云南省昭通市昭阳区 2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024年秋季学期学生综合素养阶段性练习 九年级数学（4）参考答案及评分标准 （满分 100分） 一、选择题（本大题共15小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 题号 答案 题号 答案 1 C 9 D 2 D 10 D 3 A 11 B 4 C 12 B 5 D 13 D 6 D 14 A 7 B 15 B 8 C 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. x ≤ 6 17. b（a + 1）（a - 1） 18. x = 1 19. 5 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20.（本题满分8分） （1）解：x2 + 4x + 1 = 0 ( x + 2) 2 = 3 ……2分 ∴x + 2 = ± 3 ∴x1 = -2 + 3，x2 = -2 − 3； ……4分 （2）解：x（2x - 1） = 2（2x - 1） x（2x - 1） - 2（2x - 1） = 0 ……5分 （2x - 1）（x - 2） = 0 ……6分 ∴2x − 1 = 0或 x − 2 = 0 ……7分 ∴x1 = 12，x2 = 2 ……8分 21.（本题满分5分） （1）解：如图，△A1 B1C1即为所求． ……2分 点A1的坐标为（-4，2）； ……3分 （2）解：由勾股定理得，OC = 32 + 42 = 5，……4分 ∴ C点旋转到C1点所经过的路径长为 90π × 5180 = 5 2 π． ……5分 y x 5 4 3 2 1 O-1 -2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 A B C C1 A1 B1 22.（本题满分7分） （1）解：可能出现的结果列表如下： -2 0 1 2 -2 （0，-2） （1，-2） （2，-2） 0 （-2，0） （1，0） （2，0） 1 （-2，1） （0，1） （2，1） 2 （-2，2） （0，2） （1，2） ∴共有12种结果； ……4分 （2）由（1）知摸出的两个小球上的数字之和为正数的可能一共有 6种，摸出的两个小球上的数字之和为 负数的可能一共有4种， ……5分 小明赢的概率为 612 = 1 2；而小亮赢的概率为 4 12 = 1 3， ……6分 ∵12 ≠ 1 3 ∴游戏不公平． ……7分 23.（本题满分6分） 解：设AB的长为 x米，则BC的长为( )40 − 2x 米， 根据题意得：x ( )40 − 2x = 150， ……3分 解得 x = 5或 x = 15， ……4分 当 x = 5时，40 − 2x = 30 > 15， ∴ AB的长为5米不合题意舍去； ……5分 当 x = 15时，40 − 2x = 10 < 15，符合题意． 答：AB的长为15米； ……6分 24.（本题满分8分） （1）解：由题意可得： y = 100 + 2(480 − x ) ……2分 = -2x + 1060， ……3分 ∴ y与 x的函数关系式为 y = -2x + 1060； ……4分 （2）解：由题意，得： w = ( x − 400) (-2x + 1060) ……6分 = -2x2 + 1860x − 424000 = -2( x − 465) 2 + 8450， ……7分 ∵ a = -2 < 0，抛物线开口向下， ∴当 x = 465时，w有最大值． 答：当销售单价为465元时，每月获得的利润最大． ……8分 第一次 第二次 25.（8分） （1）解：由题意列方程，得 1800 x + 300 = 1200 x ． ……2分 解得 x = 600． ……3分 检验：当 x = 600时，x ( )x + 300 ≠ 0． 所以，原分式方程的解为 x = 600． 答：x的值为600． ……4分 （2）解：设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元． 则w = 3600a + 2200 ( )22 − a = 1400a + 48400． ……6分 ∵ ( )600 + 300 a + 600 ( )22 − a ≥ 15000， ∴ a ≥ 6． ……7分 ∵1400 > 0， ∴ w随a的增大而增大． ∴当a = 6时，w取得最小值，最小值为56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元． ……8分 26.（本题满分8分） （1）证明：如图，连接OC. ∵AE ⊥ CD，CF ⊥ AB，CE = CF， ∴∠EAC = ∠CAB． ……1分 ∵OA = OC， ∴∠CAB = ∠ACO， ∴∠EAC = ∠ACO. ……2分 ∴OC ∥ AE． ∴OC ⊥ CD． ……3分 ∵OC是圆的半径 ∴DE是⊙O的切线． ……4分 （2）解：∵AB = 4， ∴OA = OC = OB = 2， ……5分 ∵∠CAB = 30°， ∴∠EAD = 60°， ∴∠D = 30° ……6分 ∴OD = 2OC = 4 ∴AD = 6 ……7分 在Rt△ADE中，∠D = 30°， ∴AE = 12 AD = 3． ……8分 27.（本题满分12分） （1）∵抛物线 y = ax2 − mx + 2m − 3经过点A（2，-4）， ∴ 4a − 2m + 2m − 3 = -4， ……2分 解得：a = - 14； ……3分 （2）抛物线与 x轴有公共点，理由如下： ……4分 由（1）知a = - 14， ∴抛物线解析式为 y = - 14 x2 − mx + 2m − 3， ∵抛物线与 y轴的公共点为（0，-1）， ∴ 2m − 3 = -1， 解得m = 1， ……5分 ∴ y = - 14 x2 − x − 1， ∴ △ = b2 − 4ac = (-1) 2 − 4 × (- 14 ) × (-1) = 1 − 1 = 0， ∴抛物线与 x轴只有一个公共点， ……6分 令 y = 0，则- 14 x2 − x − 1 = 0， 解得：x1 = x2 = -2， ∴公共点的坐标为（-2，0）； ……7分 （3）由（1）知，抛物线解析式为 y = - 14 x2 − mx + 2m − 3， ∴对称轴为直线 x = - -m 2 × (- 14 ) = -2m， ……8分 ①当-2m < -2，即m > 1时， ∵ a < 0，抛物线开口向下， ∴当-2 ≤ x ≤ 1时，y随 x的增大而减小， ∴当 x = -2时，M = ymax = - 14 × (-2) 2 − (-2)m + 2m − 3 = 4m − 4， 当 x = 1时，N = ymin = - 14 − m + 2m − 3 = m − 13 4 ， ∵ MN = 4 5， ∴ 4m − 4 m − 134 = 45， 解得：m = 716，不符合题意； ……9分 ②当-2 ≤ -2m ≤ 1即- 12 ≤ m ≤ 1时， 若直线 x = 1与直线 x = -2m接近时， 则当 x = -2m时 y取得最大值，即M = - 14 × (-2m ) 2 − m × (-2m ) + 2m − 3 = m2 + 2m − 3， 当 x = -2时，y取得最小值，即N = - 14 × (-2) 2 − (-2)m + 2m − 3 = 4m − 4， ∵ MN = 4 5， ∴ m2 + 2m − 34m − 4 = 4 5， 解得：m1 = 1，m2 = 15； 若m = 1时，则M = N = 0不符合题意，舍去， ……10分 若直线 x = -2与直线 x = -2m接近时， 则当 x = -2m时 y取得最大值，即M = - 14 × (-2m ) 2 − m × (-2m ) + 2m − 3 = m2 + 2m − 3， 当 x = 1时，y取得最小值，即N = - 14 − m + 2m − 3 = m − 13 4 ， ∵ MN = 4 5， ∴ m2 + 2m − 3 m − 134 = 45， 化简得：5m2 + 6m − 2 = 0， 解得：m1 = -3 + 195 ，m2 = -3 − 19 5 （不符合题意，舍去）； ……11分 ③当-2m > 1即m < - 12 时， ∵ a < 0，抛物线开口向下， ∴当-2 ≤ x ≤ 1时，y随 x的增大而增大， ∴当 x = -2时，N = - 14 × (-2) 2 − (-2)m + 2m − 3 = 4m − 4， 当 x = 1时，M = - 14 − m + 2m − 3 = m − 13 4 ， ∵ MN = 4 5， ∴ m − 13 44m − 4 = 4 5， 解得：m = - 144（不合题意，舍去） 综上所述，m的值为 15 或 -3 + 19 5 ． ……12分 九年级数学（4）试题卷·第 1 页（共 6 页） 秘密★考试结束前 2024年秋季学期学生综合素养阶段性练习 九年级数学（4） 试题卷 【命题范围：全册】 （全卷三个大题，共 27 个小题，共 6 页；满分 100 分，考试用时 120 分钟） 注意事项： 1. 本卷为试题卷。考生必须在答题卡上解题作答。答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题 卷、草稿纸上作答无效。 2. 考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题共 15 小题，每小题只有一个正确选项，每小题 2 分，共 30 分） 1. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是 21500000 米 . 将数字 21500000 用科学记数法表示为 A. 2.15 × 106 B. 0.215 × 108 C. 2.15 × 107 D. 21.5 × 106 2. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A B C D 3. 下列事件是必然事件的是 A. 早晨太阳会从东方升起 B. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 C. 明天气温会升高 D. 某射击运动员射击一次，命中靶心 4. 如图，直线AB∥CD，若 ∠1 = 55°，则 ∠2 为 A. 55° B. 115° C. 125° D. 130° 5. 将抛物线y = 2x2 向下平移 3 个单位长度，再向左平移 2 个单位长度，所得到的抛物线为 A. y = 2(x + 2)2 + 3 B. y = 2(x − 2)2 + 3 C. y = 2(x − 2)2 − 3 D. y = 2(x + 2)2 − 3 B DC A 1 2 九年级数学（4）试题卷·第 2 页（共 6 页） 6. 下列运算结果正确的是 A. a6 − a3 = a3 B. a6 ⋅ a3 = a18 C. a6 ÷ a3 = a2 D. ( )-a4 3 = -a12 7. 若一个多边形的每一个外角都是 60°，则这个多边形的边数是 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 方程x2 − 4x + 4 = 0 的根的情况是 A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 9. 抛物线y = ( )x − 3 2 + 5 的顶点坐标是 A. （-3，5） B. （5，3） C. （5，-3） D. （3，5） 10. 儿童游乐园的“欢乐海洋球池”内共有 50 万个形状、大小相同的各种颜色塑料小球 . 某同学为了 估计其中红球的个数，从中随机摸出一部分小球，统计出红球的频率为 0.1，据此可估计该球池 内红球大约有 个 A. 2 万个 B. 3 万个 C. 4 万个 D. 5 万个 11. 如图，四边形ABCD内接于 ⊙O，若 ∠A = 55°，则 ∠C的度数为 D C B A O A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° 12. 已知点（-6，y1）、（-3，y2）、（1，y3）都在函数y = -2x2 − 3 的图象上，则y1、y2、y3 的大小关系为 A. y1 > y2 > y3 B. y3 > y2 > y1 C. y2 > y3 > y1 D. y3 > y1 > y2 13. 如图，⊙O的半径OB为 2，OC ⊥ AB于点D，∠BAC = 30°，则OD的长是 A. 2 B. 3 C. 2 D. 1 D B O A C 九年级数学（4）试题卷·第 3 页（共 6 页） 14. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价 促销活动 . 某款燃油汽车今年 9 月份售价为 20.98 万元，11 月份售价为 16.98 万元，设该款汽车 这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是 A. 20.98 ( )1 − x 2 = 16.98 B. 16.98 ( )1 + x 2 = 20.98 C. 16.98 ( )1 − x 2 = 20.98 D. 20.98 ( )1 − 2x = 16.98 15. 直线 l过点（0，3）且与 y轴垂直，若二次函数 y = ( )x − a 2 + a（其中 x是自变量）的图像与直线 l 有两个不同的交点，且其对称轴在y轴右侧，则a的取值范围是 A. a > 3 B. 0 < a < 3 C. 0 < a ≤ 3 D. a > 0 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 2 分，共 8 分） 16. 代数式 6 − x有意义时，x应满足的条件是 . 17. 分解因式：a2b − b = . 18. 已知二次函数图像经过点（3，2）和（-1，2），那么该二次函数图象的对称轴是直线 . 19. 如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120°的扇形，若圆锥的母线长是 3 5，则圆锥的底面半 径 r = . 三、解答题（本大题共 8 小题，共 62 分） 20.（本题满分 8 分） 选择适当的方法解下列方程： （1） x2 + 4x + 1 = 0 （2） x（2x - 1） = 2（2x - 1） 九年级数学（4）试题卷·第 4 页（共 6 页） 21.（本题满分 5 分） 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）. y x 5 4 3 2 1 O-1 -2 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 A B C （1）请画出 △ABC绕点O逆时针旋转 90° 后的 △A1B1C1，并写出A1 的坐标； （2）求（1）中C点旋转到C1 点所经过的路径长（结果保留 π）. 22.（本题满分 7 分） 在一个不透明的袋中有大小、形状和质地等完全相同的小球，它们分别标有数字-2，0，1，2. 从 袋中任意摸出一小球（不放回），将袋中的小球搅匀后，再从袋中摸出另一小球 . （1）请你表示摸出小球上的数字可能出现的所有结果； （2）若规定：如果摸出的两个小球上的数字之和是正数，那么小明赢；如果摸出的两个小球上的 数字之和是负数，那么小亮赢 . 你认为这个游戏规则对小明、小亮双方公平吗？请说明理由 . 九年级数学（4）试题卷·第 5 页（共 6 页） 23.（本题满分 6 分） 某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣 和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地 . 一面利用学校的墙（墙的长度为 15m），用 40m长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地ABCD，供同学们进行劳动实践 . 若围成的菜地面 积为 150m2，求此时AB的长 . 24.（本题满分 8 分） 2023 年 9 月 17 日，中国“普洱景迈山古茶林文化景观”申遗成功，成为全球首个茶主题世界文化 遗产 . 景迈山古树茶成本为每饼 400 元，当售价为每饼 480 元时，每月可销售 100 饼 . 为庆祝申 遗成功，让更多的人了解景迈山古树茶，商家决定降价销售 . 据市场调查反映：销售单价每降 1 元，则每月多销售 2 饼 . 设每饼古树茶的售价为x元，每月的销售量为y饼 . （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）设每月获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每月获得的利润最大？ 25.（本题满分 8 分） 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地 . 现有甲、乙两个工程队参与 施工，具体信息如下： 信息一 工程队 甲 乙 每天施工面积（单位：m2） x + 300 x 每天施工费用（单位：元） 3600 2200 九年级数学（4）试题卷·第 6 页（共 6 页） 信息二 甲工程队施工 1800m2 所需天数与乙工程队施工 1200m2 所需天数相等 . （1）求x的值； （2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工 22 天， 且完成的施工面积不少于 15000m2. 该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？ 26.（本题满分 8 分） 如图，已知 ⊙O是 △ABC的外接圆，AB是 ⊙O的直径，D是 AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC 的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE = CF. （1）求证：DE是 ⊙O的切线； （2）若AB = 4，∠CAB = 30°，求AE的长 . 27.（本题满分 12 分） 已知抛物线y = ax2 − mx + 2m − 3 经过点A（2，-4）. （1）求a的值； （2）若抛物线与 y轴的公共点为（0，-1），抛物线与 x轴是否有公共点，若有，求出公共点的坐标； 若没有，请说明理由； （3）当 -2 ≤ x ≤ 1 时，设二次函数 y = ax2 − mx + 2m − 3 的最大值为M，最小值为N，若 MN = 4 5， 求m的值 . E C O F B DA