精品解析：2024-2025学年苏科版数学九年级上册期末复习试题

苏科版数学九年级上期末复习试题 一．选择题（共10小题） 1. 某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 下列是关于x一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 3. 在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 无法确定 4. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩 (单位：次) 如表： 成绩 171 及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 8 6 5 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（ ） A. 7 B. C. 9 D. 6. 如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为( ) A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 7. 2024年是红军长征出发90周年，某市举行了学习长征精神的“三独”比赛．独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法不正确的是（ ） A. 众数是9.6 B. 中位数是9.6 C. 平均数是9.5 D. 方差是0.3 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 9. 给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 10. 如图，点A、B分别在x轴、y轴上（）；以为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点C的坐标是，其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题（共8小题） 11. 已知关于的方程的一根为，则方程的另一根为________． 12. 小明同学用计算一组数据方差，那么________． 13. 如图，点、、在上，，则_______°． 14. 如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 15. 学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有_____个队参赛． 16. 如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 _______． 17. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为___________________． 18. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为__________________． 三．解答题（共10小题） 19. 计算 （1） ； （2）； （3） ； （4）． 20. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 21. 某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图： b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人； （2）表中m的值为　 　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数． 22. 如图，的弦相交于点，求证：． 23. 如图，在中，弦，于E，于H． （1）求证：． （2）若的半径为5，，，求的长． 24. 某商场经销的某种商品，每件成本为元，经市场调研，当售价为元时，平均每周可销售件；售价每增加元，平均每周销售量将减少件． （1）如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利元，那么每件商品的售价为多少元？ （2）涨价后商场销售这批商品平均每周盈利是否可以达到元？请说明理由． 25. 如图，四边形内接于，为直径，过点C作的垂线，垂足为点E，连接． （1）求证：； （2）连结，若，，，求、、围成的阴影部分的面积． 26. 如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为切线； （2）若，，求的长． 27. 天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． （1）利用你所学有关图形运动的知识，求道路的宽度； （2）某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 28. 如图，直角△ACB，∠ACB=90°，∠A=60°，以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF=2，求BC的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 苏科版数学九年级上期末复习试题 一．选择题（共10小题） 1. 某班从4名男生和2名女生中任选1人参加演讲比赛，则选中男生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单地概率公式计算解答即可．本题考查了简单地概率公式计算概率，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得选中男生的概率是：． 故选：D． 2. 下列是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解本题的关键．根据一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、方程有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、只有当时，该方程才是一元二次方程． 故选：C． 3. 在中，，，，以点B为圆心，12为半径画圆，则点A与的位置关系是（ ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，利用勾股定理求得边的长，然后通过比较与半径的长即可得到结论，解题的关键是确定圆的半径和点与圆心之间的距离之间的大小关系． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴点A在外， 故选：． 4. 某班24名学生参加一分钟跳绳测试，成绩 (单位：次) 如表： 成绩 171 及以下 172 173 174 175及以上 人数 3 8 6 5 2 则本次测试成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 172和172 B. 172和173 C. 173和172 D. 173和173 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查统计知识中的中位数和众数的概念．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．据此求解即可． 【详解】解：在这一组数据中172是出现次数最多的， 故众数是172； 而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那两个数的是173和173，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是． 故选：C． 5. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为（ ） A. 7 B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，按照题意找到正确的等量关系，列出一元二次方程是解答本题的关键． 根据题意，每轮传染中平均一个人传染了人，经过两轮传染后共有人患了流感，列出关于的一元二次方程，解方程，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得： 每轮传染中平均一个人传染了人， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：． 6. 如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为( ) A. 5 B. 10 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可； 【详解】如图，连接OA， ∵, ∴， 由垂径定理可得，， 中，， 解得： ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 7. 2024年是红军长征出发90周年，某市举行了学习长征精神的“三独”比赛．独唱项目中，5名同学的得分分别是：9.6，9.2，9.6，9.7，9.4．关于这组数据，下列说法不正确的是（ ） A. 众数是9.6 B. 中位数是9.6 C. 平均数是9.5 D. 方差是0.3 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了中位数、众数、平均数、方差，依据中位数、众数、平均数、方差的定义解答即可． 【详解】在这组数据中，9.6出现的次数最多，故众数是9.6，故选项A不符合题意； 把这组数据从小到大排列，排在中间的数是9.6，故中位数是9.6，故选项B不符合题意； 平均数是，故选项C不符合题意： 方差是：，故选项D符合题意． 故选：D． 8. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 当时，方程无解 B. 当时，方程有一个实数解 C. 当时，方程有两个相等的实数解 D. 当时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．分类讨论：当时和当时，结合一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：①当时，原方程为， 解得：，则方程有1个解，故A错误，不符合题意； ②当时，， ∴， ∴当时，，此时方程有两个相等的实数解，则C正确、D错误，故C符合题意、D不符合题意． 当时，，则方程有2个解，故B错误，不符合题意． 故选C． 9. 给出下列说法： ①能够互相重合的两个圆叫作等圆； ②长度相等的弧是等弧； ③以2cm长的半径的圆有无数个； ④平面上任意三点能确定一个圆，其中正确的有（ ） A. ②④ B. ①③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆的相关性质，解题关键是熟练掌握等圆、等弧等知识点，逐个判断即可． 【详解】解：①能够互相重合的两个圆叫作等圆，说法正确； ②能够互相重合的弧是等弧，原说法错误； ③以2cm长的半径的圆有无数个，说法正确； ④平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，原说法错误； 故选：B． 10. 如图，点A、B分别在x轴、y轴上（）；以为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结，．下列结论：①；②；③若，，则的面积等于5；④若，则点C的坐标是，其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理判断①，弧、弦、圆心角的关系判断②，求出，根据等腰直角三角形的性质可判断③，作轴于，轴于，通过构造全等三角形，可判断④． 【详解】解：是直径， ，故①符合题意； 是中点， ，故②符合题意； ， ， 是等腰直角三角形， ， 的面积为，故③符合题意； 作轴于，轴于， ， ， ， ， ， ，， 是正方形， 设正方形边长为， ， ， ， 点坐标为：，故④符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的有关知识及三角形全等，关键是综合运用几何知识点． 二．填空题（共8小题） 11. 已知关于方程的一根为，则方程的另一根为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键． 将方程的一根代入方程求出，再解方程求出另一根即可． 【详解】解：方程的一根为， ， ， ， ， 或， ，， 方程的另一根为． 故答案为：． 12. 小明同学用计算一组数据方差，那么________． 【答案】80 【解析】 【分析】根据方差的计算公式，即可得出这组数据的平均数为8，即可求出答案． 【详解】由可知： 这10个数据的平均数为8， 则， 故填：80． 【点睛】本题考查方差的计算公式，解题关键是掌握方差公式：一般地设n个数据的平均数为，则方差． 13. 如图，点、、在上，，则_______°． 【答案】86 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，能根据圆周角定理得出是解此题的关键． 直接根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 14. 如图，⊙P与y轴相切于点，与x轴相交于点，．直线恰好平分的面积，那么的值是 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过点作于点，根据切线的性质可知轴，故可得出四边形是矩形，所以，再求出的长，由垂径定理可得出的长，故可得出的长，进而得出点坐标，再把点坐标代入直线即可得出结论． 【详解】解：连接，过点作于点， ∵与轴相切于点，∴轴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，∴， ∴， ∴， ∴，∵直线恰好平分的面积， ∴点在直线上， ∴，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是圆的综合题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形求出点坐标即可得出结论． 15. 学校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都只比赛一场．若共进行了28场比赛，则学校有_____个队参赛． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出等量关系，列出方程是解答本题的关键． 【详解】解：设x个队伍参赛， 依题意可列方程：， 整理得：， 解得：，（舍）； 故应邀请8个队伍参赛． 故答案为：8． 16. 如图，是正六边形的内切圆，分别切、于点M、N，P是优弧上的一点，则的度数为 _______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，切线的性质，圆周角定理以及正多边形内角和的计算，掌握正六边形的性质，切线的性质，圆周角定理以及多边形内角和的计算方法是正确解答的关键． 根据正六边形的性质求出，再根据切线的性质得出，由四边形的内角和求出，由圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是正六边形的内切圆，分别切于点， ， 是正六边形， ， ， ， 故答案为：30． 17. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积的计算公式：，进行计算即可． 【详解】圆锥的底面半径为，母线长为， ， 故答案为：． 18. 如图，在中，，，，以点为圆心，为半径画弧，分别与、交于点、，则图中阴影部分的面积为__________________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．连接，首先证明是等边三角形，得出，，再证明，然后根据计算即可． 【详解】解：如图，连接． ，，， ， ， 是等边三角形， ，， ∴， ∴， ， ∴， ． 故答案为：． 三．解答题（共10小题） 19. 计算 （1） ； （2）； （3） ； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，以及直接开方法， （1）用配方法配方得，再开方即可求出解； （2）用公式法先求出，再代入公式即可求出解； （3）提取公因式方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解； （4）移项后运用平方差公式将方程左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 20. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：，， 由（）得：， ∴， ∴的值为． 21. 某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析．部分信息如下： a．七年级成绩频数分布直方图： b．七年级成绩在这一组的是：70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79 c．七、八年级成绩的平均数、中位数如下： 年级 平均数 中位数 七 76.9 m 八 79.2 79.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）的有　 　人； （2）表中m的值为　 　； （3）在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是78分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由； （4）该校七年级学生有400人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数． 【答案】（1）23（2）77.5（3）甲学生在该年级的排名更靠前（4）224 【解析】 【分析】（1）根据条形图及成绩在这一组的数据可得； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）将各自成绩与该年级的中位数比较可得答案； （4）用总人数乘以样本中七年级成绩超过平均数76.9分的人数所占比例可得． 【详解】解：（1）在这次测试中，七年级在80分以上（含80分）有人， 故答案为23； （2）七年级50人成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别为78、79， ， 故答案为77.5； （3）甲学生在该年级的排名更靠前， 七年级学生甲的成绩大于中位数78分，其名次在该班25名之前， 八年级学生乙的成绩小于中位数78分，其名次在该班25名之后， 甲学生在该年级的排名更靠前． （4）估计七年级成绩超过平均数76.9分的人数为（人）． 【点睛】本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用． 22. 如图，的弦相交于点，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、弧与弦的关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．连接，先证出，再根据圆周角定理可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：如图，连接， ， ， ， ， 由圆周角定理得：， 在和中， ， ∴， ． 23. 如图，在中，弦，于E，于H． （1）求证：． （2）若的半径为5，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键； （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【小问1详解】 证明：， ，， 即， ． 【小问2详解】 解：连接，如图所示： ，， ． 由勾股定理，得． 同理可得． ． 24. 某商场经销的某种商品，每件成本为元，经市场调研，当售价为元时，平均每周可销售件；售价每增加元，平均每周销售量将减少件． （1）如果涨价后商场销售这批商品平均每周盈利元，那么每件商品的售价为多少元？ （2）涨价后商场销售这批商品平均每周盈利是否可以达到元？请说明理由． 【答案】（1）每件商品的售价为元 （2）涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， （1）设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． （2）设每件商品的售价为y元，则每件的利润为元，销售量为(件)根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每件商品的售价为元； 【小问2详解】 涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元，理由如下： 设每件商品的售价为元，则每件的利润为元，销售量为件， 依题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 涨价后商场销售这批商品平均每周盈利不可以达到元． 25. 如图，四边形内接于，为直径，过点C作的垂线，垂足为点E，连接． （1）求证：； （2）连结，若，，，求、、围成的阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理、扇形的面积公式等知识点，灵活运用相关知识是解本题的关键． （1）先判断出，然后用等角余角相等即可证明结论； （2）求出和，，再利用面积公式计算即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， 又， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ． 26. 如图，在中，，为的直径．与相交于点D．过点D作于点E，延长线交于点F． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件证得即可得到结论； （2）如图，过点作于点，则，构建矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ， ， ， ． ， ， 是半径， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，则， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， 是的直径， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键熟练掌握切线的判定． 27. 天津素称“月季之乡”．花虹园区在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植月季花球盆栽，并使种植花卉的总面积为63平方米，修建方案如图所示． （1）利用你所学的有关图形运动的知识，求道路的宽度； （2）某盆栽供应商的进货价为每盆30元，销售价为每盆60元，花节期间平均每天可以售出20盆．花节落幕后降价出售，经市场调查发现：如果每盆降价3元，那么平均每天就可多出售6盆．设每盆降价x元． ①降价后每盆的利润是__________元；每天卖出__________盆；（用含的代数式表示） ②供应商想要达到每天750元的盈利，同时让购买者得到实惠，求每盆应降价多少元？ 【答案】（1）道路宽为1米 （2）①；②每盆应降价15元 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关及销售利润相关的一元二次方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键． （1）设道路宽为米，根据种植花卉的总面积为63平方米，列出方程并求解即可； （2）①根据销售价减降价再减进价即可得利润；降价前卖出的盆数加上因降价而增加的销售量，即是现在每天卖出的盆数； ②根据：每盆的利润乘每天的销售量，结合①中的数据，列出方程并求解即可． 【小问1详解】 解：设道路宽为米， 由题意，得：， 整理得：， 解得：； ∵当时，， ∴不符合题意， ∴； 答：道路宽为1米； 【小问2详解】 解：①降价后每盆的利润是元； 每天卖出盆； 故答案为：； ②由①得：， 整理得：， 解得：； 为让购买者得到实惠，应取； 答：为让购买者得到实惠，每盆应降价15元． 28. 如图，直角△ACB，∠ACB=90°，∠A=60°，以AC为直径作⊙O,点G为AB的中点，连接CG交⊙O为E点； （1）求证：点E为CG的中点； （2）过E点作ED⊥AB，D为垂足，延长DE交CB于点F，求证：DE是⊙O的切线； （3）在（2）的条件下，若CF=2，求BC的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）12. 【解析】 【分析】（1）连接OE，利用直角三角形斜边上的中线性质得到AG=CG，则△ACG为等边三角形，再判断△OCE是等边三角形得到∠AGC=∠OEC=60°，所以OE∥AB，锐角利用O为AC中点得到E为CG的中点；（2）利用（1）中OE∥AG得到OE⊥ED，然后根据切线的判定定理得到结论；（3）作GM∥FD交BC于M，如图，先证明CM=2CF，MC=MG，再利用△MGB为30°角的直角三角形得到BM=2MG=2CM=4CF，然后利用BC=6CF进行计算即可． 【详解】证明：（1）连接OE，∵G为Rt△ABC斜边的中点. ∴AG=CG， 又∵∠A=60° ∴△ACG为等边三角形 ∴∠C=∠AGC=60°. 又∵CO=OE ∴△OCE是等边三角形. ∴∠AGC=∠OEC=60°. ∴OE∥AB ∵O为AC中点， ∴E为CG的中点. （2）由（1）, E为CG的中点,又∵O为AC中点， ∴OE∥AG ∵ED⊥AG， ∴OE⊥ED， ∴DE是⊙O的切线 （3）做GM∥FD， ∵E为CG的中点， ∴ ∴CF也是⊙O的切线. ∴, ∴MC=MG. ∵△MGB为30°角的直角三角形 ∴ ∴BC=6CF ∴BC=6×2=12. 【点睛】本题考查了切线的判定与性质和直角三角形斜边上的中线性质．正确运用性质定理是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$