专题02 承上启下篇-勾股定理(三类知识点+八大题型)-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

专题02 承上启下篇-勾股定理 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 用勾股定理或其逆定理解三角形】 【题型2 折叠问题】 【题型3 勾股定理与全等三角形】 【题型4 网格问题】 【题型5 勾股定理的实际应用】 【题型6 勾股定理的证明及其在平面直角坐标系的应用】 【题型7 勾股定理选择、填空题综合】 【题型8 勾股定理、全等三角形综合难点分析】 知识点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 知识点三、勾股定理与全等三角形 题型归纳 【题型1 用勾股定理或其逆定理解三角形】 1．如图，在中， (1)，，求的长； (2)，，求的长． 2．如图，在直角三角形中，，于点，已知，． (1)求斜边的长； (2)求的长． 3．如图，在四边形中，，且，求的长． 4．如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【题型2 折叠问题】 5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 6．如图，将长方形纸片沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，，求的长． 7．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【题型3 勾股定理与全等三角形】 8．在中，，D是边上一点，于点F，． (1)求证：． (2)当，求的长． 9．如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 10．如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接． (1)求证：； (2)若平分交于．求的值． 11．如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角． (1)求证：； (2)求的长． 12．如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．如图，在和中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 14．如图，在中，，，点是内部的一点，连接，作，，垂足分别为点，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 15．如图，在中，，，，为中点，点，分别在直线，上，，连接．     (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点不与点重合时，求证：； (3)若，求线段的长． 【题型4 网格问题】 16．已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边，，的长分别为，，． (1)在网格中画出． (2)求边上的高． 17．在中， 、、三边的长分别为 、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．    (1)的面积为： ． (2)若三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的 18．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点． (1)在图①中画一个面积为5的正方形； (2)在图②中画一个直角三角形，使它的两边长是无理数，另一边长是有理数； (3)在图③中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数； (4)在图④中画一个三角形，使它的三边长分别是，，． 19．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 【题型5 勾股定理的实际应用】 20．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米（米）．将它往前推进一些（于点E，且米），踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米（米），求秋千绳（或）的长度． 21．一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 22．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 23．某游乐场部分平面图如图所示，点在同一直线上，点在同一直线上，，测得． (1)求入口到大摆锤的距离； (2)现要在距离大摆锤的处修建游乐项目旋转木马（即），点在同一直线上，且使旋转木马到过山车的距离最近．求过山车到旋转木马的距离． 24．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 25．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 【题型6 勾股定理的证明及其在平面直角坐标系的应用】 26．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：； (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度． 27．在一节数学探究课上老师提供了若干张直角边分别为、的直角三角形纸板，如图所示．经过同学们探究后得出如下结论：选用若下张这样的纸片可以互不重叠的拼成一个大正方形，并且内部留下一个“空隙”是一个较小的正方形，图是同学们的一种拼法． (1)若图中大正方形的面积是“空隙”小正方形面积的倍，求的值； (2)请你选择若干张纸片拼出一个符合探究结论的图形（与图不同），画出示意图并直接用含的代数式表示大正方形、小正方形的面积． 28．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 29．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和． (1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离． 【题型7 勾股定理选择、填空题综合】 30．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13 31．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ． 32．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（    ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17 33．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为 ． 34．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为    A．米 B．米 C．2米 D．米 35．如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（    ） A． B． C． D． 36．在中，，，则 ． 37．已知三角形三边长为正整数，则此三角形是 三角形． 38．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 39．如图，在中，平分，平分，且交于，若，则的值为　　 A．36 B．9 C．6 D．18 【题型8 勾股定理、全等三角形综合难点分析】 40．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 41．在中，，，点是直线AB上一点，作于点，于点． (1)如图1，点在线段AB上，BH交AC于点，若为MB的中点，，则______； (2)如图2，取AC中点，连接DH． ①若点在线段AB上，求证： ②若点在直线AB上，，，求AB的长． 42．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 43．已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 过关检测 一、单选题 1．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．12，15，9 D．，， 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．不确定哪个角是直角 二、填空题 3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB= ． 4．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走 cm．（杯子厚度忽略不计） 三、解答题 5．在中，，若，．求a，b的长． 6．如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.    7．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长． 8．如图①已知和中，，，，按照图①的位置摆放，直角顶点重合． （1）写出与的关系； （2）如图②，点、、在同一直线上时，若，，求长为________． （3）如图③，若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 承上启下篇-勾股定理 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 用勾股定理或其逆定理解三角形】 【题型2 折叠问题】 【题型3 勾股定理与全等三角形】 【题型4 网格问题】 【题型5 勾股定理的实际应用】 【题型6 勾股定理的证明及其在平面直角坐标系的应用】 【题型7 勾股定理选择、填空题综合】 【题型8 勾股定理、全等三角形综合难点分析】 知识点一、勾股定理 1.勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：） 知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 　如果三角形的三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 知识点三、勾股定理与全等三角形 题型归纳 【题型1 用勾股定理或其逆定理解三角形】 1．如图，在中， (1)，，求的长； (2)，，求的长． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么 （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理计算即可． 【解析】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， 的长为13； （2）在中，，，， 由勾股定理得：， 的长为 2．如图，在直角三角形中，，于点，已知，． (1)求斜边的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可． （2）根据，即可求解． 【解析】（1）解：在直角三角形中，，，， ； （2）， ， 即， ． 3．如图，在四边形中，，且，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，连接，求出即可求解； 【解析】解：连接，如图所示： ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得： 4．如图，已知是边上的中线，若，，，求的面积． 【答案】12 【分析】本题考查了关于三角形面积计算的题，由是边上的中线可得到，结合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，过点A作，垂足为E，在中求出的长，即得高，即可求出面积． 【解析】解：是边上的中线 是直角三角形且 过A作，垂足为E， 如图：， 【题型2 折叠问题】 5．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，将折叠，使点B与点A重合，折痕为． (1)求的周长． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由翻折易得，则的周长； （2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得长． 本题考查了折叠性质以及勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【解析】（1）解：∵将折叠，使点B与点A重合，折痕为， ∴， 则的周长； （2）解：由题意得； 设，则， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得； 即． 6．如图，将长方形纸片沿折叠，使点恰好落在边上点处，若，，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理．根据折叠的性质及勾股定理求解． 【解析】解：由翻折可得，， 四边形为长方形， ，，， 在中，由勾股定理得， ， 设，则， 在 中，由勾股定理得， 即， 解得， 即． 7．在中，，，，D，E分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点B的对应点是． (1)如图1，如果点和顶点A重合，求的长． (2)如图2，如果点落在的中点上，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查折叠问题以及勾股定理，熟练掌握折叠的基本性质是解题关键； （1）设，则，在中，利用勾股定理列出方程解方程即可； （2）根据中点性质，先得到，在中，再利用勾股定理列出方程解方程即可． 【解析】（1）解：设，则． 由折叠可得：． 在中， 由， 得：， 解得：， 即的长为． （2）∵点落在的中点上， ． 设，则． 在中， 由， 得， 解得：， 即的长为． 【题型3 勾股定理与全等三角形】 8．在中，，D是边上一点，于点F，． (1)求证：． (2)当，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）先证明，推出，再利用可证明； （2）由，推出，再在中，利用勾股定理即可求解. 【解析】（1）证明：∵ ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， 在 中， 9．如图，，，E是上的一点，且，． (1)求证：． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键． （1）由“”可证，根据全等三角形的性质得到； （2）根据全等三角形的性质得到，由余角的性质可得，由勾股定理可求的长根据三角形的面积公式可求解． 【解析】（1）证明：，， ， 在与中， ， ， ； （2）解：由（1）可知， ∴， ， ， 为等腰直角三角形； 又，， ， ， 的面积． 10．如图，在中，，点D是上一动点，连接，过点A作，并且始终保持，连接． (1)求证：； (2)若平分交于．求的值． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理．掌握三角形全等的判定和性质是解题关键，解（2）时正确作出辅助线构造全等三角形是关键． （1）根据题意可证，结合，，即可证； （2）连接，由全等三角形的性质可得出，，即可求出，再根据勾股定理可求出．又易证，即得出． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴，即． 又∵，， ∴； （2）解：如图，连接． ∵， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． ∵平分， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．如图，中，，，，分别以、为直角边向外作等腰直角和等腰直角． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理应用，正确得出是解题关键． （1）根据全等三角形的判定方法得出，进而利用全等三角形的性质解答即可； （2）利用全等三角形的性质结合勾股定理解答即可． 【解析】（1）证明：， ， 在和中 ， ， ； （2）解：， ， 是等腰直角三角形， ， ， 是直角三角形， ，， ， ， ． 12．如图，在等腰直角中，，，为边上一点，连接，且，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)的长为． 【分析】（）由，得，然后通过“”证明即可； （）连接，由勾股定理得，由（）得，，，则，由勾股定理得，则，故，最后由勾股定理即可求解； 本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵，， ∴， 由（）得：， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的长为． 13．如图，在和中，，，点A，C，D依次在同一直线上，且． (1)求证：； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理， （1）根据，可得，进而根据证明即可； （2）根据全等的性质可得，，在中，根据勾股定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵点A，C，D依次在同一直线上，且． ∴ 又∵，， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 在中，根据勾股定理可得． 14．如图，在中，，，点是内部的一点，连接，作，，垂足分别为点，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)30 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由垂直的定义得到，利用三角形内角和定理证明，则可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，则，再根据勾股定理求出，然后利用三角形周长公式计算即可． 【解析】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴的周长． 15．如图，在中，，，，为中点，点，分别在直线，上，，连接．     (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)如图2，当点不与点重合时，求证：； (3)若，求线段的长． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)或． 【分析】（1）由垂直平分线性质定理得，然后在中，由勾股定理即可求出的长； （2）延长至点，使，连接，先证得，，再证明，然后由勾股定理得证； （3）分两种情况讨论：①当E在线段上时，如图所示；②当点E在延长线上时，如图所示；然后由（2）中结论求解即可． 【解析】（1）解：如图1，为中点，， ， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得，； 故的长为； （2）解：延长至点，使，连接，如图2所示， ，为中点， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 即， 在中，， ； （3）解：①当E在线段上时，如图所示， 由（2）中结论，当时，， 设，则， ， ， ； ②当点E在延长线上时，如图所示， 同①理，可得， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】此题直角三角形的综合题，主要考查了勾股定理，直角三角形的性质、垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关性质并添加合适的辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 【题型4 网格问题】 16．已知在正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，格点（即的三个顶点都在小正方形的顶点处）的三条边，，的长分别为，，． (1)在网格中画出． (2)求边上的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理和网格中三角形面积的计算，熟练掌握割补法求三角形的面积是解题的关键． （1）利用勾股定理得出格点A、B、C，再画出即可； （2）作出边上的高，先利用割补法求出，再根据，得，求解即可． 【解析】（1）解：如图所示，即为所求； ∵，，． ∴即为所求． （2）解：作边上的高，如图， ∵， 又∵， ∴， ∴，即边上的高为． 17．在中， 、、三边的长分别为 、、，求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法．    (1)的面积为： ． (2)若三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查作图−应用与设计、勾股定理； （1）利用构图法求解即可； （2）利用勾股定理和构图法作图即可． 【解析】（1）解：由图可得，， 故答案为：． （2）解：如图，即为所求；    18．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，以下画图要求所画图形的顶点都在格点． (1)在图①中画一个面积为5的正方形； (2)在图②中画一个直角三角形，使它的两边长是无理数，另一边长是有理数； (3)在图③中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数； (4)在图④中画一个三角形，使它的三边长分别是，，． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】对于（1），根据作以为边长的正方形； 对于（2），根据作一个边长为，，2的直角三角形； 对于（3），作一个边长为，，的等腰三角形； 对于（4），根据画出一边，再根据画出第二边，最后根据画出第三边． 【解析】（1）如图所示． （2）如图所示． （3）如图所示． （4）如图所示． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正方形的判定，等腰三角形的判定，直角三角形的判定等，理解图形的特点是解题的关键． 19．如图，每个小正方形的边长都为1． (1)四边形的面积________； (2)四边形的周长________； (3)与有什么关系？请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)相等，且垂直 【分析】（1）根据正方形的面积减去三个直角三角形的面积计算即可； （2）根据勾股定理计算即可； （3）先根据勾股定理的逆定理确定是直角三角形，可得答案． 【解析】（1）四边形的面积； 故答案为：12； （2）四边形的周长为 ； 故答案为：； （3）相等，且垂直． 理由：如图所示，连接． 根据勾股定理，得， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 所以，且． 【点睛】本题主要考查了勾股定理在网格中的应用，勾股定理逆定理，求不规则图形的面积等，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和或差是解题的关键． 【题型5 勾股定理的实际应用】 20．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词，翻译为：如图秋千细索悬挂于O点，静止时竖直下垂，A点为踏板位置，踏板离地高度为1米（米）．将它往前推进一些（于点E，且米），踏板升高到点B位置，此时踏板离地2米（米），求秋千绳（或）的长度． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设米，在中利用勾股定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 【解析】解：设米， 米， 米， 米， 根据勾股定理可得， ， 解得． 的长度为米． 21．一架云梯长，按如图所示的方式斜靠在一面墙上，云梯底端离墙的距离为． (1)求此架云梯的顶端到地面的距离； (2)如果云梯的顶端A下滑了到达E处，求它的底部B在水平方向移动的距离的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用， 掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可． （2）如果云梯的顶端A下滑了到达E处，则，再利用勾股定理求出，再根据求解即可． 【解析】（1）解：， 则此架云梯的顶端到地面的距离为. （2）解：如果云梯的顶端A下滑了到达E处， 则， 则， ∴ 22．在“欢乐周末·非遗市集”活动现场，诸多非遗项目集中亮相，让过往游客市民看花了眼、“迷”住了心．小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了解决一些问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为15m；根据手中余线长度，计算出的长度为17m；牵线放风筝的手到地面的距离为1.5m．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩9m的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升12m，请问能否成功？请运用数学知识说明． 【答案】(1)9.5m (2)不能成功． 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解； （2）假设能上升12m，作图，根据勾股定理可得，再根据题意，即可求解． 【解析】（1）解：如图1所示，过点作于点， 则，，， 在中， ， ． （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升12m，如图所示，延长至点，连接， 则， ． 在中， ． ，余线仅剩7m， ∴， ∴不能上升12m，即不能成功． 23．某游乐场部分平面图如图所示，点在同一直线上，点在同一直线上，，测得． (1)求入口到大摆锤的距离； (2)现要在距离大摆锤的处修建游乐项目旋转木马（即），点在同一直线上，且使旋转木马到过山车的距离最近．求过山车到旋转木马的距离． 【答案】(1)入口到大摆锤的距离为． (2)过山车到旋转木马的距离为． 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理，即可求解的值． （2）根据垂线段最短，可得，再根据勾股定理，即可求解的值． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：入口到大摆锤的距离为． （2）解：∵使旋转木马到过山车的距离最近， ∴， ∵，， ∴， 答：过山车到旋转木马的距离为． 24．现有一艘快艇即将靠岸，当快艇到达点的位置后，关闭发动机，在离水面高度为的岸上，工作人员用绳子牵引靠岸，开始时绳子的长为．（假设绳子一直处于绷直状态，结果保留根号） (1)若工作人员以的速度收绳，后快艇移动到点D的位置，问此时快艇距离岸边还有多少？ (2)若快艇关闭发动机后，保持的速度匀速靠岸，后快艇由点移动到点的位置，工作人员手中的绳子被收上来多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据勾股定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可进行求解． 【解析】（1）解：因为工作人员以的速度收绳，后船移动到点的位置， 所以， 在中，， 所以快艇距离岸边还有； （2）解：因为在中，， 所以， 所以， ， 所以绳子被收上来． 25．葛藤是一种“刁钻”的植物，它自己腰杆不硬，为争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路径总是沿最短路线螺旋上升.难道植物也懂数学？ (1)想一想怎样找出最短路径； (2)如图，若树干周长为，葛藤绕一圈升高，则它爬行一周的路程是多少米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （）由勾股定理即可求解； 本题考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）解：如图， 以为切口把树干侧面展开为矩形，则对角线的长为最短路径； （2）解：根据题意，得，， ∴ 答：它爬行一周的路程是． 【题型6 勾股定理的证明及其在平面直角坐标系的应用】 26．用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理：； (2)如图2，在中，，是边上的高，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理的证明以及应用； （1）用不同方法表示出外面大正方形的面积，再根据面积相等列出等式，整理即可证明出结论； （2）先根据勾股定理先求出，再根据等面积法即可求出的长度． 【解析】（1）解：∵外面大正方形的面积， 外面大正方形的面积里面小正方形的面积个直角三角形的面积， ， 整理，得； （2）在中，，，， 由勾股定理，得， 是边上的高， ， ． 27．在一节数学探究课上老师提供了若干张直角边分别为、的直角三角形纸板，如图所示．经过同学们探究后得出如下结论：选用若下张这样的纸片可以互不重叠的拼成一个大正方形，并且内部留下一个“空隙”是一个较小的正方形，图是同学们的一种拼法． (1)若图中大正方形的面积是“空隙”小正方形面积的倍，求的值； (2)请你选择若干张纸片拼出一个符合探究结论的图形（与图不同），画出示意图并直接用含的代数式表示大正方形、小正方形的面积． 【答案】(1)； (2)画图见解析；大正方形面积为，“空隙”小正方形面积． 【分析】（）根据题意列出代数式，再由大正方形的面积是“空隙”小正方形面积的倍，得出，然后求解即可； （）根据题意画出图形，再根据图形求出面积即可； 本题主要考查了完全平方公式，勾股定理的几何背景等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】（1）解：由图可知，大正方形的面积为，“空隙”小正方形面积， ∵大正方形的面积是“空隙”小正方形面积的倍， ∴， 解得：，， ∵， ∴； （2）解：如图， ∴大正方形面积为，“空隙”小正方形面积． 28．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）． (1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积． 方法1：______； 方法2：______； 根据以上信息，可以得到等式：______； (2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理； (3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)27 【分析】本题考查了勾股定理的证明与运用，灵活掌握等面积法在证明勾股定理中的作用是解题的关键． （1）方法1：求得小正方形的边长为，方法2：大正方形的面积减4个直角三角形的面积，据此计算即可； （2），列式计算即可证明； （3）先用勾股定理计算出c，再利用计算面积即可． 【解析】（1）解：方法1：； 方法2：； ∵，即， 故； 根据以上信息，可以得到等式：； 故答案为：；；； （2）解：∵， 即， 整理得， 故； （3）解：如图，， ∵，， ∴， 则， ∴， 故阴影部分的面积为27． 29．阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点，，则该两点间距离公式为，同时，当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于x轴、平行于y轴时，两点间的距离公式可分别化简成和． (1)若已知两点，，试求A，B两点间的距离； (2)已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为7，点N的纵坐标为，试求M，N两点间的距离． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查两点间的距离，解题的关键是巧妙的运用两点间的距离公式求出任意两点间的距离． （1）根据两点间的距离公式进行计算即可； （2）根据点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为，可以利用垂直于轴的距离公式进行计算即可． 【解析】（1）解：点，， ， 即，两点间的距离是； （2）解：点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为7，点的纵坐标为， ， 即，两点间的距离是9． 【题型7 勾股定理选择、填空题综合】 30．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．4，6，8 C．，， D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．根据勾股数是满足较小的两个数的平方之和等于最大的数的平方的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【解析】解：A、，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，，不是正整数，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D． 31．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为 ． 【答案】5或 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【解析】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 32．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（    ） A．3，4，5 B．6，8，10 C．5，12，13 D．7，15，17 【答案】D 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【解析】解：A、∵32+42=52，∴能够成直角三角形，故本选项错误； B、∵62+82=102，∴能够成直角三角形，故本选项错误； C、∵52+122=132，∴能够成直角三角形，故本选项错误； D、∵72+152≠172，∴不能够成直角三角形，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．理解判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理是解题的关键． 33．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为 ． 【答案】1. 【分析】设AC=a，BC=b，根据题意列出关于a、b的方程组，然后解方程得到ab的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 【解析】设AC=a，BC=b， 由题意得， ∴， ∴（a+b）2=a2+b2+2ab=12+2ab=16， ∴ab=2， 则Rt△ABC的面积为ab=1. 故答案为1. 【点睛】本题主要考查勾股定理，解此题的关键在于利用勾股定理列出方程组，然后求得ab的值. 34．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为    A．米 B．米 C．2米 D．米 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出梯子的长，进而根据勾股定理可得出小巷的宽度. 【解析】 由题意可得：， 在中， ，米，， ， ， ， ， 小巷的宽度为（米）. 故选. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图. 35．如图，在矩形中，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用矩形的性质得AD=BC=1，再由勾股定理求出AC的长，最后根据AM=AC，可得答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC=1，∠ABC=90° 在Rt△ABC中，AC=， ∴AM=AC=， ∴点M表示的数是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，利用勾股定理求出AC的长是解题的关键． 36．在中，，，则 ． 【答案】50 【分析】直接利用勾股定理即可求解． 【解析】解：如图； ， ， ， 故答案是：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的使用． 37．已知三角形三边长为正整数，则此三角形是 三角形． 【答案】直角 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果没有这种关系，这个三角形就不是直角三角形． 【解析】解：∵ = =， = = = =， ∴， ∴此三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 38．如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（　　） A．4米 B．5米 C．6米 D．7米 【答案】D 【分析】先求出 AC 的长，再利用平移的知识即可得出地毯的长度． 【解析】在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3， ∴AC＝＝4米， ∴可得地毯长度＝AC+BC＝7米， 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出 AC 的长度是解答本题的关键． 39．如图，在中，平分，平分，且交于，若，则的值为　　 A．36 B．9 C．6 D．18 【答案】A 【分析】先根据角平分线的定义、角的和差可得，再根据平行线的性质、等量代换可得，然后根据等腰三角形的定义可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【解析】平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的定义、勾股定理等知识点，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键． 【题型8 勾股定理、全等三角形综合难点分析】 40．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【解析】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 41．在中，，，点是直线AB上一点，作于点，于点． (1)如图1，点在线段AB上，BH交AC于点，若为MB的中点，，则______； (2)如图2，取AC中点，连接DH． ①若点在线段AB上，求证： ②若点在直线AB上，，，求AB的长． 【答案】(1) (2)①见解析② 【分析】（1）在上截取，连接，根据等腰直角三角形的性质求出，根据线段垂直平分线的性质求出，根据等腰三角形的性质求出，再根据等腰直角三角形的性质求出，，根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的判定推出，根据线段的和差即可得解； （2）①连接，根据垂直的定义及直角三角形的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，根据等腰直角三角形的性质推出，，根据三角形内角和定理推出，利用证明，根据全等三角形的性质推出，，进而推出是等腰直角三角形，根据勾股定理即可得解；②证明得设可得，由列方程求出x的值即可求解． 【解析】（1）如图1，在上截取，连接，    ∵， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∵于点F， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①证明：如图2，连接，    ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②由①知， , , 又 又， ， 设可得， 由勾股定理得， ， 解得， ． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练运用等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 42．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．SSS    B．ASA    C．AAS    D．SAS （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【初步运用】 （3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）D；（2）；（3）；（4）线段、，之间的等量关系为： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定方法证明即可解答； （2）根据全等三角形的性质结合三角形的三边关系计算即可； （3）延长到M，使，连接BM，证明，根据全等三角形的性质解答； （4）延长到点G，使，连结，证明，得到，根据勾股定理解答． 【解析】解：（1）在和中， ， ∴，故选D； （2）∵， ∴， 在中， ， ∴ ∴； （3）延长到M，使，连接，    ∵，， ∴， ∵AD是中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （4）线段之间的等量关系为：． 证明：如图，延长到点G，使，连结，    ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴中，， ∴． 43．已知：在中，，．    (1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，． ①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由． ②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________． (2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________． (3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________． 【答案】(1)①；② (2) (3)或 【分析】（1）①连接，证明即可得到； ②由全等可得，，从而得出，再由勾股定理即可得到答案； （2）连接，，证明即可得到，，从而得出，再由勾股定理和等腰直角三角形的性质即可得出答案； （3）分两种情况：当点在点的左侧时，连接；当点在之间时，连接，类比（2）证明，分别利用三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识进行计算即可得到答案． 【解析】（1）解：①，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； ②∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，   ∴， 故答案为：； （3）解：如图，当点在点的左侧时，连接，    ∵，， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在之间时，连接，    同理可证得：， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 过关检测 一、单选题 1．下列三个数中，能组成一组勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．12，15，9 D．，， 【答案】C 【分析】根据勾股定理的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，据此求解即可． 【解析】解：A、三边，，，不是正整数，故本选项不符合题意； B、三边为1，2，9，且，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意． C、，三边是正整数，且符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意． D、三边，，，不是正整数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股数问题，满足的三个正整数，称为勾股数． 2．在中，，，的对边分别是a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D．不确定哪个角是直角 【答案】A 【分析】根据题意直接利用勾股定理的逆定理进行判断即可得出答案． 【解析】解：∵在中，，，的对边分别是a，b，c，且， ∴． ∴b、c是两直角边，a是斜边， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理．注意掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 二、填空题 3．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则BC∶AC∶AB= ． 【答案】1∶∶2 【分析】根据直角三角形中30度角所对直角边为斜边的一半，可设BC=x，则AB=2x，再利用勾股定理求AC的长即可得解. 【解析】已知△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 设BC=x，则AB=2x， ∴AC==x， 则BC∶AC∶AB=1∶∶2. 故答案为1∶∶2. 【点睛】本题主要考查了30度所对直角边等于斜边的一半，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 4．如图，有一个圆柱形杯子，底面周长为12cm，高为8cm，A点在内壁距杯口2cm处，在A点正对面的外壁距杯底2cm的B处有一只小虫，小虫要到A处饱餐一顿至少要走 cm．（杯子厚度忽略不计） 【答案】10 【分析】先把圆柱展开，得到其一半的一个矩形的形状，A、B的最短距离就是线段AB的长，再根据勾股定理解答即可． 【解析】试题解析：将圆柱的侧面展开成平面，其形状是一个矩形，如图是展开图的一半，将A点对称到A′点，线段A′B的长就是所求的最短距离， 在Rt△A′BE中， BE=×12=6cm，A′E=AE+AA′=8cm， 则AB==10cm， 答：小虫要到A处饱餐一顿至少要走10cm． 【点睛】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将侧面展开利用勾股定理求出是解题关键． 三、解答题 5．在中，，若，．求a，b的长． 【答案】6，8 【分析】根据，设，根据勾股定理可得，结合题意求得的值即可求解． 【解析】解：设，根据勾股定理可得． 又，即， 所以， 因此． 即a，b的长分别为6，8． 【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 6．如图所示，是一块地的平面图，其中米，米，米，米，，求这块地的面积.    【答案】24平方米 【分析】连接，根据勾股定理求出米，根据，，根据直角三角形的面积公式求出结果即可． 【解析】解：如图，连接，如图所示：   ，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块地的面积为： （平方米）． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 7．如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E． (1)若，求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据中线的定义和勾股定理即可求证明． （2）根据中线的定义，得到，，利用勾股定理求得AB． 【解析】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3． ∴AC＝6，BC＝8． ∵． ∴． ∴△ABC是直角三角形． ∴． （2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8， ∴，． ∵AD、BE分别为边BC、AC的中线． ∴，． ∴，． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了中线和勾股定理的知识，解题的关键在于明确中线的定义、掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 8．如图①已知和中，，，，按照图①的位置摆放，直角顶点重合． （1）写出与的关系； （2）如图②，点、、在同一直线上时，若，，求长为________． （3）如图③，若，，，求的长． 【答案】（1），；（2）；（3）9 【分析】（1）如图①，延长AD交BE于点G，设DG与BC的交点为点F，通过证明即可证得，； （2）如图②中，设交于．在中，由，，推出，由，推出，在中，由，，，根据即可解决问题； （3）如图③中，连接，首先证明推出，再证明，利用勾股定理求出线段即可解决问题． 【解析】解：（1），，理由如下： 如图①，延长AD交BE于点G，设DG与BC的交点为点F， ∵， ∴， ， 在和中， （SAS）， ，， 又∵， ， ， 和的关系是，； （2）解：如图②中，设交于点． 由（1）可知， ，， ， ， ，， ， ， ， ，，， ， 故答案为：； （3）解：如图③中，连接， ， ∴， ， ∴在和中， （SAS）， ， ，， ，， 又， ， 又，， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$