精品解析：山东省菏泽市单县2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题共24道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 在中，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（　　） A. 三角形相似的判定定理 B. 三角形相似的性质定理 C. 三角形全等的性质定理 D. 三角形全等的判定定理 3. 如图，是的外接圆，，若的半径为6，则弦的长为（ ） A. 6 B. C. D. 4. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ） A. B. C. D. 5. 把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 2 6. 如图，在中，两边上的中线相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的弦垂直于，E为垂足，，，且，则圆心O到的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，设为的两条高，若，则线段的长为（） A. B. C. 4 D. 10. 如图，在半径为6cm的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④劣弧的长度是；⑤四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ①②③④⑤ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 二、填空题（本大题共6个小题每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 正n边形的中心角为，则______． 12. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 13. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算______． 14. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为______米． 15. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，折痕交于点C，则弧的长是 ___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，要写在答题卡的相应区域或内） 17. 已知是锐角，且，计算的值． 18. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 19. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在A地的北偏东方向，求，两地的距离． 20. 已知为的直径，弦，求证：． 21. 如图，在中，，垂足为D，，求的值． 22. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD、AE，它们相交于点F，且∠BDA＝∠BAE． （1）求证：BE2＝EF•AE； （2）若BE＝4，EF＝2，DF＝8，求AB的长． 23. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 24. 【阅读材料】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值． 解：因为 （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． 【材料理解】 时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ． 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． 设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积； 运用“配方法”求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期中质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题共24道题，满分120分，考试时间120分钟； 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0.5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 在中，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，求特殊角三角函数值，根据正弦为的锐角是30度求出，再根据30度角的余弦值为即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 故选B． 2. 如图，是物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的（　　） A. 三角形相似的判定定理 B. 三角形相似的性质定理 C. 三角形全等的性质定理 D. 三角形全等的判定定理 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：物理中光学规律凸透镜成像规律，其中放大率等于像距与物距的比，这用到了数学中的三角形相似的性质定理及相似三角形的对应边成比例， 故选：B． 3. 如图，是的外接圆，，若的半径为6，则弦的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，首先根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）和勾股定理（若直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则）． 【详解】∵ ∴ ∵的半径为6， ∴ ∴． 故选：B． 4. “儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点A作AC⊥BC于C，根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，过点A作AC⊥BC于C， 在Rt△ABC中，sinB=， 则AC=AB•sinB=100sin65°（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 5. 把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，D、B、C三点共线，若，则的长为（ ） A. 6 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，由题意可知，再由可得出的长，再在中通过解直角三角形即可求解． 【详解】解：把两个大小相同的含角的三角尺如图放置，、、三点共线， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，在中，两边上的中线相交于点O，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线得出：，．根据平行线的性质得出相似，根据相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵是两边上的中线， ∴，， ∴，， ∴， 过作于， ∴． 故选：D． 7. 如图，的弦垂直于，E为垂足，，，且，则圆心O到的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点，分别作与，于，则四边形是矩形，证明，可得，根据垂径定理可得，根据即可求解． 【详解】解：连接，过点，分别作于，于，则四边形是矩形， ，， ， ， ∴ ， ， ， 则， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 8. 如图，一个边长分别为、、的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点重合，另两个顶点分别在正方形的两条边、上，那么这个正方形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，由的三边为3、4、5，根据勾股定理逆定理可以证明其是直角三角形，利用正方形的性质可以证明，然后利用相似三角形的性质可以得到，设为，则是，根据勾股定理即可求出，也就求出了正方形的面积． 【详解】解：如图，的三边为3、4、5，而， 为直角三角形， ， 而四边形为正方形， ， ，， ， ， ，即， 设为，则是， 是， 三角形为直角三角形， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】此题考查了正方形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理等知识，综合性比较强，对于学生的能力要求比较高． 9. 如图，设为的两条高，若，则线段的长为（） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定及勾股定理，能求出是解此题的关键．根据相似三角形的判定求出，根据相似三角形的性质得出，根据相似三角形的判定得出，得出比例式，代入求出，再用勾股定理求出即可． 【详解】解：，为的两条高， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故选：B． 10. 如图，在半径为6cm的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③；④劣弧的长度是；⑤四边形ABOC是菱形．其中正确结论的序号是（　　） A. ①③ B. ①②③④⑤ C. ②④⑤ D. ①③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】点D是优弧上一点，且，证是菱形得到⑤，利用菱形对角线垂直的性质得到①，解直角三角形得③，弧长公式得到④，②只有在B、O、D共线时成立． 【详解】解：点D是优弧上一点，且 是等边三角形， 点A是劣弧的中点， 是菱形， 故⑤正确； ， 故①正确； ， 当时，即B、O、D共线时， ，即， 故②不一定正确， 半径为，是菱形， ， 故③正确； 劣弧的长度是: 故④正确； 故选：D 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的判定及性质、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强；掌握圆的相关性质是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 正n边形的中心角为，则______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，注意正多边形的中心角的和为，由题意可得，解之即可得到答案． 【详解】解：正n边形的中心角为， ， ， 故答案为：8． 12. 如图，一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的半径为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点，连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的半径为， 故答案为：5． 13. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要方法，在计算时，如图，在中，，，延长，使，连接，使得，所以，类比这种方法，计算______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，在中，，，作的角平分线，作，设，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，在中，，，作的角平分线，作， ∴，， ∵， 设， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，正弦，正切等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，正弦，正切是解题的关键． 14. 如图是拦水坝的横断面，斜坡的水平宽度为米，斜面坡度为，则斜坡的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—坡度坡角问题，勾股定理，根据坡度的定义得，然后利用勾股定理求出的长度．解题的关键是掌握：坡面的铅垂高度与水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比）． 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵斜面坡度为， ∴， ∴（米）， ∴斜坡的长为米． 故答案为：． 15. 如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处，折痕交于点C，则弧的长是 ___________． 【答案】π 【解析】 【分析】由圆的性质和折叠的性质易得到是等边三角形，即可求出，代入弧长公式即可求出弧的长，本题考查了弧长的计算，折叠的性质，利用圆的性质和折叠的性质得到是等边三角形是解题的关键． 【详解】解：连接，则， ∵将扇形沿过点A的直线折叠，点O恰好落在弧上的点处， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 弧的长， 故答案为：π． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，，将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交y轴于点；将绕点O顺时针旋转到，扫过的面积记为，交x轴于点；……；按此规律，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，扇形的面积．根据旋转的性质，得到、、、、都是等腰直角三角形，分别求出 ，，，利用扇形面积求出，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转到，交x轴于点 ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得：、、、都是等腰直角三角形，，…， ∴ ，，，，； ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，要写在答题卡的相应区域或内） 17. 已知是锐角，且，计算的值． 【答案】3 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值得出，然后利用二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质进行化简，根据实数运算法则即可计算出结果．本题主要考查了二次根式、特殊角的三角函数值、零指数幂、负指数幂的性质及实数运算法则，难度适中． 【详解】解：， ， ， ∴ ． 18. 平行四边形中，过A作，垂足为，连、为线段上一点，且．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的性质及相似三角形的判定方法．先根据平行四边形的性质证出，再根据可得出，由此可得出结论． 【详解】略 19. 现在手机导航极大方便了人们的出行，如图，嘉琪一家自驾到风景区游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶千米至地，再沿北偏东方向行驶一段距离到达风景区，嘉琪发现风景区在A地的北偏东方向，求，两地的距离． 【答案】（千米） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，含角的直角三角形的计算，方位角的表示，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．首先过点沿东西方向作直线交于点，过点作于，可得、，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半可知千米，在中利用勾股定理求出的长度，在中再次运用勾股定理求出的长度． 【详解】解：如图所示，过点沿东西方向作直线交于点，过点作于， 由题意得，， ， 点在点北偏西方向， 点在点东偏南方向， ， ， ， ， ，， (千米)，， ， ． 20. 已知为的直径，弦，求证：． 【答案】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵弦， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了周角定理，等腰三角形的判定，余角的性质，连接，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据弦，得出，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，证明，最后根据等腰三角形判定即可得出答案． 【详解】略 21. 如图，在中，，垂足为D，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．证明得，设，求出，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ， 设， 则， ， ． 22. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD、AE，它们相交于点F，且∠BDA＝∠BAE． （1）求证：BE2＝EF•AE； （2）若BE＝4，EF＝2，DF＝8，求AB的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB， ∵∠ADB=∠BAE， ∴∠DBC=∠BAE， ∵∠EBF=∠BAE，即∠BEF=∠BEA， ∴△EBF∽△EAB， ∴EB：EA=EF：EB， ∴BE2=EF•AE； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DBC=∠ADB，然后证明△EBF∽△EAB，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用BE2=EF•AE计算出AE=8，则AF=6，再由BE∥AD，利用平行线分线段成比例定理计算出BF=，然后利用△EBF∽△EAB，根据相似比求出AB的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵BE2=EF•AE， ∴AE===8， ∴AF=AE﹣EF=8﹣2=6， ∵BE∥AD， ∴=，即=，解得BF=， ∵△EBF∽△EAB， ∴=，即=， ∴AB＝． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键． 23. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，过点作，垂足为点． （1）试证明是的切线； （2）若的半径为5，，求此时的长． 【答案】 （1）证明：连接，， ∵为的直径， ∴， 又∵，是等腰三角形， ∴又是边上的中线， ∴是的中位线， ∴， 又， ∴， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，证出是等腰三角形，结合图形得出是的中位线，因为， ，证出即可得出是的切线； （2）由（1）可得，，，在中，由勾股定理求得BD的长度，证出，根据相似三角形对应边成比例可求得DE的长． 【详解】（1）略 （2）由（1）知，是边上的中线， 得． ∵的半径为5， ∴． 在中， ∵， ∴． 在和中，∵，， ∴， ∴， 即，解得． 【点睛】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三角形的判定是解题的关键． 24. 【阅读材料】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值． 解：因为 （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． 【材料理解】 时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ． 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． 设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积； 运用“配方法”求的最大值． 【答案】材料理解：，大，； 迁移应用：； 最大面积为平方厘米． 【解析】 【分析】【材料理解】利用平方的非负性可以判断当时，代数式有最大值，且最大值为； 【迁移应用】设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形对边平行可知，根据相似三角形对应边成比例可得，根据矩形的面积公式可得； 用配方法把写成的形式，再利用平方的非负性进行判断即可． 【详解】解：【材料理解】 ， ， ， ， 当时，， 故答案为：，大，； 【迁移应用】 设的长度是厘米，的长度是厘米， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 矩形面积． ， ， 当时，， 当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用、完全平方公式、配方法的应用，矩形的面积公式．解决本题的关键是利用配方法把一个多项式写成一个完全平方式与一个常数的和的形式，利用平方的非负性求代数式的最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $