题型03 函数的基本性质解题技巧（奇偶性、周期性、对称性等）-2025年高考数学答题技巧与模板构建

题型03 函数的基本性质解题技巧 技法01 利用函数的奇偶性求参数值 技法02 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值 技法03 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 技法04 函数周期性的应用及解题技巧 技法05 函数对称性的应用及解题技巧 技法06 函数4大性质的综合应用及解题技巧 本节导航 技法01 利用函数的奇偶性求参数值 纵观历年考题，函数的奇偶性一直是函数及其高考中的重要考点。掌握奇偶性的定义至关重要，若能熟练掌握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。 1. 奇偶性的运算 2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 3. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 （2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 思路点拨：利用函数奇偶性的运算及结论求解即可 思路详解： 【法一】为奇函数，则为奇函数，则 【法二】寻找必要条件，特值，例，略 【法三】定义法，略 1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 思路详解： 【法一】为奇函数，则为偶函数，而为偶函数，则 【法二】寻找必要条件，特值，例，略 【法三】定义法，略 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 思路详解： 【法一】为奇函数，则为奇函数，由结论可知，则 【法二】寻找必要条件，特值，例，略 【法三】定义法，略 1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 3．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 即，即，所以， 故答案为： 技法02 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值 在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”类型的问题。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么求解最大值和最小值可秒解。 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有 即倍常数 已知分别是函数++1的最大值、最小值，则 思路点拨：利用结论求解即可 思路详解：倍常数=2 【法二】 1．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 思路详解： 所以 为奇函数，为奇函数 由结论可知 【法二】 2．已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（    ） A． B．6 C．2 D． 思路详解：，由结论可知最大值与最小值的和为6 【法二】最大值+最小值 1．若函数在区间上的最大值､最小值分别为､，则的值为（    ） A．2 B．0 C． D．3 【答案】C 【解析】化简函数，得到，构造新函数，得出函数为奇函数，求得最大值与最小值之和为0，进而根据和的值域相同，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 令，则， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称， 设在上的最大值为，最小值为，则， 因为和的值域相同， 即的最大值与的最大值相同，最小值也相同， 所以，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，函数的图象变换，以及函数的最值的求解，其中解答中合理构造新函数，利用函数的奇偶性求得最大值和最小值的关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 2．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ． 【答案】6 【分析】把分离常数变形，再判断为奇函数，最后利用奇函数的对称性求出结果. 【详解】由题意可知，， 设，的定义域为， 所以， 所以为奇函数，所以， 所以 故答案为： 3．函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 【答案】1 【分析】将函数解析式边形为，设，则，记，由奇函数的定义得出为奇函数，得出在的最值，结合，即可求出． 【详解】， 设，则， 记， 因为， 所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为， 所以， 又因为， 所以， 故答案为：1． 技法03 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”的题目类型。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么对于表达式f(a)+f(-a)，可以秒解得出解答。 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 （全国·高考真题）已知函数，，则 ． 思路点拨：利用结论求解即可 思路详解：在定义域内为奇函数 所以倍常数=2，解得 1．已知，且，则 . 思路详解： 1．若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据为奇函数得到的对称中心为，再结合得到的对称中心为，然后利用对称性求即可. 【详解】由可得，因为为奇函数，所以的对称中心为，则的对称中心为，又，则. 故答案为：-5. 2．函数，且，则的值为 . 【答案】0 【分析】构造，得到为奇函数，从而根据得到，由求出. 【详解】令， 定义域为或且，关于原点对称， 则， 故为奇函数， 又，故， 解得. 故答案为：0 技法04 函数周期性的应用及解题技巧 纵观历年考题，函数的周期性是函数及高考的重要考点。掌握周期性的定义至关重要，若能熟练掌握周期性的运算规则，则可以显著提高解题速度，实现快速求解。 ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） ⑤，周期为，，周期为 ⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为 ⑦复合函数：的周期为，则的周期也为 ⑧若的周期为，则、的周期均为 （2024·河南驻马店·模拟）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B． C．253 D．506 思路点拨：利用结论求解即可 思路详解：【详解】因为函数为上的奇函数，所以， 又，则， 所以， 所以函数是周期为8的周期函数， 又，则， 所以， 所以. 故选：A. 1．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ． 思路详解：令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则，即， 所以， 所以 所以，所以，即， 是以6为周期的周期函数， 所以 2．（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 思路详解：【详解】该函数满足且， 对于A，令，可得，解得，故A正确； 对于B，令，，所以，所以为偶函数，故B错误； 对于C，令，， 可得，令，可得， 将两式相加得：，所以， 所以，所以， 因此，6是的一个周期，故C正确； 对于D，令，，，所以， 所以， 因为，， 因为，令，，所以， 令，，所以， 令，，所以， 令，，所以， 由于6是的一个周期， 所以， 所以，故D正确； 故选：ACD 1．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意先赋值代入等量关系式求出，再赋值得，进而依据此计算规则逐步求出，即求出是周期为6的周期函数，再依据此计算规则结合和求出，进而结合周期即可求解. 【详解】取代入， 得即，由题解得， 令代入得， 故， 所以是周期为6的周期函数， 又，，所以， 所以， 故选：D. 【点睛】思路点睛：依次赋值和代入分别得到和，再依据所得条件推出即函数周期为6和，进而根据周期性和即可求解. 2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 3．（2024·广东韶关·一模）若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，令求解即可；对于B，令得即可判断；对于C，令得，判断出为偶函数即可做出判断；对于D，通过赋值法，分别求出，发现具有周期性，再利用周期性求解即可. 【详解】原式移项得， 即 对于A，令，则由可得， 故（舍去）或，故A正确： 对于B，令，则，故. 由于，令，则，所以，即有，故B正确： 对于C，令，则，即， 因为，所以，所以为偶函数， 对左右两边同时求导得，所以为奇函数，故C错误； 对于D，由A选项，若， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 令，则，即， 由此可得的值有周期性，且周期为6， 且， 故，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：若，的定义域均为，且，则： （1）若为奇函数，则为偶函数；若为偶函数，则为奇函数，反之未必成立. （2）若为周期函数，则也是周期函数，且周期相同，反之未必成立. 技法05 函数对称性的应用及解题技巧 纵观历年来的考题，函数的对称性一直是高考数学中函数部分的重要考察点。掌握对称性的定义是解题的基础，而熟悉对称性的运算方法则能有效提升解题速度，实现快速而准确的解答。 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 （全国·高考真题）已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 思路点拨：利用对称性结论求解即可 思路详解：，所以的图象关于直线对称 1．（全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A．0 B． C． D． 思路详解： 【详解】[方法一]：直接法. 由得关于对称， 而也关于对称， ∴对于每一组对称点， ∴，故选B． [方法二]：特值法. 由得 不妨设因为，与函数的交点为 ∴当时，，故选B． [方法三]：构造法. 设，则，故为奇函数. 设，则，故为奇函数. ∴对于每一组对称点. 将，代入，即得 ∴，故选B． 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．18 【答案】D 【分析】先根据条件得到的对称中心，再根据对称性求和即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 即，故的对称中心为，即， 所以， 又，即， 所以. 故选：D 2．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得关于对称，进一步求得，结合条件求得，可求得. 【详解】由，可知关于对称，又，则， 又，则， ，. 故选：A. 技法06 函数4大性质的综合应用及解题技巧 近年高考题中，常常把函数的基本性质结合在一起综合考查，常见的有对称性和周期性结合，奇偶性和周期性结合，掌握相关技巧后，可以做到快速求解，常在小题中使用. 1. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 2. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： （2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 思路点拨：利用函数的性质综合求解即可 思路详解：因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B. 1．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 思路详解：【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 思路详解：因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 思路详解： 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 1．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】D 【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可. 【详解】为奇函数，得， 即，则为奇函数，故C错误； 且图象关于点中心对称，故B错误； 可知，函数周期为4，故A错误； ，又图象关于点中心对称，知， 所以，得关于点对称， 则关于点对称，所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 2．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据奇函数性质、对称性求得、、，进而有，再确定的周期，利用周期性求函数值的和. 【详解】由为奇函数，知的图象关于点对称，则， 由，得． 由的图象关于直线对称，则的图象关于直线对称， 所以，， 综上，， 由上，，得， 所以，则4为的一个周期， 所以. 故选：C 【点睛】关键点点睛：根据函数的奇偶性、对称性求函数值，并确定周期为关键. 3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为奇函数 【答案】C 【分析】方法一：利用抽象函数的奇偶性和相关条件推导出函数的周期性、对称性等基本性质，逐一对选项进行分析判断；方法二：依题意构造函数法.依题意，可设，则，一一对选项进行计算、验证即得. 【详解】方法一 :（函数性质判断法）由为偶函数，得①． 由为奇函数，得． 又，则②． 则由①，（*）， 由②，， 故得． 把取成，得③， 于是，，即函数的周期为2，故B错误； 又因为上的奇函数，则，的周期为2，则，故A错误； 由③得，，即， 故．因为奇函数，故为奇函数，故C正确； 由（*），，得，即为偶函数， 又，所以为偶函数，故D错误. 方法二：（构造函数法）依题意，可设，则为偶函数， 由为奇函数，且函数的定义域均为， 对于A，，排除A； 对于B，显然的最小正周期是2，排除B； 对于C，是奇函数，故C正确； 对于D，，显然是偶函数，排除D. 故选：C. 4．（2024·河南·二模）（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】ABC 【分析】对于A，由已知，可得，则的周期为4，即可判断；对于B，令，可得，则，即可判断；对于C，由已知，可得函数关于对称，关于对称，则的的图象关于直线对称，即可判断；由已知，得，，代值可推得，即可判断. 【详解】由可得， 所以，所以的周期为4，故A正确； 由，令， 则，所以， 又，故B正确； 由，可知函数关于对称， 又的周期为4，则， 所以，即函数关于对称， 则的图象关于直线对称，故C正确； 由，且关于对称， 则，所以， 又，且， 则，又， 所以， ，故D错误. 故选：ABC. 1．已知函数，若，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 【答案】C 【分析】令，利用函数奇偶性计算作答. 【详解】设， 则，即函数是奇函数， ，则，而 所以. 故选：C 2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 3．已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 . 【答案】 【分析】先利用常数分离法化得函数，再构造函数，判断得为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可. 【详解】因为，， 令，，则， 因为定义域关于原点对称，， 所以是在上的奇函数， 故由奇函数的性质得， 所以， 所以，则. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在. 4．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】B选项，赋值得到；C选项，令，结合得到，故C正确；A选项，中，赋值得到，题目条件中令得到；D选项，求出函数的周期为，并且，从而求出D正确. 【详解】B选项，， 令得，因为，所以，故B正确： C选项，令得， 即，所以，故C正确； A选项，由C选项知，，故， 中， 令得，解得，故A错误； D选项，中，令得 ①， 中，将换成得 ②，①②两式相加得， 即， 则，所以． 故函数的周期为， 由得， 由得， 故， 所以，故D正确. 故选：BCD． 【点睛】知识点点睛：设函数，，，． （1）若，则函数的周期为2a； （2）若，则函数的周期为2a； （3）若，则函数的周期为2a； （4）若，则函数的周期为2a； （5）若，则函数的周期为； （6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为； （7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为； （8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为； 5．（2024·新疆·一模）已知定义在上的函数，满足，且，，则 . 【答案】 【分析】根据所给条件推出为偶函数且周期为，再求出、、，最后根据周期性计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 又，所以， 即，即，所以为偶函数， 所以， 所以，所以的周期为， 又，， 所以，，，则， ， 所以，又， 所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由题干所给条件推出的奇偶性与周期性. 6．（2024·河南濮阳·模拟预测）（多选）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．是周期函数 D． 【答案】ACD 【分析】令，可判定A正确；令，得到，可判定B错误；根据题意，推得，得到的周期为，令，求得，结合函数的周期性，求得，可判定D正确． 【详解】对于A，由对于任意都满足， 令，则，所以A正确； 对于B，令，可得，即， 所以函数关于点对称，所以B错误； 对于C，又由为偶函数知关于直线对称，即， 可得，则，所以， 所以函数的周期为，故C正确； 对于D，令，则， 可得， 所以，所以D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是得出函数的周期为，并利用函数性质求出，由此即可顺利得解. 7．（2024·广东茂名·一模）（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 【答案】AC 【分析】选项C，由于函数为偶函数，得到，进而替换变量得到，判断即可；选项A，由于，变量替换后得到，结合已知，即可判断奇偶性；选项B，已知，得到，变量替换后得到，得到函数的周期性，进而求得结果；选项D，已知，得到，，同样利用函数的周期性得到，即可求得结果. 【详解】对于选项C，是偶函数，得：， 将替换为，得：， 所以函数关于直线对称，选项C正确； 对于选项A，因为，将替换为，得：， 又因为，即， ，是奇函数，选项A正确； 对于选项B，，将替换为， 得：，所以4为函数的周期， 又因为是奇函数，且函数的定义域为，， ，选项B错误. 对于选项D，由已知， 分别代入，得：，， ， 同时4为的周期，，选项D错误. 故选：AC. 8．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质即可得结果. 【详解】由题意可得，两式相减可得①， 所以的图象关于点成中心对称，故A错误； 由②，②式两边对求导可得， 可知是偶函数，以替换①中的可得， 可得，所以是周期为4的周期函数，故B正确； 因为，可知也是周期为4的周期函数， 即，两边求导可得，所以，故C正确； 因为，令，则，即， 又因为是偶函数，所以，又因为是周期为4的周期函数， 则，由可得， 所以，D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：解决这类题的关键是熟练掌握对称与周期的关系，若关于两点（纵坐标相同）或者两条直线（平行于轴）对称，则周期为这两点或者这两条直线的距离的两倍，若关于一点和一直线（平行于轴）对称，则周期为这点和这条直线的距离的四倍. 9．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（   ） A．4为的一个周期 B．8为的一个周期 C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意可得，用替换中的，得，于是可得，进而可得为周期函数，8为最小正周期，即可判断A；用替换且的，即可判断B；根据B及即可判断C；由，可得，即可判断D. 【详解】因为和分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以，，且， 又因为，所以， 即，① 用替换中的，得， 即，② 由①＋②，得， 所以函数关于中心对称，且， 由，可得， ， 所以， 所以为周期函数，8为周期，故A错误； 用替换且的，得， 又因为， 所以，所以， 所以为周期函数，8为周期，故B正确； 所以，故C正确； 又因为，即， 令，则有， 令，则有， …… 令，则有， 所以 所以，故D正确． 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了判断抽象函数的对称性、周期性，考查函数的奇偶性，解题的关键是用替换中的，再结合函数的奇偶性分析，考查推理能力和计算能力，属于较难题． 10．（2024·新疆·三模）（多选）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 【答案】ABC 【分析】令即可判断A；令即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解. 【详解】. A：令，得，则，故A正确； B：令，得，即， 又且，所以，解得，故B正确； C：令，得，即， 得，所以，得， 所以，则为奇函数，故C正确； D：由选项C知，又， 得①，令替换成，得②， ①②相加，得，则， 得，即的周期为3，所以， 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC 【点睛】思路点睛：对于含有，的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系.此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型03 函数的基本性质解题技巧 技法01 利用函数的奇偶性求参数值 技法02 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值 技法03 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 技法04 函数周期性的应用及解题技巧 技法05 函数对称性的应用及解题技巧 技法06 函数4大性质的综合应用及解题技巧 本节导航 技法01 利用函数的奇偶性求参数值 纵观历年考题，函数的奇偶性一直是函数及其高考中的重要考点。掌握奇偶性的定义至关重要，若能熟练掌握奇偶性的相关运算，便能有效提升解题速度，实现快速求解。 1. 奇偶性的运算 2. 与指数函数相关的奇函数和偶函数 ，（，且）为偶函数， ，（，且）为奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 和，（，且）为其定义域上的奇函数 为偶函数 3. 与对数函数相关的奇函数和偶函数 ，（且）为奇函数， ，（且）为奇函数 （2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 3．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 技法02 求“奇函数+常函数”的最大值+最小值 在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”类型的问题。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么求解最大值和最小值可秒解。 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，则最大值，最小值有 即倍常数 已知分别是函数++1的最大值、最小值，则 1．已知，设函数的最大值是，最小值是，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数是不为0的常数），当时，函数的最大值与最小值的和为（    ） A． B．6 C．2 D． 1．若函数在区间上的最大值､最小值分别为､，则的值为（    ） A．2 B．0 C． D．3 2．函数在区间内的最大值为M，最小值为N，其中，则 ． 3．函数的最大值为，最小值为，若，则 ． 技法03 求“奇函数+常函数”的f(a)+f(-a)的值 在模拟考试和高考中，我们经常会遇到“奇函数+常函数”的题目类型。如果能够熟练掌握相关的本质结论以及奇偶函数的性质，那么对于表达式f(a)+f(-a)，可以秒解得出解答。 在定义域内，若，其中为奇函数，为常数，有 即倍常数 （全国·高考真题）已知函数，，则 ． 1．已知，且，则 . 1．若定义在R上的函数为奇函数，设，且，则的值为 ． 2．函数，且，则的值为 . 技法04 函数周期性的应用及解题技巧 纵观历年考题，函数的周期性是函数及高考的重要考点。掌握周期性的定义至关重要，若能熟练掌握周期性的运算规则，则可以显著提高解题速度，实现快速求解。 ①若，则的周期为： ②若，则的周期为： ③若，则的周期为：（周期扩倍问题） ④若，则的周期为：（周期扩倍问题） ⑤，周期为，，周期为 ⑥，周期为，周期为；，周期为；，周期为 ⑦复合函数：的周期为，则的周期也为 ⑧若的周期为，则、的周期均为 （2024·河南驻马店·模拟）已知定义在上的奇函数满足，则（    ） A．0 B． C．253 D．506 1．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ． 2．（2024·四川德阳·一模）定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（   ） A． B．为奇函数 C．6是的一个周期 D． 1．（2024·四川·模拟预测）已知函数满足，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 3．（2024·广东韶关·一模）若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 技法05 函数对称性的应用及解题技巧 纵观历年来的考题，函数的对称性一直是高考数学中函数部分的重要考察点。掌握对称性的定义是解题的基础，而熟悉对称性的运算方法则能有效提升解题速度，实现快速而准确的解答。 轴对称 ①若，则的对称轴为 ②若，则的对称轴为 点对称 ①若，则的对称中心为 ②若，则的对称中心为 （全国·高考真题）已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 1．（全国·高考真题）已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A．0 B． C． D． 1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知为奇函数，则（    ） A． B．14 C． D．18 2．（2024·江西·二模）已知定义在上的函数满足且，则（    ） A． B． C． D． 技法06 函数4大性质的综合应用及解题技巧 近年高考题中，常常把函数的基本性质结合在一起综合考查，常见的有对称性和周期性结合，奇偶性和周期性结合，掌握相关技巧后，可以做到快速求解，常在小题中使用. 1. 周期性对称性综合问题 ①若，，其中，则的周期为： ②若，，其中，则的周期为： ③若，，其中，则的周期为： 2. 奇偶性对称性综合问题 ①已知为偶函数，为奇函数，则的周期为： ②已知为奇函数，为偶函数，则的周期为： （2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 1．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河北·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（    ） A．的周期为2 B．图象关于直线对称 C．为偶函数 D．为奇函数 2．（2024·广东河源·模拟预测）已知定义在上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，若，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2024·安徽·模拟预测）已知函数的定义域均为，若为偶函数，为奇函数，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．为奇函数 4．（2024·河南·二模）（多选）定义在上的函数满足，则（    ） A．是周期函数 B． C．的图象关于直线对称 D． 1．已知函数，若，则（    ） A． B．2 C．5 D．7 2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 3．已知关于函数在上的最大值为，最小值，且，则实数的值是 . 4．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，满足且对任意的，有，则（    ） A． B． C． D． 5．（2024·新疆·一模）已知定义在上的函数，满足，且，，则 . 6．（2024·河南濮阳·模拟预测）（多选）已知是定义在上的不恒为零的函数，对于任意都满足，且为偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．是周期函数 D． 7．（2024·广东茂名·一模）（多选）已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（    ） A．是奇函数 B． C．的图象关于对称 D． 8．（2024·河南·一模）（多选）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B． C． D． 9．（2024·辽宁·模拟预测）（多选）已知和分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则下列说法中正确的是（   ） A．4为的一个周期 B．8为的一个周期 C． D． 10．（2024·新疆·三模）（多选）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$