4.2.1 等差数列的概念（第1课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等差数列的概念 第一课时 实例1 北京天坛圜丘坛的地面是由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外的石板数依次为: 9，18，27，36，45，54，63，72，81 ① 实例2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的意大利尺码分别是： 34，36，38，40，42，44，46，48 ② 实例3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：℃）依次为： 25，24.4，23.8，23.2，22.6 ③ 思考：描述以上三个数列的规律，它们具有什么共同特征？ 新知探究 问题1 我们常通过运算来发现规律，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？ 对于数列①：9，18，27，36，45，54，63，72，81 我们发现 18-9=9，27-18=9....81-72=9. 如果用{an}表示数列 ① ， 那么有 a2-a1=9，a3- a2 =9，...，a9-a8=9. 这表明，数列①有这样的取值规律： 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 数列②~③，也有这样的取值规律. 新知探究 等差数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 符号表示： an+1 - an=d（d为常数，n∈N*） an - an-1=d（d为常数，n≥2，n∈N*） ①9，18，27，36，45，54，63，72，81 ②34，36，38，40，42，44，46，48 ③25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 公差d=9 公差d=2 公差d=﹣0.6 概念生成 注意：①公差d必须为“同一个常数” ②公差d可正、可负、也可为0，它是一个与n无关的常数 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 课本练习P15 新知应用 问题2 一个等差数列最少需要几项？ 3项，若a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？ 等差中项 由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 由等差数列的定义，可知： 新知探究 2. 求下列各组数的等差中项: 变式：如果三个数2a，3，a－6成等差数列，则a的值为(　　) A．－1 B．1 C．3 D．4 D 课本练习P15 新知应用 将各式累加得，等差数列的通项公式为:an＝a1＋(n－1)d. 问题3 你能否根据等差数列的定义推导出等差数列的通项公式？ 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: an+1-an=d an+1-an=d就是等差数列{an}递推公式. 即 a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， …… an－an－1＝d， 即a2＝a1＋d； 即a3＝a2＋d＝a1＋2d； 即a4＝a3＋d＝a1＋3d； 即an＝a1＋(n－1)d； 由此可归纳得，等差数列的通项公式为: an＝a1＋(n－1)d (n ≥ 2) 当n=1时，a1＝a1＋(1－1)d=a1，上式也成立. 追问 还有其它方法推导吗？ 累加法 新知探究 首项为a1，公差为的等差数列{an}的通项公式为 等差数列的通项公式的一般形式：an＝am＋(n－m)d 等差数列的通项公式 a1,an,n,d 知三求一 am=a1 +(m-1)d an-am =(n-m) d am=? an-am =? 思考： 新知探究 等差数列的通项公式 法二： 追问1 我们要求，需要几个条件？ 只要求出等差数列的首项和公差代入公式 即可。 追问2 我们如果只知道和公差两个条件个条件？如何求 法一：通过和公差先求首项再代入公式 新知探究 10 思考：你能写出这些等差数列的通项公式吗？ (3) 6，6，6，6，6. (1) 5，9，13，17，21； an＝5＋(n－1)×4＝4n＋1； (2) 9，7，5，3，1，－1； an＝9＋(n－1)×(－2)＝－2n＋11； an＝6＋(n－1)×0＝6. 新知应用 11 例1（1）已知等差数列{an}的通项公式为an =5－2n，求{an}公差和首项； （2）求等差数列8，5，2....的第20项. (1)当n≥2时，由{an}的通项公式为an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1) ＝7－2n. 于是 d＝an－an-1＝5－2n－(7－2n)＝－2， a1＝5－2＝3. ∴{an}公差为－2，首项为3. (2) 由已知条件，得 d＝5－8＝－3，a1＝8. ∴an＝ a1＋ (n－1)d ＝8－3(n－1)＝－3n＋11. ∴a20 ＝－3×20＋11＝－49. 解: 新知探究 例2 －401是不是等差数列 －5,－9,－13,…的项？如果是，是第几项？ 由a1＝－5，d＝－9＋(－5)＝－4， 得数列{an}的通项公式为 an＝ a1＋ (n－1)d ＝－5－4(n－1)＝－4n－1. 设 －4n－1＝－401，解得 n＝100. ∴－401是这个数列第100项. 解: 追问 －350是不是该数列中的项？ 新知探究 问题4:我们知道数列是特殊的函数,等差数列是特殊的数列。观察等差数列通项公式,你认为它与我们学过的哪个函数模型有关? ∵an＝a1＋(n－1)d ＝dn＋(a1－d) ∴当d＝0时，an＝a1是常值函数； 当时，是一次函数 ∴， (n∈N*)时的函数值，即an＝f (n). 新知探究 等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k, b为常数), 则 f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b, 构成一个等差数列{nk＋b}, 其首项为_______，公差为____. d≠0时 an＝a1＋(n－1)d =dn＋(a1－d ) f (x)=dx＋(a1－d ) ⟹ (k＋b) d 1 2 5 a1 x f(x) O 3 4 6 a1－d a2 a3 a4 a5 a6 f(x)＝dx＋(a1－d) ③等差数列{an}的单调性与 有关. 公差d d >0时，{an}是递增数列； d <0时，{an}是递减数列； d =0时，{an}是常数列. 新知探究 追问1：由一次函数为常数）得到的数列一定是等差数列吗？ 数列{an}是公差不为0的等差数列 ⇔ 数列的通项公式an是关于n的一次函数. 新知探究 16 等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 解析式 不同点 相同点 联系 定义域为，图象是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为，图象是一条直线 等差数列的通项公式与一次函数解析式都是自变量的一次整式. an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 新知探究 3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. a1 a3 a5 a7 d －7 8 2 －6.5 0.5 15.5 3.75 15 －11 －24 新知应用 课本练习P15 例3：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列。 解法一：设这个等差数列，公差为 由，即：，解得： ∴插入的这三个数为： 、14、 基本量法 新知探究 例3：在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列。 解法二（等差中项法）：设这个等差数列为 则： ∴插入的这三个数为： 、14、 新知探究 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 新知应用 课本练习P15 针对练习 1、 针对练习 针对练习 B 针对练习 1.等差数列的概念 （且） 4.等差数列的判定 是等差数列. （且）是等差数列. 2.等差中项 三个数成等差数列，叫做与的等差中项. 3.等差数列的通项公式 +() ，+() 是等差数列. 课堂小结 $$