第44讲 条件概率与事件的独立性（4类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（北京专用）

第44讲 条件概率与事件的独立性 （4类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年北京卷，第18题，13分 独立事件的乘法公式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京卷较少单独考查 【备考策略】 1.理解随机事件的独立性和条件概率的关系； 2.会用公式或根据实际情况判断随机事件是否独立，利用事件的独立性来求一些事件的概率； 3.会利用全概率公式解决简单的实际问题． 【命题预测】2025年北京高考单独考查本节内容的概率不高，若是考查多出现在解答题中． 知识讲解 知识点1 事件的独立性 1、相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． 2、概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． 两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 知识点2 条件概率与全概率公式 1、条件概率 （1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． （2）条件概率的性质 ①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． ③如果与互斥，则． 2、全概率公式 （1）全概率公式：； （2）若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 考点一、事件独立性的判断 【典例1】（24-25高二上·北京·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【典例2】已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（    ） A．事件和相互独立 B．事件和相互独立 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 1．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 2．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 考点二、独立事件的概率计算 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高三上·北京西城·开学考试）在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是（    ） A．0.56 B．0.24 C．0.94 D．0.84 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为（    ） A． B． C． D． 考点三、条件概率的计算 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·天津河北·期中）甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为 . 2．（23-24高三上·上海宝山·阶段练习）已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是 . 考点四、全概率公式的应用 【典例1】（23-24高三上·北京·开学考试）某届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为 . 【典例2】（22-23高三下·北京门头沟·一模）同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率 . 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ． 2．（22-23高三下·北京通州·三模）有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为 . 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（    ） A．0.38 B．0.24 C．0.14 D．0.5 2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 3．（22-23高三下·北京西城·模拟预测）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高三下·北京西城·三模）银行储蓄卡的密码由位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后位数字，但记得密码的最后位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第次按对的概率是 ． 5．（23-24高三下·北京怀柔·零模）甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 . 1．（24-25高三上·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为 （填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 ． 3．（24-25高三上·北京·开学考试）某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； (2)从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 4．（22-23高三下·北京丰台·三模）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”. 方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”； 方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”. 当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度. (1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率 (2)若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望； (3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 5．（24-25高三上·北京·开学考试）某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 3 20 2 10 1 15 0 15 用频率估计概率. (1)从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； (2)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； (3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）. 1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 2．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 3．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 4．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 5．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不s变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第44讲 条件概率与事件的独立性 （4类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 2023年北京卷，第18题，13分 独立事件的乘法公式 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容在北京卷较少单独考查 【备考策略】 1.理解随机事件的独立性和条件概率的关系； 2.会用公式或根据实际情况判断随机事件是否独立，利用事件的独立性来求一些事件的概率； 3.会利用全概率公式解决简单的实际问题． 【命题预测】2025年北京高考单独考查本节内容的概率不高，若是考查多出现在解答题中． 知识讲解 知识点1 事件的独立性 1、相互独立事件的概念 对于两个事件，，如果，则意味着事件的发生不影响事件发生的概率．设，根据条件概率的计算公式，，从而． 由此可得：设，为两个事件，若，则称事件与事件相互独立． 2、概率的乘法公式：由条件概率的定义，对于任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式． 3、相互独立事件的性质：如果事件，互相独立，那么与，与，与也都相互独立． 两个事件的相互独立性的推广：两个事件的相互独立性可以推广到个事件的相互独立性，即若事件，，…，相互独立，则这个事件同时发生的概率． 知识点2 条件概率与全概率公式 1、条件概率 （1）条件概率的定义：一般地，设，为两个事件，且，称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率． （2）条件概率的性质 ①条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在和1之间，即． ②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为． ③如果与互斥，则． 2、全概率公式 （1）全概率公式：； （2）若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 考点一、事件独立性的判断 【典例1】（24-25高二上·北京·期中）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【解析】 . .故选：B 【典例2】已知甲、乙两个班级的女生人数占本班人数的比例分别为和，现从每个班各选一名同学，记事件“从甲班选择的是女生”，事件“两名同学中至少有一名是男生”，事件“从两个班选到的学生性别不同”，则（    ） A．事件和相互独立 B．事件和相互独立 C．事件和相互独立 D．事件和相互独立 【答案】C 【解析】由题意可得，，， ，， ，， 因为，则事件和不相互独立，A错误； 因为，则事件和不相互独立，B错误； 因为，则事件和相互独立，C正确； 因为，则事件和不相互独立，D错误．故选：C. 1．（24-25高三上·内蒙古锡林郭勒盟·期中）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），表示事件“Ⅰ号骰子出现的数字是2”，表示事件“Ⅱ号骰子出现的数字是3”，表示事件“两个点数之和是8”，表示事件“两个点数之和是9”，则（    ） A．与相互独立 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】C 【解析】依题意，，，，， 对于A，，，和互相不独立，A错误； 对于B，，，和互相不独立，B错误； 对于C，，，和互相独立，C正确； 对于D，，，和互相不独立，D错误； 故选：C 2．（24-25高三上·上海·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （    ） A．是相互独立事件，不是互斥事件 B．是互斥事件，不是相互独立事件 C．既是相互独立事件又是互斥事件 D．既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】A 【解析】因为，，所以， 所以，， 所以， 所以事件与事件是相互独立事件，不是互斥事件.故选：A. 考点二、独立事件的概率计算 【典例1】（23-24高三下·湖北武汉·模拟预测）如图，一个电路中有三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为，这个电路是通路的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】元件都不正常的概率， 则元件至少有一个正常工作的概率为， 而电路是通路，即元件正常工作，元件至少有一个正常工作同时发生， 所以这个电路是通路的概率.故选：B 【典例2】（24-25高三上·北京西城·开学考试）在一段时间内，甲去博物馆的概率为0.8，乙去博物馆的概率为0.7，且甲乙两人各自行动．则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去博物馆的概率是（    ） A．0.56 B．0.24 C．0.94 D．0.84 【答案】C 【解析】甲乙两人至少有一个去博物馆的对立事件为甲乙两人都不去博物馆， 设甲去博物馆为事件,乙去博物馆为事件， 则甲乙两人都不去博物馆的概率, 因此甲乙两人至少有一个去博物馆的概率,故选：C. 1．（24-25高三上·北京·阶段练习）小王同学进行投篮练习，若他第1球投进，则第2球投进的概率为；若他第1球投不进，则第2球投进的概率为.若他第1球投进概率为，他第2球投进的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】第2球投进的事件M是第一球投进，第2球投进的事件M1与第一球没投进， 第2球投进的事件M2的和，M1与M2互斥， ，，则， 所以第2球投进的概率为.故选：A 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，，则谜题没被破解出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设“甲独立地破解出谜题”为事件，“乙独立地破解出谜题”为事件， ， 故，， 所以， 即谜题没被破解的概率为．故选：C． 考点三、条件概率的计算 【典例1】（24-25高三上·北京·阶段练习）高二某班共有名学生，其中女生有名，“三好学生”人数是全班人数的，且“三好学生”中女生占一半，现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下，选上的学生是“三好学生”的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】“三好学生”人数是全班人数的， “三好学生”人数是人，男生人数为人， “三好学生”中女生占一半，女“三好学生”与男“三好学生”各是人． 现从该班学生中任选1人参加座谈会，则在已知没有选上女生的条件下， 选上的学生是“三好学生”的概率，故选：D． 【典例2】（23-24高三下·北京石景山·一模）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】.故选：C. 1．（23-24高三上·天津河北·期中）甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为 . 【答案】 【解析】，， 所以. 2．（23-24高三上·上海宝山·阶段练习）已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是 . 【答案】/ 【解析】记事件为活到60岁，事件为活到65岁， 则，所以. 考点四、全概率公式的应用 【典例1】（23-24高三上·北京·开学考试）某届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8.运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为 . 【答案】/ 【解析】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”， “第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥， 根据题意得：，，， 则. 故答案为：. 【典例2】（22-23高三下·北京门头沟·一模）同一种产品由甲､乙､丙三个厂商供应.由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95､0.90､0.80，甲､乙､丙三家产品数占比例为，将三家产品混合在一起.从中任取一件，求此产品为正品的概率 . 【答案】0.86 【解析】由全概率公式，得所求概率. 故答案为：. 1．（24-25高三上·北京·开学考试）已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球．若从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是 ；若从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是 ． 【答案】/； 【解析】根据题意，从这个8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是； 设“取出甲盒”为事件，“取出乙盒”为事件，“取到的球是白球”为事件， 则. 所以从甲、乙两盒中任取一盒，然后从所取到的盒中任取一球，则取到的球是白球的概率是. 故答案为：；. 2．（22-23高三下·北京通州·三模）有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1，2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为 . 【答案】0.046 【解析】记“任取一件零件是次品”为事件.记为“第台车床加工的零件”， 根据全概率公式. 1．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛（甲、乙各投篮一次），甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为（    ） A．0.38 B．0.24 C．0.14 D．0.5 【答案】A 【解析】甲、乙两人恰好有一人投中的概率为，故选：A 2．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）一个袋中装有大小相同的3个白球和2个红球，现在不放回的取2次球，每次取出一个球，记“第1次拿出的是白球”为事件，“第2次拿出的是白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知条件得 由条件概率公式可得.故选：D. 3．（22-23高三下·北京西城·模拟预测）现从3名男同学和2名女同学中选取两人加入“数学兴趣小组”，用A表示事件“抽到两名同学性别相同”，表示事件“抽到两名女同学”，则在已知A事件发生的情况下事件发生的概率即（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得A表示事件“抽到两名同学性别相同”，则, 表示事件“抽到两名女同学”，则, 故,故选：A 4．（22-23高三下·北京西城·三模）银行储蓄卡的密码由位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后位数字，但记得密码的最后位是偶数，则在第一次没有按对的条件下第次按对的概率是 ． 【答案】/ 【解析】记事件：第一次没有按对密码；事件：第二次按对密码； ，，. 故答案为：. 5．（23-24高三下·北京怀柔·零模）甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 . 【答案】 【解析】因为， 所以, 故答案为： 1．（24-25高三上·北京朝阳·模拟预测）现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为 ，故选：A. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为 （填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 ． 【答案】； 【解析】根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为： ； 设事件“失踪的飞机后来被找到”， 事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，则， ，，， 安装有紧急定位传送器的飞机失踪， 它被找到的概率为： ， 故答案为：；． 3．（24-25高三上·北京·开学考试）某中学组织全体学生开展了丰富多彩的体育实践活动.为了解该校学生参与活动的情况，随机抽取100名学生作为样本，统计他们参加体育实践活动时间（单位：分钟），得到下表： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 10 高中 4 13 12 7 5 4 (1)从该校随机抽取1名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育实践活动时间在的概率； (2)从该校参加体育实践活动时间在学生中随机抽取2人，在的学生中随机抽取1人，求其中至少有1名初中学生的概率； (3)假设同组中每个数据用该组区间中点值代替，样本中的100名学生参加体育实践活动时间的平均数记为，初中､高中学生参加体育实践活动时间的平均数分别记为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)；(3). 【解析】（1）女生共有人， 记事件A为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”， 事件B为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”， 依题意，，则， 所以从该校随机抽取1名学生，已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在的概率约为. （2）时间在的学生有人，活动时间在的初中学生有人， 记事件C为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取2人，抽到初中学生”， 事件D为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取1人，抽到初中学生”， 依题意，事件C，D相互独立，且， 所以至少有1名初中学生的概率； （3）根据男女生人数先补全初中学生各区间人数： 时间人数类别 性别 男 5 12 13 8 9 8 女 6 9 10 10 6 4 学段 初中 7 8 11 11 10 8 高中 4 13 12 7 5 4 初中生的总运动时间， 高中生的总运动时间， 又，，， 显然，所以. 4．（22-23高三下·北京丰台·三模）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查： 一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式一回答问卷，否则按方式二回答问卷”. 方式一：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”； 方式二：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”. 当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度. (1)求每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率 (2)若该企业某部门有9名员工，用表示其中按方式一回答问卷的人数，求的数学期望； (3)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）每次摸到白球的概率，摸到黑球的概率为， 每名员工两次摸到的球的颜色不同的概率. （2）由题意可得：该部门9名员工中按方式一回答问卷的人数， 所以的数学期望． （3）记事件为“按方式一回答问卷”，事件为“按方式二回答问卷”，事件为“在问卷中画○”． 由（1）知，，． ∵， 由全概率公式，则，解得， 故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为． 5．（24-25高三上·北京·开学考试）某学校为提升学生的科学素养，所有学生在学年中完成规定的科普学习任务，并通过科普测试获得相应科普过程性积分.现从该校随机抽取60名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表： 科普测试成绩x 科普过程性积分 人数 3 20 2 10 1 15 0 15 用频率估计概率. (1)从该校全体学生中随机抽取一名学生，估计这名学生科普过程性积分不低于2分的概率； (2)从该校全体学生中随机抽取三名学生，估计这三名学生的科普过程性积分之和恰好为6分的概率； (3)从该校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取两名学生，记这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不超过1的概率估计值记为，这两名学生科普过程性积分之差的绝对值不低于1的概率估计值记为，试判断和的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由图表可知从样本空间中随机抽取一名学生， 科普过程性积分不低于2分的人数的频率为， 所以估计全校学生中随机抽取一人，该生科普过程性积分不低于2分的概率为； （2）随机抽取三人，得分为6分的可能有： 情况1：1人0分，2人3分； 情况2：1人1分，1人2分，1人3分； 情况3：3人都是2分， 结合图表知得0分，1分，2分，3分的概率分别为 ， 所以随机抽取3人得6分的概率为 ； （3）根据题意从样本中科普过程性积分不低于1分的学生中抽取1人， 得1分、2分、3分的频率依次为， 所以从全校科普过程性积分不低于1分的学生中随机抽取1名学生其积分， 为1分、2分、3分的概率估计依次为， 则任意取2名同学，其积分之差的绝对值不超过1的可能有： {1分，1分}；{1分，2分}；{2分，2分}；{2分，3分}；{3分，3分}五种可能， 即， 任意取2名同学，其积分之差的绝对值不低于1的可能有： {1分，2分}；{1分，3分}；{2分，3分}三种可能， 即， 显然. 1．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ） A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 【答案】A 【解析】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以.故选:. 2．（2024·上海·高考真题）有四种礼盒，前三种里面分别仅装有中国结、记事本、笔袋，第四个礼盒里面三种礼品都有，现从中任选一个盒子，设事件：所选盒中有中国结，事件：所选盒中有记事本，事件：所选盒中有笔袋，则（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件与事件互斥 D．事件与事件相互独立 【答案】B 【解析】选项A，事件和事件可以同时发生，即第四个礼盒中可以既有中国结， 又有记事本，事件与事件不互斥，A错误； 选项B，，，，，B正确； 选项C，事件与事件可以同时发生， 即第四个礼盒中可以既有中国结，又有记事本或笔袋，C错误； 选项D，，，， ， 与不独立，故D错误．故选：B． 3．（2022·天津·高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为 【答案】 【解析】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C, 则. 故答案为：；. 4．（2023·天津·高考真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为 ；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为 ． 【答案】 / 【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 5．（2023·北京·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同． 时段 价格变化 第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 用频率估计概率． (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率； (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率； (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2)；(3)不变 【解析】（1）根据表格数据可以看出，天里，有个，也就是有天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为： （2）在这天里，有天上涨，天下跌，天不变， 也就是上涨，下跌，不变的概率分别是，，， 于是未来任取天，天上涨，天下跌，天不变的概率是 （3）由于第天处于上涨状态，从前次的次上涨进行分析， 上涨后下一次仍上涨的有次，不变的有次，下跌的有次， 因此估计第次不变的概率最大. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$