专题6.8 角中常用数学思想【八大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版2024）

专题6.8 角中常用数学思想【八大题型】 【苏科版2024】 【题型1 方程思想之用角的和差列方程】 1 【题型2 方程思想之用平角、周角列方程】 5 【题型3 整体思想之设单角参数求角度】 10 【题型4 整体思想之设双角参数求角度】 18 【题型5 分类讨论思想之按角的内外部分类】 25 【题型6 分类讨论思想之按顺逆时针分类】 29 【题型7 分类讨论思想之n等分角】 39 【题型8 数形结合求角度】 44 知识点1：角的和差列方程 结论:ABE=ABC+CBD+DBE. 【题型1 方程思想之用角的和差列方程】 【例1】（23-24七年级·山东淄博·期中）已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【答案】(1) ； ；成立，理由见解析； (2)，证明见解析． 【分析】（）根据已知角的度数求出，再根据平角定义求出的度数即可；由中求出的结果即可求解； 根据已知角的度数表示出，再根据平角定义表示出的度数，可得和的数量关系； （）依据前面的方法表示出，表示出，可得和 的数量关系； 本题考查了角的和差，角平分线的定义，正确认图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 由中的结果可得， 故答案为：； 中的关系仍然成立，理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即； （2）解：不成立，和的数量关系为． 证明：设， ∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 即． 【变式1-1】（23-24七年级·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算和角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．设，则，得到，则，解得，则，即可求出的度数． 【详解】解：设，则， 由题意可知，， ， ∴ 解得，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴ 故选：D． 【变式1-2】（23-24七年级·重庆开州·期末）如图，已知，平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据角平分线的定义可以推出，结合，即可求出的值，进而得到的度数． 【详解】解：，平分，且， 设，则， ， ， 解得：， ， 故选：． 【点睛】本题考查的是角度计算，涉及到角平分线的定义以及方程思想，熟练掌握角平分线的定义并灵活运用是解答本题的关键． 【变式1-3】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，，射线，分别平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差倍分，设未知数，列出一元一次方程，是解题的关键．首先设设，则，，然后利用角的和差关系和角平分线的定义列出方程，即可求出的度数． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵射线、分别平分，， ∴，， 又∵， ∴，解得：， ∴． 故选：B． 知识点2：用平角、周角列方程 条件:A,B,C三点共线 结论:ABD+DBC=180° 条件:已知射线OA,OB,OC. 结论:AOB+BOC+AOC=360° 【题型2 方程思想之用平角、周角列方程】 【例2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键；根据，设，，根据即可求解． 【详解】解：设，则； ∵平分； ∴； 因为； ∴； 解得：； 所以； ∵； ∴； ∴； 故选：C． 【变式2-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【答案】132 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设，，根据，得，再根据角平分线的定义得，由平角的定义得，即，将代入可得，进而可求出，然后再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：132． 【变式2-2】（23-24七年级·湖北恩施·期末）已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得的度数是解决问题的关键．分两种情况进行讨论：在上方，或在下方，先依据已知条件求得的度数，再根据，即可得到结果． 【详解】解：分两种情况进行讨论：①如图1所示，若在上方， 平分， ， ， ，即， 设，则，， 为平角， ， 即， 解得， ， 又， ， ； ②如图2所示，若在下方， 同理可得，， 又， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【变式2-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期末）如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设∠DOE=x°，∠BOD=2x°或x°，表示出其他角，根据平角列方程即可． 【详解】解：设∠DOE=x°，射线将分成了角度数之比为的两个角， 当∠DOE:∠BOD=2:1时，∠BOD=x°，=x°， ∵平分， ∴=x°， ∵∠COD=180°， ∴x+x+90+ x=180， 解得，x=45； ∠COF=2∠AOC=45°； 当∠BOD: ∠DOE =2:1时，∠BOD=2x°，=2x°， 同理， =2x°， 2x+2x+90+ x=180， 解得：x=18， ∠COF=2∠AOC=72°； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的运算、角的度量和角平分线，解题关键是根据角度比设未知数，表示出其他角，然后根据平角列方程，注意分类讨论． 【题型3 整体思想之设单角参数求角度】 【例3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB． (1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______° (2)如图②，若，，则______° (3)如图③，在∠AOB内，若，则______° (4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数． 【答案】(1)80 (2)80 (3) (4)或 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，，则； （2）根据角平分线的定义得到，，而，则，所以； （3）与（2）一样得到，，则； （4）反向延长、得到、，然后分类讨论． 【详解】（1）解：、是的三等分线， ， 射线、分别平分和， ，， ； 故答案为80； （2）解：射线、分别平分和， ，， ， ，， ， ； 故答案为80； （3）解：射线、分别平分和， ，， ， ，， ， ， ； 故答案为； （4）解：反向延长、得到、，如图， 当、在内部， 设，则， ，， ； 当、在内部，可计算得到； 当、在内部，可计算得到； 【点睛】本题考查了角度的计算，也考查了角平分线的定义，熟练掌握角的和差关系是解题的关键． 【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·开学考试）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不变，是定值，见解析． 【分析】本题考查了角度的计算以及角的平分线的定义，理解角度之间的和差关系是解题的关键． ∠AOE-∠BOF的值是定值， （1）首先根据角平分线的定义求得，，然后求解即可； （2）首先由题意可得，再根据角平分线的定义得出，，然后由角平分的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：是定值．理由如下： 由题意：， 则，， ∵平分，平分， ∴， ， ． ∴的值是定值，定值为． 【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD． (1)如图1，当OA，OC重合时，求∠EOF的度数； (2)若将∠COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°. ①如图2，试判断∠BOF与∠COE之间满足的数量关系并说明理由. ②在∠COD旋转过程中，请直接写出∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系. 【答案】(1)∠EOF=50°；(2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由见解析；②∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°. 【分析】(1)由题意得出∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝140°，由角平分线定义得出∠EOD＝∠AOD＝20°，∠DOF＝∠BOD＝70°，即可得出答案； (2)①由角平分线定义得出∠EOD＝∠AOE＝∠AOD＝20°+α，∠BOF＝∠BOD＝70°+α，求出∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°﹣α，即可得出答案； ②由①得∠EOD＝∠AOE＝20°+α，∠DOF＝∠BOF＝70°+α， 当∠AOC＜40°时，求出∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝30°+α，∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝120°+α，即可得出答案； 当40°＜∠AOC＜90°时，求出∠COF＝∠DOF+∠DOC＝150°﹣α，∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝120°+，即可得出答案. 【详解】解：(1)∵OA，OC重合， ∴∠AOD＝∠COD＝40°，∠BOD＝∠AOB+∠COD＝100°+40°＝140°， ∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD， ∴∠EOD＝∠AOD＝×40°＝20°，∠DOF＝∠BOD＝×140°＝70°， ∴∠EOF＝∠DOF﹣∠EOD＝70°﹣20°＝50°； (2)①∠BOF+∠COE＝90°；理由如下： ∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD， ∴∠EOD＝∠AOE＝∠AOD＝(40°+α)＝20°+α，∠BOF＝∠BOD＝(∠AOB+∠COD+α)＝(100°+40°+α)＝70°+α， ∴∠COE＝∠AOE﹣∠AOC＝20°+α﹣α＝20°﹣α， ∴∠BOF+∠COE＝70°+α+20°﹣α＝90°； ②由①得：∠EOD＝∠AOE＝20°+α，∠DOF＝∠BOF＝70°+α， 当∠AOC＜40°时，如图2所示： ∠COF＝∠DOF﹣∠COD＝70°+α﹣40°＝30°+α， ∠BOE＝∠BOD﹣∠EOD＝∠AOB+∠COD+α﹣∠EOD＝100°+40°+α﹣(20°+α)＝120°+α， ∴∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝120°+α+30°+α﹣α＝150°， 当40°＜∠AOC＜90°时，如图3所示： ∠COF＝∠DOF+∠DOC＝(360°﹣140°﹣α)+40°＝150°﹣α， ∠BOE＝∠BOD﹣∠DOE＝140°+α﹣(20°+α)＝120°+， ∴∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝150°﹣+α﹣(120°+)＝30°； 综上所述，∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系为∠BOE+∠COF﹣∠AOC＝150°或∠COF+∠AOC﹣∠BOE＝30°.        【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知角度的和差关系及角平分线的性质. 【变式3-3】（23-24七年级·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数． （2）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转到图2所示的位置，、仍然是，的平分线．试求的度数． （3）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转，、仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，的度数会发生改变，见解析 【分析】本题考查三角板中角度的计算，与角平分线有关的计算．找准角度之间的和差关系，是解题的关键． （1）结合角平分线的定义以及，进行求解即可； （2）设，则，，同法（1）进行求解即可； （3）分，和，三种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； （2）设，则，， ∵、分别平分、， ∴， ， ∴ ； （3）的度数会发生改变． 当时， 如图，设，则，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴ ； 当时，如图， 设，则， ∵、分别平分、， ∴， ， ∴ ， ， ∴， ∴， 当时，如图2，， 综上所述，当时，的度数会发生改变． 【题型4 整体思想之设双角参数求角度】 【例4】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及角平分线性质、角度和差倍分关系、解方程等知识，由角平分线定义及题中条件，设，，则，数形结合，根据角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】解： 是的平分线， ， ， ， 设，，则， ，则， 由①②得，即， 故选：B． 【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题： （1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在内部作射线． ①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向； ②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数. （2）已知点不在同一条直线上，，平分，平分，用含的式子表示的大小. 【答案】（1）①射线OC表示的方向为北偏东60°；②45°；（2）∠MON为或或． 【分析】（1）①根据∠MOC=∠AOC-∠AOM代入数据计算，即得出射线OC表示的方向； ②根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解； （2）分射线OC在∠AOB内部和外部两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵∠MOC＝∠AOC﹣∠AOM＝150°﹣90°＝60°， ∴射线OC表示的方向为北偏东60°； （2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB， ∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC， ∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°， ∴3∠NOC+∠NOC＝90°， ∴4∠NOC＝90°， ∴∠BON＝2∠NOC＝45°， ∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON ＝180°﹣90°﹣45° ＝45°； Ⅱ、①如图1： ∵∠AOB＝α，∠BOC＝β ∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+30°＝120° ∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC， ∴∠AOM＝∠BOM＝∠AOB＝α，∠CON＝∠BON＝∠COB＝β， ∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝； ②如图2， ∠MON＝∠BOM﹣∠BON＝； ③如图3， ∠MON＝∠BON﹣∠BOM＝．… ∴∠MON为或或． 【点睛】此题考查了角的计算，余角和补角，本题难度较大，关键是熟练掌握角的和差倍分关系． 【变式4-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知，∠AOB＝3∠COD，∠COD＝α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∠COD绕着点O顺时针旋转． (1)若α＝45°． ①如图1，当∠COD旋转到OC与OB重合时，求∠EOF的度数； ②如图2，当∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，求∠EOF的度数； (2)若0°＜α＜60°，∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转一周，则∠BOF的度数为 　　． 【答案】(1)①90°；②90° (2)2或180°−2． 【分析】（1）①由α＝45°，OC与OB重合，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC＝67.5°，∠BOF＝22.5°，即得∠EOF＝∠EOC＋∠BOF＝90°； ②根据∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，可得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝135°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋45°，而OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC，∠DOF，根据∠COF＝∠COD−∠DOF，即得∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝90°； （2）设∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转，旋转角度数是x，分三种情况：①当∠AOB＋x≤180°时，根据∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝3α＋x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，可得∠EOC，∠DOF，即得∠COF＝∠DOF−∠COD，故∠EOF＝∠EOC−∠COF＝2α，②当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD≤180°时，由∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3α−x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，同理可得∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝180°−2α，③当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD＞180°时，同理可得∠EOF＝∠DOF−∠DOE＝2α． 【详解】（1）解：①∵＝45°， ∴∠COD＝45°，∠AOB＝3＝135°， ∵OC与OB重合， ∴∠BOD＝45°，∠AOC＝135°， ∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠EOC＝∠AOC＝67.5°，∠BOF＝∠BOD＝22.5°， ∴∠EOF＝∠EOC＋∠BOF＝90°； ②∵∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45， ∴∠BOC＝n°， ∴∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝135°＋n°，∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝n°＋45°， ∵OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠EOC＝∠AOC＝67.5°＋n°，∠DOF＝∠BOD＝n°＋22.5°， ∴∠COF＝∠COD−∠DOF＝45°−（n°＋22.5°）＝22.5°−n°， ∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝67.5°＋n°＋22.5°−n°＝90°； （2）设∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转，旋转角度数是x， ①当∠AOB＋x≤180°时，如图： ∵∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝3＋x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠EOC＝∠AOC＝，∠DOF＝∠BOD＝ ， ∴∠COF＝∠DOF−∠COD＝ ， ∴∠EOF＝∠EOC−∠COF＝， ②当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD≤180°时，如图： ∵∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3−x，∠BOD＝∠BOC＋COD＝x＋，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠EOC＝∠AOC＝，∠DOF＝∠BOD＝， ∴∠COF＝∠DOF−∠COD＝ ∴∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝ ③当∠AOB＋x＞180°而x＋∠COD＞180°时，如图： ∵∠AOC＝360°−（∠AOB＋∠BOC）＝360°−3−x，∠BOD＝360°−（∠BOC＋COD）＝360°−x−，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD， ∴∠EOC＝∠AOC＝180°−，∠DOF＝ ∠BOD＝， ∴∠DOE＝∠EOC−∠COD＝， ∴∠EOF＝∠DOF−∠DOE＝， 综上所述，∠EOF为2或180°−2． 故答案为：2或180°−2． 【点睛】本题考查运动的角，解题的关键是分类画出图形，数形结合，利用角平分线及角的和差解决问题． 【变式4-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了角平分线和角三等分线的计算，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．为的三等分线，设，则或2x，再由平分，设，则，则或，由此求解即可． 【详解】解：∵为的三等分线，设，则或2x， ∵平分，设，则， 则或， ∵平分， ∴或， ∴或x， ∵， ∴或， ∴或． 故答案为：或． 知识点3：按角的内外部分类 条件:已知AOB,射线OC,AOB>AOC. 结论:当OC 在AOB 内部时,BOC1=AOB-AOC1； 当OC 在AOB 外部时,BOC2=AOB+AOC2 【题型5 分类讨论思想之按角的内外部分类】 【例5】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和与差，角的n等分线．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．分类讨论：当位于内部时和当位于外部时，解答即可． 【详解】解：如图1，当位于内部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 如图2，当位于外部时， ∵，是的平分线， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴， ∴； 综上可知 或． 故选：A． 【变式5-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC= ． 【答案】15°或135°． 【分析】分射线OC在∠AOB的内部和外部两种情况进行讨论求解即可． 【详解】分两种情况：①如图1，当射线OC在∠AOB的内部时，设∠AOC=5x， ∠BOC=4x， ∵∠AOB=∠AOC+∠BOC=27°， ∴5x+4x=27， 解得：x=3， ∴∠AOC=15°； ②如图2，当射线OC在∠AOB的外部时，设∠AOC=5x，∠BOC=4x， ∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，又∠AOB=27°， ∴5x=27+4x， 解得：x=27 ∴∠AOC=135°， 故答案为15°或135°． 【点睛】考查了角的计算．属于基础题，关键是分两种情况进行讨论． 【变式5-2】（23-24七年级·山西运城·期末）已知点A，O，B依次在同一直线上，射线平分，，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了平角的定义，角平分线的定义，角的和差，熟练掌握相关知识是解答本题的关键，由角平分线的定义得为平角的一半，即，然后分在内部和外部两种情况，分别求出和的度数，最后根据角的和差求解即得答案． 【详解】点A，O，B依次在同一直线上， 射线平分， 当在内部时，如图1， 平分， 当在外部时，如图2， 平分， 的度数是或 故选：D． 【变式5-3】（23-24七年级·重庆渝中·开学考试）已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 【答案】C 【分析】分当在内部时，当在外部时，分别求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，当在内部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 如图2所示，当在外部时， ∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； 综上所述，的角度是30度或120度， 故选C． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 知识点4：按顺逆时针分类 条件:已知AOB,射线 OC,AOB<AOC. 结论:(1)BOC1=AOC1-AOB；(2)BOC2=AOB+AOC2；(3)AOC3+BOC3+AOB=360°． 【题型6 分类讨论思想之按顺逆时针分类】 【例6】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转． (1)当时，求的度数； (2)若． ①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值； ②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）根据题意求得OD与OA重合，∠AOC＝20°，即可得到∠COD的度数； （2）①分三种情况，列出方程，解方程即可得到答案；②先证明运动至外部．由，，可以得到，又因为平分，则，从而求出，再求得，即可求得答案． 【详解】（1）解：依题意，当时，射线运动的度数为， ∵， ∴此时与重合， 射线运动的度数为， 即， ∴当时，． （2）①若时，分下面三种情形讨论： （i）如图1， 当时，， ∴，符合． （ii）如图2， 当时，， ∴，符合． （iii）如图3， 当时，， ∴，不在范围内，舍去． 综上所得或． ②如图4， ∵， ∴，， ∴最大度数为，最大度数为． ∵， ∴当时，， ∴，即， ∴运动至外部． 此时，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴． 【点睛】此题主要考查了与角平分线有关的计算、图形的旋转、角之间计算、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是找到等量关系列方程． 【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°． (1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小； (2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小． (3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值． 【答案】(1)∠AOD+∠BOC=170° (2)∠MON的大小为65° (3)t的值为5或11或或 【分析】（1）∠AOD+∠BOC可化为∠AOB+∠COD，计算即可； （2）根据角平分线的定义得到∠AON=AOD，∠BOM=∠BOC，进而得到∠MON=∠AOB-(∠AOD+∠BOC)，计算可得； （3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：当OC未到达OB时，分两种情况；当OC到达OB后返回时，分两种情况；分别画出图形列方程解答． 【详解】（1）解：∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°． ∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°； （2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD， ∴∠AON=AOD，∠BOM=∠BOC， ∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB-(∠AOD+∠BOC)=150°-85°=65°； （3）当OC未到达OB时，分两种情况： ①如图： 此时30t+20-10t=120， 解得t=5； ②如图： 360-30t-20+10t=120， 解得t=11； 当OC到达OB后返回时，分两种情况： ①如图： 此时30t-360-（300-15t-20）=120， 解得t=； ②如图： 此时（720-30t）-20+（300-15t）=120， 解得t=， 综上，t的值为5或11或或． 【点睛】此题考查了角的旋转，角平分线的计算，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数． 【变式6-2】（23-24七年级·广东佛山·期末）已知： （1）如图1，吗？请说明理由． （2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由． （3）若，，求的大小． 【答案】（1），见解析；（2）直线平分，见解析；（3）150°或110° 【分析】（1）根据角的和差关系可得结论； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分在内部和外部两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1）．理由如下： 即 （2）直线平分．理由如下： ， 又 直线平分 即直线平分． （3）， ， ①当在内部时，如图所示： ②当在外部时，如图所示： 综上所述，的度数为150°或110°． 【点睛】本题考查了解度的计算，角平分线的定义，正确识别图形是解题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度 至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为或30 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据题意算出的度数，利用即可算出的度数； （2）根据旋转性质可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度数，根据是的内半角，即可求出α的值； （3）根据旋转一周构成内半角的情况总共有两种，分别画出图形，求出对应t值即可． 【详解】（1）解：∵是的内半角，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：， ∴α的值为； （3）解：①如图所示，此时是的内半角， 由旋转性质可知：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； ②如图所示，此时是的半角， 由旋转性质可得：， ∴， ∵是的内半角， ∴，即， 解得：； 综上所述：当射线构成内半角时，t的值为或30． 知识点5：按顺逆时针分类 条件:AOC=BOC 结论:∠AOC1= ∠AOB 或AOC2=180°-AOB． 条件:AOC= BOC 结论:AOC1= AOB 或AOC2= AOB 【题型7 分类讨论思想之n等分角】 【例7】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 【变式7-1】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的和差，正确分情况讨论是解题关键．分四种情况：时， 时，时，时，再根据角的和差进行计算即可． 【详解】解：由题意，分以下四种情况： ①当时，射线是的“幸运线”， ∵， ； ②当时，射线是的“幸运线”， ∵， ， ； ③当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； ④当时，射线是的“幸运线”， ∵，， ， 解得； 综上，的度数为或或， 故答案为：或或． 【变式7-2】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】 （1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数； ②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3） 【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算． （1）根据题意可得：，，进而得出答案； （2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可； ②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案； （3）设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案． 【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且， 所以，， 所以． 所以． （2）①因为，分别为和的三倍分线（，）， 所以，， 因为， 所以， 所以，， 所以，， 所以． ②不变．理由如下： 因为，分别为和的三倍分线，，， 所以，， 所以 ； （3）设， 因为， 所以， 因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，， 所以． 【变式7-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“妙分线”． (1)如图1，若，且射线是的“妙分线”，求的度数． (2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“妙分线”． 【答案】(1)或或； (2)当t为或12或20时，射线是的“妙分线” 【分析】本题考查了本题考查了角度的计算，一元一次方程的应用，妙分线定义； （1）根据妙分线定义即可求解； （2）分3种情况：当时，当时，当时，根据妙分线定义即可求解． 【详解】（1）解：∵，且射线在的“妙分线”， ∴或或， ∴或或； （2）解：根据题意得： 当时， ， 解得； 当时， ， 解得； 当时， ， 解得． 故当t为或或时，射线是的“妙分线”． 【题型8 数形结合求角度】 【例8】（23-24七年级·广东佛山·期末）数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题： （1）如图1：射线是的平分线，这时有数量关系：______． （2）如图2：被射线分成了两部分，这时有数量关系：______． （3）如图3：直线上有一点，射线从射线开始绕着点顺时针旋转，直到与射线重合才停止． ①请直接回答与是如何变化的？ ②与之间有什么关系？请说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一）；（2）；（3）①逐渐增大，逐渐减小；②，见解析． 【分析】（1）根据角平分线定义容易得出结论； （2）根据图形解答； （3）①由射线从射线开始绕着点顺时针旋转可知逐渐增大，逐渐减小；②由∠AMB是平角即可得出结论． 【详解】解：（1）∵射线是的平分线， ∴， 故答案为：（或）； （2）由图可知，， 故答案为：； （3）①逐渐增大，逐渐减小； ②． 证明：∵，， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线定义，角的有关计算，注意利用数形结合的思想． 【变式8-1】（23-24七年级·山东济宁·期末）材料阅读 角是一种基本的几何图像，如图1角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．钟面上的时针与分针给我们以角的形象．如果把图2作为钟表的起始状态，对于一个任意时刻时针与分针的夹角度数可以用下面的方法确定． 因为时针绕钟面转一圈（）需要12小时，所以时针每小时转过． 如图3中时针就转过． 因为分针绕钟面转一圈（）需要60分钟，所以分针每分钟转过． 如图4中分针就转过． 再如图5中时针转过的度数为，分针转过的度数记为，此时，分针转过的度数大于时针转过的度数，所以时针与分针的夹角为． 知识应用 请使用上述方法，求出时针与分针的夹角． 拓广探索 张老师某周六上午7点多去菜市场买菜，走时发现家中钟表时钟与分针的夹角是直角，买菜回到家发现钟表时针与分针的夹角还是直角，可以确定的是张老师家的钟表没有故障，走时正常，且回家时间还没到上午8点，请利用上述材料所建立数学模型列方程，求出张老师约7点多少分出门买菜？约7点多少分回到家？（结果用四舍五入法精确到分．） 【答案】知识应用：100°；拓广探索：张老师约7点22分出门买菜，约7点55分回到家 【分析】知识应用： 根据题干中的思路先求出时针转过的度数，然后再求出分针转过的度数，然后让大的度数减小的度数即可得出答案； 拓广探索： 根据材料可以确定张老师出门时时针转过的角度比分针转过的角度多，而张老师回家时分针转过的角度比时针转过的角度多，据此可列出两个方程，分别解方程即可． 【详解】知识应用： 解:7:20时针转过的度数为， 分针转过的度数记为， ∴7:20时针与分针的夹角为 拓广探索： 设张老师7点分出门，由题意列方程得 解得 设张老师7点分回家，由题意列方程得 解得 答：张老师约7点22分出门买菜，约7点55分回到家 【点睛】本题主要考查钟表中的角度问题，理解材料中给出的计算角度的方法并掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【变式8-2】（23-24七年级·云南昆明·期末）分类讨论是一种非常重要的数学思想方法．如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若，，求的值． 情况①若，，则， 情况②若，，则， 情况③若，，则， 情况④若，，则， 所以，的值为1，，5，． 几何的学习过程中也有类似的情况： 问题1   已知点A，B，C在同一条直线上，若，，求AC的长． 通过分析我们发现，满足题意的情况有两种． 情况①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，__________； 情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，__________． 我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类． 问题2   如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是和2，点C是数轴上一点，且，则点C表示的数是多少？仿照问题1，结合图形写出分类情况和对应的点C表示的数． 问题3   如图4，，过点O引射线OC和射线OM，且射线OM平分，若，画出图形并计算的度数． 【答案】问题1：11，5；问题2：或；问题3：或 【分析】本题考查了数轴，线段的和差，角的计算，注意分类讨论思想的运用： 问题1：分两种情况进行讨论：①当点C在点B的右侧时，②当点C在点B的左侧时，分别依据线段的和差关系进行计算； 问题2：分两种情况进行讨论：①当点C在点B的左侧时，②当点C在点B的右侧时，分别依据进行计算； 问题3：分两种情况进行讨论：①若在上方，②若在下方，分别依据角的和差关系进行计算． 【详解】问题1  解：情况①当点在点的右侧时， 如图1，此时，； 情况②，当点在点的左侧时，如图2，此时，； 故答案为：11，5； 问题2 ①当点在点左侧时， 数轴上点和点表示的数分别是和2， ， ， ， 点表示的数为：， ②当点在点右侧时， 数轴上点和点表示的数分别是和2， ， ， ， 点表示的数为：； 综上所述，点表示的数为：或； 问题3  解：①若在上方，作图如下： ， ， 平分， ， ， ②若在下方，作图如下： ， ， 平分， ， ， 综上所述，的度数为：或． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏镇江·期末）游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且． (1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°； (2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时． ①求此时的的度数； ②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数； ③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12；45 (2)①；②转动时间为， ；③存在，t的值为或 【分析】本题考查角度的和差计算，一元一次方程的几何应用，角平分线的相关计算等知识，理解各角之间的数量关系和正确表示出各角是解题的关键． （1）利用转动一周的时间和周角的大小即可求出摩天轮每分钟转动的角度，根据周角平分成16份，而占其中的两份即可得解； （2）①结合图形，利用角度的和差关系即可得解； ②作的角平分线交于，则，从而求出转动的角度，继而求出转动时间，同时转动的角度也是，从而求出； ③用t表示出和，再利用列方程求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：摩天轮每分钟转动的角度是：，， 故答案为：12；45； （2）①∵，， ∴， 又∵， ∴； ②作的角平分线交于， 则， ∴，即转动的角度是， ∴转动时间为，转动的角度也是， ∴等于转动的角度减去原来的角度， 即； ③存在，t的值为或，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴点到达到最高处时，时间为：， ∴． 依题意得：，， ∵，即， 解得：或， ∴存在，t的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.8 角中常用数学思想【八大题型】 【苏科版2024】 【题型1 方程思想之用角的和差列方程】 1 【题型2 方程思想之用平角、周角列方程】 3 【题型3 整体思想之设单角参数求角度】 4 【题型4 整体思想之设双角参数求角度】 6 【题型5 分类讨论思想之按角的内外部分类】 8 【题型6 分类讨论思想之按顺逆时针分类】 9 【题型7 分类讨论思想之n等分角】 11 【题型8 数形结合求角度】 13 知识点1：角的和差列方程 结论:ABE=ABC+CBD+DBE. 【题型1 方程思想之用角的和差列方程】 【例1】（23-24七年级·山东淄博·期中）已知点是直线上的一点，是三条射线，，是的平分线． (1)当时． 若射线在直线的同侧（图），，求的度数 根据中的结果，猜想和的数量关系是_______； 当与在直线两旁时（如图），设，请通过计算，用的代数式表示，说明中的关系是否仍然成立； (2)当，与在直线两旁时（如图），上述和的数量关系是否仍然成立？若成立，请仿照中的方法说明理由；若不成立，请写出和此时具备的数量关系并证明． 【变式1-1】（23-24七年级·重庆·期末）如图，将一副三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点O，若，为的角平分线，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24七年级·重庆开州·期末）如图，已知，平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级·甘肃庆阳·期末）如图，，射线，分别平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 知识点2：用平角、周角列方程 条件:A,B,C三点共线 结论:ABD+DBC=180° 条件:已知射线OA,OB,OC. 结论:AOB+BOC+AOC=360° 【题型2 方程思想之用平角、周角列方程】 【例2】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，直线，相交于点O，，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【变式2-2】（23-24七年级·湖北恩施·期末）已知和互为邻补角，平分，射线在内部，且，，，则 ． 【变式2-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期末）如图，直线相交于点，平分，射线将分成了角度数之比为的两个角，则的大小为（ ） A． B． C．或 D．或 【题型3 整体思想之设单角参数求角度】 【例3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知，OC、OD是过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB． (1)如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，则______° (2)如图②，若，，则______° (3)如图③，在∠AOB内，若，则______° (4)将（3）中的∠COD绕着点O逆时针旋转到∠AOB的外部（，），求此时∠MON的度数． 【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·开学考试）已知，．平分，平分． (1)如图①，当重合时，求的值； (2)当从图①所示位置绕点O以每秒的速度顺时针旋转t秒（）；在旋转过程中的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由． 【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠AOB＝100°，∠COD＝40°，OE，OF分别平分∠AOD，∠BOD． (1)如图1，当OA，OC重合时，求∠EOF的度数； (2)若将∠COD的从图1的位置绕点O顺时针旋转，旋转角∠AOC＝α，且0°＜α＜90°. ①如图2，试判断∠BOF与∠COE之间满足的数量关系并说明理由. ②在∠COD旋转过程中，请直接写出∠BOE，∠COF，∠AOC之间的数量关系. 【变式3-3】（23-24七年级·江苏泰州·期末）（1）将一副直角三角板，按如图1所示位置摆放，，．分别作，的平分线，．试求的度数． （2）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转到图2所示的位置，、仍然是，的平分线．试求的度数． （3）将三角板从图1位置开始绕点顺时针旋转，、仍然是，的平分线．在旋转的过程中，的度数会发生改变吗？请说明理由． 【题型4 整体思想之设双角参数求角度】 【例4】（23-24七年级·河南驻马店·期末）如图，为直线上一点，是的平分线，在的内部，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24七年级·福建龙岩·期末）学习千万条，思考第一条。请你用本学期所学知识探究以下问题： （1）已知点为直线上一点，将直角三角板的直角顶点放在点处，并在内部作射线． ①如图1，三角板的一边与射线重合，且，若以点为观察中心，射线表示正北方向，求射线表示的方向； ②如图2，将三角板放置到如图位置，使恰好平分，且，求的度数. （2）已知点不在同一条直线上，，平分，平分，用含的式子表示的大小. 【变式4-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知，∠AOB＝3∠COD，∠COD＝α，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，∠COD绕着点O顺时针旋转． (1)若α＝45°． ①如图1，当∠COD旋转到OC与OB重合时，求∠EOF的度数； ②如图2，当∠COD从图1的位置开始绕着点O顺时针旋转n°，其中0＜n＜45，求∠EOF的度数； (2)若0°＜α＜60°，∠COD从图3的位置（OC与OB重合）开始绕着点O顺时针旋转一周，则∠BOF的度数为 　　． 【变式4-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知射线在内部，其中为的三等分线，分别平分和，若，则 ． 知识点3：按角的内外部分类 条件:已知AOB,射线OC,AOB>AOC. 结论:当OC 在AOB 内部时,BOC1=AOB-AOC1； 当OC 在AOB 外部时,BOC2=AOB+AOC2 【题型5 分类讨论思想之按角的内外部分类】 【例5】（23-24七年级·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（    ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式5-1】（23-24七年级·江苏南京·期末）以∠AOB的顶点O为端点引射线OC，使∠AOC：∠BOC=5：4，若∠AOB=27°，则∠AOC= ． 【变式5-2】（23-24七年级·山西运城·期末）已知点A，O，B依次在同一直线上，射线平分，，平分，则的度数是（    ） A． B． C． D．或 【变式5-3】（23-24七年级·重庆渝中·开学考试）已知，为的角平分线，过点O作射线，若，则的角度是（    ） A．30° B．120° C．30°或120° D．60°或90° 知识点4：按顺逆时针分类 条件:已知AOB,射线 OC,AOB<AOC. 结论:(1)BOC1=AOC1-AOB；(2)BOC2=AOB+AOC2；(3)AOC3+BOC3+AOB=360°． 【题型6 分类讨论思想之按顺逆时针分类】 【例6】（23-24七年级·福建泉州·期末）如图，，射线以的速度从位置出发，射线以的速度从位置出发，设两条射线同时绕点逆时针旋转． (1)当时，求的度数； (2)若． ①当三条射线、、构成的三个度数大于的角中，有两个角相等，求此时的值； ②在射线，转动过程中，射线始终在内部，且平分，当，求的值． 【变式6-1】（23-24七年级·湖北武汉·期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°． (1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小； (2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小． (3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值． 【变式6-2】（23-24七年级·广东佛山·期末）已知： （1）如图1，吗？请说明理由． （2）如图2，直线平分，直线平分吗？请说明理由． （3）若，，求的大小． 【变式6-3】（23-24七年级·贵州遵义·期末）请阅读以下信息：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所组成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的“内半角”．如图①，若射线，在的内部，且，则称是的“内半角”． 请根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图①，，．若是的“内半角”，则_______． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度 至，即，其中．若是的“内半角”，求的度数． (3)把一块含的三角板按如图③方式放置，使边与边重合，边与边重合．如图④，将三角板绕顶点O以每秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为t秒．当射线，，，构成“内半角”时，请直接写出t的值． 知识点5：按顺逆时针分类 条件:AOC=BOC 结论:∠AOC1= ∠AOB 或AOC2=180°-AOB． 条件:AOC= BOC 结论:AOC1= AOB 或AOC2= AOB 【题型7 分类讨论思想之n等分角】 【例7】（23-24七年级·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【变式7-1】（23-24七年级·河南新乡·期末）如图①，射线在内部，图中共有三个角 ，若其中有两个角的度数之比为，则称射线为的“幸运线”．如图②，若，射线为的“幸运线”，则的度数是 ． 【变式7-2】（23-24七年级·陕西咸阳·阶段练习）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线． 【问题再现】 （1）若，为的二倍分线，且，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）． ①若，求的度数； ②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由． 【拓展提升】 （3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数． 【变式7-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）定义：如图1，射线在的内部，图中共有3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“妙分线”． (1)如图1，若，且射线是的“妙分线”，求的度数． (2)如图2，若，射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时，射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与成时，射线，射线同时停止旋转，设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“妙分线”． 【题型8 数形结合求角度】 【例8】（23-24七年级·广东佛山·期末）数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来从而实现优化解题途径的目的．请你利用“数形结合”的思想解决以下的问题： （1）如图1：射线是的平分线，这时有数量关系：______． （2）如图2：被射线分成了两部分，这时有数量关系：______． （3）如图3：直线上有一点，射线从射线开始绕着点顺时针旋转，直到与射线重合才停止． ①请直接回答与是如何变化的？ ②与之间有什么关系？请说明理由． 【变式8-1】（23-24七年级·山东济宁·期末）材料阅读 角是一种基本的几何图像，如图1角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．钟面上的时针与分针给我们以角的形象．如果把图2作为钟表的起始状态，对于一个任意时刻时针与分针的夹角度数可以用下面的方法确定． 因为时针绕钟面转一圈（）需要12小时，所以时针每小时转过． 如图3中时针就转过． 因为分针绕钟面转一圈（）需要60分钟，所以分针每分钟转过． 如图4中分针就转过． 再如图5中时针转过的度数为，分针转过的度数记为，此时，分针转过的度数大于时针转过的度数，所以时针与分针的夹角为． 知识应用 请使用上述方法，求出时针与分针的夹角． 拓广探索 张老师某周六上午7点多去菜市场买菜，走时发现家中钟表时钟与分针的夹角是直角，买菜回到家发现钟表时针与分针的夹角还是直角，可以确定的是张老师家的钟表没有故障，走时正常，且回家时间还没到上午8点，请利用上述材料所建立数学模型列方程，求出张老师约7点多少分出门买菜？约7点多少分回到家？（结果用四舍五入法精确到分．） 【变式8-2】（23-24七年级·云南昆明·期末）分类讨论是一种非常重要的数学思想方法．如果一道题提供的已知条件中包含几种情况，我们可以分情况讨论来求解．例如：若，，求的值． 情况①若，，则， 情况②若，，则， 情况③若，，则， 情况④若，，则， 所以，的值为1，，5，． 几何的学习过程中也有类似的情况： 问题1   已知点A，B，C在同一条直线上，若，，求AC的长． 通过分析我们发现，满足题意的情况有两种． 情况①当点C在点B的右侧时，如图1，此时，__________； 情况②当点C在点B的左侧时，如图2，此时，__________． 我们发现，借助画图可以帮助我们更好的进行分类． 问题2   如图3，数轴上点A和点B表示的数分别是和2，点C是数轴上一点，且，则点C表示的数是多少？仿照问题1，结合图形写出分类情况和对应的点C表示的数． 问题3   如图4，，过点O引射线OC和射线OM，且射线OM平分，若，画出图形并计算的度数． 【变式8-3】（23-24七年级·江苏镇江·期末）游乐园的摩天轮深受学生们的喜爱，如图1是某游乐园的摩天轮的结构图，16个座舱均匀分布在圆形转轮边缘，摩天轮以固定的速度绕中心逆时针方向转动，转一周需要30分钟．如图2是摩天轮的主视图，座舱与圆形转轮边缘的连接点按顺时针依次标注为表示的是摩天轮的支架，且． (1)摩天轮每分钟转动____________°，____________°； (2)如图2，在某一时刻，连接点转动到的内部，此时． ①求此时的的度数； ②求当第一次平分时，摩天轮的转动时间以及此时的度数； ③设摩天轮转动的时间为t，在连接点到达到最高处前，是否存在的时刻？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$