专题01 承上启下篇-全等三角形、平行线的证明(六类知识点+六大题型)-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

专题01 承上启下篇-全等三角形、平行线的证明 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 AAS（主要）、SAS】 【题型2 SAS】 【题型3 全等三角形选择、填空综合】 【题型4 平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）】 【题型5 平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）选择、填空综合】 【题型6全等三角形、平行线的证明难点分析】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 3.全等三角形其他知识点. 4.平行线的三条判定定理；平行线的三条性质定理；平行线传递性定理. 5.三角形内角和定理三角形的内角和等于180°. 6定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 定理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 题型归纳 【题型1 AAS（主要）、SAS】 1．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法；由可得，根据可证，即可得证． 【解析】证明：∵， ∴， ， ，， ∴， ∴． 2．如图，是的中线，过点C作，交的延长线于点E，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先根据是的中线得，再由得，进而可证，再由三角形全等的的性质可证得结论． 【解析】证明：是的中线， ，. ， ， 在和中， ， ， ． 3．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据证明即可； （2）利用全等三角形的性质即可解决问题； 【解析】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ． 4．如图，，，，，垂足分别为，，，.求的长. 【答案】. 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，全等三角形常用的判定方法有：、、、、，熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键.根据，，利用同角的余角相等得出，利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差关系即可得答案. 【解析】证明：∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴. 5．如图，的两条高交于点H，已知，． (1)求证：； (2)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理， 三角形面积计算： （1）先由三角形高的定义得到，再导角证明，则可由证明； （2）根据全等三角形对应边相等得到，则，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【解析】（1）证明：∵的两条高交于点H， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 6．已知：如图，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）根据即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，推得，根据可证明，根据全等三角形的性质即可证明． 【解析】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7．如图，已知，，，，，且点B在线段上． (1)求的长； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理： （1）证明求出的长，进而求出的长即可； （2）根据三角形内角和定理证明，进而证明，据此可得结论． 【解析】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图所示，延长交于H， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． （1）先证明，再证明，得出结论即可； （2）由全等三角形的性质求得，根据三角形内角和定理即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， 即：， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 9．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，． (1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：； (2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）由题可得，再由全等三角形的判定和性质得出，则，，即可得出． （2）同（1）可得，则，，再由即可得出． 【解析】（1）在中，． ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． （2）． 证明：， ． 在中，， ． 在和中， ， ， ，， ， ． 【题型2 SAS】 10．如图，已知，，，求证：． 【答案】 【解析】略 11．已知：，，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定． （1）根据平行线的性质可得，由可得．运用证明与全等； （2）根据两三角形全等得到，利用同位角相等，证明出两直线平行． 【解析】（1）证明：∵， ， ， ∴， ， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵ ， ∴． 12．如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）根据题意由，可得，即可求证； （2）由，可得，再由内角和为即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，中，，，，平分交于，点为边上一点，． (1)求证：； (2)的周长是________． 【答案】(1)证明见解析 (2)9 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，线段的和差计算．利用角平分线的定义来求出角相等，继而证明三角形全等是解答关键． （1）由角平分的定义得到，利用判定三角形全等即可求解； （2）根据全等三角形的性质得到，利用线段的和差求出的长度，再利用三角形的周长公式求解． 【解析】（1）证明：平分交于， ． 在和中 ． （2）解：， ． ，，， ， ， 即的周长为：9． 故答案为：9． 14．如图，已知在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等式的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用等式的性质及已知条件可推出，然后利用即可得出结论． 【解析】证明：， ， 即：， 在和中， ， ． 【题型3 全等三角形选择、填空综合】 15．如图，，点B，M，N，C在一条直线上，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等，对应边相等，是解题关键 ． 利用得到，从而得到，然后利用即可求解 ． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选： B． 16．如图，已知，只要再添加一个条件： ，就能使．（填一个即可）    【答案】或者（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形全等的判定，判定两个三角形全等，已知，且由图可知为和的一条公共边，由根据全等三角形全等的判定定理，根据再添加条件即可． 【解析】解：所添加条件为：或； ①∵，，为公共边， ∴； ②∵，，为公共边， ∴； 故答案为：或（答案不唯一）． 17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 【答案】（或或或） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，根据平行线的性质可得，，添加条件为：或，根据可证明；添加条件为：或，根据可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【解析】∵，， ∴，， ①添加条件为：， 在和中， ， ∴； ②添加条件为：， 在和中， ， ∴； ③添加条件为：， ∴， 在和中， ， ∴； ④添加条件为： ， 在和中， ， ∴； ∴这个条件可以是（或或或）, 故答案为：（或或或）． 18．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程示意图，则能说明的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和基本作图，由作法易得，，，根据可得到三角形全等． 【解析】解：解：由作法易得，，， 依据可判定， 则（全等三角形的对应角相等）． 故选：A． 19．如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 【解析】解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 20．有一座小山，现要在小山的A，B两端开一条隧道，如图，施工队要知道A，B之间的距离，于是先在平地上取一可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，的长度分别为，则A，B之间的距离为 m． 【答案】800 【分析】本题考查了全等三角形的应用：一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 利用“”证明，然后根据全等三角形的性质得． 【解析】解：在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：800． 21．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【解析】解：如图， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 故选：B． 22．根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可得到答案． 【解析】解：，，，两边及其中一边的对角不能画出唯一，故A不符合题意； ∵，，， ∴，故B不符合题意； ，，一边一角不能画出唯一，故C不符合题意； 当，，时，根据“”可判断的唯一性．故D符合题意； 故选D． 23．如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为 ． 【答案】6或8 【分析】本题考查的是全等三角形与动点问题．先求出点从点出发到达点和点所需要的时间，点从点出发到达点和点所需要的时间，然后根据、所在的位置分类讨论，分别画出对应的图形，找出全等三角形的对应边并用时间表示，然后列出方程即可得出结论． 【解析】解：由题意知，点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：， 点从点出发到达点所需要的时间为：；到达点共需要的时间为：， 当，点在上，点在上，如图所示： 此时， ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， ， ， （不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， 和重合，和重合，（不符合题意，舍去）； 当，点在上，点在上，如图所示： ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等， ， ， （符合题意）； 当，点在上，点与点重合，如图所示： ， ， ， ， 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等 （符合题意）； 要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等，则或， 故答案为：6或8. 【题型4 平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）】 24．如图，点N在线段上，与交于点． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)若，求的大小． 【答案】(1)平行，见解析 (2) 【分析】本题主要查了平行线的判定和性质． （1）根据，可得，从而得到，继而得到，即可求证； （2）根据，可得，再由，可得，即可求解． 【解析】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．如图，，点E在上，与交于点F，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的性质： （1）根据全等三角形对应边相等可得，则； （2）根据 全等三角形对应角相等可得，再根据三角形外角的性质求解即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 26．如图所示，均为直角三角形，且，过点C作平分交于点F．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，平行线的判定，角平分线的定义： （1）利用角平分线的性质，先说明与的关系，再利用平行线的判定得结论； （2）先求出，再利用三角形的外角和内角的关系求解． 【解析】（1）证明：∵，且平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，． 在中，∵， ∴． ∴ ． 27．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据等边对等角和三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质进行求解即可； （2）先利用勾股定理求出，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，设未知数构建方程是解题的关键． 【解析】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， 即， ∴； （2）解：∵在中，，，， ∴． 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴． 解得． ∴． 28．如图，在和中，，，，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质； （1）先根据全等三角形的判定“”得到，根据全等三角形的对应角相等和三角形外角性质求得答案； （2）根据全等三角形的对应边相等求出，根据图形计算即可． 【解析】（1）解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据解析（1）可知：， ∵， ∴． 【题型5 平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）选择、填空综合】 29．下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 【答案】D 【分析】根据平行公理等即可逐一进行判断． 【解析】解；A、在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．正确，本选项不符合题意； B、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行线具有“传递性”， 正确，本选项不符合题意； C、经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行．正确，本选项不符合题意； D、在同一平面内，不相交的两条直线是平行线．原说法错误，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行公理等知识点．掌握相关结论是解题的关键． 30．如图，下列结论正确的是(   ) A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 【答案】B 【分析】根据对顶角、同位角、同旁内角、内错角的定义分别进行分析即可． 【解析】解：A、与不是对顶角，故此选项错误； B、与是同位角，故此选项正确； C、与不是同旁内角，故此选项错误； D、与不是内错角，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，熟练掌握各角的特征是解题的关键． 31．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质可得的度数，再根据邻补角的性质可得的度数． 【解析】解：如下图， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，邻补角的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等． 32．如图，，平分，，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°， ∵BC平分∠ABD， ∴∠ABD=2∠ABC=130°， ∴∠BDC=180°-∠ABD=50°， ∴∠2=∠BDC=50°． 故选C． 【点睛】本题考查平行线的性质和角平分线定义，解题的关键是求出∠ABD的度数． 33．如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，进而根据即可得出答案． 【解析】解：， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键． 34．将一副三角板按如图所示摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、三角形外角的定义与性质、对顶角相等，解题关键是熟练掌握三角形外角的性质． 根据三角板的特征先得出，再根据三角形外角的性质及对顶角相等逐步推得、及． 【解析】解：如图， 依题得：， 是的外角， ， ， ， ， 是的外角， ． 故选：． 35．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 【答案】42 【分析】先根据邻补角进行计算得到，根据平行线的判定当b与a的夹角为时，，由此得到直线b绕点A逆时针旋转． 【解析】解：如图：    ∵， ∴， ∵， ∴当时，， ∴直线b绕点A逆时针旋转． 故答案为：42． 【点睛】本题考查的是平行线的判定定理，熟知同位角相等，两直线平行是解答此题的关键． 36．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查三角形折叠中的角度问题，三角形外角的性质，先计算出，由折叠前后对应角相等可得，再由外角的性质可得，进而可得． 【解析】解：中，，， ， 由折叠知， ， ， 故答案为：30． 37．已知，点C为射线上一动点，平分交于点P，若为直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形的内角和和外角的性质，先根据角平分线得到，然后分和两种情况分别计算解题即可． 【解析】解：∵平分， ∴， 当时，； 当时，； 故答案为：或． 38．如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为 ° 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质和三角形内角和定理等知识，证明，则，得到，则，利用三角形内角和定理即可求出答案. 【解析】解：∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 【题型6 全等三角形、平行线的证明难点分析】 39．如图，在中，是的中线，延长点，使，．    (1)求证：； (2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明解析； (2)，理由见解析． 【分析】()延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案； ()如图所示，作，可证，由全等三角形的性质对应角相等角从而得出，进而得出，故可证，得到，等量转化即可求得； 本题考查了全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【解析】（1）如图所示，延长至点，使，    在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵平分，， ， ∴，， ∴， 作，如图，    在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 40．已知，四边形中，，连接，平分 交于点E， ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的平分线与的延长线交于 F，且，求 ； (3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分 交于 N，交于G．当H在上运动时（不与 B 点重合）．，95°，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，平分 ，得，，得出； （2）先求出，由平分，平分，可求出，利用平行线性质得出，等量代换即可求解； （3）在中，根据角之间的关系，得，再根据角之间的关系得，则可得出，然后代入数值即可求解． 【解析】（1）证明∶∵， ∴， ∵平分 ， ∴ 又， ∴， ∴， 即； （2）解∶∵，， ∴， ∵平分，平分， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （3）解：∵在中，， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∴， 又，， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质以及平行线的性质，解决问题的关键在于熟悉掌握知识要点，并且善于运用角与角之间的联系进行传递． 41．【探究发现】 （）如图，在中，是的中线，作，边交延长线于点．求证：； 【初步应用】 （）如图，在中，，，是中线，则的取值范围 ； 【探究提升】 （）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，连接，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】（）证明见解析；（）；（），，理由见解析 【分析】（）利用证明即可； （）如图，延长至，使得，则，先证明，得到，再根据三角形三边关系得，据此即可求解； （）如图，延长到，使得，连接，则，证明得到，，即得，再根据得到，即可得到． 【解析】（）证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴； （）如图，延长至，使得，则， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系得，， ∴， ∴， 故答案为：； （）解：，，理由如下： 如图，延长到，使得，连接，则， 由（）可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质，三角形的三边关系，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 42．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【解析】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 43．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【解析】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 过关检测 一、解答题 1．如图，，，分别是，的对应边上的中线． (1)求证：； (2)把第（1）小题中的结论用文字叙述出来． 【答案】(1)见详解 (2)全等三角形对应边上的中线相等 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理和性质定理是解此题的关键； （1）根据全等三角形的性质得出，，，求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． （2）根据（1）中结论可直接叙述即可 【解析】（1）证明：∵， ∴，，， ∵，分别是，的对应边上的中线， ， ∴， ∴， ∴． （2）由（1）中结论可用文字叙述为：全等三角形对应边上的中线相等． 2．如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母） (1)连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得； (2)作图依据______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及基本的作图方法． （1）在上截取，延长，在延长线上截取，连接，则即为所作； （2）根据全等三角形的判定证明即可． 【解析】（1）解：如图所示，在上截取，延长，在延长线上截取，连接， （2）解：在和中， ， ∴， ∴即为所求． 故答案为：． 3．如图，在四边形中，为上的一点 求证： (1)平分； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义． （1）利用证明，则，即可得出结论； （2）利用证明，则． 【解析】（1）证明：在和中， ， ， ， 平分； （2）在和中， ， ， ． 4．如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据三角形的内角和定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解析】（1）证明：∵，，， ∴； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 5．如图，，，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)延长至点，使得，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，证明，即可求解； （2）根据，可得，再证，得到，由，即可求解． 【解析】（1）证明： ，，， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， ，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ． 6．如图，，平分，平分，点在上，且，． (1)与垂直吗？说明你的理由； (2)若，，试求出四边形的面积． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质； （1）由平行线的性质得出，由角平分线的性质得出，，由三角形内角和定理可得出答案； （2）证明，得出，同理得出，则可求出答案． 【解析】（1）解：结论：； 理由：， ， 又平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 7．如图（1），已知中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点． (1)试说明：． (2)若直线绕A点旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请说明理由； (3)若直线绕A点旋转到图3位置时，其余条件不变，问与，关系如何？请直接写出结果，不需说明． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据证明，得；．根据代换即可； （2）同理证明，得；．此时； （3）同理证明，得；．此时． 【解析】（1）证明： ，， ． 又，， ． ，． 又， ， 即． （2）解：．证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． （3）解：，证明如下： ， ． 又， ， ． 又，， ． ，． ， ， 即． 8．如图，已知和中，，，． (1)如图1，若和相交于点F，当时，请猜想和的关系是________； (2)若，与的位置如图2所示时，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)如图3，和相交于点F，直接写出的度数为________．（用含α的式子表示） 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，找出全等三角形是解题关键． （1）令与的交点为，证明，得到，，再根据三角形内角和定理和对顶角相等，得出，即可得出结论； （2）延长交、于点、，同（1）理证明即可； （3）同（1）理可证，得到，再根据三角形外角的性质，得出，最后利用邻补角求解即可． 【解析】（1）解：如图，令与的交点为， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 即和的关系是，； （2）解：成立，理由如下： 如图，延长交、于点、， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即； （3）解：同（1）理可证， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 承上启下篇-全等三角形、平行线的证明 题型聚焦：核心考点+中考考点，有的放矢 重点专攻：知识点和关键点梳理，查漏补缺 提升专练：真题感知+精选专练，全面突破 【题型1 AAS（主要）、SAS】 【题型2 SAS】 【题型3 全等三角形选择、填空综合】 【题型4 平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）】 【题型5 平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）选择、填空综合】 【题型6全等三角形、平行线的证明难点分析】 1.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”. 2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 3.全等三角形其他知识点. 4.平行线的三条判定定理；平行线的三条性质定理；平行线传递性定理. 5.三角形内角和定理三角形的内角和等于180°. 6定理:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 定理:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 题型归纳 【题型1 AAS（主要）、SAS】 1．如图，，，求证：． 2．如图，是的中线，过点C作，交的延长线于点E，求证：． 3．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．如图，，，，，垂足分别为，，，.求的长. 5．如图，的两条高交于点H，已知，． (1)求证：； (2)求． 6．已知：如图，． 求证： (1)； (2)． 7．如图，已知，，，，，且点B在线段上． (1)求的长； (2)猜想与的位置关系，并说明理由． 8．如图，四边形中，对角线、交于点O，，点E是上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 9．是经过的顶点的一条直线，，，分别是直线上的两点，连接，，． (1)如图①，若直线经过的内部，且点，在射线上，．求证：； (2)如图②，若直线不经过的内部，，猜想线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【题型2 SAS】 10．如图，已知，，，求证：． 11．已知：，，，求证： (1)； (2)． 12．如图，已知 连接． (1)求证： ； (2)若 求的度数． 13．如图，中，，，，平分交于，点为边上一点，． (1)求证：； (2)的周长是________． 14．如图，已知在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接．求证：． 【题型3 全等三角形选择、填空综合】 15．如图，，点B，M，N，C在一条直线上，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 16．如图，已知，只要再添加一个条件： ，就能使．（填一个即可）    17．如图，点B、F、C、E在一条直线上，，，要使，还需添加一个条件是 18．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程示意图，则能说明的依据是（   ） A． B． C． D． 19．如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 20．有一座小山，现要在小山的A，B两端开一条隧道，如图，施工队要知道A，B之间的距离，于是先在平地上取一可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到D，使，连接并延长到E，使，连接．经测量，的长度分别为，则A，B之间的距离为 m． 21．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．根据下列已知条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．， D．，， 23．如图，在中，，，，点从点出发沿路径向终点运动，点从点出发沿路径向终点运动，点和分别以和的速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动．分别过点，作于点，于点．设运动时间为，要使以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等（点与点不重合），则的值为 ． 【题型4 平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）】 24．如图，点N在线段上，与交于点． (1)判断与是否平行，并说明理由； (2)若，求的大小． 25．如图，，点E在上，与交于点F，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 26．如图所示，均为直角三角形，且，过点C作平分交于点F．    (1)求证：； (2)求的度数． 27．如图，在中，，于点D． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 28．如图，在和中，，，，，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【题型5 平行线的证明（含三角形内角和、外角的性质）选择、填空综合】 29．下列说法错误的是（　　） A．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线 B．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 C．经过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行 D．在同一平面内，不相交的两条线段是平行线 30．如图，下列结论正确的是(   ) A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是内错角 31．如图，已知直线、被直线所截．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．如图，，平分，，则的度数是（  ）    A． B． C． D． 33．如图所示，在中，，垂足为点D，，交于点E．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 34．将一副三角板按如图所示摆放，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 35．如图，，，若使，则可将直线b绕点A逆时针旋转 度． 36．如图，在中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处．若，则 ． 37．已知，点C为射线上一动点，平分交于点P，若为直角三角形，则 ． 38．如图，平分，，的延长线交于点E，如果，则为 ° 【题型6 全等三角形、平行线的证明难点分析】 39．如图，在中，是的中线，延长点，使，．    (1)求证：； (2)如图，平分交于点，交于点，若，试探究的数量关系，并说明理由． 40．已知，四边形中，，连接，平分 交于点E， ． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若的平分线与的延长线交于 F，且，求 ； (3)如图3，若H是上一动点，F是延长线上一点，交于M，平分 交于 N，交于G．当H在上运动时（不与 B 点重合）．，95°，求的度数． 41．【探究发现】 （）如图，在中，是的中线，作，边交延长线于点．求证：； 【初步应用】 （）如图，在中，，，是中线，则的取值范围 ； 【探究提升】 （）如图，是的中线，过点分别向外作、，使得，，连接，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 42．（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    43．【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 过关检测 一、解答题 1．如图，，，分别是，的对应边上的中线． (1)求证：； (2)把第（1）小题中的结论用文字叙述出来． 2．如图，在中，D是上一点（），按要求完成下列各小题．（保留作图痕迹，不写作法，标明各顶点字母） (1)连接，求作（点E在线段上；点F在线段的右侧），使得； (2)作图依据______． 3．如图，在四边形中，为上的一点 求证： (1)平分； (2) 4．如图，在中，，为边上一点，过作，分别与，相交于点和点． (1)求证：； (2)若，求证：． 5．如图，，，，，垂足分别为． (1)求证：； (2)延长至点，使得，连接交于点，若，，求的面积． 6．如图，，平分，平分，点在上，且，． (1)与垂直吗？说明你的理由； (2)若，，试求出四边形的面积． 7．如图（1），已知中，，，是过的一条直线，且，在的异侧，于点，于点． (1)试说明：． (2)若直线绕A点旋转到图2位置时，其余条件不变，问与，的关系如何？请说明理由； (3)若直线绕A点旋转到图3位置时，其余条件不变，问与，关系如何？请直接写出结果，不需说明． 8．如图，已知和中，，，． (1)如图1，若和相交于点F，当时，请猜想和的关系是________； (2)若，与的位置如图2所示时，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)如图3，和相交于点F，直接写出的度数为________．（用含α的式子表示） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$