第08讲 不等式（组）及其应用（讲义，4考点+3命题点14种题型（含3种解题技巧）)-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（全国通用）

第二章 方程与不等式 第08讲 不等式（组）及其应用 （思维导图+4考点+3命题点14种题型（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式的有关概念及性质 考点二 一元一次不等式 考点三 一元一次不等式组 考点四 不等式（组）及应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 解一元一次不等式（组） ►题型01 不等式的性质 ►题型02 直接解一元一次不等式（组） ►题型03 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 ►题型04 求一元一次不等式（组）的特殊解 ►题型05 以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组） ►题型06 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 命题点二 不等式（组）的含参问题 ►题型01 已知解集求参数的值或取值范围 ►题型02 已知整数解的情况求参数的值或取值范围 ►题型03 已知不等式有/无解求参数的取值范围 ►题型04 不等式与方程综合求参数的取值范围 ►题型05 与含参不等式（组）有关的新定义问题 ►题型06 以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组） 命题点三 不等式（组）的实际应用 ►题型01 列不等式（组） ►题型02 利用不等式（组）解决实际问题 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 不等式的性质 ★ 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质； 能用不等式的基本性质对不等式进行变形. 解不等式（组） ★★★ 能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 不等式（组）解集的表示 ★ 不等式（组）的含参问题 ★★ 不等式（组）的特殊解 ★ 不等式（组）的实际应用 ★★ 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题. 【考情分析1】本专题包含不等式的基本性质、一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题时注意不等式与等式性质的区别，试题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，题目中经常出现非负整数、正整数等名词，注意其含义. 对于不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 【考情分析2】用不等式(组)解决实际问题，多以解答题形式出现，难度一般，其多与二元一次方程组或分式方程等结合，解题的一般步骤类比列方程解应用题的步骤，依次为审、设、列、解、答.需要注意的是找出重要的数量信息，确定不等关系，以及“不超过”“不少于”等词语与不等号间的转化，问题中的“不超过”“不少于”“至少”“最多”等表示不等关系的词语在设未知量的过程中不体现，体现在列不等式上. 【备考建议】在备考过程中，建议学生加强对不等式（组）基础概念的理解，掌握一元一次不等式（组）的解法，并注重实际应用和综合题型的练习.同时，也要注意培养自己的思维能力和解题技巧，以便更好地应对各种命题形式. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式的有关概念及性质 1.不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 2.不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 3.不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 1．（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，且，则（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此即可解答． 【详解】解：∵，且， ∴， 故选：A． 3．（2023·山东济南·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，然后根据数的乘法和加法法则以及不等式的性质进行判断即可. 【详解】解：由题意可得：，所以， ∴， 观察四个选项可知：只有选项D的结论是正确的； 故选：D. 【点睛】本题考查了实数与数轴以及不等式的性质，正确理解题意、得出是解题的关键. 4．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 【详解】解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）选择适当的不等号填空：若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 考点二 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件及解不等式，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式要有意义， ∴， ∴， 故答案为；． 2．（2024·福建·中考真题）不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，通过移项，未知数系数化为1，求解即可解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）不等式的最大整数解是 ． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的解法即可得． 【详解】解：不等式的解集是， 则不等式的最大整数解是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键． 4．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键． 5．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 考点三 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则是解题的关键．根据此原则对选项一一进行判断即可． 【详解】根据题意，可得， A、此不等式组无解，符合题意； B、此不等式组解集为，不符合题意； C、此不等式组解集为，不符合题意； D、此不等式组解集为，不符合题意； 故选：A 2．（2024·四川凉山·中考真题）求不等式的整数解． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握知识点是解题的关键． 先将变形为，再解每一个不等式，取解集的公共部分作为不等式组的解集，再找出其中的整数解即可． 【详解】解：由题意得， 解①得：， 解②得：， ∴该不等式组的解集为：， ∴整数解为： 3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组有三个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于的不等式组求得的范围． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有三个整数解， 不等式组的整数解为，0、1， 则， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即可得出结果． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 5．（2023·青海·中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： (1)解不等式组：； (2)当m取（1）的一个整数解时，解方程. 【答案】(1) (2)，（答案不唯一） 【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （2）根据中不等式的解集得出的一个值，求出的值即可． 【详解】（1）解：由得，， 由得，， 故不等式组组的解集为：． （2）由知， 令， 则方程变为， ， ， ，（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是解一元二次方程及解一元一次不等式组，先根据题意得出的取值范围是解题的关键． 考点四 不等式（组）及应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设粽子的成本为a元，设降价幅度为x，根据降价出售后不亏本即售价不低于进价列出不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：设粽子的成本为a（a是常数且）元，设降价幅度为x， 则， 解得， 即为了不亏本，降价幅度最多为． 故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． 2．（2023宜宾市一模）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菜园的三边的和为12m，即可得出一个与的关系式． 【详解】解：根据题意得，菜园三边长度的和为12m， ， ， ，， ， 解得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题目中的数量关系，即菜园三边的长度和为12m，列出关于，的方程是解决问题的关键． 3．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（    ）      A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的应用；根据题意求得线段解析式为 ，进而根据从甲站到乙站的实际票价为元，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设段解析式为，将代入得， ， 解得： ∴ 当时，，即 依题意，当行驶里程为 时，所得理论票价为元 设线段的解析式为代入 ∴ 解得： ∴线段解析式为 依题意， 解得： 故选：D． 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据机器零件的设计图纸给定的数值，可求出的取值范围． 【详解】解：由题意得， ． 故答案为： 5．（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价． 【答案】牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元 【分析】本题主要考查了一元一次方程，掌握不等式和方程的解法，根据题意列出方程和不等式是解决本题的关键． 根据题意先列出方程和不等式，求解即可． 【详解】解：设饼干的标价是元，牛奶的标价是元． 由题意，得， 解得． 由于饼干的标价是整数， 所以（元）． 当时，（元）． 答：牛奶和饼干的标价分别为1.1元和9元． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 解一元一次不等式（组） ►题型01 不等式的性质 解题方法： 性质1 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 互逆性 若a＞b，则b＜a，若a＜b，则b＞a 传递性 若a＞b，b＞c，则a＞c 【易错点】在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 1．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 【详解】解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 3．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 4．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． ►题型02 直接解一元一次不等式（组） 1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 2．（2024·广西·中考真题）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 故答案为：． 3．（2024·北京·中考真题）解不等式组： 【答案】 【分析】先求出每一个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”确定不等式组的解集． 本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 4．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： 【答案】（1）5；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算、解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先计算算术平方根、特殊角的三角函数值、零指数幂、化简绝对值，然后加减运算即可； （2）先求得每个不等式的解集，再求得它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴该不等式组的解集为． ►题型03 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 1．（2023·浙江台州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（    ）． A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据一元一次不等式的性质解出未知数的取值范围，在数轴上表示即可求出答案． 【详解】解：， ． 在数轴上表示如图所示：   ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法即在数轴上表示不等式的解集，解题的关键在于熟练掌握一元一次不等式的性质． 2．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据去分母，去括号，移项，合并同类项可得不等式的解集，然后再在数轴上表示出它的解集即可. 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 解得． 这个不等式的解集在数轴上表示如下：    3．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将解集表示在数轴上如图： ． 4．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】分别解两个不等式，然后根据公共部分确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 故答案为：； （2）解：解不等式②，得， 故答案为：； （3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    （4）解：原不等式组的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键． ►题型04 求一元一次不等式（组）的特殊解 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，，共4个， 故答案为：． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 【答案】，． 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集以及正整数解，先求出不等式的解集，进而可得到不等式的正整数解，正确求出一元一次不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， ∴不等式的正整数解为，． 3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元一次不等式组以及求一元一次不等式组的整数解．解各不等式，可得出x的取值范围，取其公共部分即可得出不等式组的解集，再将各整数解相加，即可求出结论． 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集， ∴不等式组所有整数解的和为． 4．（2023·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】； 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数a的值，再代入数据计算即可． 【详解】解： ， 解不等式得：， ∵a为正整数， ∴，，， ∵要使分式有意义， ∴， ∵当时，， ∴， ∴把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求作，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． ►题型05 以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组） 1．（2024·山西·模拟预测）（1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第一步是依据____________进行变形的； ②第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． 任务二： 请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）；（2）任务一：①不等式的基本性质．②三；移项时，的符号没有改变．任务二： 【分析】（1）首先计算负整数指数幂，化简绝对值，计算特殊角的三角函数值，然后计算加减； （2）任务一：①根据不等式的基本性质求解即可； ②根据移项的性质求解即可； 任务二：不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1） ； （2）任务一：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质进行变形的； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是移项时，的符号没有改变； 任务二： ． 【点睛】此题考查了负整数指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式，解题的关键是掌握以上运算法则 2．（2024·浙江金华·二模）解不等式小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ 【答案】①②⑤，过程见详解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：错误步骤：①②⑤， 正确的解答过程如下： ， ， ， ， ， ∴原不等式的解集为：． 3．（2023·宁夏·中考真题）解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得：         第1步         第2步         第3步         第4步 任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：， 【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论； 任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一：∵， ∴； ∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是； 故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，； 任务二：， ， ， ； 又， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答： 解：解不等式①， 去括号，得.…………………第一步 移向，得.…………………第二步 合并同类项，得.……………………第三步 系数化为1，得.………………………第四步 (1)以上解不等式①的过程中，从第 步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是 ，这一步的依据是 ； (2)将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来； (3)原不等式组的解集为 ； (4)此不等式组的最小整数解为 ． 【答案】(1)第四；；不等式的性质 (2)见解析 (3) (4)0 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据不等式的基本性质，即可解答； （2）将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来即可； （3）根据在数轴上表示出来解集，求出不等式组的解集即可； （4）求出不等式组的最小整数解即可． 【详解】（1）以上解不等式①的过程中，从第第四步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是，这一步的依据是不等式的性质； 故答案为：第四；；不等式的性质； （2）解不等式②得：， 解集表示在数轴上为： （3）原不等式组的解集为， 故答案为：； （4）此不等式组的最小整数解为0． 故答案为：0 ►题型06 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 1．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解集为，所以与化简所求解集相同，可得出等式，即可求得m． 【详解】解：由， ∴， 得：， ∵解集为， ∴ ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将运算转化为所熟悉的不等式． 2．（2021·广西·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据新定义运算规则，分别从和两种情况列出关于x的不等式，求解后即可得出结论． 【详解】解：由题意得，当时， 即时，， 则， 解得， ∴此时原不等式的解集为； 当时， 即时，， 则， 解得， ∴此时原不等式的解集为； 综上所述，不等式的解集是或． 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义运算规则列出关于x的不等式． 3．（2022·浙江·二模）对于实数a，b，定义一种运算“”：，那么不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案． 【详解】解：由题意可知不等式组可化为 ， 解不等式①得：x＜1， 解不等式②得：x≤-2， 此不等式组的解集在数轴上表示为： 所以上不等式组的解集为：x≤-2， 故选：B． 【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算以及一元一次不等式组的解法，本题属于基础题型． 4．（2024·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为 ． 【答案】，0，1 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解以及有理数的混合运算，根据，可以将不等式组转化为，然后求解即可． 【详解】由题意可得， 不等式组转化为， 解得． 所以不等式组的整数解为，0，1． 故答案为：，0，1． 命题点二 不等式（组）的含参问题 ►题型01 已知解集求参数的值或取值范围 1．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 【答案】B 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，可得，再结合已知可得，，然后进行计算可求出，的值，最后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：， ∵不等式组的解集是， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据一元一次不等式组的解集求参数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 3．（2024·浙江·中考真题）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，掌握运算法则是解题关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ， 故答案为：． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】根据不等式的性质解一元一次不等组，再根据不等式组的取值方法即可且求解． 【详解】解：， 由①得，；由②得，； ∵解集为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解不等式组，求不等式组解集，掌握解不等式组的方法，不等组的取值方法等知识是解题的关键． 5．（2023·山东日照·中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得， 故答案为：。 【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点是解题的关键。 ►题型02 已知整数解的情况求参数的值或取值范围 1．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 2．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为，根据不等式组有且只有三个整数解的条件计算出的最大值． 【详解】解不等式， ， ∴， ∴， 解不等式， 得， ∴， ∴的解集为， ∵不等式组有且只有三个整数解， ∴不等式组的整数解应为：2，3，4， ∴, ∴的最大值应为5 故选：C． 【点睛】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识． 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 4．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】分别求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解求参数的取值范围，熟练掌握解不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小大小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键． 5．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 所有整数解的和为， ①整数解为：、、、， ， 解得：， 为整数， ． ②整数解为：，，，、、、， ， 解得：， 为整数， ． 综上，整数的值为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键． ►题型03 已知不等式有/无解求参数的取值范围 解题方法：解不等式得到的最终形式有：，，，，对应有解或无解的情况如下表： 1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案． 【详解】解∶ ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴，解得：， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 2．（2023·山东泰安·二模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求字母的取值范围．根据不等式组有解得到关于a的不等式是解答本题的关键．先解两个不等式，根据不等式组有解，得到，解不等式即可求得答案． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 原不等式组有解， ， 解得：， 故答案为：． ►题型04 不等式与方程综合求参数的取值范围 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到、，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有两个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ， 是原分式方程的增根， ， 综上，，且，，为整数， 或， 所有满足条件的整数的和是．． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握根据不等式组解集的情况求参数及根据分式方程解的情况求值的方法． 2．（2024·四川南充·模拟预测）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解不等式组，得， ∵不等式组无解， ， 解得， 解分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得， ， ∵方程有整数解， 或或或， 的值可为2、0、3、，4、、7、， 又， ， 或或， 故选：D． 3．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， 解方程，得， 关于的分式方程的解为非负整数， 且，是偶数， 解得且，是偶数， 且，是偶数， 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：16． 4．（2024·河北沧州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据方程组的解满足知道将两方程相减是解题的关键．将方程组中两个方程相减可得，根据可得关于k的不等式，继而知k的范围． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 5．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】先求出二元一次方程组的解，代入中即可求k； 【详解】解：令①+②得，， 解得：， 将代入①中得，， 解得：， 将，代入得，， 解得：． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键． ►题型05 与含参不等式（组）有关的新定义问题 1．（2022·四川巴中·中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根． 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 3（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 【答案】(1)；(2)，图见解析 【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得； （2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】解：（1）= = = （2）∵， ∴ 解得： 将解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤 4．（2024·山东济宁·二模）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的知识，先解出不等式组的解集，再根据题干“子集”的定义，得出关于k的不等式，问题随之得解． 【详解】解：解不等式组得，． 又关于x的不等式的解集为：， ∵关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”， ∴． ∴． 故答案为：． 5．（2022·广东揭阳·模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据新定义的运算得出二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据新定义运算得出不等式组，然后求解得出，再由题意求解即可． 【详解】（1）由题意得， 解得，； （2）由题意得， 解得． ∵要使恰有2个整数解， ∴， 解得． 【点睛】题目主要考查对新定义运算的理解，二元一次方程组的解法，不等式组的解法，理解题意，熟练掌握各个运算法则是解题关键． ►题型06 以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组） 1．（2023·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 【答案】7（答案不唯一） 【分析】先解关于x、y的二元一次方程组的解集，再将代入，然后解关于a的不等式的解集即可得出答案． 【详解】将两个方程相减得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的一个整数值可以是7． 故答案为：7（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式，整体代入的思想方法是解答本题的亮点． 2．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一元一次不等式的求解，先求出不等式的解集，根据不等式有正数解可得关于的一元一次不等式，即可求出的取值范围，进而可得的值，求出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：不等式移项合并同类项得，， 系数化为得，， ∵不等式有正数解， ∴， 解得， ∴的值可以是， 故答案为：． 3．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组的一个整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法，解题的关键是正确掌握解一元一次不等式组的步骤．先解出一元一次不等式组的解集为，然后即可得出整数解． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的一个整数解为：； 故答案为：（答案不唯一）. 4．（2024·山东·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为空集，写一个符合该约束条件的m的值： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，分别解出不等式的解集，再根据不等式组的解集为空集，建立关于m的不等式求解，即可解题． 【详解】解：， 解①得：， 解得， 解②得：， 解得， 关于x的不等式组的解集为空集， ， 解得， 故答案为：（答案不唯一）． 5．（2024·贵州毕节·三模）（1）计算：； （2）对于以下三个不等式①、②、③，请从中任选两个不等式，组成一个不等式组，并解出这个不等式组的解集． 【答案】（1）5；（2）选①②，不等式组的解集为（答案不唯一） 【分析】本题考查实数的运算及解一元一次不等式组，熟练掌握相关运算法则及解不等式组的方法是解题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）两两组合，解一元一次不等式组即可，答案不唯一． 【详解】解：（1）原式 ； （2）选①②可得， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 该不等式组的解集为． 选②③可得， 解不等式③得：， 解不等式②得：， 该不等式组无解． 选①③可得， 解不等式①得：， 解不等式③得：， 该不等式组无解． 命题点三 不等式（组）的实际应用 ►题型01 列不等式（组） 1．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据数量关系式：小霞原来存款数+×月数＞小明原来存款数+×月数，把相关数值代入即可； 【详解】解：根据题意得， ， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用，得到两人存款数的关系式是解决本题的关键． 2．（2024·辽宁·模拟预测）丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进丹东九九草莓，运输过程中质量损失，超市计划销售这批草莓至少获得的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为x元/kg，根据题意，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出不等关系，列出不等式即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，这批草莓可卖元． 根据“这批草莓至少获得20%的利润”，得． 故选：B． 3．（2023·浙江·模拟预测）圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买A商品的定价为x元，并列出关系式为，则圆圆告诉芳芳的内容可能是（    ） A．买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元 B．买两件A商品可先减100元，再打2折，最后不到1000元 C．买两件A商品可先打8折，再减100元，最后不到1000元 D．买两件A商品可先打2折，再减100元，最后不到1000元 【答案】A 【分析】根据，可以理解为买两件减100元，再打7折得出总价小于1000元． 【详解】解：由关系式可知： ， 由，得出两件商品减100元，以及由得出买两件打8折， 故可以理解为：买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元． 故选：A 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据已知最后打8折，再得出不等关系是解题关键． ►题型02 利用不等式（组）解决实际问题 1．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 【答案】(1)50元、30元 (2)400棵 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可； （2）购买脐橙树苗a棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x元/棵，y元/棵， 根据题意，得， 解得， 答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵； （2）解：设购买脐橙树苗a棵，则购买黄金贡柚树苗棵， 根据题意，得， 解得， 答：最多可以购买脐橙树苗400棵． 2．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本． (2)数学书最多还可以摆90本 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． （2）设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 3．（2023·四川资阳·中考真题）端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元． (1)求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元? (2)若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子? 【答案】(1)每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元 (2)至少购进600个粽子 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系． （1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，根据“购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组并解答； （2）设购进个粽子，根据“全部售完后利润不低于1600元”列出不等式并解答． 【详解】（1）设每个粽子的进价为元，每个咸鸭蛋的进价为元，则： ． 解得． 答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元； （2）设购进个粽子， 根据题意，得． 解得． 因为是正整数，所以最小值取600． 答：至少购进600个粽子． 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元 (2)共有3种购买方案 (3)学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用， （1）设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解； （2）设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）设商家获得总利润为y元，即有一次函数，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购买一个甲种品牌毽子需a元，购买一个乙种品牌毽子需b元．由题意得：， 解得：， 答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元； （2）解：设购买甲种品牌毽子x个，购买乙种品牌毽子个． 由题意得：， 解得：， 和均为正整数， ，62，64， ，7，4， 共有3种购买方案． （3）设商家获得总利润为y元， ， ， ， 随x的增大而减小， 当时，， 答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元． $$null第二章 方程与不等式 第08讲 不等式（组）及其应用 （思维导图+4考点+3命题点14种题型（含3种解题技巧）） 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式的有关概念及性质 考点二 一元一次不等式 考点三 一元一次不等式组 考点四 不等式（组）及应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 解一元一次不等式（组） ►题型01 不等式的性质 ►题型02 直接解一元一次不等式（组） ►题型03 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 ►题型04 求一元一次不等式（组）的特殊解 ►题型05 以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组） ►题型06 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 命题点二 不等式（组）的含参问题 ►题型01 已知解集求参数的值或取值范围 ►题型02 已知整数解的情况求参数的值或取值范围 ►题型03 已知不等式有/无解求参数的取值范围 ►题型04 不等式与方程综合求参数的取值范围 ►题型05 与含参不等式（组）有关的新定义问题 ►题型06 以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组） 命题点三 不等式（组）的实际应用 ►题型01 列不等式（组） ►题型02 利用不等式（组）解决实际问题 01考情透视·目标导航 中考考点 考查频率 新课标要求 不等式的性质 ★ 结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质； 能用不等式的基本性质对不等式进行变形. 解不等式（组） ★★★ 能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集; 会用数轴确定两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. 不等式（组）解集的表示 ★ 不等式（组）的含参问题 ★★ 不等式（组）的特殊解 ★ 不等式（组）的实际应用 ★★ 能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式,解决简单的实际问题. 【考情分析1】本专题包含不等式的基本性质、一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，解题时注意不等式与等式性质的区别，试题多以选择题、填空题的形式出现，难度一般，题目中经常出现非负整数、正整数等名词，注意其含义. 对于不等式（组）中含参数问题，难度偏大，但是考察几率并不大，为避免丢分，学生应在复习过程中扎实掌握． 【考情分析2】用不等式(组)解决实际问题，多以解答题形式出现，难度一般，其多与二元一次方程组或分式方程等结合，解题的一般步骤类比列方程解应用题的步骤，依次为审、设、列、解、答.需要注意的是找出重要的数量信息，确定不等关系，以及“不超过”“不少于”等词语与不等号间的转化，问题中的“不超过”“不少于”“至少”“最多”等表示不等关系的词语在设未知量的过程中不体现，体现在列不等式上. 【备考建议】在备考过程中，建议学生加强对不等式（组）基础概念的理解，掌握一元一次不等式（组）的解法，并注重实际应用和综合题型的练习.同时，也要注意培养自己的思维能力和解题技巧，以便更好地应对各种命题形式. 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 不等式的有关概念及性质 1.不等式 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 常见的不等式基本语言与符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 2.不等式的解及解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 不等式的解集的表示方法：①用不等式表示；②用数轴表示. 不等式表示 x＞a x＜a x≥a x≤a 数轴表示 【易错点】用数轴上表示不等式的解集时，要注意两点： 1）确定边界点，若边界点表示的数是不等式的解，用实心圆点，若边界点表示的数不是不等式的解，则用空心圆圈； 2）确定方向，小于边界点表示的数时向左画，大于边界点表示的数时向右画. 解不等式的概念：求不等式的解集的过程，叫做解不等式. 3.不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 【补充说明】运用不等式的性质的注意事项： 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 1．（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南长沙·模拟预测）若，且，则（      ） A． B． C． D． 3．（2023·山东济南·中考真题）实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　　）    A． B． C． D． 4．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 5．（23-24七年级下·河南新乡·期中）选择适当的不等号填空：若，则 ． 考点二 一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 表示方法：1）用不等式表示.2）用数轴表示. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 【补充说明】在解一元一次不等式时，上述的五个步骤不一定都能用到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤. 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）要使有意义，则实数x的取值范围是 ． 2．（2024·福建·中考真题）不等式的解集是 ． 3．（2023·江苏宿迁·中考真题）不等式的最大整数解是 ． 4．（2023·山东日照·中考真题）若关于的方程解为正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 考点三 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 1．（2024·河南·中考真题）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）求不等式的整数解． 3．（2023·黑龙江大庆·中考真题）若关于的不等式组有三个整数解，则实数的取值范围为 ． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）解不等式组： 5．（2023·青海·中考真题）为丰富学生课余生活，提高学生运算能力，数学小组设计了如下的解题接力游戏： (1)解不等式组：； (2)当m取（1）的一个整数解时，解方程. 考点四 不等式（组）及应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 1．（2023·黑龙江大庆·中考真题）端午节是我国传统节日，端午节前夕，某商家出售粽子的标价比成本高25%，当粽子降价出售时，为了不亏本，降价幅度最多为（    ） A． B． C． D． 2．（2023宜宾市一模）八（1）班同学参加社会实践活动，在王伯伯的指导下，要围一个如图所示的长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为12m，设边的长为m，边的长为m．则与之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江台州·二模）州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（    ）      A．44 km B．45 km C．46 km D．47 km 4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，根据机器零件的设计图纸，用不等式表示零件长度的合格尺寸（的取值范围) ． 5．（2024·山东滨州·模拟预测）小明带10元钱想买一盒饼干和一袋牛奶，可是售货员阿姨说：本来10元钱够一盒饼干的，但再买一袋牛奶就不够了，今天是儿童节给你的饼干打9折，两样东西拿好，再找你8角钱，饼干的标价可是整数哦，请你帮小明算出牛奶和饼干的标价． 04题型精研·考向洞悉 命题点一 解一元一次不等式（组） ►题型01 不等式的性质 解题方法： 性质1 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 互逆性 若a＞b，则b＜a，若a＜b，则b＞a 传递性 若a＞b，b＞c，则a＞c 【易错点】在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 1．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 直接解一元一次不等式（组） 1．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·广西·中考真题）不等式的解集为 ． 3．（2024·北京·中考真题）解不等式组： 4．（2024·四川成都·中考真题）（1）计算：． （2）解不等式组： ►题型03 利用数轴表示一元一次不等式（组）的解集 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 1．（2023·浙江台州·中考真题）不等式的解集在数轴上表示为（    ）． A．   B．   C．   D．   2．（2024·江苏连云港·中考真题）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 3．（2024·西藏·中考真题）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 4．（2023·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得________________； (2)解不等式②，得________________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：    (4)原不等式组的解集为________________． ►题型04 求一元一次不等式（组）的特殊解 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 2．（2024·江苏盐城·中考真题）求不等式的正整数解． 3．（2024·山东淄博·中考真题）解不等式组：并求所有整数解的和． 4．（2023·山东烟台·中考真题）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． ►题型05 以注重过程性学习的形式考查一元一次不等式（组） 1．（2024·山西·模拟预测）（1）计算：． （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． ． 解：，第一步 ，第二步 ，第三步 ，第四步 ．第五步 任务一： 填空： ①以上解题过程中，第一步是依据____________进行变形的； ②第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________． 任务二： 请直接写出该不等式的正确解集． 2．（2024·浙江金华·二模）解不等式小明解答过程如图，请指出其中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 解：去分母得：① 去括号得：② 移项得：③ 合并同类项得：④ 两边都除以得：⑤ 3．（2023·宁夏·中考真题）解不等式组 下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务： 解：由①得：         第1步         第2步         第3步         第4步 任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______； 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 4．（2024·宁夏银川·模拟预测）下列是某不等式组的部分求解过程，请认真阅读并解答： 解：解不等式①， 去括号，得.…………………第一步 移向，得.…………………第二步 合并同类项，得.……………………第三步 系数化为1，得.………………………第四步 (1)以上解不等式①的过程中，从第 步开始出现错误，直接写出正确的计算结果是 ，这一步的依据是 ； (2)将不等式①和不等式②的解集在如图的数轴上表示出来； (3)原不等式组的解集为 ； (4)此不等式组的最小整数解为 ． ►题型06 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题 1．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值是（　　） A． B． C．1 D．2 2．（2021·广西·中考真题）定义一种运算：，则不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D．或 3．（2022·浙江·二模）对于实数a，b，定义一种运算“”：，那么不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，例如：．根据上述定义，不等式组的整数解为 ． 命题点二 不等式（组）的含参问题 ►题型01 已知解集求参数的值或取值范围 1．（2023·湖北鄂州·中考真题）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2023 2．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·中考真题）关于x的一元一次不等式组的解为，则m的取值范围为 ． 4．（2023·湖北黄石·中考真题）若实数使关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 5．（2023·山东日照·中考真题）若点在第四象限，则m的取值范围是 ． ►题型02 已知整数解的情况求参数的值或取值范围 1．（2023·四川眉山·中考真题）关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 4．（2023·山东聊城·中考真题）若不等式组的解集为，则m的取值范围是 ． 5．（2023·四川宜宾·中考真题）若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为 ． ►题型03 已知不等式有/无解求参数的取值范围 解题方法：解不等式得到的最终形式有：，，，，对应有解或无解的情况如下表： 1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组无解，则的取值范围是 ． 2．（2023·山东泰安·二模）若关于的不等式组有解，则的取值范围为 ． ►题型04 不等式与方程综合求参数的取值范围 1．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·模拟预测）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 3．（2024·重庆·中考真题）若关于的不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 4．（2024·河北沧州·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组的解满足，求k的取值范围． ►题型05 与含参不等式（组）有关的新定义问题 1．（2022·四川巴中·中考真题）对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 3（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：． （1）求； （2）若，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集． 4．（2024·山东济宁·二模）定义：若一元一次不等式组的解集（不含无解）都在一元一次不等式的解集范围内，则称该一元一次不等式组为该不等式的“子集”．如：不等式组的解集为，不等式的解为， ∵在的范围内， ∴一元一次不等式组是一元一次不等式的“子集”． 若关于x的不等式组是关于x的不等式的“子集”，则k的取值范围是 ． 5．（2022·广东揭阳·模拟预测）已知，为常数，对实数，定义，我们规定运算为：，这里等式右边是通常的代数四则运算，例如：若，． (1)求常数，的值； (2)若关于的不等式组恰好有个整数解，求实数的取值范围． ►题型06 以开放性试题的形式考查解一元一次不等式（组） 1．（2023·四川泸州·中考真题）关于，的二元一次方程组的解满足，写出的一个整数值 ． 2．（2024·山东烟台·中考真题）关于的不等式有正数解，的值可以是 （写出一个即可）． 3．（2024·山东·中考真题）写出满足不等式组的一个整数解 ． 4．（2024·山东·模拟预测）若关于x的不等式组的解集为空集，写一个符合该约束条件的m的值： ． 5．（2024·贵州毕节·三模）（1）计算：； （2）对于以下三个不等式①、②、③，请从中任选两个不等式，组成一个不等式组，并解出这个不等式组的解集． 命题点三 不等式（组）的实际应用 ►题型01 列不等式（组） 1．（2023·浙江·中考真题）小霞原有存款元，小明原有存款元．从这个月开始，小霞每月存元零花钱，小明每月存元零花钱，设经过个月后小霞的存款超过小明，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁·模拟预测）丹东九九草莓是一种品质优良、花朵大、果实颜色鲜艳且糖度高的草莓品种，广泛栽培于辽宁省的丹东市和周边地区．因其好看、好吃等特点，在市场上备受欢迎．某大型超市从生产基地花费4000元购进丹东九九草莓，运输过程中质量损失，超市计划销售这批草莓至少获得的利润（不计其他费用），售价至少定为多少？设售价定为x元/kg，根据题意，可列不等式为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江·模拟预测）圆圆将某服饰店的促销活动内容告诉芳芳后，假设芳芳购买A商品的定价为x元，并列出关系式为，则圆圆告诉芳芳的内容可能是（    ） A．买两件A商品可先减100元，再打8折，最后不到1000元 B．买两件A商品可先减100元，再打2折，最后不到1000元 C．买两件A商品可先打8折，再减100元，最后不到1000元 D．买两件A商品可先打2折，再减100元，最后不到1000元 ►题型02 利用不等式（组）解决实际问题 1．（2024·湖南·中考真题）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元． (1)求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价； (2)该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？ 2．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 3．（2023·四川资阳·中考真题）端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元． (1)求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元? (2)若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子? 4．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元． (1)购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？ (3)若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）的条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？ $$