习3】下列等式中正确的个数是（　　） a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型2】利用同底数幂的运算求式子或字母的值 【例题1】若，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【例题2】（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【例题3】回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 【巩固练习1】已知，则　　． 【巩固练习2】已知，求． 【巩固练习3】若，则m的值是________. 【巩固练习4】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【巩固练习5】，则 ． 【题型3】幂的乘方及逆用 【例题1】计算：______． 【例题2】已知：，求的值． 【巩固练习1】，，则________ 【巩固练习2】已知，．求：(1)的值；(2)的值；(3)的值． 【巩固练习3】基本事实：若，且，、都是正整数），则．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！ （1）如果，求的值； （2）如果，求的值． 【题型4】积的乘方及逆用 【例题1】计算： ． 【例题2】计算： 【例题3】（1）若，，求的值； （2）已知，求的值；（3）已知，，求的值． 【巩固练习1】计算： . 【巩固练习2】计算并认真观察： (1)计算：①___________；___________； ②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 【巩固练习3】（2023上·广东深圳·七年级校考期中）阅读下列各式：． 解答下列问题：(1)猜想： ． (2)计算：；(3)计算：． 【巩固练习4】（1）若，，求的值； （2）已知，求的值；（3）已知，，求的值． 【题型5】同底数幂的除法及逆用 【例题1】（2023上·八年级课时练习）计算： (1)； (2) ； (3)． 【例题2】已知：，，则________ 【巩固练习1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【巩固练习2】已知，． (1)求的值；(2)求的值． 【巩固练习3】根据条件求值： (1)已知，，求的值；(2)已知，求的值． 【题型6】零指数幂和负指数幂 【例题1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题2】若，则值为 　 　． 【巩固练习1】化简：； 【巩固练习2】计算： （1） （2） 【巩固练习3】若，则　 　． 【巩固练习4】如果等式，则的值为　 　． 【题型7】科学记数法 【例题1】电子文件的大小常用等作为单位，其中，，．某视频文件的大小约为等于（    ） A． B． C． D． 【例题2】我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为的小洞，则数字0.0000048用科学记数法可表示　　　　　． 【巩固练习2】新型冠状病毒的直径平均为100纳米，也就是0.0000001米，是依靠飞沫和直接接触传播，直接接触我们可以通过及时清洗和杀毒避免，飞沫的直径一般是在0.000003米左右．将0.000003用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【题型8】幂的混合运算 【例题1】计算： (1)； (2)． 【例题2】计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【例题3】1）已知n正整数，且，求的值． （2）已知，求的值． 【巩固练习1】计算下列各题 (1) (2)（是整数） (3)（是整数） 【巩固练习2】按要求解答下面各题． (1)已知，求的值；(2)已知，求的值． 【巩固练习3】解答下列各题： （1）若，则的值是多少？（2）已知，，求的值． 【题型9】先化为同底幂再计算 【例题1】已知，求n的值． 【巩固练习1】已知，求的值 【巩固练习2】计算（是整数） 【巩固练习3】若，，则　 　． 【题型10】用字母表示代数式 【例题1】已知：，，那么用的代数式表示正确的是　　 A． B． C． D． 【例题2】已知：，，那么用的代数式表示正确的是　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 　　　　　　． 【巩固练习2】已知：，，用含的代数式表示　 　． 【巩固练习3】若，，用的代数式表示，则　 　． 【题型11】利用幂的运算比较大小 【例题1】已知，，试比较a，b的大小． 【例题2】比较，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【巩固练习1】比较，，这三个数的大小，并用“”将它们连接起来． 【巩固练习2】【阅读理解】特殊数大小的比较 问题：比较，，的大小． 解：，，，． 【问题解决】 学习以上解题思路和方法，然后完成下题：比较，，的大小． 【巩固练习3】已知，，，，则、、、的大小关系　　 A． B． C． D． 【巩固练习4】阅读理解： 若，，比较，的大小． 解：因为，且，所以，所以．类比阅，读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_______________． A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法      C．幂的乘方  D．积的乘方 (2)若，，试比较与的大小． (3)已知，，，比较，，的大小． 【题型12】幂的新定义运算 【例题1】规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如： ∵，∴ (1)根据上述规定，填空： ______， ______，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：    设，则，即，∴，即，∴． 请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由． 【例题2】先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 【巩固练习1】阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即． 根据上面的规定，请解决下列问题： (1)计算：____________，_____________； (2)小明在计算的时候，采用了以下方法： 设，      通过以上计算，我们猜想____________． 【巩固练习2】阅读材料：如果那么c为a，b的“关联数”，记为，例如．则有 (1)若，，的值？ (2)若，，，其中，请说明：． 【题型13】找规律 【例题1】阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1) 的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2) 求的末尾数字； (3) 求证：能被5整除． 【巩固练习1】（1）填空：；；；… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． （3）计算 【巩固练习2】观察下列有规律的三行数： ， ， ， ， ， ……； ， ， ， ， ， ……； ， ， ， ， ， …； （1）第一行数的第n个数是______； （2）观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第n个数是______； （3）用含n的式子表示各行第n个数的和； （4）在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198？若存在，请求出这三个数；若不存在，请说明理由． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$【寒假衔接】2024-2025学年七年级下学期数学重点题专练 专题1-1 幂的运算 模块一 题型·解读 【题型1】同底数幂的乘法 3 【题型2】利用同底数幂的运算求式子或字母的值 4 【题型3】幂的乘方及逆用 6 【题型4】积的乘方及逆用 8 【题型5】同底数幂的除法及逆用 12 【题型6】零指数幂和负指数幂 15 【题型7】科学记数法 16 【题型8】幂的混合运算 17 【题型9】先化为同底幂再计算 20 【题型10】用字母表示代数式 21 【题型11】利用幂的运算比较大小 23 【题型12】幂的新定义运算 25 【题型13】找规律 29 模块二 基础知识·梳理 幂的运算公式 知识点01 同底数幂的乘法性质 同底数幂的乘法性质：(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即（都是正整数）. 知识点02 同底数幂的乘法的逆用公式 同底数幂的乘法的逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数.即（都是正整数）. 知识点03 幂的乘方法则 幂的乘方法则： (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘. 要点诠释：公式的推广： (，均为正整数) 知识点04 幂的乘方法则逆用公式 幂的乘方法则逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 知识点05 积的乘方法则 积的乘方法则： (其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 要点诠释：公式的推广： (为正整数). 知识点06 积的乘方法则逆用公式 积的乘方法则逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 知识点07 同底数幂的除法 (其中都是正整数).即同底数幂相除，底数不变，指数相减. 要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式. 逆用公式：即（都是正整数）. 知识点08 零指数幂：（a≠0） 知识点09 负指数幂：（a≠0，p是正整数） 知识点10 科学记数法 科学记数法是一种记数的方法，它能够将一个数表示为与10的次幂相乘的形式，这种记数法特别适用于表示非常大或非常小的数字，使得数字的书写更加简洁，同时也便于进行数值计算和比较。 要点诠释： 科学记数法的基本形式为：或，其中， 不为分数形式， （1）若是较大的数，则基本形式为：，为整数为位数减1，比如，数字141000，它有6为数，则，故 （2）若是绝对值小于1的数，则基本形式为：， 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．如 模块三 核心题型·训练 【题型1】同底数幂的乘法 【例题1】下列各式的计算结果正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，故符合题意； 、，故不符合题意 【例题2】的值为　　 A． B． C． D． 【解答】解： 故选：． 【巩固练习1】下列各选项中计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：A．，故A选项不符合题意； B.，故B选项符合题意； C．，故C选项不符合题意； D.，故D选项不符合题意 【巩固练习2】计算：　 　．（结果用幂的形式表示） 【答案】． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【巩固练习3】下列等式中正确的个数是（　　） a5+a5＝a10；②（﹣a）6•（﹣a）3•a＝a10；③﹣a4•（﹣a）5＝a20；④25+25＝26． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】①和④利用合并同类项来做；②③都是利用同底数幂的乘法运算法则做（注意一个负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数）． 【解答】解：①∵a5+a5＝2a5，故①的答案不正确； ②∵（﹣a）6•（﹣a）3•a＝﹣a10 故②的答案不正确； ③∵﹣a4•（﹣a）5＝a9，故③的答案不正确； ④25+25＝2×25＝26．故④的答案正确； 所以正确的个数是1 【题型2】利用同底数幂的运算求式子或字母的值 【例题1】若，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【例题2】（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算计算，即可求解； （2）根据同底数幂乘法运算计算，即可求解． 【详解】解：（1）． （2）． 【例题3】回答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂乘法的逆运算解答； （2）根据同底数幂乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以． 【巩固练习1】已知，则　　． 【答案】5 【解答】解：， ， 【巩固练习2】已知，求． 【答案】 【解答】解：， ，解得：， 【巩固练习3】若，则m的值是________. 【答案】4 【详解】解：∵， ∴， ∴1+2m+3m＝21 解得m＝4． 【巩固练习4】已知，，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （3）逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ （3）解：∵，， ∴． 【巩固练习5】，则 ． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法的法则对已知条件进行整理，可求得的值，再代入所求的式子运算即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， ． 故答案为：． 【题型3】幂的乘方及逆用 【例题1】计算：______． 【答案】 【分析】直接运用幂的乘方法则进行运算即可． 【详解】解： 【例题2】已知：，求的值． 【答案】 【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的运算法则，原式可化为，代入已知量，即可求解． 【详解】解： ． 【巩固练习1】，，则________ 【答案】241 【解答】 【巩固练习2】已知，．求： (1)的值；(2)的值；(3)的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）逆用同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）逆用同底数幂乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ． 【巩固练习3】基本事实：若，且，、都是正整数），则．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！ 如果，求的值； 如果，求的值． 【解答】解：①， ，； ②，， ，． 【题型4】积的乘方及逆用 【例题1】计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：． 【例题2】计算： 【原卷】 【详解】 = = = ==. 【例题3】（1）若，，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）8；（3）144 【分析】（1）将待求式转化为含有x3m，y3n的式子后整体代入计算； （2）（3）利用积的乘方与幂的乘方的逆运算对所求式子化简，然后代入计算即可. 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴ ． 【巩固练习1】计算： . 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算、幂的乘方运算，先进行积的乘方运算，再进行幂的乘方运算即可得到答案，掌握积的乘方运算法则和幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【巩固练习2】计算并认真观察： (1)计算： ①___________；___________；②___________；___________． (2)根据以上两组计算结果的规律，猜想：___________（是正整数）； (3)根据你发现的规律与猜想，简便计算：． 【答案】(1)①；；②； (2) (3) 【分析】本题考查数与式的变化规律， （1）①通过计算得出结论；②通过计算得出结论； （2）根据（1）计算结果的规律猜想得出结论； （3）根据发现的规律与猜想进行计算； 根据算式中数的变化找出变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：①；， 故答案为：；； ②；， 故答案为：；； （2）根据以上两组计算结果的规律，猜想：， 故答案为：； （3） ． 【巩固练习3】（2023上·广东深圳·七年级校考期中）阅读下列各式：． 解答下列问题： (1)猜想： ． (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查积的乘方，根据题干所给信息，得到，是关键． （1）由题干例题即可求得答案； （2）利用积的乘方法则计算即可； （3）利用积的乘方法则计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； 故答案为：； （2）； （3）． 【巩固练习4】（1）若，，求的值； （2）已知，求的值； （3）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）8；（3）144 【分析】（1）将待求式转化为含有x3m，y3n的式子后整体代入计算； （2）（3）利用积的乘方与幂的乘方的逆运算对所求式子化简，然后代入计算即可. 【详解】解：（1）∵，， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ ； （3）∵，， ∴ ． 【题型5】同底数幂的除法及逆用 【例题1】（2023上·八年级课时练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 【例题2】已知：，，则________ 【答案】 【解答】 【巩固练习1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用同底数幂的除法法则计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可； （3）利用积的乘方和同底数幂的除法法则计算即可； （4）先把，底数作为一个整体，利用同底数幂的乘法和除法计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【巩固练习2】已知，． (1)求的值；(2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆运用同底数幂的除法的性质解答即可； （2）逆运用幂的乘方与同底数幂的除法进行计算即可得解． 【详解】（1）解：，， ； （2），， 【巩固练习3】根据条件求值： (1)已知，，求的值；(2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先根据幂的乘方计算法则求出，，再由同底数幂除法的逆运算法则得到，据此代值计算即可； （2）先根据幂的乘方的逆运算法则将原式变形为，再根据同底数幂乘法的逆运算得到，由此推出，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴，，即，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型6】零指数幂和负指数幂 【例题1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【例题2】若，则值为 　 　． 【答案】或1． 【解答】解：当，时，； 当时，； 当时，，此时，不符合题意； 故答案为：或1． 【巩固练习1】化简：； 【解答】解：原式 计算：． 【解答】解：原式． 【巩固练习2】计算： （1） （2） 【解答】解： 原式 原式 【巩固练习3】若，则　 　． 【答案】或2 【解答】解：当，即时，原式； 当，时，原式； 当时，，，舍去． 故答案为：或2 【巩固练习4】如果等式，则的值为　 　． 【答案】1或0或 【解答】解：由题意得： ①， 解得：， ②，且， 解得：， ③当时，原式． 故答案为：0或1或． 【题型7】科学记数法 【例题1】电子文件的大小常用等作为单位，其中，，．某视频文件的大小约为等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【例题2】我国神舟十三号载人飞船与天和核心舱首次成功实现“径向对接”，对接过程的控制信息通过微波传递．微波理论上可以在0.000003秒内接收到相距约1千米的信息．将数字0.000003用科学记数法表示应为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：． 【巩固练习1】水珠不断滴在一块石头上，经过若干年，石头上形成了一个深为的小洞，则数字0.0000048用科学记数法可表示　　　　　． 【答案】 【解答】解： 【巩固练习2】新型冠状病毒的直径平均为100纳米，也就是0.0000001米，是依靠飞沫和直接接触传播，直接接触我们可以通过及时清洗和杀毒避免，飞沫的直径一般是在0.000003米左右．将0.000003用科学记数法表示为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：0.000003用科学记数法表示为 【题型8】幂的混合运算 【例题1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法； （2）先计算同底数幂的乘法、乘方，再计算同底数幂的乘法与除法． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【例题2】计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，－25． 【分析】（1）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解； （2）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解； （3）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式== =， 当=－5时，原式=－25． 【例题3】1）已知n正整数，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）56；（2）8；（3）1 【分析】（1）将所求式子变形为，代入计算即可； （2）将已知等式化为，再将所求式子变形为，整体代入计算即可； （3）先将等式左边的底数化为3，再提出，得，再约分，根据指数相等求出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ； （2）∵， ∴， ∴ 【巩固练习1】计算下列各题 (1) (2)（是整数） (3)（是整数） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法和除法法则计算即可； （3）先化为同底数幂，再根据同底数幂的除法法则计算即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； 【巩固练习2】按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据，代值求解即可； （2）根据，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∴的值为； （2）解：由题意知，， ∵， ∴，即，， 解得 【巩固练习3】解答下列各题： （1）若，则的值是多少？ （2）已知，，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）， ， 则， ， 解得：； （2），， ，， ． 【题型9】先化为同底幂再计算 【例题1】已知，求n的值． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ． 【巩固练习1】已知，求的值 【答案】8 【详解】∵， ∴， ∴ 【巩固练习2】计算（是整数） 【答案】 【分析】先化为同底数幂，再根据同底数幂的除法法则计算即可； 【详解】 【巩固练习3】若，，则　 　． 【解答】解：，故答案为： 2 ． 已知，，求的值． 【解答】解：，， 【题型10】用字母表示代数式 【例题1】已知：，，那么用的代数式表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：，，． 已知，，用含，的代数式表示． 【解答】解：，， ． 【例题2】已知：，，那么用的代数式表示正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：，， ． 【巩固练习1】已知，，，那么、、之间满足的等量关系是 　　　　　　． 【答案】 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：． 【巩固练习2】已知：，，用含的代数式表示　 　． 【答案】 【解答】解：，， ，， ，， ， ． 【巩固练习3】若，，用的代数式表示，则　 　． 【答案】 【解答】解：， ， ， ． 【题型11】利用幂的运算比较大小 【例题1】已知，，试比较a，b的大小． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】解：∵，，， ∴． ∴， ∴． 【例题2】比较，，的大小关系为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，，， ， ， 故选：． 【巩固练习1】比较，，这三个数的大小，并用“”将它们连接起来． 【答案】 【分析】把它们化为指数相同的幂，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴ 【巩固练习2】【阅读理解】特殊数大小的比较 问题：比较，，的大小． 解：，，，． 【问题解决】 学习以上解题思路和方法，然后完成下题： 比较，，的大小． 【答案】 【分析】根据幂的乘方逆运算法则解答． 【详解】，，，且， ． 【巩固练习3】已知，，，，则、、、的大小关系　　 A． B． C． D． 【解答】解：； ； ； ； ， 即． 故选：． 比较，，的大小． 【解答】解：， ， ， 又， ， 即． 【巩固练习4】阅读理解： 若，，比较，的大小． 解：因为，且，所以，所以．类比阅，读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_______________． A．同底数幂的乘法   B．同底数幂的除法      C．幂的乘方  D．积的乘方 (2)若，，试比较与的大小． (3)已知，，，比较，，的大小． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】（1）根据幂的乘方直接求解即可得到答案； （2）将两个数的次方经过积的乘方变成相同的次方比较大小即可得到答案； （3）根据积的乘方将指数化相同直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，是幂的乘方的逆运算， 故选：C； （2）解：∵，，且， ∴， ∴； （3）解：∵，，， ∴， ∴ 【题型12】幂的新定义运算 【例题1】规定两数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如： ∵，∴ (1)根据上述规定，填空： ______， ______，________； (2)小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的理由：    设，则，即， ∴，即， ∴． 请你尝试运用这种方法判断是否成立，若成立，请说明理由． 【答案】(1)4；0； (2)成立，见解析 【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）设，，则，，根据，得出即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为：4；0；． （2）解：成立，理由如下： 设，， 则，， ∴， ∴， ∴． 【例题2】先阅读下列材料，再解答后面的问题． 一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）． 例如：，记为（即），则4叫做以3为底81的对数．可以记为． (1)①计算以下各对数的值：___________， _________，__________； ②、、之间的数量关系是____________________； (2)猜想一般性的结论：___________________（结果用含a，M，N的式子表示）（且），并写出证明过程． 【答案】(1)①2，4，6；② (2)，证明见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算． （1）①根据材料叙述，结合，，即可得出答案； ②根据①的答案可得出、、之间满足的关系式； （2）设，，则，分别表示出及的值，即可得出猜想． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，； 故答案为：2，4，6； ②∵， ∴； 故答案为：； （2）解：猜想． 证明：设，，则， 故可得，， 即． 故答案为：． 【巩固练习1】阅读理解：我们知道一般地，加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算；如我们规定式子可以变形为，也可以变形为．在式子中，3叫做以2为底8的对数，记为．一般地，若（且，），则叫做以为底的对数，记为，即． 根据上面的规定，请解决下列问题： (1)计算：____________，_____________； (2)小明在计算的时候，采用了以下方法： 设，      通过以上计算，我们猜想____________． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据新定义运算，结合乘方运算，求解即可； （2）理解题中的运算步骤，设，，对式子进行变形，求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ 故答案为：， （2）设，，则， ∴ ∴ 即 故答案为： 【巩固练习2】阅读材料：如果那么c为a，b的“关联数”，记为，例如．则有 (1)若，，的值？ (2)若，，，其中，请说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据“关联数”的定义可得，，进而求解； （2）根据“关联数”的定义可得，，，进而可得，再根据同底数幂的乘法法则即可求解． 【详解】（1）解：因为，， 所以，， 所以， 所以； （2）证明：因为，，， 所以，，， 因为， 所以，即， 所以，即． 【巩固练习3】 【题型13】找规律 【例题1】阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1) 的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2) 求的末尾数字； (3) 求证：能被5整除． 【答案】(1) 3，6； (2) 4； (3) 证明见分析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 解：（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【巩固练习1】（1）填空：；；；… （2）探索（1）中式子的规律，试写出第n个等式，并说明第n个等式成立． （3）计算 【答案】（1），，；（2）第n个等式为，说明见分析；（3） 【分析】（1）根据乘方的运算法则以及零指数幂进行运算可得结果； （2）由（1）中式子可得规律，从而解答； （3）由（2）中规律可得原式，进而得出答案． 解：（1），，； 故答案为：，，； （2）由（1）可得，第n个等式为， ∵， ∴等式成立； （3）由（2）中规律可得： 原式． 【巩固练习2】观察下列有规律的三行数： ， ， ， ， ， ……； ， ， ， ， ， ……； ， ， ， ， ， …； 第一行数的第n个数是______； 观察第一行和第二行每个对应位置上的数的关系，写出第二行的第n个数是______； 用含n的式子表示各行第n个数的和； 在第二行中，是否存在连续的三个数，且它们的和恰好等于198？若存在，请求出这三个数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4) 存在．这三个数分别为： 【分析】（1）观察数据可发现，每个数的绝对值为连续的偶数，序号为奇数时是负的，序号为偶数时，这个数为正数，据此即可求解； （2）第二行数据，在第一行的每一个数都加上2，即可求解； （3）第三行数据为第二行数据乘以2，进而求得各行第n个数的和； （4）根据题意列出方程，解方程即可求解． 解：观察数据可发现，每个数的绝对值为连续的偶数，序号为奇数时是负的，序号为偶数时，这个数为正数， ∴第个数为， 故答案为：； （2）解：第二行数据，规律是在第一行的每一个数都加上2， 即第个数为， 故答案为：； （3）解：第三行数据为第二行数据乘以2，即， ∴各行第n个数的和为 ； （4）解：存在．理由如下： 由题意得：， ∴ ∴ ∴ 解得：， 故这三个数分别为：． 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$